人教A版數(shù)學(xué)必修一專題8函數(shù)與方程

1、奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 專題 8 函數(shù)與方程 1 函數(shù)零點(diǎn) (1) 概念 對于函數(shù)y=f(x)(xCD),把使f(x) = 0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y = f(x)( xC D)的零點(diǎn). (2) 意義 函數(shù)y= f (x)的零點(diǎn)就是方程f (x) = 0的實(shí)數(shù)根. (3) 求法 (代數(shù)法)求方程f(x) = 0的實(shí)數(shù)根； 奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) (幾何法)求函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 2 .函數(shù)零點(diǎn)存在性定理. 3 .二分法 (1)概念 a+ b 中點(diǎn)：一般地，我們把 一2一稱為區(qū)間(a, b)的中點(diǎn); 二分法. (2)用二分法求函數(shù)零點(diǎn)近似值的基

2、本步驟. 例1判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn). 2 _ (1) f(x) =x -3x- 18, xC 1,8; (2) f(x) =log 2(x+2) x, x 1,3. 變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的零點(diǎn). 奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) (1) f(x) =x3+ 1; (2) f(x) =x3-2x2-x+2.奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 例2 已知函數(shù)y=ax2+bx+c,若acv0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D.不確定 變式訓(xùn)練2 若函數(shù)f (x) = ax+b(aw。)有一個(gè)零點(diǎn)為2,那么函數(shù)g(x) = bx2 ax的零點(diǎn)

3、是 ( ) 一 1 1 A. 0,-2 B. 0,- - 1 C. 0,2 D. 2, 2 例3已知函數(shù)f (x) = x22ax+a21的兩個(gè)零點(diǎn)都在(一2,4)內(nèi)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 變式訓(xùn)練3 若函數(shù)f (x) = ax2x 1有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值; A級 ( 第 1,7 題是考查偶函數(shù)的性質(zhì)及零點(diǎn)的概念，解題關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的對稱性 ) 1 已知函數(shù)f (x) 是偶函數(shù)，其圖象與 x 軸有四個(gè)交點(diǎn)，則該函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為 ( A 0B1C 2D 4 2 .若關(guān)于x的方程x2+m圻1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( ) 奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起

4、點(diǎn) 信達(dá) A (1,1) B (2,2) C. (8, 2)u (2 , +8) D. (8, 1) U (1 , +8 ) ( 第 3 題考查的是函數(shù)圖象與零點(diǎn)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是將函數(shù)圖象畫出來，然后判斷交點(diǎn)個(gè) 數(shù) ) 3 .函數(shù)f (x) =ln x的圖象與函數(shù)g(x) = x24x+4的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A 3B 2C 1D 0 ( 第 4 題考查的是零點(diǎn)存在性定理，解題方法是將答案一一驗(yàn)證 ) 4 .設(shè)x0是方程lnx + x4= 0的解，則x0屬于區(qū)間( ) A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4) ( 第 5 題考查的是零點(diǎn)的概念，求解方法是直接將零點(diǎn)求

5、出來 ) x+1, x0 5 .函數(shù)f(x)= x4x x0 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 6 .函數(shù)f(x) =m)2-2x+1有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) 3 3 7 .函數(shù)f(x)對一切實(shí)數(shù)x都滿足f 2+x =f方一x ,并且方程f(x)=0有三個(gè)實(shí)根，則這 三個(gè)實(shí)根的和為. B級 8 .若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?8, 0)0(0 , +8),且f(x)為偶函數(shù)，又f(x)在(0,+8) 上是減函數(shù)，f(2) =0,則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)有( ) A. 一個(gè) B.兩個(gè) C.至少兩個(gè) D.無關(guān)判斷 (第9,12題考查了零點(diǎn)的性質(zhì)應(yīng)用，求解方法是利用零點(diǎn)的性質(zhì)，輔助圖象解題. ) 9.方程x2+ax

6、2=0在區(qū)間1,5上有解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是( ) A. -2,B (1 , +OO ) 5 一 23 , _ 23 C. 5，1 D. , 一 石 10 .方程2x=x2的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是( ) m的取值范圍是 奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) A. 1B. 2C. 3D.無數(shù)多 11 .方程 1 = 3x的實(shí)數(shù)解為 _ . 3 1 .2 | x + 5x+ 4| , x0. 若函數(shù)y=f(x) a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 . 13 .不用求根公式，求函數(shù)f(x) =(x2)( x 5) 1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并比較零點(diǎn)與3的大小.奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 1

7、4 .已知a是正實(shí)數(shù)，函數(shù) f (x) = 2ax2+2x3 a.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間1,1上有零 點(diǎn)，求 a 的取值范圍 答案精析 專題 8 函數(shù)與方程 典型例題 例 1 解 (1)方法一 f (1) =123X 1 18=200, .f (1) f(8)log22 1 = 0, f (3) =log 253log 283=0, .f (1) f(3)0 ,故 f(x)=log2(x+ 2) -x, x 1,3存在零點(diǎn). 方法二 設(shè)y=log2(x+2), y=x,在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，從圖象中可以看 出當(dāng)1WxW3時(shí)，兩圖象有一個(gè)交點(diǎn)，因此 f(x) = log 2(x+

8、2) -x, x 1,3存在零點(diǎn).奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 變式訓(xùn)練 1 解 (1) f (x) =x3+1 = (x+1)( x2 x+1),令(x+1)( x2 x+1) = 0,解得 x= 1, 即函數(shù)f(x) =x3+ 1的零點(diǎn)為x=1； (2)令 x3 2x2 x+ 2= 0,化得(x+ 1)( x 1)( x- 2) =0,解得 x=1 或 x=1 或 x=2, 所以函數(shù)y= x3 2x2+x2的零點(diǎn)分別為 x=1或x=1或x=2. 例2 C 因ac0,所以函數(shù)y=ax2+bx+ c的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)， 即函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2. 變式訓(xùn)練 2 A ; aw

9、0,2 a+b=0, 令 bx2-ax= 0,得 x= 0 或 x=3=-. 例3 解 設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為 x1與x2,且一2xwx20 f (4)0 A0 a2+4a+30 2 a 8a+ 150 A =40 一 2a4 a一 1 解得a5 , 2a4 所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為一1a3. 變式訓(xùn)練3解若a=0, a . b b= 1 2. 一 2 一 2a 2 0, m2或 m-2,應(yīng)選 C. 3. B 畫出兩個(gè)函數(shù)f(x), g(x)的圖象， 由圖知f(x), g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 2. 4. C 令 f(x) = lnx+x 4, 則 f (2) =ln2 +2-40,選 C. 5.

10、 1 解析令f (x) = 0, 當(dāng) x0 時(shí)，x+ 1 = 0, 解得x= 1,不合適，舍去. 當(dāng) x0 ，函數(shù)f(x)= 2+ 0 的零點(diǎn)是一1,其個(gè)數(shù)為1. 奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 6. (巴 0 U1 一 ， 一 1、. 解析 當(dāng)m= 0時(shí)，x= 2為函數(shù)的零點(diǎn)；當(dāng) 0時(shí)，右A=0,即m= 1時(shí)，x= 1是函數(shù)唯一 的零點(diǎn)，若AW0,顯然函數(shù)x=0不是函數(shù)的零點(diǎn)，這樣函數(shù)有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)等價(jià) 2 于方程mx- 2x +1 = 0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根， 即 mf(0) 0,即 m 0. 9 7. 2 解析 設(shè)方程f (x) = 0的三個(gè)實(shí)根分別為 x1, x2, x

11、3, 3 因?yàn)閷ΨQ軸為x=2， 3 口 3 3 所以 x2= 且二一 x1= x3 2 2 2 9 則 x1 + x3=3, 所以 x1 + x2+x3 = 2. 8. B 依據(jù)給出的函數(shù)性質(zhì)，易知 f( 2) =0,畫出函數(shù)的大致圖象如圖: 可知f(x)有兩個(gè)零點(diǎn). 9. C 設(shè) f(x)=x2+ax 2, f (0) =- 20即可， 23 解得 a 1. 5 10. C 畫出函數(shù)yi = 2x與y2=x2的圖象可知 x=2與x = 4時(shí)，yi = y2,當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)yi=2、遞增的速度明顯比 y2 = x2快， 即x4后，再沒有交點(diǎn)，故選 C. 11. log 34 解析 令t = 3

12、x(t 0),則原方程可化為：(t 1)2= 9(t0). ，t1=3, t =4,即 x= log 34 可滿足條件， 9 x- 即方程3x巧+ 1 = 3、的實(shí)數(shù)解為10g 4 12. 1a0). 當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y=a|x|的圖象有3個(gè)交點(diǎn).故a2. 當(dāng)y=a|x|(xW0)與y= | x2+5x+4|相切時(shí)，在整個(gè)定義域內(nèi)， f(x)的圖象與y1=a|x|的圖 象有5個(gè)交點(diǎn)， y = - ax 此時(shí)，由 2 y= - x 5x 4奮斗沒有終點(diǎn)任何時(shí)候都是一個(gè)起點(diǎn) 信達(dá) 得 X2+ (5 a) x + 4= 0. 2 由=。得(5 a) 16 = 0,解得 a= 1,或 a= 9(舍去)， 則當(dāng)1a2時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有 4個(gè)交點(diǎn). 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1a0, 所以方程x2-7x+ 9=0有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根， 即函數(shù)f (x) = (x2)( x5) 1有兩個(gè)零點(diǎn)； 又因?yàn)?f(3) = (3 - 2)(3 -5) -1 = -30, 且函數(shù)f(x) =(x2)( x5) 1為開口向上的