Lyapunov二方法學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1Lyapunov二方法二方法(fngf)第一頁，共45頁。: ( ), (0)0.(1)( )0,(2)0,( )0,. 3(), ().V xxHVV xVxV xVVV 定定義義1 1 假假設(shè)設(shè)為為在在域域內(nèi)內(nèi)定定義義的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)如如果果在在此此域域內(nèi)內(nèi)恒恒有有則則稱稱函函數(shù)數(shù) 為為半半正正定定. .如如果果對(duì)對(duì)一一切切都都有有稱稱函函數(shù)數(shù) 為為正正定定（ ）如如果果函函數(shù)數(shù)是是定定正正 半半正正定定則則稱稱函函數(shù)數(shù) 是是負(fù)負(fù)定定 半半負(fù)負(fù)定定 2212121222222222()2 ( , ). 1 ( , )(1 cos ). 20, 40. ( , ) 0,

2、40. 1 ( , ) 2V xxxxx xV x yxyygV x yyxlaacbV x yaxbxycyaacbV x yy 例例 ， 半半正正定定正正定定正正定定正正定定負(fù)負(fù)定定 0( ), ( )0. xg s dsxg x 正正定定第1頁/共44頁第二頁，共45頁。正定函數(shù)正定函數(shù) V(x) = Ci 0 的等值線示意圖：這是一族閉的等值線示意圖：這是一族閉的、層層相套的、當(dāng)?shù)?、層層相套的、?dāng)C趨向于零時(shí)向原點(diǎn)退縮趨向于零時(shí)向原點(diǎn)退縮(tu su)的曲線。的曲線。1234567CCCCCCCC1C2C3C4C5C6C7第2頁/共44頁第三頁，共45頁。0:00:0 一一些些記記號(hào)號(hào)

3、：正正定定：半半正正定定負(fù)負(fù)定定：半半負(fù)負(fù)定定練練習(xí)習(xí)：P277P277， 1 1第3頁/共44頁第四頁，共45頁。11( )(6.20) V(t)=.nniiiiiiV xdxdVVVfdtxdtx 定定義義2 2：函函數(shù)數(shù)通通過過方方程程的的全全導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 Lyapunov第二方法(fngf)的一般理論() (6.20)dxfxdt ),(),(),()( , :2121221121nnnnnxxxfxxxfxxxfxfxxxx其中.)(:)( . 0)0(有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)為正常數(shù)在某區(qū)域AAxGxff第4頁/共44頁第五頁，共45頁。 (6.20)( ),1( )0 (2) ( )0(6

4、.20).V xV xV x 定定理理4 4（L Ly ya ap pu un no ov v穩(wěn)穩(wěn)定定性性定定理理）如如果果對(duì)對(duì)微微分分方方程程組組可可以以找找到到一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)滿滿足足 （ ）則則方方程程組組的的零零解解是是穩(wěn)穩(wěn)定定的的第5頁/共44頁第六頁，共45頁。幾何幾何(j h)解釋解釋1x2x1x2x 由于V(x)正定， V(x)=C是一個(gè)閉的曲面族，層層相套、隨 而向原點(diǎn)退縮。又由 半負(fù)定知V(x)的值沿著運(yùn)動(dòng)軌道只能減小或保持定值而不會(huì)增加，這表明系統(tǒng)關(guān)于原點(diǎn)（零解）是穩(wěn)定的。V0C 第6頁/共44頁第七頁，共45頁。5() (6.20)( ),1( )0 (2) ( )0(

5、6.20).LyapunovV xV xV x 定定理理漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定性性定定理理如如果果對(duì)對(duì)微微分分方方程程組組可可以以找找到到一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)滿滿足足 （ ）則則方方程程組組的的零零解解是是漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定的的幾何解釋：幾何解釋： 由于由于v(x)正定，正定， v(x)=C是一個(gè)閉的曲面族，層層相是一個(gè)閉的曲面族，層層相套、隨套、隨C 趨向于零而向原點(diǎn)退縮。而趨向于零而向原點(diǎn)退縮。而dv/dt 負(fù)定則說明負(fù)定則說明：在任一點(diǎn)：在任一點(diǎn)x處，處，v(x) 的值都是減小的，從而在任一點(diǎn)的值都是減小的，從而在任一點(diǎn)x 處，運(yùn)動(dòng)的軌線都從處，運(yùn)動(dòng)的軌線都從v(x)=C的外部的外部(wib)穿越穿

6、越v(x)=C 走向內(nèi)部。這表明，走向內(nèi)部。這表明，limt0 x(t)=0，即原點(diǎn)（零解）是，即原點(diǎn)（零解）是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定的。第7頁/共44頁第八頁，共45頁。277,2(1,2,3)P練練習(xí)習(xí)：第8頁/共44頁第九頁，共45頁。 ()(6.20)( ),(1) 0,( )0, 0,0(2) ( )( )( ),0,0(6.20).V xxxV xWV tV xW xW 定定理理6 6不不穩(wěn)穩(wěn)定定性性定定理理如如果果對(duì)對(duì)微微分分方方程程組組存存在在函函數(shù)數(shù)和和非非負(fù)負(fù)常常數(shù)數(shù)滿滿足足在在的的任任意意小小鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)都都至至少少存存在在某某個(gè)個(gè)使使當(dāng)當(dāng) 其其中中當(dāng)當(dāng)則則方方程程組組的的

7、零零解解是是不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的277,2(4),3(2)P練練習(xí)習(xí)：第9頁/共44頁第十頁，共45頁。 x1x2u2u1u30v第10頁/共44頁第十一頁，共45頁。例例: :考慮考慮(kol)(kol)如下系統(tǒng)關(guān)于零解的穩(wěn)定性：如下系統(tǒng)關(guān)于零解的穩(wěn)定性：5xx 首先(shuxin)構(gòu)造一個(gè)正定函數(shù)：2( ) V xx( )00,( )00 顯然，V且V。xxxx現(xiàn)在，我們考慮V沿上述微分方程的解對(duì)時(shí)間 的導(dǎo)數(shù)，有t221000 Vxxxx( )由于V正定，V負(fù)定，從而漸近穩(wěn)定。x第11頁/共44頁第十二頁，共45頁。例：考慮例：考慮(kol)小阻尼線性振動(dòng)系統(tǒng)：小阻尼線性振動(dòng)系統(tǒng)：122120

8、.5xxxxx 阻尼比120,0 xx試研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。類似于前例，取一個(gè)函數(shù)，通常稱為 函數(shù)：v221211 22(,)322V x xxx xx易于驗(yàn)證，這是一個(gè)正定(zhn dn)函數(shù)。1x2x求出 V 沿微分方程(wi fn fn chn)解的導(dǎo)數(shù)：221212212121212(62)(24)()2() vvVxxxxxxxxxxxxx因此，系統(tǒng)關(guān)于零解必是漸近穩(wěn)定的。第12頁/共44頁第十三頁，共45頁。1x2x第13頁/共44頁第十四頁，共45頁。例：考慮例：考慮(kol)系統(tǒng)：系統(tǒng)：1221 xxxx22121 12 21 22 1( )(),2220,720,0,xx

9、xx xx xx xx xv 取V則V（）根據(jù)定理系統(tǒng)關(guān)于零解穩(wěn)定。因可知相軌跡必在等值線上。事實(shí)上，我們有：2222121020( )( )( )( )xtxtxtxt。第14頁/共44頁第十五頁，共45頁。例：考慮小阻尼例：考慮小阻尼(zn)線性振動(dòng)系統(tǒng)：線性振動(dòng)系統(tǒng)：12212 xxxxx120,0 xx研究其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。2212( ),若取則有v xxx2121 221221222()20 vvvxxx xxxxxxx此時(shí)只能判斷系統(tǒng)(xtng)李氏穩(wěn)定，盡管事實(shí)上該系統(tǒng)(xtng)是漸近穩(wěn)定的。第15頁/共44頁第十六頁，共45頁。定理定理(dngl)5*則（4.20）的零解漸

10、近穩(wěn)定。v(),Vx對(duì) 系 統(tǒng) (4.20)， 若 存 在滿 足(1)( )0(2)( )0(3) |( )00 V xV xx V x第16頁/共44頁第十七頁，共45頁。注：注：這是充分條件，對(duì)必要條件這是充分條件，對(duì)必要條件(b yo tio jin)的研究：的研究：Lyapunov逆定理逆定理Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造問題函數(shù)的構(gòu)造問題第17頁/共44頁第十八頁，共45頁。定理定理7-25 時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程 的零解是漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對(duì)給定的任一個(gè)正定對(duì)稱陣任一個(gè)正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的正定對(duì)稱陣唯一的正定對(duì)稱陣P，使得AxxTAA PPQ（744）三、線性系統(tǒng)二次型三、線性系統(tǒng)

11、二次型 V 函數(shù)函數(shù)(hnsh)第18頁/共44頁第十九頁，共45頁。證明：充分性：若對(duì)任給正定對(duì)稱陣證明：充分性：若對(duì)任給正定對(duì)稱陣Q，都存在唯一的，都存在唯一的正定對(duì)稱陣正定對(duì)稱陣P，使，使(7-44)成立成立(chngl)，要證明系統(tǒng)漸，要證明系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。為此，構(gòu)造近穩(wěn)定。為此，構(gòu)造 Lyapunov 函數(shù)：函數(shù)：( )Tv xx Px對(duì)其沿方程(fngchng)的解微分，有由定理(dngl)7-21*知零解漸近穩(wěn)定。()0AATTTVxPPxx Q x 必要性：必要性：若dV/dt=Ax漸近穩(wěn)定，要證明對(duì)任意給定的對(duì)稱正定陣Q，有唯一的正定對(duì)稱陣P存在，使得(?)成立。為此，考慮矩陣

12、微分方程(0)0XA X+XA,X=Q且令T第19頁/共44頁第二十頁，共45頁。不難驗(yàn)證(ynzhng)其解為AAtX TteQe對(duì)0000( )(0)()()(Re ( )0,( )0)()()XXAXXAAX=AXXATTdtdtQdtdt l(0)0XA X+XA,X=QT積分(jfn)并注意到系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的假設(shè)， 有第20頁/共44頁第二十一頁，共45頁。；TPP00()()AAtAAtTTTttTx P xxeQ edtxexQ ex dt()()00AAtQAP 且。又由于 陣均具負(fù)實(shí)部，故積分有界， 必正定。因此方程(?)成立。tTexexx00,AAtXTtPdteQedt則

13、易于驗(yàn)證它是正定對(duì)稱陣。首先，其次，注意到令第21頁/共44頁第二十二頁，共45頁。P陣的唯一性：為此陣的唯一性：為此(wi c)將方程（將方程（7-44）寫成）寫成1122AAAA TTPPQPPQ兩式相減得1212(P)()0AATPPP1212)(0AAA(P)ATtTtePPPe因此(ync)，12)0AA(PTttdeP edt第22頁/共44頁第二十三頁，共45頁。12)AA(PCTtteP et012CtPP12lim)0AA(PTttteP e12。證PP完完。又第23頁/共44頁第二十四頁，共45頁。幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明(shumng)：矩陣方程（744）給出了構(gòu)造這個(gè)二次型v函

14、數(shù)的具體途徑，在指定正定對(duì)稱(duchn)的Q陣后可求解（7-44）所定義的(1/2)n(n+1)個(gè)未知量的代數(shù)方程組。定理的結(jié)論表明A若是漸近穩(wěn)定時(shí)，這個(gè)代數(shù)方程組有唯一解存在;2. 在求解(qi ji)（744）時(shí)比較簡(jiǎn)單的是取Q為單位陣;第24頁/共44頁第二十五頁，共45頁。例例7-9 考慮考慮(kol)二維系統(tǒng)二維系統(tǒng) 111121221222 xaaxxaaxA A求系統(tǒng)漸近穩(wěn)定(wndng)時(shí)參數(shù)應(yīng)滿足的條件。令Q=I，由（7-44）式可得 11121111211222112122222220100221aamaaaamaamA 上述方程組的系數(shù)(xsh)矩陣A1的行列式為 74

15、4T （）A AM MM M A AN N22121211mmmmM第25頁/共44頁第二十六頁，共45頁。11122112212211122det()4()()4() det()AAaaaaaaaa若detA10，方程組就有唯一(wi y)解，其解為 22212212 2221 1122112 2221 111122det()2det()()det(A)AA)aaa aa aPa aa aaa由P正定(zhn dn)的Sylvester 判據(jù)可得 2222212221221111222det( )det( )01det()2()det( )aaaamaa1AAAA（）第26頁/共44頁第二十

16、七頁，共45頁。2由 （ ） ： 必 須(3)、(4)即系統(tǒng)(xtng)漸近穩(wěn)定時(shí)參數(shù)應(yīng)滿足的條件。13由（），并考慮到（ ），應(yīng)有11 2212 21det03Aa aa a（ ）221122122121122()()det()024() det()aaaaaaMA及（ ）1122()04aa（ ）第27頁/共44頁第二十八頁，共45頁。有正定對(duì)稱解的充分必要條件為xx A漸近穩(wěn)定。定理定理7-26 若定理7-25（7-44）中的N取為半半正定對(duì)稱陣正定對(duì)稱陣，且有xTNx沿 =Ax的任意非零解不恒不恒為零為零，則矩陣方程xATX+XA=N （7-46）注：關(guān)于注：關(guān)于(guny)定理定理7

17、-26 “xTNx沿方程的非零解不恒為零沿方程的非零解不恒為零”的條件不能少的條件不能少。例例1: A漸近穩(wěn)定，漸近穩(wěn)定，N半正定，不能保證半正定，不能保證M正定正定1210100,110000ANM第28頁/共44頁第二十九頁，共45頁。這是因?yàn)閤TNx沿方程(fngchng)的非零解恒為零。事實(shí)上，容易算出但此時(shí)若將N分解為 N=1 0T1 0:=CTC，則易于驗(yàn)證(ynzhng) (A，C)不可觀測(cè)。100N。Txxx若2201(0)txe xx因?yàn)門xx這說明沿方程的非零解恒為零，不滿足定理?xiàng)l件。N N20200 xxx 是非零解。第29頁/共44頁第三十頁，共45頁。1210100,

18、000100ANM例例2. N半正定半正定(zhn dn)，M正定正定(zhn dn)，不能保證，不能保證A漸近穩(wěn)定。漸近穩(wěn)定。分析分析(fnx)：1. xTNx沿方程的非零解沿方程的非零解0.5110101,00;txx exx 2. 令C=1 0, N=CTC, 可知(k zh)(A, C)不可觀測(cè)。但 xTNx=x12 ，故xTNx=x12恒為零，即沿非零解恒為零。22020,0,xxx第30頁/共44頁第三十一頁，共45頁。xTNx沿方程的非零解不恒為零，這時(shí)(A, C)可觀測(cè)(gunc),定理滿足。112411441110,0100A AN NM M例例3：( )(0)(0)0Att

19、ttetex texxe 第31頁/共44頁第三十二頁，共45頁。結(jié)論：結(jié)論： “xTQx沿方程的非零解不恒為零沿方程的非零解不恒為零, ”可用可用(A, C)可觀測(cè)可觀測(cè)代替，這里代替，這里Q= CTC。進(jìn)而。進(jìn)而(jn r)，我們有：，我們有： 定理定理7-26* 時(shí)不變動(dòng)態(tài)方程 的零解漸近穩(wěn)定的充分必要條件是對(duì)應(yīng)的Lyapunov方程 AxxAATPPQ （744）在給定（A, Q)為可觀測(cè)(gunc)的半正定陣Q下，方程(7-44)的解P為正定。第32頁/共44頁第三十三頁，共45頁。關(guān)于定理的證明：關(guān)于定理的證明：因?yàn)橐驗(yàn)镹為半正定矩陣為半正定矩陣(j zhn)，總可以將其分解為，總

20、可以將其分解為 Q=CTC 的形式。易于證明（例如用反證法），的形式。易于證明（例如用反證法），(A, Q)可觀測(cè)可推得可觀測(cè)可推得(A, C)可觀測(cè)?？捎^測(cè)。必要性證明：類似于定理必要性證明：類似于定理7-25：由系統(tǒng)零解已漸近穩(wěn)定，則任給：由系統(tǒng)零解已漸近穩(wěn)定，則任給使使(A，Q)可觀測(cè)的半正定陣可觀測(cè)的半正定陣Q，由積分，由積分00AAAAP=C CTTtttTteQ edteedt確定的矩陣(j zhn)P必滿足(7-44)且為正定（可觀測(cè)性Gram矩陣(j zhn)）。第33頁/共44頁第三十四頁，共45頁。充分性證明：若在給定（充分性證明：若在給定（A, Q)為可觀測(cè)的半正定為可觀

21、測(cè)的半正定(zhn dn)陣陣Q下，方程下，方程(7-44)的解的解P為正定為正定(zhn dn)，要證此時(shí)系統(tǒng)必定漸近穩(wěn)定。為此，要證此時(shí)系統(tǒng)必定漸近穩(wěn)定。為此，考慮，考慮0000(*)AC CCCTTTtx Qxxxxex000|0ACCttexx微分（*）式，有00000|0AACACACAtttexexx 100CAnx第34頁/共44頁第三十五頁，共45頁。這說明使 的x是零解，即沿方程的非零解dV/dt不恒為零。由定理7-21*，系統(tǒng)必漸近穩(wěn)定。 證完證完。0Tx Qx 00100 CCACAnxx例題例題7-11： 考慮考慮(kol)如下三階多項(xiàng)式：如下三階多項(xiàng)式：321230s

22、asa s a注注: 以上證明可以去掉，根據(jù)以上證明可以去掉，根據(jù)“(A,C) 可觀測(cè)當(dāng)且可觀測(cè)當(dāng)且僅當(dāng)僅當(dāng) =0”這一命題這一命題(mng t)就立即可以看出就立即可以看出x00。第35頁/共44頁第三十六頁，共45頁。013232123213( )( )( )DsDsD ssasa s asa s asa 令定義(dngy)系統(tǒng)如下：110101( )( )1( )( )( )( )1( )/( )DsDsg sD sDsDsDsDs假定(jidng)D0(s)和D1(s)無公因子。則D(s) 為Hurwitz 多項(xiàng)式當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)g(s)穩(wěn)定。將D0(s)/D1(s)展開：試證明勞斯判據(jù)：

23、系統(tǒng)漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)勞斯表的第一列所有(suyu)元素大于零。第36頁/共44頁第三十七頁，共45頁。01 23121113( )()/1( )Dss aaaasDsaa sa2131123111 3212311()/1()sa saas a aaasa ass a aaaa12311sssaaa101123( )11( )1( )1( )/( )11Dsg sD sDsDssssaaa則第37頁/共44頁第三十八頁，共45頁。3221311 231031sasaaa aasasa勞斯表：11111211232123231 3311()()ababaa aaba aaba abaaa不難驗(yàn)證，

24、g(s)可由下列系統(tǒng)(xtng)實(shí)現(xiàn)：11sa3x21sa2x31sa1xuy第38頁/共44頁第三十九頁，共45頁。3221110001100111000 1xxuyxaaaaa 這是一個(gè)(y )最小實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)可控可觀測(cè)?，F(xiàn)用Lyapunov 直接方法研究以上系統(tǒng)零解的漸近穩(wěn)定性。為此定義N為第39頁/共44頁第四十頁，共45頁。0 0 000 0 000 020 022N N顯然(xinrn)，(A, N)可觀測(cè)。解方程 A MM ANT得到(d do)321000000aaaM M欲使M正定(zhn dn)，只要10, 2 0, 3 0。一般情形下勞斯判據(jù)的證明完全類似，參見Chi-Tsong Chen, “Linear System Theory and Design ”p.417.第40頁/共44頁第四十一頁，共45頁。四、關(guān)于四、關(guān)于(guny)Lyapunov (guny)Lyapunov 函數(shù)函數(shù) 應(yīng)當(dāng)(yngdng)特別注意定理7-20*-7-21*均為充分條件。這意味，即便我們不能構(gòu)造出滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的v函數(shù)，也不能因此斷言系