求軌跡方程方法總結(jié)

1、高考數(shù)學(xué)中求軌跡方程的常見(jiàn)方法一、直接法.u.c.o.m當(dāng)所求動(dòng)點(diǎn)的要滿足的條件簡(jiǎn)單明確時(shí)，直接按“建系設(shè)點(diǎn)、列出條件、代入坐標(biāo)、整理化簡(jiǎn)、限制說(shuō)明”五個(gè)基本步驟求軌跡方程, 稱之直接法.例1 已知點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（ ） a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線解： ，. 由條件，整理得，此即點(diǎn)的軌跡方程，所以的軌跡為拋物線，選d.例1已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)q（2，0）和圓c：，動(dòng)點(diǎn)m到圓c的切線長(zhǎng)與的比等于常數(shù)（如圖），求動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程，說(shuō)明它表示什么曲線【解析】：設(shè)m（x，y），直線mn切圓c于n，則有，即，整理得，這就是動(dòng)點(diǎn)m的軌跡方程若，方程化為，它表示過(guò)點(diǎn)和x軸垂直的一條直線；若1

2、，方程化為，它表示以為圓心，為半徑的圓二、定義法定義法是指先分析、說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種特殊曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）的定義或特征，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.cbyxoa例2 已知中，、的對(duì)邊分別為、，若依次構(gòu)成等差數(shù)列，且，求頂點(diǎn)的軌跡方程.解：如右圖，以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系. 由題意，構(gòu)成等差數(shù)列，即，又，的軌跡為橢圓的左半部分.在此橢圓中，故的軌跡方程為.例3 若動(dòng)圓與圓外切且與直線x=2相切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（a） （b）（c） （d）【解析】：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為m，由題意，動(dòng)點(diǎn)m到定圓圓心（2，0）的距離等于它到定直線x=4的距離，

3、故所求軌跡是以（2，0）為焦點(diǎn)，直線x=4為準(zhǔn)線的拋物線，并且p=6，頂點(diǎn)是（1，0），開(kāi)口向左，所以方程是選（b）例4 一動(dòng)圓與兩圓和都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡為（a）拋物線 （b）圓 （c）雙曲線的一支 （d）橢圓【解析】：如圖，設(shè)動(dòng)圓圓心為m，半徑為r，則有動(dòng)點(diǎn)m到兩定點(diǎn)的距離之差為1，由雙曲線定義知，其軌跡是以o、c為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，選（c）三、點(diǎn)差法將直線與圓錐曲線的交點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差,得到一個(gè)與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子,可以大大減少運(yùn)算量.我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為"點(diǎn)差法"。例3 拋物線焦點(diǎn)弦的中點(diǎn)軌跡方程是 。設(shè)弦端點(diǎn)，中點(diǎn)為，則 因?yàn)樗?/p>

4、以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m四、幾何法幾何法是指利用平面幾何或解析幾何知識(shí)分析圖形性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和要滿足的條件，從而得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例4 已知點(diǎn)、，過(guò)、作兩條互相垂直的直線和，求和的交點(diǎn)的軌跡方程.解：由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.此圓的圓心即為的中點(diǎn)，半徑為，方程為. 故的軌跡方程為.五、參數(shù)法 參數(shù)法是指先引入一個(gè)中間變量（參數(shù)），使所求動(dòng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)間建立起聯(lián)系，然后再?gòu)乃笫阶又邢?shù)，得到間的直接關(guān)系式，即得到所求軌跡方程.例5 過(guò)拋物線（）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦、，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，直線的斜率為，則直線的斜

5、率為.直線oa的方程為，由解得，即，同理可得.由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，消去，得，此即點(diǎn)的軌跡方程.例5設(shè)橢圓中心為原點(diǎn)o，一個(gè)焦點(diǎn)為f（0，1），長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)度之比為t（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且斜率為t的直線與橢圓在y軸右邊部分的交點(diǎn)為q，點(diǎn)p在該直線上，且，當(dāng)t變化時(shí)，求點(diǎn)p的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么圖形【解析】：（1）設(shè)所求橢圓方程為由題意得解得 所以橢圓方程為(2)設(shè)點(diǎn)解方程組得 由和得其中t1消去t，得點(diǎn)p軌跡方程為和其軌跡為拋物線在直線右側(cè)的部分和拋物線在直線在側(cè)的部分 六、交軌法求兩曲線的交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來(lái)建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參

6、數(shù)來(lái)得到軌跡方程，稱之交軌法.xa1a2oynmp例6 如右圖，垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程，并指出軌跡的形狀.解：設(shè)及，又，可得直線的方程為；直線的方程為.×得. 又，代入得，化簡(jiǎn)得，此即點(diǎn)的軌跡方程. 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓.例6 已知兩點(diǎn)以及一條直線：y=x，設(shè)長(zhǎng)為的線段ab在直線上移動(dòng)，求直線pa和qb交點(diǎn)m的軌跡方程【解析】：pa和qb的交點(diǎn)m（x，y）隨a、b的移動(dòng)而變化，故可設(shè)，則pa：qb：消去t，得當(dāng)t=2，或t=1時(shí)，pa與qb的交點(diǎn)坐標(biāo)也滿足上式，所以點(diǎn)m的軌跡方程是七、代入法yqoxnp當(dāng)題目中有多個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，將其他動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)用所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，再代入到其他動(dòng)點(diǎn)要滿足的條件或軌跡方程中，整理即得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，稱之代入法，也稱相關(guān)點(diǎn)法、轉(zhuǎn)移法.例7 如圖，從雙曲線上一點(diǎn)引直線的垂線，垂足為，求線段的中點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)，則. 因?yàn)樵谥本€上， 又得即.聯(lián)解得.又點(diǎn)在雙曲線上，化簡(jiǎn)整理得：，此即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.例2 已知拋物線，定點(diǎn)a（3，1），b為拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)p在線段ab上，且有b