數(shù)列求和7種方法(方法全,例子多)

1、數(shù)列求和的基本方法和技巧（配以相應(yīng)的練習(xí)）一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項(xiàng)消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數(shù)列通項(xiàng)法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個基本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).在高考和各種數(shù)學(xué)競賽中都占有重要的地位數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)競賽試題來談?wù)剶?shù)列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用

2、下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法32、等比數(shù)列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qn13、Snk-n(n1)k 12ni 3r1 Z25、Snk二 n(n1)k 12例J 1已知Iog3X1+23求X XXIog231、等差數(shù)列求和公式：Snnna1 h(q 1)印anq1 q(q1)4、Snnk2k 11n(n 1)(2 n 1)6nX的前n項(xiàng)和.S丄11解牛：由 ICC Xlog 3 Xlog 3 2XE I I-I-I IUU 3 AIog 2 32由等比數(shù)列求和公式得23SnXXXn Xx(1 Xn)=2d1)2n' - 1 _ 1（利用常用公式）例 2

3、設(shè) Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解：由等差數(shù)列求和公式得f(n)Sn(n 32) Sn 1-3464-當(dāng). n8.81 X 1 1 2n2-的最大值.(n 32)Sn 111Sn n(n 1)， Sn (n I)(n 2)22-n2 34n 64(.n 8 )250Jn即n= 8時,f (n) max150（利用常用公式）150解：原式 =答案題 2 .若 12+2 2+ +(n-1)2=an3+bn2+cn ,貝V a=,b =,c=二、錯位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和

4、等比數(shù)列23n 1例 3求和：Sn 1 3x 5x 7x(2n1)x解：由題可知，(2n 1)n1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列 Xn 1設(shè) XSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn2xn 1(2n1)xnan bn的前 n的通項(xiàng)之積(設(shè)制錯位)(錯位相減)一得(1 X)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x46(2n1)xn再利用等比數(shù)列的求和公式得:n 11 X(1 X)Sn 1 2x -1 XSn(2n 1)n 1(2n1)n (1 x)(1 )22 46例4求數(shù)列一，-2 2算前n項(xiàng)的和.解:由題可知,設(shè)Sn2Sn2 1 23 ,2 n歹的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與

5、等比數(shù)列4224一得（11）Sn2_6_236尹22練習(xí)題1 已知答案:Sn2歹12 n 1n 22n22nFT2 2T3 Ti2 22n2* 12 2nnn 12 2的通項(xiàng)之積,求數(shù)列 an的前（設(shè)制錯位）（錯位相減）n項(xiàng)和Sn.8練習(xí)題 2的前 n 項(xiàng)和為，再把它與原反序)答案：三、反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列(反序) 數(shù)列相加，就可以得到 n 個 (a1 an). 例 5 求證： Cn0 3Cn1 5Cn2(2n 1)Cnn (n 1)2n證明：設(shè) Sn Cn 3C1 5C2(2n 1)C： .把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得Sn (2n 1)

6、Cnn (2n 1)Cnn 13Cn1 Cn0又由 Cnm Cnn m 可得901Sn (2n 1)Cn0 (2n 1)Cn1+得 2Sn(2n2)(Cn0C1nn1CnCnn)2(n1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n例 6求Sin21 sin2 2sin2 3sin 288sin 289的值解：設(shè) S sin21sin 2 2sin 23sin 288Sin2 89 . 將式右邊反序得S sin289sin 2882sin3sin 2 2:Sin21 .（反序）又因?yàn)?sinxcos(90x),sin 2 x2cos x 1+得（反序相加）222S (sin21cos21 )22(si

7、n 2 2cos2 2 )2(Sin 2 892 coS2 89 )= 8913CnnCn n.S= 44.5題 1 已知函數(shù)141）證明：的值.=右邊（2）求解：（ 1 ）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊（ 2）利用第（ 1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得：所以練習(xí)、求值:四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可14, 2a(2a1例7求數(shù)列的前n項(xiàng)和：11,a1解：設(shè) Sn (11)(4)a將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1Sn (1 一a當(dāng)a= 1時,Sn7,7)1F)(1a(3

8、n1)n _2 13na(丄n 1 a(3n1)n23n 2)3n 2)(分組)(分組求和)1丄當(dāng) a 1 時，Sl丄(3n I) n1 -a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.(3n 1)n2解：設(shè) akk(k 1)(2k 1)2k33k2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2k313k2k)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得n3Sn= 2 kk 1k2（分組）=2(1323n3)3( 1222n2)(1 2n)n2(n1 1)22n(n 1)(2 n 1)n(n21)（分組求和）n(n 1)2(n2)五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)

9、（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)Sin 1CoS n CoS(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 112n I)(5)ann(n 1)(n2)2 n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)12n1n 2n 11(n 1)2n,則 Sn 1 (n 1)2n(7)(8)a(An B)(A n C)C B(An BAn C)an- n 1. nIn In 111611例9求數(shù)列1 -的前n項(xiàng)和.2

10、.2.3. n n 1例 10例 11解:設(shè)an則Sn（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）(.2 .1)在數(shù)列an中,解: San(,3、2)，又bn-,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.1 2n 1 n2n n 12 2數(shù)列b n的前n項(xiàng)和11-)(22anbnSn8(1=8(113)8nn 11(314)（裂項(xiàng)）1)I（裂項(xiàng)求和）111cosO cos1cos1 cos2cos88cos89111cosO cos1cos1 cos2cos88cos89Si n1tan(n 1) tan n)sn CoS(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos891(ta n 1tan 0 ) (tan

11、2tan1 )(tan 3n求證:設(shè)Stan 2 ) tan 89 tan 88 Sin 111)=cos1sin21（裂項(xiàng)）（裂項(xiàng)求和）1 (tan 89Sin 1tan O )=Sin 1cot1 =黑Sin 1原等式成立18練習(xí)題1 .答案：練習(xí)題2。22答案：六、分段求和法（合并法求和）針對一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這 些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn.例 12 求 cos1° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設(shè) Sn= co

12、s1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179°Sn =(cos1° + cos179°)+( cos2° +°) + cos90°cos178°) +(cos3° + cos177 °) + (合并求和)+ ( cos89°0+ cos9113 數(shù)列 an：a1 1,a23,a32,an 2 an 1an ，求 S2002.解：設(shè) S2002= a1 a2a3a2002由 a11, a2 3,a32, an 2an 1

13、an 可得a41, a53, a6 2,a71,a8 3, a92,a10 1, a113, a122,cosn cos(180 n )找特殊性質(zhì)項(xiàng)）a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41, a6k 53, a6k 62a6k 1 a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 6找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 = a1a2a3a2002合并求和）=(a a 2a3a6) (a7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6 )(a1993a1994a1998 ) a1999 a2000 a2001 a2002= a1999a2000a2001a2002= a6k 1a6k 2a

14、6k 3a6k4=5a5a6 9,求 log3a1 log3 a2 例 14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若log3 a10 的值.解：設(shè) Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a1024找特殊性質(zhì)項(xiàng)）由等比數(shù)列的性質(zhì) m n p qaman apaq和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) loga M loga N log a M N 得Sn(log 3 a1log 3 a10 ) (log 3 a2log3 a9 )(log 3 a5log 3 a6 )合并求和）(log 3 a5 a6)= (log 3 a1 a10)(log 3 a2 a9)練習(xí)、求和：= log 3 9log39log3 9=

15、10A.1B.-1C.0D .2答案： 2練習(xí)題 2 若 Sn=I-2+3-4+(-1)n-1 n ,則 S17+S33 + S 50 等于 ()答案:解：對前n項(xiàng)和要分奇偶分別解決， 即：Sn=A練習(xí)題 3 1002-99 2+98 2-97 2+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D .20200解：并項(xiàng)求和，每兩項(xiàng)合并，原式=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.答案：B27七、利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個重要的方法.15求 1 1111111

16、11之和.n個1解：由于1111丄99991(10k1)k個 19k個 19 1 11111111 1n個1=1(10191)1 2(102 1)9139(IO I)1(10n 1)9=1(10110210310n)1丄(1111)99n個1（找通項(xiàng)及特征）（分組求和）1 10(1On 1) n910 19=丄(10n1 10 9n)81例16已知數(shù)列an : an,求(n1)(anan 1)的值(n 1)(n3)n1解: V (n 1)(anan 1)8(n1)-13)1 （找通項(xiàng)及特征）(n1)(n(n 2)(n4)=8 1J （設(shè)制分組）(n 2)(n4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (-)8(-)(裂項(xiàng))n2n4n3n41 1 1 1(n 1)(an an1) 4 () 8 ()(分組、裂項(xiàng)求和)n 1n 1 n2n4n 1 n 3 n 4111=4(-)834413提高練習(xí)：1.已知數(shù)列 an中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn 14an2(n1,2,L),a1 1設(shè)數(shù)列bnan12a