D95隱函數(shù)求導(dǎo)64793學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1D95隱函數(shù)求導(dǎo)隱函數(shù)求導(dǎo)64793求：第1頁(yè)/共33頁(yè)1. 設(shè)函數(shù) f 二階連續(xù)可微, 求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù).2yxz第2頁(yè)/共33頁(yè)yxz2第3頁(yè)/共33頁(yè)第4頁(yè)/共33頁(yè) 第九章 一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)一、一個(gè)方程所確定的隱函數(shù) 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 二、方程組所確定的隱函數(shù)組二、方程組所確定的隱函數(shù)組 及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)方法 1) 方程在什么條件下才能確定隱函數(shù) .例如, 方程C 0 時(shí), 不能確定隱函數(shù)2) 方程能確定隱函數(shù)時(shí),研究其連續(xù)性,可微性及求導(dǎo)方法問(wèn)題.本節(jié)討論本節(jié)討論:第5頁(yè)/共33頁(yè)定理定理1.1. 設(shè)函數(shù)則方程單值連續(xù)函數(shù) y = f (x) ,并

2、有連續(xù)(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下： 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足滿足條件導(dǎo)數(shù)第6頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)在的某鄰域內(nèi)則第7頁(yè)/共33頁(yè)若F( x , y ) 的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),xy則還可求隱函數(shù)的 第8頁(yè)/共33頁(yè)在點(diǎn)(0,0)某鄰域可確定一個(gè)單值可導(dǎo)隱函數(shù)解解: 令連續(xù) ;由 定理1 可知, )(xfy 導(dǎo)的隱函數(shù) 則在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可且并求第9頁(yè)/共33頁(yè),eyFxxxyFy cos第10頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)1兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)令 x = 0 , 注意此時(shí) 利用隱函數(shù)求導(dǎo)第11頁(yè)/共3

3、3頁(yè)若函數(shù) 的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ;則方程在點(diǎn)并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z = f (x , y) , 定理證明從略, 僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確第12頁(yè)/共33頁(yè)兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)同樣可得則第13頁(yè)/共33頁(yè)解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)再對(duì) x 求導(dǎo)第14頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)則兩邊對(duì) x 求偏導(dǎo)第15頁(yè)/共33頁(yè)設(shè)F( x , y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),解法解法1 利用偏導(dǎo)數(shù)公式.確定的隱函數(shù),則已知方程故第16頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)方程兩邊求微分:解法解法2 微分法. 2F第17頁(yè)/共33頁(yè)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形.由 F、G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列

4、式稱(chēng)為F、G 的雅可比雅可比 行列式行列式.以兩個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即雅可比 第18頁(yè)/共33頁(yè)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；設(shè)函數(shù)則方程組的單值連續(xù)函數(shù)單值連續(xù)函數(shù)且有偏導(dǎo)數(shù)公式 : 在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)可唯一唯一確定一組滿足條件滿足:第19頁(yè)/共33頁(yè)定理證明略.僅推導(dǎo)偏導(dǎo)數(shù)公式如下：(P86)xxGFyyGF第20頁(yè)/共33頁(yè)有隱函數(shù)組則兩邊對(duì) x 求導(dǎo)得在點(diǎn)P 的某鄰域內(nèi)xuxvxF00解的公式 故得系數(shù)行列式第21頁(yè)/共33頁(yè)xuxvxuxvxFuFvF0 xGuGvG0同樣可得第22頁(yè)/共33頁(yè)解解:方程組兩邊對(duì) x 求導(dǎo)，并移項(xiàng)得求練習(xí)練習(xí): 求答案答案:由題設(shè)故有第23

5、頁(yè)/共33頁(yè)1. 隱函數(shù)( 組) 存在定理2. 隱函數(shù) ( 組) 求導(dǎo)方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計(jì)算 ;方法2. 利用微分形式不變性 ;方法3. 代公式 .思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)求第24頁(yè)/共33頁(yè) 1f 2f 211fyxf21fzyf1f 2f 21fzyf第25頁(yè)/共33頁(yè)),(zyxzyxfz2f 21fzyf第六節(jié) 由d y, d z 的系數(shù)即可得第26頁(yè)/共33頁(yè)第27頁(yè)/共33頁(yè)分別由下列兩式確定 :又函數(shù)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) ,1. 設(shè)解解: 兩個(gè)隱函數(shù)方程兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得x x(2001考研)解得因此第28頁(yè)/共33頁(yè)是由方程和0),(zyxF所確定的函數(shù) , 求解法解法1 分別在各方程兩端對(duì) x 求導(dǎo), 得(1999考研)第29頁(yè)/共33頁(yè)對(duì)各方程兩邊分別求微分:化簡(jiǎn)得消去可得第30頁(yè)/共33頁(yè)解解:第31頁(yè)/共33頁(yè)德國(guó)數(shù)學(xué)家. 他在數(shù)學(xué)方面最主要的成就是和挪威數(shù)學(xué)家阿貝兒相互獨(dú)地奠定了橢圓函數(shù)論的基礎(chǔ). 他對(duì)行列式理論也作了奠基性的工作. 在偏微分方程的研究中引進(jìn)了“雅可比行列式”, 并應(yīng)用在微積 分