極限問題的求解技巧2

1、1數(shù)列極限1.1數(shù)列極限的相關(guān)概念定義1： 3n語言）設(shè)數(shù)列att,如果存在常數(shù)數(shù)a,對任意給定的正數(shù)£（無論多么?。?，總存在正整數(shù)n,使得當(dāng)/i>n時，有成立，則稱數(shù) 列仏收斂于a，乂稱a為數(shù)列應(yīng)的極限，記作hman =«（或你 a,n ?）.若數(shù)列低沒有極限，則稱甌不收斂，或稱an為發(fā)散數(shù)列。定義1任給£>0,若在u（a;e）之外數(shù)列應(yīng)中的項至多只有有限個，貝9稱數(shù)列% 收斂于極限弘注意：在定義1屮，主要強(qiáng)調(diào)幺的任意性和n的存在性。數(shù)列是否有極限，只與 它從某一項以后有關(guān)，而與它前面有限項無關(guān)，因此在討論數(shù)列極限時，可以添 加、去掉或改變它的有限個

2、項的數(shù)值，對數(shù)列的斂散性和極限都不會發(fā)生影響。 在定義t中，主要刻畫的是極限的幾何意義，即所有下標(biāo)大于n的項仇都落在 領(lǐng)域u（a;e）內(nèi)，而在u（以）z外，只含有數(shù)列©中至多n項（有限項）。在 應(yīng)用定義法解題時，我們應(yīng)清楚定義1適合去驗證數(shù)列極限，也就是說已知給出 了某一數(shù)列的極限，我們來證明這一數(shù)列的極限的確等于這個數(shù)。而定義t適 合去判斷某一數(shù)列是否以伉為極限或是否存在極限。下面舉例說明如何利用定義法來求解數(shù)列極限相關(guān)問題。例 1：證明 lim n +n = 1川nn+1證明：h £>0,要使不等式|力1|= 丁1 v胃二2“成立，從而有不等式n - n+1 n

3、n+1 rr nn5解得 n>-e取 n 二聲 +1,于是， ”幺 >o, $n = §- +1?n,n n>n,有n2 +4n“1 <e n n+1即limnn2 +4nn2 n+1小結(jié)：在利用數(shù)列極限的定義求解問題時，關(guān)鍵是要找到滿足條件的n, 一般所求的n是與£有關(guān)的，進(jìn)而證得。一些常用的極限均可利用極限定義求解如：lim一 = 0 ； lim 麗=1,其中伉 >0 ” n!“l(fā)im q" = 0(0 q" |< 1) ； lim - 0 ；lim vh = 1 ; lim = q(a >0) ； lim即

4、=0(« >0川鉤 l,k 1) ； lim = 0 。 nn fianyln例2:證明如2為發(fā)散數(shù)列。證明：對任何伉f r,取5=1,則數(shù)列片中所有滿足n>a+l的項存在無窮 多個，且都落在u(a;e0)之外，故/?不以任何數(shù)伉為極限，所以可知/?為發(fā) 散數(shù)列。1 2求解數(shù)列極限的一些常見方法方法一：利用極限的四則運算來求解極限極限的四則運算：若 liman = a,limbn -b,則有 liman ? bfl a? b onnn若 liman = a,limbu =b,則有 lim%?乞 a?b ；當(dāng)"為常數(shù) c 時,nnnlim can - c lim

5、an - ca 。nn若 limatl =aaimbn =b (當(dāng) b” 構(gòu) 0時，b 0 ),則有 lim =?！?#171; btl b證明：由于仇bn=al)bn及中二?+ ,因此我們只需證明關(guān)于和、積 與倒數(shù)運算的結(jié)論即可。設(shè)liman =aaimbn =b ,則對任給的e >0 ,分別存在正數(shù)與n”使得tina - a<e,當(dāng)n>n,b -<e, n>n2.取“ =maxn, n2,則當(dāng)卅>n時上述兩個不等式同時成立，從而有a + bn - b<2e ? lim(«w bn) = a + b.訥.ab = （a - a）bn +伉（

6、一）？ |兔皿加+問肉-b.由數(shù)列收斂的有界性定理，存在正整數(shù)m,對一切川有bn<m.于是，當(dāng) n>n ff'j",可得：|叫""科<（皿+問）幺由幺的任意性，這就證得lim%” =ab.n乂由于lim® =b? 0,根據(jù)收斂數(shù)列的保號性，存在正數(shù)叫，使得當(dāng)n>n3 n1時有bh>-b.取n'二maxn2;n3，則當(dāng)n>n'時有11 1|_氐忙丄氐胡ai® b| |訥 b2 b2由£任意性，這就證得lim 例 3:求 lim -川 4n2 - 11 1a 23lim3 解：u

7、m121 =lim =-牛4- limpw nw 4/1 -1 ” 4-4 lim4-4 n fin1 1又矢i, lim= 0, limp = 0n n n nmi v 3n2 - n 3所以，lim ,n 4n2 - 1 4小結(jié)：利用數(shù)列極限四則運算來求解的前提是各數(shù)列極限存在，且數(shù)列極限 除法運算必須強(qiáng)調(diào)分母有意義不為零。在本題中特別要記住兩個常用的極限：1 1lim= 0 , lim=0 ,在以后的解題屮也會應(yīng)用到。” n n n方法二：利用數(shù)列極限的迫斂性來求解數(shù)列極限設(shè)數(shù)列 an > btl , liman = a , limbn = a ,數(shù)列-滿足：存在 n°,

8、當(dāng)n>n（）時有an #cn bn ,則c“收斂，>limcn = a。n證明：任給e >0,由liman = limbtl = a , 分別存在正數(shù)nnm與使得當(dāng)心汕時有a - e <an當(dāng)n>n2時有bft <a-e取n二maxn°, n】，n2,則當(dāng)川>n 時，有e <an blt<a+e 從而有cn - a<e ,即得limctl =a。例旺求腫島+島+咤耗解：由于n去+去+亠<n2 +1 n2 +2n2 + n n2 +1且lim = 0 , lim = 0 ,故由數(shù)列極限迫斂性知m n +1« n

9、 +77lim j + 二0 o« n +1 n +2n +n小結(jié)：在利用數(shù)列極限迫斂性求解時，首先是要認(rèn)真的觀察所要求的題口, 思考此數(shù)列可放大或縮小為什么樣的數(shù)列，也就是找到低、®，確定后利用數(shù) 列極限迫斂性來求解即可。方法三：利用式子的變形求解數(shù)列極限在求解數(shù)列極限時，首先就是要觀察所要求的數(shù)列，有時對式子進(jìn)行變形可 以有效的解決求解問題，下而通過例子給出幾種常見的方法。例5：求陽掙肖存津島解:因為(n - 1)?；1(nl) n“1、z1 1、 a 1、縣坐奢 /11、“1行)+q 盲)(市q) =1-故陽需+右+占+犬棒一認(rèn)1丄=1。(nt ) n 川例6：求小結(jié)

10、：本題主要是運用裂項相消的方法，化解式子，求得結(jié)果。2丿刀53弋丄2 /11(!-)?(!與nn1、- 1虐2總孚筆邂 1 n2)2 毫 3 為)一故 lim(l - x)?(l-n 23n h 2 n解：因為所以（1rr32n1 <23n小結(jié)：本題主要運用平方差公式將式子化簡求解。例 7：求lim(l+x)(1+x2)(1+x4)1+%2")n解：當(dāng)xi 1時，原式乘以，則得1xlim(l +x)(l+x2)(l + x4)+ x2 )nlim j x)(l+x)(l + x2)(l + *)l + *)“1- x= limn1-嚴(yán)+11- xi 當(dāng)兀1時,limn1- x2

11、n+1=¥"當(dāng)|£1時，lim =1 1«1-x 1- xiii當(dāng) x = 1 時，lim(l + x) (1 + x2)(1 + x4+ x2 )二 lim 2” 二？fliv 當(dāng) x = -1 時，lim(l +x)(l +x2)(l + x4)k(l + x2 ) =0n小結(jié)：本題通過討論x的取值范圍來求解，其中還利用乘以數(shù)1的變形來求 解。方法四：利用數(shù)列求和公式求極限+n 二例8：解:求 lim(n= limm二 limn小12+22 +瞬陰3卄1 _ 16n2結(jié)：牢記n(n +1)兒個求和公式，如：1+2+3+驅(qū)報 ； r +22 +32 +

12、嗨枷2 二色也312:6ni3 +23+334->n3=n2（h1）24n方法五：利用添項減項構(gòu)造法和對數(shù)轉(zhuǎn)化法求解數(shù)列極限例 9：（北京大學(xué)，2005 年）求lim +1）- 1）n n解：/n（n+l）82n- bnr弋2池 1）（兀n2ni =n(n 2n? l)(n n) n_ 知(rt+t)(n +2)彗+ 77)1 nkin xh =a in (1+qn k=in1 nklim in x川二 lim§ ln(l+q ”" n k=in=5(ln(l+x)jx = 21n2- 1 iimxh=e2,n21=- nelim h(n+l)(n + 2)+ ri)

13、=“ nnlim - 1）二w ne小結(jié)：本題是一道考研試題，所以涉及的內(nèi)容較多，運用添項減項構(gòu)造法和 對數(shù)轉(zhuǎn)化法，述有微積分的定義靈活應(yīng)用。方法六：利用兒何平均值小于算數(shù)平均值的方法求解數(shù)列極限例10：求lim丄£聲込丄«2 4 2n解：因為幾何平均值小于算數(shù)平均值，所以有：2二空>71丹,4> >v3?5 ,2 22口二3 1）；（2卅+1） > j©?. 1）（2乳+1）i大此0 < u3/l5解（2川 1） «1r5廖2卅 1）=12盛翳2m vi33x/33®l/（2/1 - l）（2n + l） 血+

14、1.ft lim0 = 0, lim-p= = 0 ,于是由極限的迫斂性，得lim-=0 «”v2/1+1"2 42/1小結(jié)：本題需牢記兒何平均數(shù)小于算數(shù)平均數(shù)，在利用數(shù)列極限迫斂性即可。 方法七：利用單調(diào)有界定理來求解或證明極限定理1：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。證明：不妨設(shè)低為有上界的遞增數(shù)列。由確界原理，數(shù)列低有上確界， 記a = supan o下面證明仇就是低的極限。事實上，任給£>0,按照上確界的定義，存在數(shù)列仏中的某一項即，使得cl - c v 伉“ ? an另一方面，由于伉是碼的一個上界，故對一切叭都有an ? a伉+丘.所以當(dāng)n3 n時有a - e

15、 <an<a+e故證得lim仏二伉。同理可以證明有下界的遞減數(shù)列必有極限，且其極限即 n為它的下確界。例 11：設(shè)坷=vi密 =2 +密 求lim%h解:顯然兔>0.因仇2二2+邁,故a2 >a.；設(shè)£>即1，則有叫+i -礙二強(qiáng)+你-j2 +際二/ "廠"匸 >0,j2+£+j2+%“所以低遞增。下面再來證明此數(shù)列有上界。顯然,叭=邁<2,設(shè)礙<2,則仇”+ = j2+兔v j2+2 =2 o由此得到兔有上界2 ,故極限lim仏=a存在。于是由lim” = lim j2 + an,可得 nnn va2=2

16、 + a,并解除a =2, a=-l o由極限的不等式性，知道a0,所以可知，a二2. 即有 lim an =2n小結(jié)：在利用有界定理時，需先判斷其單調(diào)性，在證明單調(diào)性時，可運用數(shù) 學(xué)歸納法或仏廠叫? 0或乩 的方法，在利用不等式放大縮小法證明其有界性, 然后令liman = a求解a的方程，即得limafl的值。nn例12：給定兩個正數(shù)珀與伉2（坷>2），做出其等差中項伉2二嚀1與等比中 項 &2 =，一般地令陥二"” ；%，bfl+1 = yjanbn , n=l, 2, 。 證明：liman與limbn皆存在且相等。n證明：由伉 1>厲>0,顯然有 a

17、n>0, b>o,因你+13二®+故°”+1 = 答* ? 答饑 a 仇+1 = a/«a ?血石 bn即礙單調(diào)遞減,"單調(diào)遞增。 乂 btl #afj坷,你咲” s ,所以%"有界。由單調(diào)有界原理知liman = a,limbtl =b ,即liman與lim"皆存在。nnnn在張二冬尹中兩邊取極限得"罟，即伉二b。小結(jié)：本題是一道運用單調(diào)定理來證明極限存在于相等的題，還是要把握兩 個關(guān)鍵：單調(diào)、有界，來解決此類問題。我們要知道單調(diào)有界定理只是數(shù)列收斂的充分條件，而非充分必要條件。方法八：利用柯西收斂準(zhǔn)則來證明

18、數(shù)列極限定理2:柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列伉收斂的充要條件是：對于任給的丘>0。存 在止整數(shù)n,使得當(dāng)仏>n時有an - am < e證明：必要性 設(shè)liman =a .由數(shù)列極限定義，對任給的幺>0 ,存在n >0 , n當(dāng)n, m > n時有 alu - 川<|屁才，因而此-an? am a|+|a- a|<|-+|-=e.充分性先證明該數(shù)列必定有界。取e0=l,因為簽滿足柯西條件，所以$n°, n n>n0,有 卜廠 xno+1|< 1 令m二max%i，卜2,翳，%+1，則對一切川成立xn£ m由致密性定理，在%”

19、中必有收斂子列：lims二.由條件，"e >0, $n,當(dāng)仏>n時有x -<-./<f/l在上式中取?！倍?，其中k充分大，滿足nk>nf并且令k ,于是得 到xm-x|?| e,即得到數(shù)列仇收斂。上述柯四收斂準(zhǔn)則可寫成等價形式：數(shù)列仏收斂充要條件是：對任給的存在n>0, ” p? n,有珥廿仏<e o例11：證明數(shù)列仏收斂，其中曾產(chǎn)晉+弓$+翳sinrz-sin)/1 +sin1ki+22z1+2lh2 +4-11 1<< 2” n所 以，對 任 意 給 定 的e >0, $n 二* +1,當(dāng) n>n, ” p? n,

20、有 an+p an <e。即得數(shù)列低收斂。方法九：利用sfo/z定理來求解數(shù)列極限stolz定理：若y,21>yn,limyh=+?im玉旦江，貝ij lim玉=lim玉匸玉” y,nl - vn ” vn ” 弘+1 幾例12：求極限limn卩+2卩+3卩+翱初p為自然數(shù)。解：令心=卩+2卩+3卩+廳鬃刨，yn = np+1 由stolz定理，有l(wèi)im = lim ” vn h 弘+1 弘lim也也”（卩+卯+也£加+1£±1回匕衛(wèi)嚴(yán)+翳料p+咖+i 2 6= limn（1+丄）n（u +1） +（p+1）p 1 +（p+1）p（" 1）&

21、#39;p ）2 n6護(hù)+務(wù)帥+1）1+np站+心嚴(yán)忙丄«npp+1小結(jié)：本題中利用sfo/z定理解題，主要是將“無窮多項”極限問題轉(zhuǎn)化為 有限多項的問題，使解題成為可能，把握這種解決極限問題的方法。方法十：利用定積分的方法來求解數(shù)列極限ill1例13:求極限lim（丄+丄+丄 +密1丄）«n+1 77+2 77+377+77n 77+1 rz+2 n +3n+n電噸+訂產(chǎn)=ln（1+x）l;=ln21+-n小結(jié)：類似本題中出現(xiàn)的無窮多項和或積的極限時，可選擇轉(zhuǎn)化為定積分來 求，充分利用定積分的定義來解決極限問題。方法十一：利用級數(shù)的斂散條件求解極限級數(shù)§ “收斂

22、的必要條件是：limu” =0例14：求極限lim 2由°” nfl¥ 丁” 解：考慮級數(shù)§譽(yù)«=i n因為怦蛙計希分1（1+為n=-<1e故級數(shù)£二£收斂，從而lim =0n=i n” n”小結(jié)：靈活運用級數(shù)收斂的必要條件，對于解決這樣極限問題很有幫助。1.3總結(jié)數(shù)列極限的求解方法從以上的討論看，數(shù)列極限的求解方法有好多種，我們在研究數(shù)列極限吋要在抓住理解定義的基礎(chǔ)上，選擇一種適合解題的方式，靈活處理相關(guān)數(shù)列極限的 問題。當(dāng)然數(shù)列極限還可以通過函數(shù)極限來求，這將留到下面談?wù)摗? 元函數(shù)極限在討論一元函數(shù)極限問題時，我們將分兩方

23、面討論。一方面，我們將研究一 元函數(shù)極限的相關(guān)定義；另一方而，我們將討論求解一元函數(shù)極限的相應(yīng)方法。2. 1 一元函數(shù)極限的相關(guān)概念一、x趨于¥時函數(shù)的極限定義2設(shè)/為定義在0+?)上的函數(shù)，a為定數(shù)。若對任給的e>0,存在正 數(shù)m(3伉)，使得當(dāng)x>m時有貝ij稱函數(shù) /當(dāng)尤趨于+¥時以人為極限，記作|im/(x)=a(x) a(x +?)當(dāng)x?斗或x ?時以a為極限，分別記作，網(wǎng)/二a或/ a(x -?)=af(x a(x ?)若/為定義在(¥ )上的函數(shù)，貝!j limy (%) = a? lim/(x) lim/(x)二a二、x趨于x()時的極

24、限定義3 (函數(shù)極限的定義)設(shè)函數(shù)/在點兀。的某個空心鄰域u°(x0；6/') 內(nèi)有定義，a為定數(shù)。若對任給的e >0 ,存在正數(shù)d (vd),使得當(dāng) 0<|x- xq<d時有- a<e ,則稱函數(shù)/當(dāng)x趨于時以a為極限，記作lhn/(x)=a/(x)¥ %)定義4設(shè)函數(shù)/在u?c();d)(或lt(xo；d)上有定義，a為定數(shù)，若對任 給的e >0 ,存在正數(shù)d(< )，使得當(dāng)兀° vx<無o+(或兀° <x<x時有 |/(x)-a| ",則稱數(shù)a為函數(shù)/當(dāng)x趨于對(或血)吋的右(

25、左)極限，記作或/瑞)(/(兀)血)在一元函數(shù)極限定義中，我們應(yīng)注意以下幾點:1>不等式|x- x0|<j表示兀在點無0的d鄰域內(nèi)，而|xx>0表示兀1 %,所以 不等式0<|x- x0<d ,是表示兀在點兀。的空心鄰域內(nèi)，即在領(lǐng)域內(nèi)包扌氐r。，這里 鄰域半徑d表示的是無趨近觀的程度。2>d（d>0）與預(yù)先給定的正數(shù)£有關(guān)，當(dāng)£減少時，一般d也會相應(yīng)的減少。3>當(dāng)吋，函數(shù)f（x）有沒有極限，與f（x）在兀是否有定義無關(guān)。4>%稱為兀的極限點或聚點。定理 3：二 a? lim f(x) lim/(x =a2. 2常見的求解

26、函數(shù)極限的方法在上一章中我們討論了一些求解數(shù)列極限的方法，其中的大部分方法在求解 函數(shù)極限時依然適用。而且在求數(shù)列極限時可以利用歸結(jié)原則這一橋梁，將數(shù)列 極限問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限問題，然后選取適合的方法求解極限。并且我們可以利 用歸結(jié)原則來判斷極限是否存在。下面先引入歸結(jié)原則。在歸結(jié)原則的基礎(chǔ)上，我們來談函數(shù)極限求解方法時，會發(fā)現(xiàn)一些與數(shù)列極 限求解方法相似的地方。下面我們列舉一二，將不重點說明。方法一:利用定義來證明函數(shù)極限。方法二:利用函數(shù)極限的迫斂性定理來求解極限。方法三:利用函數(shù)極限的四則運算法則來求解極限。方法四：利用對式子的變換（有理化、因式分解、添項減項等）來求解函數(shù) 極限。方法五

27、:與數(shù)列極限的單調(diào)有界定理類似有：定理4：設(shè)/為定義在比（x。）上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限lim/（x）存在。證明：不妨設(shè)/在比（吋上遞增。因/在見（兀。）上有界，由確界原理,存在，記為4下證馭m事實上，任給幺>0,按下確界定義，存在1/?（兀0）,使得/'（x）va+sd = x - x0 >0 ,則由/的遞增性，對一切x?（和x）出（兀0；），有/（x）? /（%'） a+e 另一方面，由4?/（尤），更有a e < f （x）.從而對一切x?比（心）有a-e v/(x) v a這就證得limf(x=a o方法六:利用函數(shù)的柯西收斂準(zhǔn)則。定理5：設(shè)函數(shù)/在

28、(x。;/)上有定義o lim/(x)存在的充耍條件是：任給 e >0 ,存在正數(shù)(</),使得對任何込u°(xo；)有(x)/(x )|"。證明：必要性 設(shè)lim/(x)=a,則對任給的幺>0,存在正數(shù)(vd),使得 對任何x? u°(x0;j)有|/(兀)a|<| o于是對任何廠% i u°(x0;j)有|/(x)-/(x)|? |/(x) 4| +e e i =e充分性 設(shè)數(shù)列xj?lz°(x0；6/)且!im暫尤0。按假設(shè)，設(shè)對任給的20, 存在正數(shù)d(vd),使得對任何兀，x'fu°(xo；d

29、),有|/(x) - /(x，)|<e 由于 %” ® %(n )，對上述的d0,存在n>0,使得當(dāng)n, m>n時有 百，xj ux.;dy從而有f(xny f(xtn)<e。于是，按數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則, 數(shù)列©)的極限存在,記為a, bplim/(xn)=ao對任意“ 11°(和)，當(dāng)兀> n時,有(%)/(x”)|" 令卅 ，則 |/(x - a ? e o 這就證明 了 lim。方法七：利用兩個重要的極限。lim叱 =1, lim鬣+丄 之(若所求為數(shù)列極限，可以通過歸結(jié)原則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在利用公式。)例15：求極限lim

30、解：e(n ?)。另一方面，77>1時有兀=23鬃,而由歸結(jié)原則n - 1于是，由數(shù)列極限的迫斂性得lim籠+丄二onn n方法八：利用無窮小量與無窮大量來求極限。定義5設(shè)/在某u°(x0)上有定義。若lim/(x)=o,則稱/為當(dāng)x® x0時的無窮小量。若函數(shù)g在某u°(x0)上有界，則稱g為當(dāng)：r® %時的有界量。 其性質(zhì)如下：(i) 兩個(相同類型的)無窮小量z和、差、積仍為無窮小量。(ii) 無窮小量與有界量的乘積為無窮小量。定義6對于自變量兀的某種趨向(或料時)，所有以,+或一？為菲正常極限的函數(shù)(包括數(shù)列)，而稱為無窮大量。定 理 6：

31、 設(shè)/在lz°(x0)上有定義且不等于0。若/為x® x()時的無窮小量,1則-7為1x® xo時的無窮大量；若g為x兀0的無窮大量，則一為x尤0的無窮小量。 g方法九：利用等價無窮小量來求極限。若limzp? = l,則稱f與g是當(dāng)x® x0時的等價無窮小量。記 作x®% g(x)/(x)dg(x) (x® x0) o定理7：設(shè)函數(shù)y, g,力在110(*0)上有定義，且有/(x) 口 g(x)(x® x。)。(i) 若imf(xh(x =aaimg(xh(x =a;<x xqx xq(ii)則 lim 出1 =x

32、勺 g(x)r2-些常用的等價無窮小量：當(dāng)x®0時,tanxdx,smxax,l-cosxdt，v1+7- ld-x,ln(l+x)d x,arcsinxd x,arctanx x ,- 1 x 等。例16：求極限lim如xsin11 2-x =二 = x? o x2 2x®0£廠.1鉀 r vl+xsinx - 1 r 2% sm% 解:iim；二iim厶-x 01x 0 x2方法十：利用積分中值定理求極限。積分中值定理：若f在"，可上連續(xù)，則至少存在一點xl a, b,使得5：/（兀）必（x）（b -伉）。方法十一：利用泰勒展式求極限。定理8:若f在

33、點兀0存在直至兀階導(dǎo)數(shù)，則有/（x）二人（x）+0（尤a*。）"/（）=/（o）+/'（xo）（x_ 尤。）+冷耳缶 xo）2 上式稱為帶有卩£勸。型余項的泰勒公式。特/(x)=/(0)+/'(0)x+p-x2 +w 叢,稱為帶有peano型余項n的 maclaurin 公式。類似的有帶有l(wèi)agrange型余項的泰勒公式，其余項為了 £） （兀+1）!、7帶有積分型余項的泰勒公式，其余項為扌p：嚴(yán)呵（兀£）"；帶有柯西型余 項的泰勒公式，其余項為+嚴(yán)呵（x）（lq）730也1.例17：求極限iimcos打以x® 0解：

34、應(yīng)用帶有卩£勸0型的maclaurin公式:x2 x4/ 5cosx =1+ +0( jt2 24v疋r2 v4£2 二lz+z+o"5),2 8 i丿cosx-e2工+。理12 v14/ 5x +o(x 12 i%4112值。方法二 利用洛必達(dá)hospital)法則求解函數(shù)極限。(1)彳型不定式極限定理9：若函數(shù)/和g滿足：(i) lim=limg(x) =0;(ii) 在點的某空心領(lǐng)域u°(x0)上兩者都可導(dǎo)，且g(x)1 0;(iii) =為實數(shù)，也可為x®xog(x) 則lim理=恤氓+。x 必 g(x) x q g (x)(2) 型不

35、定式極限¥定理10：若函數(shù)/和g滿足：在x。的某個右領(lǐng)域u2(x0)上兩者可導(dǎo)，且gxy 0；(ii) .g(x)=?;(iii) lim44二側(cè)可為實數(shù)，也可為 或)，g(x)7因而求得limcosx/ 2 = limx 0 xx 02. 3主要用于求解函數(shù)極限的方法方法一：利用函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)/在點x。處連續(xù)，則lim/(x)=/(x0),即在某點的極限值等于函數(shù)注1：若lim不存在,x®曲 g (x并不能說明lirqx®x°心)g(x)不存在。注2：不能對任何比式極限都按洛必達(dá)法則求解，首先必須注意它是不是不 定式極限，其次是否滿足洛必達(dá)法則的其

36、他條件。(3) 其他類型的不定式極限。不定式極限還有(eb ,1¥ ,0°,°, ? ?等類型，經(jīng)過簡單變換，它們一般均 可轉(zhuǎn)化為£型或亍型的極限。-11求 limi1 lnx注3：在適用洛必達(dá)法則求解極限時，為了使求導(dǎo)方便簡單，應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng) 的恒等變形并及時將可計算的非零因子先計算出來，還可以利用等價無窮小代換 進(jìn)行簡化，達(dá)到化繁為簡的目的。例18：解：可知為一個？ ？型不定式極限，經(jīng)過通分后可轉(zhuǎn)化為#型的極限，即1- x-1=limx 1 x- 1+xlnx=lim% 1 2 + lnx方法三：利用變量代換。例19：求limx®0解：y =

37、ax - 1, lim-=lim”-0 x y 0 logf "丿方法四：利用微分屮值定理。微分中值定理包括羅爾(rolle)中值定理、拉格rjj b (lagrange中值定理、 柯西(cauchy)中值定理、泰勒定理。ex -嚴(yán) x例 20：求lim -x®o x- sinx解：設(shè)f=ex ,對它應(yīng)用lagrange中值定理得,礦.嚴(yán),f（乂）（_ sinx）limx = 0 ,x®0其中兀介丁丸與sin x之間,v limsinx = 0x®0lim= lim ex =1。x 0 x - sin x x 03多元函數(shù)極限含有兩個或兩個以上自變量的函

38、數(shù)，我們統(tǒng)稱為多元函數(shù)。在本章中主要研 究二元函數(shù)極限的求解技巧。3. 1二元函數(shù)極限的相關(guān)概念定義7：設(shè)/為定義在di r2上的二元函數(shù)，丘為d的一個聚點，a是一個確 定的實數(shù)。若對任給正數(shù)w，總存在某正數(shù)，使得當(dāng)p吻lt（心d） d時，都 有f（py a<e，則稱/在d上當(dāng)p®耶寸以a為極限,記作lim/（p）=a.pd當(dāng)卩，r分別用坐標(biāo)（兀，y），（x（），%）表示時，也常寫作（hm /（昭”）二a.極限 lim f（x, y）中，兩個自變量x, y同時以任何方式趨于心, （x, y）®（和如 丿稱為重極限。定義8：設(shè)y）,（x, y）i d, d在x軸、y軸上的投影分別為x, y ,即x二x|（x, /）扌血，訓(xùn)（尤，y） d, x0, %分別是x, y的聚點。若對每一個yi 丫（y1 %），存在極限lim/（x, y）,它一般與/有關(guān)，故記作iv)o如果進(jìn)一步還存在極限l = limj （y）,則稱次極限l為/（兀，y）先對m® 兀。），后對j/（® %）的累次極限，記作l = limlim/（x, y）。注1：累次極限與重極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然關(guān)系。定理11：若/'（尤，y）在點（, %）存在