直接法和二維Toda格方程的周期解

1、學(xué)校代碼:11517學(xué) 號(hào)：201311002242fehan ihetitufe cf ensheerins畢業(yè)論文題 甘 直接法和二維toda格方程的周期解學(xué)生姓名專業(yè)班級(jí)信息與計(jì)算科學(xué)1342學(xué) 號(hào) 201311002242院（部）理學(xué)院指導(dǎo)教師（職稱） （副教授）完成時(shí)間2017年5月26日摘要1第1章緒論2第2章二維toda格方程的雙線性形式3第3章一維周期波解和漸進(jìn)性43.1 一維周期波解43.2單周期波解的漸近性6第4章雙周期波解及其漸近性74.1構(gòu)建雙周期波解74.2雙周期波解的漸近性9致謝12參考文獻(xiàn)13直接法和二維toda格方程的周期解摘要hirota雙線性方法被用來直接構(gòu)

2、造周期波解依照riemann theta函數(shù)（2+1） -1 維toda晶格方程。對(duì)周期波的漸進(jìn)性進(jìn)行詳盡的分析，包括單周期解和雙周期解。 并繪制解的曲線來分析此解，結(jié)果表明可以從周期波解中減少公知的孤子解。 關(guān)鍵詞：r i emann theta函數(shù)周期波解一種直接方法第1章緒論1.1選題的背景和意義眾所周知，有很多成功的方法來構(gòu)造微分方程的顯式解，例如：散射變換、 darboux變換、hirota直接法、algebra-geometrical方法等等。準(zhǔn)周期性解或 algebra-geometrical解町以借助于algebra-geometrical方法獲得，然而他們解的 形式復(fù)朵可以借

3、助丁黎曼曲面和abel-jacobi函數(shù)。hirota直接方法提供了一個(gè)強(qiáng) 有力的方法來構(gòu)造非線性方程的精確解，一旦通過因變量變換以雙線性形式寫入非線 性方程，則可以獲得多孤子解和有理解。nakainum在1979年和1980年提出了單周 期波解和基于hiorta的雙周期波解,借助riemann theta函數(shù)。其中得至！j kdv和 boussinesq方程的周期解，這種方法的重要優(yōu)勢(shì)在dai et al首次被證明。對(duì)于kp 方程，可以明確地繪制解分布圖，并h通過使用合適的漸近極限，可以從準(zhǔn)周期解推 導(dǎo)多分散解。這種程序在dai et al中有介紹，并被其他作者用來研究用大量孤了 方程來構(gòu)造

4、準(zhǔn)周期性解。12國內(nèi)外發(fā)展現(xiàn)狀關(guān)于toda晶格問題已經(jīng)進(jìn)行了大量的調(diào)查研究。nakamura研究關(guān)于（3+1） -維tode方程，此方程的解是一系列的bessell函數(shù)的級(jí)數(shù)展開式的表達(dá)式形式。 krichever和vaninsky得到了周期和開放toda晶格之間的關(guān)系。此外 algebra-geometrical方法關(guān)于開放toda晶格是發(fā)展的。對(duì)于開放toda格代數(shù)幾何 方法的開發(fā)，基于李超代數(shù)方法，這是超級(jí)toda品格和超kdv方程有一定關(guān)系發(fā) 現(xiàn).baleanu和baskal討論了個(gè)lax方程的張量形式和cartan撓率張量的兒何形式 存在的透明。此外，給出了 toda晶格的lax張量

5、方程的解。baleanu等人提出了 killing張量和lax算子z間的聯(lián)系，并詳細(xì)分析了 toda晶格方程的應(yīng)用，ito和 locke研究了仿射toda場方程，并得出了一些有趣的解。mohmood通過使用darboux 變換得到nc painleve方程的準(zhǔn)決定性解，其中toda解在n二1處。klein和roidot 提出了對(duì)于雙曲線和橢鬪形情況的波長極限（2 + 1）維度toda的數(shù)值研究。wu等 人將離散小數(shù)演算的工具引入到擴(kuò)散問題的離散建模屮，并且提出了在caputo方法 小的小數(shù)時(shí)間離散擴(kuò)散的模型李構(gòu)建了一個(gè)新的q變形的toda層次的雙線性方程和 tau函數(shù)的sato理論。此外，詳細(xì)

6、研究了多組分延伸作者研究了周期性todo鏈的動(dòng) 力學(xué)的漸近線，其屮具有大量等質(zhì)量的粒子的初始數(shù)據(jù)接近平衡。wu等人提出了晶 格分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程，并且作為應(yīng)用，討論了各種差分階數(shù)。1. 3課題理論基礎(chǔ)介紹對(duì)丁二維toda品格方程：u （t, y, n） + i% （x, y, n） + 八（"曲）+ 昇（“門）_ 2昇（"“）=0（1.1）nakamura 31發(fā)現(xiàn)新的類型精確解（rippion解，新的解反映了系統(tǒng)的基本多維度 的影響事實(shí)上，方程（11）是修止拉普拉斯方程的離散化形式。（參考【31】）% + 叫-仏二 0（1-2）在本文屮，我們釆用了戴等人捉出的方法，【13】在方

7、程（1.1）的riemann（）函 數(shù)中直接構(gòu)造周期波解通過進(jìn)行合適的漸近分析，獲得并導(dǎo)出單周期和雙周期解。此 外，我們繪制一些解的曲線來詳細(xì)分析解。1.4本文結(jié)構(gòu)木論文的結(jié)構(gòu)如下，在第二章中，我們得出了 2dtoda格方程的雙線性形式。在 第三章中給出了一階周期波解和漸近性。在第四章中，我們得到雙周期波解及其漸近 性。類似于第三章，虛部的一些解曲線將被丟棄。第2章二維toda格方程的雙線性形式我們考慮方程u (丸，y, n) + iu,. y, n) +心“】)+ &一心兒門)_ 2不咻'以)=0 (2.1) xx )“)通過作如下變換：e一心y,) _ =(逝 + in f

8、 (% y,刀),(2.2)方程(2.1)具有雙線性形式：gj = k .x + co t + /z /?, j = 1, 2g 電,dy, cosh d ) f (x, y,n-f (xy y, /?)(2.3)三 d； + idy 一 2conshd, + 2 + c f (x, y, n) f (x, y, /?) = 0其中c = q (/?) / + q (刃)y + c：< (刀)，這是由于積分的結(jié)果。在文獻(xiàn)4中對(duì)hi rota雙線 性微分算子做了如下定義：(x, y) b (x, y)三(久一 da (x, y) x 6 (”, y) x = x, y' = y,差

9、分運(yùn)算符被定義為：化-=礙+/+1；臼a bn = %少屮,conshda bn = £ 呼 + 嚴(yán)、a bn = * (備如 + vi+i)從hirota算了的定義我們可知關(guān)系：d：d；e« 戾=(占一 k$ (5 - co2)f eg其屮.=k.x + cot + p n, j = 1,2此外，我們很容易推導(dǎo)出關(guān)系：conshd 占' 決 二 consh (一 /z2) e2,(2.4)g g, dt, conshd j 訥 e盒=g (k、+ kv co _ 0,-/2) e,(2.5)第3章一維周期波解和漸進(jìn)性3.1 一維周期波解我們假設(shè)2d-toda格方程

10、的雙線性形式的riemann theta函數(shù)解為：f =乞嚴(yán)(3.1)k=-g其中&二(a,k v), § 十,，c) 是一個(gè)對(duì)稱矩陣，him r > 0, . = pjx + ly + 嚴(yán) + & j = 1,，“我們考慮n“的情況，則(3.1)變?yōu)椋糊?+2/r,(g,&) e,(3.2)為了使上述形式可以成為一個(gè)解，p, i, “可以不是獨(dú)立的，我們繼續(xù)找到他們的關(guān)系 將(3.2)代入(2,3)再用(2,4)(2.5)我們可以得到：8df f =,conshdn） exp q兀ikgk隈8= 工 gdr, conshd、exp fjrikg + 兀

11、ik% exp aam=-<x>8 .=2 g 2ki（2k 一 /） p, +2ttj（2k 一 /）厶 conshw=-8g =2 c exp（2龍加“）=0,w=-<»a.r=-«>+ 7tikt exp q兀ik運(yùn) + 龍 wu）（2丹（刃一約歹 + 兀i （z?7 - k）" rj2兀/（2& -加）“） exp（2龍力“ + 兀i k2 +仏-心寸）其屮引入了新的求和指數(shù)mk + k, g （m）被定義為:oog （加）二工 g（2龍,（2zr 加）/?, +27t1（2k 一 /）厶 consh 17ti 2k 一 刃

12、）k 一（3.3）2 exp ni k2 +（k - /）在等式（3.3）中，令&二"+ 1 ,我們可以得到：oog （加）= £ °（2龍/（2/ - （/ - 2） p, 2jti（2kf - （/ - 2）厶 consh 17ti（2az - （/ - 2） ） a-=-oo”2 +（&，_ （加 _ 2） exp 7ti=j （仍一 2）exp 2ni - 1） r _ g（0）c"w, '是偶數(shù) 一 l界5"打是奇數(shù)（3.4）這個(gè)關(guān)系意味著如果有（0）= gl） = 0,此時(shí)就有（/'通過這種方式，我們

13、可以得出：0, g zoog（0）= £16滬川（xp? +川）+ 4 sinh"（2龍/“斤）+ c expoo（2疋姑= 0, （3.5）（1） = 1 4才（2 1）2 （ oo 1'k2 + （a - i）2） r| = 0,xp2 + 才）+ 4 sinh2（2龍7“（2k 一 1） + coo（3,6）exp 7t1表示q （a） = exp（2龍,處）,氏蛀）=exp 7ti k2 +z 4滬（2k- l）2 g ,k=y也,角2 = e 4 ,oo oob、= 2 4 sinh?（2肝“£）q ,a21k=-gk=-gk=y那么等式（3.5

14、）-（3.6）簡化為：an （“2 + y/2） + w + q = 0,（3.7）日21 （®2 + 尸尸）+ 臼22° +=0，（3$）解決系統(tǒng)，我們冇xp2 +y/2 =加22 -也2（3.9）a2a2 3022日22 二工爲(wèi)，2 =工彳 sinh?（2-7（2k - 1） ） 5.（a）,切1一如21（3.10）*21*12 *11*22系數(shù)p，i和u需要滿足（38），并且比照著（3.2）和（2.2）給出單周期解。32單周期波解的漸近性眾所周知,2d toda格方程的的孤子解可以作為周期解的極限。為此，我們將q = exp kit 和極限寫為<7 > 0

15、 （或e > 8 ） o定理1當(dāng)q t 0時(shí)，（21）的周期解（3.1）傾向于通過（2.2）的孤子解。戶）_ 1 =（胡；+ ysmln r = 4滬（” +4 + 2cos22,（3.n）其中刀2 + if且 =px + ly + /jn + 7（）（1 + 2 cos 2則）證明指出g = exp龍/勺時(shí)，此時(shí)定義的量化在q的幕中擴(kuò)展為:©i 二 16礦（2g" + 8</8 + ）,日12 = 1 + 2qz + 2（f + ,b、= 財(cái) sinh2（2龍了“）+ 8qs sinh2（4?！埃? 色=*兀'q + 72兀勺"+日22 =

16、2q + 2q。+ 213 + ,b° - 8 sinh?（2龍/）q + 4 sinl?（6肝“）/+,日021 _ a22a i = 8亍q - 48龍勺"+ o （q"）,方022 _ 力2角2 = _切 sinh2（2兀,“）+ o （q）,力2曰口 _ 代備 =192/ sinh2（2龍*/） + o （g?）,此時(shí)，當(dāng)q > 0時(shí)，有c > 0,因此p2 + i 卩- sinh2（2肝“）sir?（2%）單周期波解(21)當(dāng)q t 0收斂到巧=1 + exp-2"+ expm+/+ fx = 2兀ip exp伽亦expfgmf =

17、 一4龍分（nxx尸 exp-2m+e+ exprw）fnv =2/（exp35"”_expr+）, （3.12）fnvv = -4272 (exp-2m+經(jīng)過一些繁瑣的計(jì)算，我們得出(3.11)第4章雙周期波解及其漸近性在下文中，我們考慮了 (2 + 1)維toda晶格方程(2.1)的雙周期波解，它是單周期波解的 二維推廣。4.1構(gòu)建雙周期波解現(xiàn)在我們來構(gòu)建2d toda格方程的雙周期波解。令式(3.1)屮的設(shè)n = 2并將具代入式(2.3) 中，我們有/） exp（2龍,歹,占 + & ） + kig （/ f） = x g（2 , d嚴(yán)cosh比¥叭心叢叭噸.

18、產(chǎn)仏mg蟲） k,k2ez2= 2 g 271 i 仇 一 kv 0,2兀i 仏- kr/<9k2ez2 xexp（2龍：k十 7ii rk k2 +確,£）oo二工工 g（2頁（2k 一 s： p） , 2兀i2占-s： 7）sgz2 s'=yx exp 兀i (占一 s'), kx - s) + gk、, k exp(27§, s') 三工 j (略 s；) exp 2兀is') = 0, (4.1)sez2其中引入了新的求和指數(shù)占+ k2 = s' , /(吊)被定義為：g（s；fs!2） = £ g（2加2占-

19、 5； p） 2兀i（2k； - s： 7）k9/c2e-x exp 7ii（a-s'）' k - s ,確,占）（22=z g 2乃工（2a； - （z- 2右）匕,2諄（2a； -（z - 2訕 心,倂-8 j=1j=1丿x exp 7ti f r（aj + 巧7） tyj & + 巧/） + （6 - 26j-勺）+ 巧j x tjk 匕 - 23jt -勺）+ 8 jj=1 l（4.2）g （s" _ 2 s'） &加（x7斤i+2兀罔可2g （s' s' 2）（52 _1）r22 +2；r/xri2這種關(guān)系意味著，如果

20、g(0, 0)= j(o,l) = j(l,0)=(1,1) = 0,%，s； e z士一 u / ni（tn-m,n-rnnitm,n表不0,（刀j = e v丿、''xp； + y7,2 xp； + yi； xpr + yu在這里)=(o,o)皿=(i,o),/=(o,i),屮)=(1,1),并且矩陣a和向量b的元素 是：-z 4兀2（2q -時(shí)）巧（切,;pn2=-°°兮3 = e （m-加）（2勺-坊）s.（刀）z2|in2=-oo=-s 4滬（2q x）（2q -對(duì)）2 （切，衛(wèi)2=_8oo% = z巧，竹,n2 =oo* = 一4 £

21、（sinh 兀i（2n _ in, （刀），“ =疋xp； + x牛,xpg + ylxl2,（4.3）其中 = det ay并且4,九、a-1是從替換列1.4為b42雙周期波解的漸近性2d toda格方程的雙孤了解可以作為雙周期解的極限來獲得。定理2假設(shè)1 v斤v2和1 v2是滿足0和|入to的常數(shù)（卞面給出人，入的定義）.那么等式（2.1）的周期解（3.1）通過等式（2.2）趨向于孤了解.嚴(yán) 一 1 =（呵.+ yd；） in fn =（莎2 +比2）（1 + / +評(píng)2認(rèn)+2址21 + 小 + / + /+%+血）1 + &2恥血+ /+血1 + / +滬+禺+血）2i 2 （勿

22、觀+辺乙1 +丿+凱+ /+帀2+血并限制” + il： = sinh2 必，（4.5）-2,（exp匸- 珂牙+0；）-尸（尸+乃）+ 2（妙觀+7舅）+ 2 sinh （必必 （a2 + 0；） - y （z2 + 腐）- 2 （厲2 + 庖2） + 2 sinh （幾一必）一 2其屮 人2 = 2兀 通過數(shù)量來證明：7 = bjx + -y + fijn + %pj = 271 ip.,70y - 2兀i% + jvcjj, j = 1, 2 = er",易-護(hù) 兔=嚴(yán)呢,我們以下列形式擴(kuò)展了雙周期波解（3.1） （n = 2）：£ = 1 + exp（2龍功+ 兀）

23、 + exp -2兀i% + 龍fq） + exp（2龍力7, + 兀）+ exp （一2龍力；2 + 龍） + 旳（27vi 仇 + “?） + 龍'（斤i + 2兀 + 切）+ exp （一2肝（7 + 2）+ 加億 + 2斤2 + 02） + =1 + exp fj、+ exp 帀2 + exp （帀+ 為 + 2兀）+痔 exp （一久）+ g exp （一乙）+ 厝& exp （一 _ % + 2兀iq） + > 1 + exp 帀+ exp 帀2 + exp （% + 帀2 + 彳2）（4 7）我們現(xiàn)在驗(yàn)證公式（4.5）和（4.6）。為此，我們將g（o,o）

24、= g（o,1） = g（1,o） = g（1,1） = 0中的每個(gè)函數(shù)擴(kuò)展為人和人的系列.我們只需要用人和入進(jìn)行-階擴(kuò)展來顯示漸近關(guān)系（4.5）和（4.6）。在這里，我們保留二階項(xiàng)，以便看到兩個(gè)周期解和雙孤子解的參數(shù)之間更深的關(guān)系。 由g（0, 0）= （一 16亍”；_ 16y/； _ 4 sinh2（2龍?jiān)G）+ c）皆+ （_16龍2耳；一 16yg - 4 sinh2（2兀譏）+ 可 v+g（0, 0）= （16滬; 一 16刃；一 4 sinh2（2眉角）+ c）痔（+ （-16龍3（p + 0）- 16龍（z +厶- 4 sinh2（2兀7 （“】+ 心）+ 可）痔盂 +c + 0

25、（晉石'2）= 0（4.8）其中込+ s2 > 4,當(dāng)人t0,易t 0,我們得到c二0。由g （1, 0）= （-4滬對(duì)4滬刃_ 4 sinh2 兀中、+ c）人 + o （w）= 0, （4.9）其中込+ s2 > 3,由c = 0,我們得到漸近關(guān)系：4龍$ （切；+悶2） +4 sinh2 兀i卩、-0, 迸=sinh2 fta （4.10）111g（0,1） = （一4龍如；一 4滬刃；一 4 sinh2 7ii/2 + c）心 + o （好隊(duì)）=0,（4.11）其中込+込n 3,由（=o我們得到漸近關(guān)系：+ sinh2 “2 4才（對(duì)+刃；）+4 sinh2 兀i皿

26、-0, 孑二 sinh?必 （4.12）由司訓(xùn)=2（4刃將城）蟲國斶 & 曲坤）tsiitf 劉幷+呦+彳科胡埔加阿城）+冊(cè)曲坍4 fsirtf 加（幷-“）+厲mi 如）=q（4.13）其中耳+ s2 > 5,因?yàn)閏 = 0,我們得到漸近關(guān)系：4?。╝才+刃：）+ 4才（xp； + yg) 8滬(耳必 + yj) + 4 sinh2加仏一心）4才（/p； + 刃；）+ 4?。▁p； + yg) + 8龍$ (xph + y、l) + 4 sinh2兀i仏+ “2）(4.14)致謝時(shí)光飛逝，大學(xué)時(shí)光即將過去，很高興在這四年里能遇到許許多多很好的老師和 同學(xué)，老師水平都很高，信息專

27、業(yè)的同學(xué)們也很優(yōu)秀。無論在學(xué)習(xí)上，還是在生活上, 他們給予了我很多幫助，在此表示感謝！此外，感謝家人一直以來都很支持我的學(xué)業(yè), 在經(jīng)濟(jì)上和精神上對(duì)我的支持，使我能安心在大學(xué)學(xué)習(xí)。在論文寫作期間我能冇個(gè)安 靜的環(huán)境，經(jīng)過幾個(gè)月的努力，在老師的指導(dǎo)下終于完成了大學(xué)的畢業(yè)論文寫作，在 此很感謝我的室友和老師。首先，在此感謝老師，在老師的指導(dǎo)下我完成了論文的選題和寫作過程。同時(shí)在 論文的寫作過程中，遇到許多難點(diǎn)，老師耐心指導(dǎo)，教會(huì)了我許多解決問題的技巧和 方法，使我的論文能夠順利完成。另外和丁老師的交談中，老師的耐心指導(dǎo)和對(duì)我們 未來發(fā)展的建議，收獲很多。從老師那學(xué)到許多為人處世的道理和為未來不懈奮斗

28、的 動(dòng)力，這將是我終身受益的財(cái)富。在此向老師表示衷心的感謝！另外感謝信息專業(yè)的同學(xué)們，回顧人學(xué)四年，很高興能遇到你們，回想起一幕幕 的場景，一起去爬山游玩，班級(jí)舉辦晚會(huì)的情景，運(yùn)動(dòng)會(huì)的情景，一起口習(xí)，以及和 小伙伴們?yōu)閴?mèng)想拼搏的情景等等，在此謝謝大家，希望大家的未來更美好！最后，大家即將踏上一段新的旅程，未來是美好的，但需要我們?nèi)テ床?，去努? 愿大家的未來越來越美好！參考文獻(xiàn):lablowitz，mj，clarkson,pa:solitons，nonlinear equations and in verse scatteri ng.cambridge un iversity press, c

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