小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律講解

1、小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律第六講找簡(jiǎn)單數(shù)列的規(guī)律日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定順序排列的數(shù)，如：自然數(shù)：1，2，3，4，5，6，7， （1）年份：1990，1991，1992，1993，1994，1995，1996（2）某年級(jí)各班的學(xué)生人數(shù)（按班級(jí)順序一、二、三、四、五班排列）45，45，44，46，45 （3）像上面的這些例子，按一定次序排列的一列數(shù)就叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，其中第1個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，第2個(gè)數(shù)稱為第2項(xiàng)，第n 個(gè)數(shù)就稱為第n 項(xiàng).如數(shù)列（3）中，第1項(xiàng)是45，第2項(xiàng)也是45，第3項(xiàng)是44，第4項(xiàng)是46，第5項(xiàng)45。根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)

2、數(shù)分類，我們把項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列（即有有窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為有窮數(shù)列，把項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列（即有無窮多個(gè)項(xiàng)的數(shù)列）稱為無窮數(shù)列，上面的幾個(gè)例子中，（2）（3）是有窮數(shù)列，（1）是無窮數(shù)列。研究數(shù)列的目的是為了發(fā)現(xiàn)其中的內(nèi)在規(guī)律性，以作為解決問題的依據(jù)，本講將從簡(jiǎn)單數(shù)列出發(fā)，來找出數(shù)列的規(guī)律。例1 觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù).2，5，8，11，（），17，20。19，17，15，13，（），9，7。1，3，9，27，（），243。64，32，16，8，（），2。1，1，2，3，5，8，（），21，341，3，4，7，11，18，（），471，3，6，10，（），21

3、，28，36，（）.1，2，6，24，120，（），5040。1，1，3，7，13，（），31。1，3，7，15，31，（），127，255。(11)1，4，9，16，25，（），49，64。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）.(14)2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）.分析及解答不難發(fā)現(xiàn)，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)減去它前面一項(xiàng)所得的差都等于3.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是14，即：113=14。同考慮，可以看出，每相鄰兩項(xiàng)的差是一定值2.所以，括號(hào)中應(yīng)填11，即：132=11。不妨把及聯(lián)系起來繼續(xù)觀察，容易看出：數(shù)列中，隨項(xiàng)數(shù)

4、的增大，每一項(xiàng)的數(shù)值也相應(yīng)增大，即數(shù)列是遞增的；數(shù)列中，隨項(xiàng)數(shù)的增大，每一項(xiàng)的值卻依次減小，即數(shù)列是遞減的.但是除了上述的不同點(diǎn)之外，這兩個(gè)數(shù)列卻有一個(gè)共同的性質(zhì)：即相鄰兩項(xiàng)的差都是一個(gè)定值.我們把類似這樣的數(shù)列，稱為等差數(shù)列.1，3，9，27，（），243。此數(shù)列中，從相鄰兩項(xiàng)的差是看不出規(guī)律的，但是，從第2項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是其前面一項(xiàng)的3倍.即：3=1×3，9= 3×3，27=9×3.因此，括號(hào)中應(yīng)填81，即81= 27×3，代入后，243也符合規(guī)律，即24381×3。64，32，16，8，（），2及類似，本題中，從第1項(xiàng)開始，每一項(xiàng)是其后

5、面一項(xiàng)的2倍，即：因此，括號(hào)中填4，代入后符合規(guī)律。綜合考慮，數(shù)列是遞增的數(shù)列，數(shù)列是遞減的數(shù)列，但它們卻有一個(gè)共同的特點(diǎn)：每列數(shù)中，相鄰兩項(xiàng)的商都相等.像這樣的數(shù)列，我們把它稱為等比數(shù)列。1，1，2，3，5，8，（），21，34首先可以看出，這個(gè)數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.現(xiàn)在我們不妨看看相鄰項(xiàng)之間是否還有別的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于它前面兩項(xiàng)的和.即2=1+1，3=2+1，5=2+3，8=35.因此，括號(hào)中應(yīng)填的數(shù)是13，即13=5+8，21=8+13，34=13+21。這個(gè)以1，1分別為第1、第2項(xiàng)，以后各項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和的無窮數(shù)列，就是數(shù)學(xué)上有名的斐波那契數(shù)

6、列，它來源于一個(gè)有趣的問題：如果一對(duì)成熟的兔子一個(gè)月能生一對(duì)小兔，小兔一個(gè)月后就長成了大兔子，于是，下一個(gè)月也能生一對(duì)小兔子，這樣下去，假定一切情況均理想的話，每一對(duì)兔子都是一公一母，兔子的數(shù)目將按一定的規(guī)律迅速增長，按順序記錄每個(gè)月中所有兔子的數(shù)目（以對(duì)為單位，一月記一次），就得到了一個(gè)數(shù)列，這個(gè)數(shù)列就是數(shù)列的原型，因此，數(shù)列又稱為兔子數(shù)列，這些在高年級(jí)遞推方法中我們還要作詳細(xì)介紹。1，3，4，7，11，18，（），47在學(xué)習(xí)了數(shù)列的前提下，數(shù)列的規(guī)律就顯而易見了，從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)的和.因此，括號(hào)中應(yīng)填的是29，即29=1118。數(shù)列不同于數(shù)列的原因是：數(shù)列的第2項(xiàng)為3，而

7、數(shù)列為1，數(shù)列稱為魯卡斯數(shù)列。1，3，6，10，（），21，28，36，（）。方法1：繼續(xù)考察相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)：因此，可以猜想，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律為：每一項(xiàng)等于它的項(xiàng)數(shù)及其前一項(xiàng)的和，那么，第5項(xiàng)為15，即15=10+5，最后一項(xiàng)即第9項(xiàng)為45，即45369.代入驗(yàn)算，正確。方法2：其實(shí)，這一列數(shù)有如下的規(guī)律：第1項(xiàng)：1=1第2項(xiàng)：3=12第3項(xiàng)：6=1+2+3第4項(xiàng)：10=1+2+3+4第5項(xiàng)：（）第6項(xiàng)：21=1+2+3+4+5+6第7項(xiàng)：28=1+2+3+4+5+6+7第8項(xiàng)；36=1+2+3+4+5+6+7+8第9項(xiàng)：（）即這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：每一項(xiàng)都等于從1開始，以其項(xiàng)數(shù)為最大數(shù)

8、的n 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和.因此，第五項(xiàng)為15，即：15= 1+ 2+ 3+ 4+ 5；第九項(xiàng)為45，即：5=1+2+3+4+5+6+7+8+9。1，2，6，24，120，（），5040。方法1：這個(gè)數(shù)列不同于上面的數(shù)列，相鄰項(xiàng)相加減后，看不出任何規(guī)律.考慮到等比數(shù)列，我們不妨研究相鄰項(xiàng)的商，顯然：所以，這個(gè)數(shù)列的規(guī)律是：除第1項(xiàng)以外的每一項(xiàng)都等于其項(xiàng)數(shù)及其前一項(xiàng)的乘積.因此，括號(hào)中的數(shù)為第6項(xiàng)720，即720=120×6。方法2：受的影響，可以考慮連續(xù)自然數(shù)，顯然：第1項(xiàng)1=1第2項(xiàng)2=1×2第3項(xiàng)6=1×2×3第4項(xiàng)24=1×2×3&

9、#215;4第5項(xiàng)120=1×2×3×4×5第6項(xiàng)（）第7項(xiàng)5040=1×2×3×4×5×6×7所以，第6項(xiàng)應(yīng)為1×2×3×4×5×6=7201，1，3，7，13，（），31及類似：可以猜想，數(shù)列的規(guī)律是該項(xiàng)=前項(xiàng)+2×（項(xiàng)數(shù)-2）（第1項(xiàng)除外），那么，括號(hào)中應(yīng)填21，代入驗(yàn)證，符合規(guī)律。1，3，7，15，31，（），127，255。則：因此，括號(hào)中的數(shù)應(yīng)填為63。小結(jié)：尋找數(shù)列的規(guī)律，通常從兩個(gè)方面來考慮：尋找各項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)間的關(guān)系；考慮

10、相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系.然后，再歸納總結(jié)出一般的規(guī)律。事實(shí)上，數(shù)列或數(shù)列的兩種方法，就是分別從以上兩個(gè)不同的角度來考慮問題的.但有時(shí)候，從兩個(gè)角度的綜合考慮會(huì)更有利于問題的解決.因此，仔細(xì)觀察，認(rèn)真思考，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑫?huì)使我們的學(xué)習(xí)更上一層樓。在題中，1=2-13=22-17=23-115=24-131=25-1127=27-1255=28-1所以，括號(hào)中為26-1即63。（11）1，4，9，16，25，（），49，64.1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4，25=5×5，49= 7×7，64=8×8，即每項(xiàng)都等于自

11、身項(xiàng)數(shù)及項(xiàng)數(shù)的乘積，所以括號(hào)中的數(shù)是36。本題各項(xiàng)只及項(xiàng)數(shù)有關(guān)，如果從相鄰項(xiàng)關(guān)系來考慮問題，勢(shì)必要走彎路。(12)0，3，8，15，24，（），48，63。仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)數(shù)列(12)的每一項(xiàng)加上1正好等于數(shù)列(11)，因此，本數(shù)列的規(guī)律是項(xiàng)=項(xiàng)數(shù)×項(xiàng)數(shù)-1.所以，括號(hào)中填35，即35= 6×6-1。(13)1，2，2，4，3，8，4，16，5，（）。前面的方法均不適用于這個(gè)數(shù)列，在觀察的過程中，可以發(fā)現(xiàn)，本數(shù)列中的某些數(shù)是很有規(guī)律的，如1，2，3，4，5，而它們恰好是第1項(xiàng)、第3項(xiàng)、第5項(xiàng)、第7項(xiàng)和第9項(xiàng)，所以不妨把數(shù)列分為奇數(shù)項(xiàng)（即第1，3，5，7，9項(xiàng)）和偶數(shù)項(xiàng)（即第2

12、，4，6，8項(xiàng)）來考慮，把數(shù)列按奇數(shù)和偶數(shù)項(xiàng)重新分組排列如下：奇數(shù)項(xiàng)：1，2，3，4，5偶數(shù)項(xiàng)：2，4，8，16 可以看出，奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成一等比數(shù)列.因此，括號(hào)中的數(shù)，即第10項(xiàng)應(yīng)為32（32=16×2）。(14) 2，1，4，3，6，9，8，27，10，（）。同上考慮，把數(shù)列分為奇、偶項(xiàng)：偶數(shù)項(xiàng)：2，4，6，8，10奇數(shù)項(xiàng)：1，3，9，27，（）.所以，偶數(shù)項(xiàng)為等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)為等比數(shù)列，括號(hào)中應(yīng)填81（81=27×3）。像(13)(14)這樣的數(shù)列，每個(gè)數(shù)列中都含有兩個(gè)系列，這兩個(gè)系列的規(guī)律各不相同，類似這樣的數(shù)列，稱為雙系列數(shù)列或雙重?cái)?shù)列。例2 下面

13、數(shù)列的每一項(xiàng)由3個(gè)數(shù)組成的數(shù)組表示，它們依次是：（1，3，5），（2，6，10），（3，9，15）問：第100個(gè)數(shù)組內(nèi)3個(gè)數(shù)的和是多少？方法1：注意觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)組的第1個(gè)分量依次是：1，2，3構(gòu)成等差數(shù)列，所以第100個(gè)數(shù)組中的第1個(gè)數(shù)為100；這些數(shù)組的第2個(gè)分量3，6，9也構(gòu)成等差數(shù)列，且3=3×1，6=3×2，9=3×3，所以第100個(gè)數(shù)組中的第2個(gè)數(shù)為3×100=300；同理，第3個(gè)分量為5×100=500，所以，第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為100+300+500=900。方法2：因?yàn)轭}目中問的只是和，所以可以不去求組里的三個(gè)數(shù)而直

14、接求和，考察各組的三個(gè)數(shù)之和。第1組：1+3+5=9，第2組：2+6+10=18第3組：3+ 9+ 15= 27，由于9=9×1，18= 9×2，27= 9×3，所以9，18，27構(gòu)成一等差數(shù)列，第100項(xiàng)為9×100=900，即第100個(gè)數(shù)組內(nèi)三個(gè)數(shù)的和為900。例3在下面各題的五個(gè)數(shù)中，選出及其他四個(gè)數(shù)規(guī)律不同的數(shù)，并把它劃掉，再從括號(hào)中選一個(gè)合適的數(shù)替換。42，20，18，48，24（21，54，45，10）15，75，60，45，27（50，70，30，9）42，126，168，63，882（27，210，33，25）解：中，42、18、48、24都是6的倍數(shù)，只有20不是，所以，劃掉20，用54代替。15、75、60、45都是15的整數(shù)倍數(shù)，而27不是，用30來替換27。同上分析，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)中，42、126、128、882都是42的整數(shù)倍，而63卻不是.因此，用210來代替63。習(xí)題六按一定的規(guī)律在括號(hào)中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)：1.1，2，3，4，5，（），72.100，95，90，85，80，（），703.1，2，4，8，16，（），645.2，1，3，