周末培優(yōu)5第五周閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題

1、淘出優(yōu)秀的你 第五周閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問題重點知識梳理1求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動，不論哪種類型，核心是函數(shù)對稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況當(dāng)含有參數(shù)時，要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論2解題流程：設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，先將f(x)配方，得頂點為，對稱軸為x，再結(jié)合開口方向和函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得出f(x)的最值：當(dāng)a>0時，f(x)的圖象開口方向向上，(1)當(dāng)時，f(x)的最小值是f，f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的較大者且哪個端點離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個端點取最大值(

2、2)當(dāng)時，若<m，由f(x)在上是增函數(shù)，得f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<，由f(x)在上是減函數(shù)，得f(x)的最大值是f(m)，最小值是f(n)當(dāng)a<0時，可類比得結(jié)論3分類討論的標(biāo)準(zhǔn)(1)分類要做到不重不漏；(2)分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明；(3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論典型例題剖析例1求函數(shù)f(x)x2x1在區(qū)間上的最值【解析】將二次函數(shù)配方得f(x)2，其對稱軸方程x，頂點坐標(biāo)，且圖象開口向上顯然其頂點橫坐標(biāo)不在區(qū)間內(nèi)，如圖所示函數(shù)f(x)的最小值為f(0)1，最大值為f.變式訓(xùn)練函數(shù)yx24x2在區(qū)間0,3上的最大值是

3、_，最小值是_【答案】22【解析】函數(shù)yx24x2(x2)22是定義在區(qū)間0,3上的二次函數(shù)，其對稱軸方程是x2，頂點坐標(biāo)為(2,2)，且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標(biāo)在0,3上，如圖所示函數(shù)的最大值為f(2)2，最小值為f(0)2.例2設(shè)函數(shù)yx22x，x2，a，則函數(shù)的最小值g(a)_.【答案】【解析】函數(shù)yx22x(x1)21，對稱軸為直線x1，當(dāng)2<a<1時，函數(shù)在2，a上單調(diào)遞減，則當(dāng)xa時，ymina22a；當(dāng)a1時，函數(shù)在2,1上單調(diào)遞減，在1，a上單調(diào)遞增，則當(dāng)x1時，ymin1.綜上，g(a)變式訓(xùn)練如果函數(shù)f(x)(x1)21定義在區(qū)間上，求f(x)的最小值【

4、解析】函數(shù)f(x)(x1)21，其對稱軸方程為x1，頂點坐標(biāo)為(1,1)，圖象開口向上如圖1所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間左側(cè)，有1<t，此時，當(dāng)xt時，函數(shù)有最小值f(x)minf(t)(t1)21.圖1如圖2所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間內(nèi)，有t1t1，即0t1.當(dāng)x1時，函數(shù)有最小值f(x)minf(1)1.圖2如圖3所示，若頂點橫坐標(biāo)在區(qū)間t，t1右側(cè)，有t1<1，即t<0.當(dāng)xt1時，函數(shù)有最小值f(x)minf(t1)t21.圖3綜上，f(x)min.【思考】為什么最值討論時，有時分兩種情況討論，有時分三種情況討論？【提示】這是因為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點

5、或二次函數(shù)的頂點取到，而且二次函數(shù)的單調(diào)性又與函數(shù)圖象開口方向有關(guān)，因此究竟分兩種還是分三種情況討論，取決于兩點：一是開口方向是向上還是向下，二是所求最值是函數(shù)的最大值還是最小值若二次函數(shù)開口向上，如果討論的是最小值，由于在閉區(qū)間上它的最小值在區(qū)間的兩個端點或二次函數(shù)的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；如果討論的是最大值，由于它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點，只可能是閉區(qū)間的兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠(yuǎn)就在哪個端點取到，因此就根據(jù)對稱軸與左右端點的遠(yuǎn)近分兩種情況討論當(dāng)函數(shù)開口方向向下時，可類比進(jìn)行討論例3已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6當(dāng)a2時，求f(x)的最值【解析】

6、當(dāng)a2時，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6所以f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增，故f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.變式訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)x22ax1a在x0,1時有最大值2，則a的值為_【答案】2或1【解析】f(x)(xa)2a2a1，當(dāng)a>1時，ymaxa；當(dāng)0a1時，ymaxa2a1；當(dāng)a0時，ymax1a.根據(jù)已知條件或或解得a2或a1.跟蹤訓(xùn)練1已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，且其定義域為a1，2a，則yf(x)的最大值為()A. B1 C. D22函數(shù)f(x)的最大值是()A. B. C.

7、D.3已知函數(shù)y的最大值為M，最小值為m，則的值為()A. B. C. D.4函數(shù)f(x)x24x6的定義域為0，m，值域為10，6，則m的取值范圍是()A0,4 B2,4C2,6 D4,65已知函數(shù)yx2x(0x6)，則當(dāng)x_時，y有最大值_；當(dāng)x_時，y有最小值_6函數(shù)f(x)x22x3，x0,2的值域為_7已知函數(shù)f(x)x22x，xa，b的值域為1,3，則ba的取值范圍是_8直線y1與曲線yx2|x|a有四個交點，則a的取值范圍是_9函數(shù)y2x1的最大值為_10已知二次函數(shù)f(x)滿足條件f(0)1和f(x1)f(x)2x.(1)求f(x)；(2)求f(x)在區(qū)間1,1上的最大值和最小

8、值11函數(shù)f(x)x24x4在閉區(qū)間t，t1(tR)上的最小值記為g(t)(1)試寫出g(t)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求g(t)的最小值12已知函數(shù)f(x)x22x3，若xt，t2，求函數(shù)f(x)的最值13函數(shù)f(x)2x22ax3在區(qū)間1,1上最小值記為g(a)(1)求g(a)的函數(shù)表達(dá)式；(2)求g(a)的最大值參考答案1Af(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，其定義域a1,2a關(guān)于原點對稱，即a12a.a.f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù)，即f(x)f(x)，b0.f(x)x21，x，yf(x)的最大值為，選A.2Df(x)，當(dāng)x時，f(x)有最大值.3C由，得函數(shù)的定義域是x|3x1，y242

9、·42，當(dāng)x1時，y取得最大值M2；當(dāng)x3或1時，y取得最小值m2，.4B函數(shù)f(x)x24x6的圖象是開口朝上，且以直線x2為對稱軸的拋物線，故f(0)f(4)6，f(2)10.函數(shù)f(x)x24x6的定義域為0，m，值域為10，6，2m4，即m的取值范圍是2,4，故選B.560.解析yx2x(x1)2,0x6對稱軸為x1，函數(shù)在0,6上單調(diào)遞增，x0時，y取最小值，x6時，y取最大值，故答案為60.63,5解析由f(x)(x1)24，知f(x)在0,2上單調(diào)遞增，所以f(x)的值域是3,572,4解析f(x)x22x(x1)21，因為xa，b的值域為1,3，所以當(dāng)a1時，1b3；

10、當(dāng)b3時，1a1，所以ba2,48(1，)解析如圖，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出直線y1與曲線yx2|x|a，觀圖可知，a的取值必須滿足，解得1<a<.故答案為(1，)9.解析方法一：令t(t0)，則x.所以y1tt(t1)26.因為t0，所以y(t1)26在0，)上為減函數(shù)，所以當(dāng)t0時，y有最大值.方法二：函數(shù)的定義域為(，因為f(x)2x1在(，上單調(diào)遞增，g(x)在(，上單調(diào)遞減，所以y2x1在(，上為增函數(shù)所以當(dāng)x時，y有最大值.10解析設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為f(x)ax2bxc，由已知可得，f(0)c1，f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)c(ax2bxc)2axab2x，則

11、，f(x)x2x1.(2)f(x)x2x1(x)2，則當(dāng)x1,1時，f(x)maxf(1)3，f(x)minf.11解析(1)f(x)x24x4(x2)28.當(dāng)t>2時，f(x)在t，t1上是增函數(shù)，g(t)f(t)t24t4；當(dāng)t2t1，即1t2時，g(t)f(2)8；當(dāng)t1<2，即t<1時，f(x)在t，t1上是減函數(shù)，g(t)f(t1)t22t7.從而g(t)(2)g(t)的圖象如圖所示，由圖象易知g(t)的最小值為8.12解析對稱軸x1，當(dāng)1t2即t1時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.當(dāng)1<t2，即1<t0時，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)t1<，即0<t1，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.當(dāng)1<t，即t>1時，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為g(t)，最小值為(t)，則有g(shù)(t)，(t).13解析(1)當(dāng)a&l