立體幾何——點線面的位置關系

1、點線面的位置關系（1）四個公理公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線在此平面內。符號語言：。公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。 三個推論： 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平面 經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面 經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面 它給出了確定一個平面的依據(jù)。公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線（兩個平面的交線）。符號語言：。 公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：。（2）空間中直線與直線之間的位置關系1.概念 異面直線及夾角：把不在任何一個平面內的兩條直線叫做

2、異面直線。 已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點O作直線，我們把與所成的角（或直角）叫異面直線所成的夾角。（易知：夾角范圍） 公理4：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。符號語言：。 定理：空間中如果一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補。（注意：會畫兩個角互補的圖形）2.位置關系：（3）空間中直線與平面之間的位置關系直線與平面的位置關系有三種：（4）空間中平面與平面之間的位置關系平面與平面之間的位置關系有兩種：考點1:點，線，面之間的位置關系例1.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,表示平面.下列說法正確的是()A.若m,n,則mnB

3、.若m,n,則mnC.若m,mn,則nD.若m,mn,則n答案 1.B解析 1.A選項m、n也可以相交或異面,C選項也可以n,D選項也可以n或n與斜交.根據(jù)線面垂直的性質可知選B.例2.(2014山東青島高三第一次模擬考試, 5) 設、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A若則B若則C若則D若則答案 2.  D解析 2.A選項不正確，因為是可能的；B選項不正確，因為，時，都是可能的；C選項不正確，因為，時，可能有；D選項正確，可由面面垂直的判定定理證明其是正確的故選D例3. (2014廣西桂林中學高三2月月考，4) 設、是兩條不同的

4、直線，、是兩個不同的平面下列命題中正確的是(    ) (A)     (B) (C)   (D) 答案 3.  D解析 3.  若，則平面與垂直或相交或平行，故（A) 錯誤；若，則直線與相交或平行或異面，故（B) 錯誤；若，則直線與平面垂直或相交或平行，故（C) 錯誤；若，則直線，故（D) 正確. 選D.例4. (2014周寧、政和一中第四次聯(lián)考，7) 設表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題：若，且則；         若，且. 則；若，則；若且, 則

5、.其中正確命題的個數(shù)是   （   ）A1          B2       C3     D4答案 4.  B解析 4.  正確；直線或，錯誤；錯誤，因為正方體有公共端點的三條棱兩兩垂直；正確. 故真正確的是，共2個.2. 空間幾何平行關系轉化關系：直線、平面平行的判定及其性質歸納總結定理定理內容符號表示分析解決問題的常用方法直線與平面平行的判定平面外的一條直線與平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行在已知平面內“找出”一條直線與已知直線平行就可以

6、判定直線與平面平行。即將“空間問題”轉化為“平面問題”平面與平面平行的判定一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行判定的關鍵：在一個已知平面內“找出”兩條相交直線與另一平面平行。即將“面面平行問題”轉化為“線面平行問題”直線與平面平行的性質一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行平面與平面平行的性質如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行1. 證明線線平行的方法：（平行線的傳遞性）平行與同一直線的兩條直線互相平行。即 公理4證明這條兩條直線的方向量共線。如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。即面面平行的性質。

7、2證明直線和平面相互平行的方法證明直線和這個平面內的一條直線相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面內的一個向量相互平行；證明這條直線的方向量和這個平面的法向量相互垂直。3證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明。利用反證法，假設兩平面不平行，則它們必相交，再導出矛盾。（2）判定定理：一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行，這個定理可簡記為線面平行則面面平行。用符號表示是：ab，a ，b ，a，b，則。（3）垂直于同一直線的兩個平面平行。用符號表示是：a，a則。（4）平行于同一個平面的兩個平面平行。4.兩個平面平行的性質有五條：（1）兩個平面平行，其中一個平面內的任一直線

8、必平行于另一個平面，這個定理可簡記 為：“面面平行，則線面平行”。用符號表示是：，a ，則a。（2）如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行，這個定理可簡記為：“面面平行，則線線平行”。用符號表示是：，=a，=b，則ab。（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個平面,它也垂直于另一個平面。這個定理可用于證線面垂直。用符號表示是：，a，則a。（4）夾在兩個平行平面間的平行線段相等（5）過平面外一點只有一個平面與已知平面平行3. 空間幾何垂直關系 1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內的一條直線，如果它和這

9、個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂線指PA，PO，AO都垂直內的直線a 其實質是：斜線和平面內一條直線垂直的判定和性質定理 要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用。2線面垂直（1）定義：如果一條直線l和一個平面相交，并且和平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線l和平面互相垂直其中直線l叫做平面的垂線，平面叫做直線l的垂面,直線與平面的交點叫做垂足。直線l與平面垂直記作：l。（2）直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么

10、這條直線垂直于這個平面。（3）直線和平面垂直的性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。3面面垂直（1）兩個平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面。（2）兩平面垂直的判定定理：（線面垂直面面垂直）如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。（3）兩平面垂直的性質定理：（面面垂直線面垂直）若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面?？键c2：證明線面之間的平行與垂直例1 .如圖,四邊形ABCD為正方形,PD平面ABCD,DPC=30°,AFPC于點F,FECD,交PD于點E.(1)證明:CF平面ADF

11、;解析 1.(1)證明:PD平面ABCD,PDAD,又CDAD,PDCD=D,AD平面PCD,ADPC,又AFPC,AFAD=A,PC平面ADF,即CF平面ADF.例2. (2011江蘇, 16, 14分) 如圖, 在四棱錐P-ABCD中, 平面PAD平面ABCD, AB=AD, BAD=60°, E, F分別是AP, AD的中點. 求證:() 直線EF平面PCD;() 平面BEF平面PAD. 答案 () 在PAD中, 因為E, F分別為AP, AD的中點, 所以EFPD. 又因為EF平面PCD, PD平面PCD, 所以直線EF平面PCD. () 連結BD. 因為AB=AD, BAD

12、=60°, 所以ABD為正三角形. 因為F是AD的中點, 所以BFAD. 因為平面PAD平面ABCD, BF平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, 所以BF平面PAD. 又因為BF平面BEF, 所以平面BEF平面PAD. 例3. (2009江蘇, 16, 14分) 如圖, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, E、F分別是A1B、A1C的中點, 點D在B1C1上, A1DB1C. 求證:() EF平面ABC;() 平面A1FD平面BB1C1C. 答案 3.() 因為E、F分別是A1B、A1C的中點, 所以EFBC, EF面ABC, BC面ABC. 所以EF平面ABC. () 因

13、為直三棱柱ABC-A1B1C1, 所以BB1面A1B1C1, BB1A1D, 又A1DB1C, 所以A1D面BB1C1C, 又A1D面A1FD, 所以平面A1FD平面BB1C1C. 例4.(2008江蘇, 16, 14分) 如圖, 在四面體ABCD中, CB=CD, ADBD, 點E、F分別是AB、BD的中點. 求證:() 直線EF平面ACD;() 平面EFC平面BCD. 答案 4.() 在ABD中, 因為E、F分別是AB、BD的中點, 所以EFAD. 又AD平面ACD, EF平面ACD, 所以直線EF平面ACD. () 在ABD中, 因為ADBD, EFAD, 所以EFBD. 在BCD中, 因為CD=CB, F為BD的中點, 所以CFBD. 因為EF平面EFC, CF平面EFC, EF與CF交于點F, 所以BD平面EFC. 又因為BD平面BCD,