六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)4

1、SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心六西格瑪管理培訓(xùn)叢書（5）o 何曉群何曉群 主編主編 六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)六西格瑪數(shù)據(jù)分析技術(shù)何曉群 編著光盤作者：陶 沙 蘇晨輝中 國(guó) 人 民 大 學(xué) 出 版 社SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心第4章 參數(shù)估計(jì)4.1 參數(shù)估計(jì)的基本概念4.2 總體均值和總體比例的區(qū)間估計(jì)4.3 樣本容量的確定4.4 兩總體均值之差的區(qū)間估計(jì)4.5 兩總體比例之差的區(qū)間估計(jì)4.6 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)4.7 兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)4.8 有關(guān)區(qū)間估計(jì)的Minitab軟件實(shí)現(xiàn)小組討論與練習(xí)返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心本 章

2、目 標(biāo)1.掌握參數(shù)估計(jì)的基本概念2.建立起在管理中運(yùn)用參數(shù)估計(jì)的思想3.能運(yùn)用Minitab實(shí)現(xiàn)各種區(qū)間估計(jì)的計(jì)算4.掌握樣本容量的確定方法5.能在管理實(shí)踐中運(yùn)用參數(shù)估計(jì)方法返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.1 參數(shù)估計(jì)的基本概念 u參數(shù)估計(jì)有兩大類，一種叫點(diǎn)估計(jì)，一種叫區(qū)間估計(jì)u點(diǎn)估計(jì)是利用樣本的信息對(duì)所感興趣的參數(shù)估計(jì)出一個(gè)數(shù)值u區(qū)間估計(jì)包含了兩個(gè)數(shù)值，對(duì)應(yīng)著數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，所以稱為區(qū)間估計(jì)u點(diǎn)估計(jì)的方法最常用的有兩種：矩估計(jì)法極大似然估計(jì)法u對(duì)一個(gè)估計(jì)優(yōu)良性的評(píng)價(jià)有一些相應(yīng)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心u 對(duì)總體參數(shù)的估計(jì)，人們最容

3、易想到的方法就是矩估計(jì)法，即用樣本矩估計(jì)總體相應(yīng)的矩，用樣本矩的函數(shù)估計(jì)總體相應(yīng)矩的函數(shù)。u 矩是指以期望值為基礎(chǔ)而定義的數(shù)字特征，例如均值、方差、協(xié)方差等。u 最常用的矩估計(jì)有：用樣本均值估計(jì)總體均值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差。u 例41.已知某種燈泡的壽命 XN(,2)，其中,2均未知，今隨機(jī)抽取4只燈泡，測(cè)得壽命(單位：小時(shí))為1502，1453，1367，1650。試估計(jì),。 矩估計(jì)法返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心矩估計(jì)法(續(xù))u解：因?yàn)槭侨w燈泡的平均壽命， 為樣本的平均壽命，很自然地會(huì)想到用 去估計(jì)；同理用s去估計(jì)。u由于u例42.設(shè)樣本x1,x2, xn來(lái)

4、自參數(shù)為 的泊松分布。由于E(X)=D(X)=，因而 與s2都可以作為的矩估計(jì)值。u由例42可以看出E(X)=D(X)=，這表明總體均值與方差相等，但在實(shí)際問(wèn)題中 與s2不見(jiàn)得一樣，因而矩估計(jì)的結(jié)果不惟一。)(61.118),(149316 .118140691406914)14936501 ()14931502(1493)1650136714531502(41222小時(shí)小時(shí)即sxssxxxxx返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計(jì) u極大似然估計(jì)是利用總體的分布密度或概率分布的表達(dá)式及其樣本所提供的信息建立求未知參數(shù)估計(jì)量的一種方法。u極大似然估計(jì)好多初學(xué)者覺(jué)得難以

5、理解，我們用下面的說(shuō)法幫助理解：在產(chǎn)品檢驗(yàn)中，有說(shuō)這批產(chǎn)品的次品率可能是1/10000，也有說(shuō)次品率可能是1/100。 如果你在這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，竟然 就是次品，自然應(yīng)當(dāng)認(rèn)為這批產(chǎn)品的次品 率最有可能是1/100而不是1/10000。把這 種考慮問(wèn)題的方法一般化，就概括出極大 似然估計(jì)方法。返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計(jì) (續(xù)1) u設(shè)總體X的分布已知，未知參數(shù)為 ，假定其分布密度族為f(x;)；u假設(shè)對(duì)總體X的n次觀測(cè)結(jié)果為(x1, x2, xn)。應(yīng)在一切中選取使樣本(X1,X2, Xn)落在點(diǎn)(x1, x2, xn)附近概率最大的 作為未知參數(shù)真值

6、的估計(jì)值，即選取 使： 其中 稱為似然函數(shù)，它是樣本的聯(lián)合概率密度函數(shù)。)(max)(2121nn, x, xxL, x, xxL；)(21n, x, xxL；返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心極大似然估計(jì) (續(xù)2) u一般情況下，我們用求解似然方程的方法進(jìn)行極大似然估計(jì)，具體步驟是：1.由總體分布導(dǎo)出樣本的聯(lián)合概率密度；2.把樣本聯(lián)合概率密度中自變量x1, x2, xn看成已知常數(shù)，而把參數(shù)看作變量，得到似然函數(shù)；3.用微分原理求似然函數(shù)的最大值點(diǎn)；4.在最大值點(diǎn)的表達(dá)式中，代入樣本值就得參數(shù)的估計(jì)值。u可以證明：若x1, x2, xn來(lái)自正態(tài)總體N(,2)，則：niini

7、ixxnxnx121)(11返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心u例4-3.設(shè)某種品牌的電視機(jī)的首次故障時(shí)間遵從指數(shù)分布f(t)=e-t,t0，共測(cè)試了7臺(tái)電視機(jī)，獲得相應(yīng)的首次故障時(shí)間（單位：萬(wàn)小時(shí)）為： 1.49，3.65，0.26，4.25，5.43，6.97，8.09 求參數(shù)的估計(jì)值。解：樣本x1, x2, xn的聯(lián)合密度用均值 來(lái)表示，就有： ，將 看作常數(shù)， 看作變量，可得似然函數(shù) ，進(jìn)而取對(duì)數(shù)，求微商，解方程可得： 對(duì)本例而言，就有：極大似然估計(jì)(續(xù)3)2326. 01 .3071xxnnxnnnniixnxnineLe, x, xxPxnxee, x, xxPn

8、iii)()(1)()(2111211x返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心點(diǎn)估計(jì)的優(yōu)良性準(zhǔn)則u不同的參數(shù)估計(jì)方法，可得到不同的估計(jì)量，不同的估計(jì)量誰(shuí)優(yōu)誰(shuí)劣？我們有一些相應(yīng)的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則。在6管理中，最常用的點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性準(zhǔn)則有兩個(gè)：一個(gè)是無(wú)偏性，另一個(gè)是有效性。u無(wú)偏性：設(shè) 是參數(shù)的一個(gè)估計(jì)量，如果 ，則稱 是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。無(wú)偏性實(shí)際上是指對(duì)于一個(gè)估計(jì)量，屢次變更數(shù)據(jù)反復(fù)求估計(jì)值時(shí)，估計(jì)值的平均與真值相一致，即盡管 有時(shí)比大，有時(shí)比小，總的看來(lái)，它的“平均值”就是?？梢宰C明 ：許多情況下， 是的無(wú)偏估計(jì)，s是的無(wú)偏估計(jì)。然而，在正態(tài)分布中的極大似然估計(jì)就不是無(wú)偏估計(jì)。x)(E返回

9、目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心有效性無(wú)偏性只考慮估計(jì)值的平均結(jié)果是否等于待估參數(shù)的真值，而不考慮每個(gè)估計(jì)值與待估參數(shù)真值之間偏差的大小和散布程度。實(shí)際問(wèn)題的研究中，不僅希望估計(jì)是無(wú)偏的，更希望這些估計(jì)值的偏差盡可能地小。u設(shè) 都是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，如果 且至少有一個(gè) ，嚴(yán)格不等號(hào)成立，則稱 比 有效。設(shè) 、x1都是的無(wú)偏估計(jì)，但樣本均值 的方差為2/n，x1的方差為2，只要n1，作為的估計(jì)值， 比x1就更有效。)()(21DD21、210 xxx返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心區(qū)間估計(jì)u點(diǎn)估計(jì)沒(méi)有給出估計(jì)的精度和可靠程度，區(qū)間估計(jì)解決了這一問(wèn)題。u設(shè)是總體

10、的一個(gè)待估參數(shù)，從總體中獲得容量為n的樣本是x1, x2, xn，對(duì)給定的(05，n(1p)5，則可用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布，因而有： 因此由正態(tài)分布構(gòu)造總體比例p的置信區(qū)間為：p )1 (1,(ppnpNpnppZp) 1 ( 2/1返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心總體比例置信區(qū)間估計(jì)的例子u例47.某企業(yè)在一項(xiàng)關(guān)于職工流動(dòng)原因的研究中，從該企業(yè)前職工的總體中隨機(jī)抽選了200人組成一個(gè)樣本。訪問(wèn)結(jié)果，有140人說(shuō)他的離開(kāi)是由于企業(yè)管理缺乏人性化。試對(duì)由于這種原因而離開(kāi)企業(yè)的人員的真正比例進(jìn)行估計(jì)(=0.05)。解：已知n=200， =0.7， =1405， =605, Z

11、1-/2=1.96故該企業(yè)職工認(rèn)為企業(yè)管理缺乏人性化而離開(kāi)的比例為63.6%76.4%。)764. 0 ,636. 0()200)7 . 01 (7 . 096. 17 . 0 ,200)7 . 01 (7 . 096. 17 . 0() 1 ( ,) 1 ( (2/12/1nppZpnppZpp pn) 1 (pn返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.3 樣本容量的確定u在研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，需要自己動(dòng)手設(shè)計(jì) 調(diào)查方案，這時(shí)如何確定樣本容量大有 學(xué)問(wèn)。如果樣本量太大，必然費(fèi)用增加； 如果樣本量過(guò)小，估計(jì)誤差又會(huì)增大。u這就看你需要什么樣的估計(jì)精度，即你想構(gòu)造多寬的估計(jì)區(qū)間？u對(duì)

12、于你所確定的置信區(qū)間，你想要多大的置信度？u估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定 在總體均值的區(qū)間估計(jì)里，置信區(qū)間是： 該區(qū)間估計(jì)的精度為 ，是區(qū)間估計(jì)長(zhǎng)度的一半。)/,/(2121nZxnZxnZ/21返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)1)u如果我們希望估計(jì)值與其真實(shí)值之間的 誤差或估計(jì)的精度在置信度(1-)下不超 過(guò)某一數(shù)值B(允許誤差)，則可從下面的 方程確定n。 解之得：u只要我們知道了Z1-/2，和允許誤差，就可具體算出樣本容量n。u如果算出的n不是整數(shù)，就去超過(guò)該小數(shù)的最接近的整數(shù)即可。22121)B/(B/ZnnZ返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪

13、質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)2)u由樣本容量的確定公式 ，你可發(fā)現(xiàn)幾個(gè)量之間的一些關(guān)系：1.總體方差越大，必要的樣本容量n越大。2.必要樣本容量n反比例于允許誤差B。即在給定的置信水平下，允許誤差越大，樣本容量就可以越??；允許誤差越小，樣本容量就必須加大。3.必要樣本容量n與正態(tài)分布Z1-/2分位數(shù)(也稱可靠性系數(shù))成正比。即：我們要求的可靠程度越高，樣本容量就應(yīng)越大；如果要求的可靠程度越低，樣本容量就可以小些。221)B/( Zn返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)3)u例48.某廣告公司想估計(jì)某類商場(chǎng)去年 所花的廣告費(fèi)平均有多少。經(jīng)驗(yàn)表明， 總體方差

14、約為1800000。如置信度取 95%，并要使估計(jì)值處在總體平均值 附近500元的范圍內(nèi)，這家廣告公司 應(yīng)取多大的樣本？解：已知2=1800000，=0.05，Z1-/2=1.96，B=500即這家廣告公司應(yīng)抽取28個(gè)商場(chǎng)作樣本。2865.27)500()1800000()96. 1 ()B(22221Zn返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心樣本容量的確定(續(xù)4)u估計(jì)總體比例時(shí)，樣本容量n的計(jì)算公式是：u例49.某市場(chǎng)調(diào)查公司想估計(jì)某地區(qū)有數(shù)碼相機(jī)的家庭所占的比例。該公司希望對(duì)p的估計(jì)誤差不超過(guò)0.05，要求的可靠度為95%，應(yīng)取多大的樣本？沒(méi)有可利用的 估計(jì)值。解：通常在此

15、類問(wèn)題研究中，無(wú)法得到 值時(shí),可以用 =0.5計(jì)算。已知B=0.05, =0.05，Z1-/2=1.96， =0.5即抽取385戶調(diào)查，就可以95%的可靠度保證估計(jì)誤差不超過(guò)0.05。2221B) 1 ( ppZn385(0.05)5 . 01 (5 . 096).(1B) 1 ( 222221ppZnp p p p 返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.4 兩個(gè)總體均值之差的區(qū)間估計(jì)u某化工廠需要比較由兩個(gè)供應(yīng)商提供的原材料所帶來(lái)的產(chǎn)量，某企業(yè)質(zhì)量管理部的部長(zhǎng)希望 了解車間內(nèi)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡 平均壽命是否存在差異等。這些都 是要對(duì)兩個(gè)總體均值之差作區(qū)間估計(jì)。u兩個(gè)總體的

16、方差 已知情況下，兩總體均值差異1-2的區(qū)間估計(jì)： 其中， 分別為來(lái)自兩個(gè)總體的樣本均值，n1，n2為抽自兩總體的樣本容量， 分別是兩總體的方差。u只要樣本容量足夠大，對(duì)于總體分布是否正態(tài)都可適用。2221、2221212121Z)(nnxx21xx、2221、返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心兩個(gè)總體均值之差的估計(jì)案例u例410.某企業(yè)質(zhì)量部部長(zhǎng)希望了解企業(yè)兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡平均壽命是否存在差異。假定兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡的壽命均呈正態(tài)分布，方差分別為 。隨機(jī)從兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡中各抽取20只和25只，測(cè)得平均壽命分別為1478小時(shí)和1456小時(shí)，在=0.05時(shí)，求出兩條

17、生產(chǎn)線生產(chǎn)的燈泡平均壽命差異的區(qū)間估計(jì)。解： 即1-2的95%的置信區(qū)間為(9.8，34.2)。4454202221，)2 .8,34. 9(Z)(,96. 1Z,05. 0445,420,1456,1478,25,202221212121212122212121nnxxxxnn的區(qū)間估計(jì)為：則返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心兩個(gè)總體方差 未知的情況u兩個(gè)總體均遵從正態(tài)分布，且 未知時(shí)，為了給出1-2的估計(jì)我們必須利用兩個(gè)樣本中關(guān)于2的信息聯(lián)合大體估計(jì)2 ，這個(gè)聯(lián)合估計(jì)量為：u這時(shí)兩個(gè)總體均值之差1-2的1-置信水平下的置信區(qū)間為：22212221，當(dāng)2221、2) 1()

18、 1(212222112nnsnsnSp2121212111)2()(nnSnntxxp返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心方差不等的情況u當(dāng)兩個(gè)總體均遵從正態(tài)分布， ，且方差未知時(shí)，自然用 抽樣分布不遵從自由度為(n1+ n22)的t分布，而近似遵從自由度為f的t分布。f的計(jì)算公式為： 這樣兩個(gè)總體均值之差1-2的1-置信水平下的置信區(qū)間為：2221)1)(1)()(22222121212222121nnsnnsnsnsf2221212121)()(nsnsftxx的但此時(shí)的估計(jì)為從而得到和分別估計(jì)和22212121212221212)(22212221)()(),(,21n

19、snsxxnsnsssxx 返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.5 兩個(gè)總體比例之差的區(qū)間估計(jì)u設(shè)兩個(gè)正態(tài)總體的比例分別為p1和p2，為了估計(jì) p1p2，分別從兩個(gè)總體中各隨機(jī)抽取容量為n1和n2的兩個(gè)隨機(jī)樣本，并計(jì)算兩個(gè)樣本的比例 ，可以證明，p1p2的置信度為1-的置信區(qū)間為：21pp和2221112121)1 ()1 (Z)(nppnpppp返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.6 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)u設(shè)x1,x2, xn來(lái)自均值為，方差為2的正態(tài)總體， 、2均未知，則2的估計(jì)量為s2，且u利用2(n1)分布可以得到2的1置信區(qū)間為：u其中 分別

20、是2(n1)分布的 1/2分位數(shù)與/2分位數(shù)。) 1() 1(,) 1() 1(2222212nsnnsn) 1() 1(22221nn與) 1() 1(222nsn返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心總體方差區(qū)間估計(jì)的案例u例414.對(duì)某種金屬材料的10個(gè)樣品所組成的一個(gè)隨機(jī)樣本作抗拉強(qiáng)度試驗(yàn)。從試驗(yàn)數(shù)據(jù)算出方差為4，試求2的95%置信區(qū)間。解：設(shè)該種金屬材料的抗拉強(qiáng)度遵從正態(tài)分布，則此時(shí)2的置信度為95%的置信區(qū)間為：即1.8925，13.3314，而標(biāo)準(zhǔn)差的95%的置信區(qū)間為：7004. 24) 110(,0228.194) 110(405. 095. 0110,) 1() 1(,) 1() 1(22222212snnsnnsn，式中。，即65. 338. 13314.13,8925. 1返回目錄SSMC中國(guó)人民大學(xué)六西格瑪質(zhì)量管理研究中心4.7 兩個(gè)正態(tài)總體方差比的區(qū)間估計(jì)u實(shí)際問(wèn)題中，我們需要比較兩種測(cè)量工具的精度；比較兩個(gè)生產(chǎn)過(guò)程的穩(wěn)定性；比較兩個(gè)評(píng)委評(píng)分的變異性等等，這些都可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)總體方差的比較。u可以證明：置信度為1-的 的區(qū)間估計(jì)為：注意：F分布的分位數(shù)F(n1,n2)=1/F1-(n2,n1)，查表時(shí)有用。 2221) 1, 1(1,) 1, 1(1212222121212221n