“卓越聯(lián)盟”自主招生模擬卷

1、2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（一）一、選擇題:1.在中,的對(duì)邊分別是,若且,則內(nèi)角為 A. B. C. D.2.設(shè),則 A. B. C. D.與無法比較大小3.在中,是銳角,且,則是 A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形4.設(shè)橢圓與軸交于兩點(diǎn),已知對(duì)橢圓上不同于的任意一點(diǎn),直線與直線的斜率之積為,則該橢圓的離心率為 A. B. C. D.5.在半徑為1的球面上有不共面的四個(gè)點(diǎn)且,則等于 A.2 B.4 C.8 D.166.如果曲線的兩條互相垂直的切線交于點(diǎn),則點(diǎn)坐標(biāo)不可能是 A. B. C. D.7.如果不等式的解集是區(qū)間的子集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C

2、. D.8.復(fù)數(shù)滿足,則的最大值是 A.1 B.2 C.3 D.49.設(shè),則等于 A.1952 B.1953 C.1954 D.195510.已知定義在上的函數(shù)為單調(diào)函數(shù),且,則 A.1 B.或 C. D.三、解答題11.已知在中,的一個(gè)外角平分線交的外接圓于點(diǎn),過作,垂足為,求證:.12.已知數(shù)列,滿足:.()求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;()若不等式對(duì)所有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.13.在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)是曲線上三個(gè)不同的點(diǎn),分別是的中點(diǎn),求證:的外接圓經(jīng)過原點(diǎn).14.設(shè)為實(shí)數(shù),為正整數(shù),且.()求證:,并給出等號(hào)成立的條件;()求證:.15.電腦每秒鐘以相同的概率輸出一個(gè)數(shù)字1或2,將輸出的前

3、個(gè)數(shù)字之和被3整除的概率記為.()求證:;()求證:.2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（二）一、選擇題:1.已知復(fù)數(shù)滿足,則 A. B. C. D.2.如果的某個(gè)非空子集中所有元素之和是3的倍數(shù),則稱該子集為 “忐忑”子集,那么“忐忑”子集的個(gè)數(shù)是 A.133 B.134 C.173 D.1753.設(shè)是定點(diǎn),且都不在平面上,動(dòng)點(diǎn)在平面上且,那么點(diǎn)的軌跡是 A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.橢圓,雙曲線,拋物線皆有可能4. A. B. C. D.5.設(shè)復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位)滿足的實(shí)部與虛部之比為,則的最大值是 A. B. C. D.6.已知為的外心,若,則 A. B. C. D.7.設(shè)數(shù)列滿足,

4、則 A. B. C. D.8.已知是邊長為2013的正三角形,點(diǎn)分別在邊上,且,若與交于是線段的中點(diǎn),則長是 A.670 B.671 C.672 D.6739.拋物線的焦點(diǎn)為,已知點(diǎn)為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,過弦的中點(diǎn)作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為,則的最大值是 A. B. C. D.10.設(shè)表示不超過的最大整數(shù),則 A.2012 B.2013 C.2014 D.2015二、解答題:11.在中,角的對(duì)邊分別為,若角的大小成等比數(shù)列,且,求的弧度數(shù).12.定義函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)記為.()求證:()數(shù)列滿足,求證;()求證:對(duì) 13.如圖,在直三棱柱中,點(diǎn)在棱上,且.()求證:; ()當(dāng)為何值時(shí),二面角

5、的大小為?14.已知函數(shù).()若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;()若在區(qū)間上,函數(shù)的圖形恒在曲線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.15.在橢圓中定義:過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦叫做橢圓的通徑,如圖,已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為其離心率為,通徑長為3,過的直線交橢圓于兩點(diǎn),分別為的內(nèi)心,延長交橢圓于點(diǎn).()求該橢圓的方程;()求四邊形與的面積的比值;()在軸上是否存在點(diǎn),使為常數(shù),若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)常數(shù),若不存在,請(qǐng)說明理由.2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（三）一、選擇題:1.設(shè),則在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的面積是 A. B. C. D.2.設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)作與軸垂

6、直的直線交兩條漸近線于兩點(diǎn),是與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn),設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),若有實(shí)數(shù)使得且,則該雙曲線的離心率是 A. B. C. D.3.在中,為的中點(diǎn),的面積是3,則的大小是 A. B. C. D.4.函數(shù)的最大值為 A. B. C. D.35.正三棱錐的底面的邊長均為6,各側(cè)棱長均為5,點(diǎn)是側(cè)面的內(nèi)心,則四面體的體積是 A. B. C. D.6.表示不超過的最大整數(shù),則的值是 A.18084 B.18094 C.18104 D.181147.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中,則的最小值為 A.18 B.36 C.54 D.728.設(shè)函數(shù)滿足:且對(duì)任意都有,則的值是 A.2013 B.2014 C.2015

7、D.20169.在中,邊上的高為3,當(dāng)最小時(shí),的值是 A. B. C. D.10.設(shè)兩點(diǎn)在以線段為直徑的半圓弧上,線段和線段相交于點(diǎn) ,則的面積為 A. B. C. D.二、解答題：11.已知焦點(diǎn)在軸上的橢圓內(nèi)含圓,圓的切線與橢圓交于兩點(diǎn),且滿足為坐標(biāo)原點(diǎn).()求的值;()求的取值范圍.12.設(shè)遞增數(shù)列滿足:.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()求證:.13. 的內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)直線交于點(diǎn),求證:.14.如圖所示,在矩形中,是對(duì)角線,過點(diǎn)作,垂足為,交于點(diǎn),以為折痕將向上折起,使點(diǎn)到點(diǎn)的位置.()若平面與平面所形成的二面角的大小為,求四棱錐的體積;()若,求二面角的余弦值.15.已知函數(shù)其中()當(dāng)時(shí),求

8、的最小值;()若時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍; 2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（四）一、選擇題:1.設(shè)為一對(duì)不相等的共軛復(fù)數(shù),且為實(shí)數(shù),則的值為 A. B. C.3 D.2.設(shè)滿足約束條件,若恒成立,則實(shí)數(shù)的最大值是 A.1 B.4 C. D.3.函數(shù)的值域是 A. B. C. D.4.已知點(diǎn)在的內(nèi)部,且,記的面積為的面積為,則的值為 A.2 B.3 C.4 D.55.在中,是的中點(diǎn),若,則的值為 A. B.0 C. D.16.若銳角滿足,則角的度數(shù)為 A. B. C. D.7.將11個(gè)完全相同的小球放入6個(gè)各不相同的盒子中,使得至多有三個(gè)空盒子的放法種數(shù)是 A.3112 B.3912 C

9、.4212 D.45128.已知分別為雙曲線的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的平分線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為 A.(2,0) B. C. D.9.在長方體中,已知,則長方體的體積最大時(shí),等于 A. B. C. D.10.方程在區(qū)間內(nèi)的所有實(shí)數(shù)解的和為 A.8 B.10 C.12 D.14二、解答題:11.如圖,四邊形是圓內(nèi)接四邊形,且是對(duì)角線上的一點(diǎn).()若是的中點(diǎn),求證:;()若,試問是否為的中點(diǎn)?說明理由.12.已知函數(shù).()當(dāng)時(shí),求證:;()當(dāng)且時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值集合.13.如圖,已知四棱錐的底面是菱形,且()求證:平面平面; ()求二面角的余弦值.14.數(shù)列中,且.()設(shè),求數(shù)列的通項(xiàng)

10、公式;()設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證:.15.已知橢圓是圓上任意一點(diǎn),過作橢圓的切線,切點(diǎn)分別為,求的最大值和最小值.2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（五）一、選擇題:1.設(shè)實(shí)數(shù),如果復(fù)平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是 A.焦距為4的橢圓 B.焦距為2的橢圓 C.焦距為的橢圓 D.焦距為的橢圓2.設(shè)是函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn),過點(diǎn)分別向直線和軸作垂線,垂足分別是,則的值是 A. B. C. D.3.設(shè)的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是且滿足,則的值是 A.2 B.3 C.4 D.54.設(shè),則的最大值是 A. B.1 C.2 D.5.某情報(bào)站有四種互不相同的密碼,每周使用其中的一種密碼,且每周都是從上周末使用的三

11、種密碼中等可能地隨機(jī)選用一種,設(shè)第一周使用密碼,那么第七周也使用密碼的概率是 A. B. C. D.6.半徑為的球內(nèi)部裝有4個(gè)相同半徑為的小球,則小球半徑的可能的最大值是 A. B. C. D.7.表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù),則在平面直角坐標(biāo)系中,滿足的所有點(diǎn)組成的圖形的面積是 A.8 B.16 C.1007 D.20148.若實(shí)數(shù)滿足,則的值是 A. B. C. D.9.設(shè),則 A. B. C. D.10.已知平面兩兩垂直,點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離都是3,是平面上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)到平面的距離是到點(diǎn)距離的2倍,則點(diǎn)到平面的距離的最小值是 A. B. C. D.二、解答題：11.在銳角中,分別是上的高,以為直

12、徑作圓交于點(diǎn),在上取點(diǎn),使,求證:. 12.已知函數(shù).()若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上是增函數(shù),試求實(shí)數(shù)的最大值;()求證:.13.已知為非零實(shí)數(shù),拋物線的焦點(diǎn)在直線上.()若,求拋物線的方程;()設(shè)直線與拋物線交于兩點(diǎn),過分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為,的重心分別為求證:對(duì)任意非零實(shí)數(shù),拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)在以線段為直徑的圓外.14.已知數(shù)列滿足;,記求證:當(dāng)時(shí),()() () 15.設(shè)的三個(gè)角所對(duì)的邊的長分別為,求證: 2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（六）一、選擇題:1.函數(shù)的最大值是 A. B. C. D.2.設(shè)倒圓錐形容器的軸截面為一個(gè)等邊三角形,在此容器內(nèi)注入水,并放入半徑為的一個(gè)

13、實(shí)心球,此時(shí),球與容器壁及水面恰好都相切,則取出球后水面高為 A. B. C. D.3.任作橢圓的一條切線,與橢圓的兩條對(duì)稱軸分別交于兩點(diǎn),則線段的長度的最小值是 A.6 B.8 C.10 D.124.已知數(shù)列滿足為正整數(shù)),若,則的所有可能的取值的和為 A.9 B.10 . C.56 D.655.設(shè)均為非零復(fù)數(shù),令,若,則的值為 A.1 B. C.或或 D.或或6.函數(shù),若互不相等且,則的取值范圍是 A. B. C. D.7.方程在區(qū)間內(nèi)的所有解之和為 A.4 B.6 C.8 D.108.將各位數(shù)字之和為7的正整數(shù)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列,則2014是該數(shù)列的第( )項(xiàng) A.64 B.6

14、5 C.66 D.679.設(shè),其中表示不超過的最大整數(shù),若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C. D.10.設(shè)為內(nèi)一點(diǎn),角的對(duì)邊分別是為的面積,則的最小值為 A.2 B.3 C.4 D.5二、解答題11.過直線上的點(diǎn)作橢圓的切線,切點(diǎn)分別為,連結(jié)()當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明：直線恒過定點(diǎn)；()當(dāng)時(shí)，定點(diǎn)平分線段12.的內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)直線交于點(diǎn),求證:.13.在四面體中,.()求證:四面體的每個(gè)面的三角形都是銳角三角形;()設(shè)三個(gè)面與底面所成的角分別為求證:14.函數(shù).()若函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;()設(shè),當(dāng)時(shí),若存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.1

15、5.已知函數(shù)是方程的兩個(gè)根是的導(dǎo)數(shù),設(shè).()求的值;()證明:對(duì)任意的正整數(shù),都有()記,求數(shù)列的前項(xiàng)和.2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（七）一、選擇題:1.已知,則 A. B. C. D. 2.若為正數(shù),表示的整數(shù)部分,如果按照某種順序組成等比數(shù)列,則的值是 A. B. C. D.3.已知且,則滿足條件的所有的和是 A. B. C. D.4.已知數(shù)列滿足為正整數(shù)),若,則的值為 A.3 B.4 . C.5 D.65.若自橢圓中心到焦點(diǎn),長軸頂點(diǎn),以及到準(zhǔn)線的距離之長可以組成一個(gè)直角三角形,則該橢圓的離心率是 A. B. C. D.6.正四棱錐中,是的重心,則四面體的體積是 A. B. C

16、. D.7.已知為上的單調(diào)遞增函數(shù),且對(duì)任意,都有,則的值是 A.8 B.9 C.10 D.118.設(shè)函數(shù),若實(shí)數(shù)使得對(duì)任意恒成立,則的值是 A.1 B. C.0 D.1或 9.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值是 A. B. C. D.10.7個(gè)花色不同的小球放到編號(hào)分別為1,2,3的三個(gè)盒子內(nèi),要求各盒子內(nèi)的小球數(shù)不小于其編號(hào)數(shù),則不同的放法種數(shù)為 A.105 B.140 C.210 D.455二、解答題:11.銳角三角形的三條高分別為,求證:的周長不超過的周長的一半.12.數(shù)列滿足.()求證:()求證:()令判斷與的大小,并說明理由.13.已知為一定點(diǎn),是軸上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)滿足,若點(diǎn)滿足.()求點(diǎn)的

17、軌跡曲線的方程;()求曲線的任何兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)軌跡.14.在長方體中,已知.()若對(duì)角線上存在一點(diǎn),使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍;()當(dāng)對(duì)角線上存在唯一一點(diǎn),使得時(shí),求平面與平面所成銳二面角的余弦值.15.已知函數(shù)()求在區(qū)間上的最小值;()求證:()2014年自主招生考試數(shù)學(xué)模擬試卷（八）一、選擇題:1.的值是 A. B. C. D.2.在中,點(diǎn)為的中點(diǎn),過點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn),若,則的值是 A.2 B.3 C. D.3.已知且,則的最小值是 A.31 B. C. D.4.內(nèi)接于單位圓,三個(gè)內(nèi)角平分線延長后分別交圓于,則 A.1 B.2 C.3 D.45.一個(gè)球的內(nèi)接圓錐的最大

18、體積與這個(gè)球的體積之比為 A. B. C. D.6.設(shè)直線與曲線有三個(gè)不同的交點(diǎn)且,則直線的方程是 A. B. C. D.7.從1,2,3,20中任取5個(gè)不同的數(shù),其中至少有兩個(gè)是相鄰的數(shù)的概率為 A. B. C. D.8.實(shí)數(shù)滿足,且的圖象上存在兩條互相垂直的切線,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 A. B. C.0 D.9.設(shè)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)和的坐標(biāo)分別是和,則的最大值是 A.1 B. C. D.210.設(shè)是定義在上的單調(diào)函數(shù),且對(duì)于任意都有,若是方程的一個(gè)根,且,則的值為 A.1 B.2 C.3 D.4二、解答題：11.在等腰中,設(shè)分別在邊上且,記的外心為的中點(diǎn)為,求證:.12.已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足:,數(shù)列滿足()求數(shù)列的通項(xiàng)公式;()求證:.13