高考拋物線專(zhuān)題做題技巧與方法總結(jié)（精編版）

1、高考拋物線專(zhuān)題做題技巧與方法總結(jié)知識(shí)點(diǎn)梳理：1. 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類(lèi)型及其幾何性質(zhì) (0p)：標(biāo)準(zhǔn)方程pxy22pxy22pyx22pyx22圖形yxoyxoyxoyxo焦點(diǎn))0,2(pf)0,2(pf)2,0(pf)2,0(pf準(zhǔn)線2px2px2py2py范圍ryx,0ryx, 00, yrx0, yrx對(duì)稱(chēng)軸x軸y軸頂點(diǎn)（0，0）離心率1e2. 拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦)0(22ppxy的焦半徑pf2px;)0(22ppyx的焦半徑pf2py； 過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦，也被稱(chēng)做通徑. 其長(zhǎng)度為 2p. ab為拋物線pxy22的焦點(diǎn)弦，則baxx42p，bayy2p，| ab=pxxba3

2、. pxy22的參數(shù)方程為ptyptx222（t為參數(shù)） ，pyx22的參數(shù)方程為222ptyptx（t為參數(shù)） .重難點(diǎn)突破重點(diǎn): 掌握拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)運(yùn)用定義和會(huì)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能通過(guò)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)難點(diǎn): 與焦點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算與論證重難點(diǎn) : 圍繞焦半徑、焦點(diǎn)弦，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合和代數(shù)方法研究拋物線的性質(zhì)1. 要有用定義的意識(shí)問(wèn)題 1：拋物線 y=42x上的一點(diǎn) m到焦點(diǎn)的距離為 1，則點(diǎn) m的縱坐標(biāo)是 ( ) a. 1617 b. 1615 c.87 d. 0點(diǎn)撥：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為yx412，準(zhǔn)線方程為161y, 由定義知，點(diǎn) m到準(zhǔn)線的距離為 1，所以點(diǎn) m的縱坐標(biāo)是

3、16152. 求標(biāo)準(zhǔn)方程要注意焦點(diǎn)位置和開(kāi)口方向問(wèn)題 2：頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，2）的拋物線的條數(shù)有點(diǎn)撥：拋物線的類(lèi)型一共有4 種，經(jīng)過(guò)第一象限的拋物線有2 種，故滿(mǎn)足條件的拋物線有 2 條3. 研究幾何性質(zhì)，要具備數(shù)形結(jié)合思想， “兩條腿走路”問(wèn)題 3：證明：以?huà)佄锞€焦點(diǎn)弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切點(diǎn)撥：設(shè) ab 為拋物線的焦點(diǎn)弦， f 為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、 ba分別是點(diǎn)ba、在準(zhǔn)線上的射影，弦ab 的中點(diǎn)為 m ，則 bbaabfafab，點(diǎn) m到準(zhǔn)線的距離為abbbaa21) (21，以?huà)佄锞€焦點(diǎn)弦為直徑的圓總與拋物線的準(zhǔn)線相切3、典型例題講解：考點(diǎn) 1 拋物線的定義

4、題型 利用定義 , 實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換 例 1 已知點(diǎn) p在拋物線 y2 = 4x 上，那么點(diǎn) p到點(diǎn) q （2，1）的距離與點(diǎn) p到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為解題思路： 將點(diǎn) p到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)p到準(zhǔn)線的距離 解 析 過(guò) 點(diǎn) p 作 準(zhǔn) 線 的 垂 線 l 交 準(zhǔn) 線 于 點(diǎn) r， 由 拋 物 線 的 定 義 知 ，prpqpfpq，當(dāng) p點(diǎn)為拋物線與垂線l的交點(diǎn)時(shí)，prpq取得最小值，最小值為點(diǎn) q到準(zhǔn)線的距離 , 因準(zhǔn)線方程為 x=-1, 故最小值為 3總結(jié)：靈活利用拋物線的定義， 就是實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來(lái)說(shuō)

5、, 用定義問(wèn)題都與焦半徑問(wèn)題相關(guān)練習(xí)：1. 已知拋物線22(0)ypx p的焦點(diǎn)為 f ， 點(diǎn)111222()()p xyp xy，333()p xy，在拋物線上，且|1fp、|2fp、|3fp成等差數(shù)列，則有（）a321xxx b321yyyc2312xxx d. 2312yyy解析 c 由拋物線定義，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx2. 已知點(diǎn)),4, 3(af 是拋物線xy82的焦點(diǎn) ,m 是拋物線上的動(dòng)點(diǎn) , 當(dāng)mfma最小時(shí) , m點(diǎn)坐標(biāo)是 ( )a. )0,0( b. )62,3( c. )4,2( d. )62,3( 解析 設(shè) m到準(zhǔn)線的距離為mk ,

6、則mkmamfma|，當(dāng)mkma最小時(shí)， m點(diǎn)坐標(biāo)是)4,2(，選 c考點(diǎn) 2 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型: 求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例 2 求滿(mǎn)足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：(1) 過(guò)點(diǎn)(-3,2) (2)焦點(diǎn)在直線240 xy上解題思路： 以方程的觀點(diǎn)看待問(wèn)題，并注意開(kāi)口方向的討論. 解析 (1)設(shè)所求的拋物線的方程為22ypx或22(0)xpy p,過(guò)點(diǎn) (-3,2) 229)3(24pp或2934pp或拋物線方程為243yx或292xy,前者的準(zhǔn)線方程是1,3x后者的準(zhǔn)線方程為98y (2)令0 x得2y，令0y得4x，拋物線的焦點(diǎn)為 (4,0) 或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)

7、為 (4,0) 時(shí),42p,8p，此時(shí)拋物線方程216yx; 焦點(diǎn)為 (0,-2)時(shí)22p4p，此時(shí)拋物線方程28xy. 所 求 拋 物 線 方 程 為216yx或28xy, 對(duì) 應(yīng) 的 準(zhǔn) 線 方 程 分 別 是4,2xy.總結(jié)： 對(duì)開(kāi)口方向要特別小心，考慮問(wèn)題要全面練習(xí)：3. 若 拋 物線22ypx的 焦 點(diǎn) 與雙 曲 線2213xy的右 焦 點(diǎn) 重合 , 則p的 值 解析4132pp4. 對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在y軸上；焦點(diǎn)在 x 軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1 的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的通徑的長(zhǎng)為5；由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線

8、方程為y2=10 x 的條件是 _.（要求填寫(xiě)合適條件的序號(hào)） 解析 用排除法，由拋物線方程y2=10 x 可排除，從而滿(mǎn)足條件.5. 若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向上，f 為焦點(diǎn)， m為準(zhǔn)線與 y軸的交點(diǎn)， a為拋物線上一點(diǎn) , 且3| ,17|afam，求此拋物線的方程 解析 設(shè)點(diǎn)a 是點(diǎn) a在準(zhǔn)線上的射影，則3| | aa，由勾股定理知22| | ma，點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)為)23,22(p，代入方程pyx22得2p或 4，拋物線的方程yx42或yx82考點(diǎn) 3 拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點(diǎn)弦的計(jì)算與論證 例 3 設(shè) a、b 為拋物線pxy22上的點(diǎn) , 且90aob(o 為原點(diǎn) )

9、, 則直線 ab必過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為 _.解題思路： 由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置解析設(shè)直線 oa方程為kxy, 由pxykxy22解出 a點(diǎn)坐標(biāo)為)2,2(2kpkppxyxky212解出 b點(diǎn)坐標(biāo)為)2,2(2pkpk， 直線 ab方程為221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直線 ab必過(guò)的定點(diǎn))0,2( p總結(jié)： （1）由于是填空題，可取兩特殊直線ab, 求交點(diǎn)即可；（2）b點(diǎn)坐標(biāo)可由a點(diǎn)坐標(biāo)用k1換 k 而得。練習(xí)：6. 若直線10axy經(jīng)過(guò)拋物線24yx的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 解析-17. 過(guò)拋物線焦點(diǎn) f 的直線與拋物線交于兩點(diǎn)a、b,若 a、b在拋物線準(zhǔn)線上的射影為11,ba,則

10、11fba ( ) a. 45 b. 60 c. 90 d. 120 解析c基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練：1. 過(guò)拋物線xy42的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于)(422raaa，則這樣的直線（）a.有且僅有一條 b.有且僅有兩條條或 2 條 d.不存在 解析c 44) 1(52|22aaapxxabba，而通徑的長(zhǎng)為42. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 若拋物線24xy上的點(diǎn)p到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn) p的縱坐標(biāo)為（）a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 解析 b 利用拋物線的定義，點(diǎn)p到準(zhǔn)線1y的距離為 5，故點(diǎn) p的縱坐標(biāo)為 43. 兩個(gè)正數(shù)a、b 的等差中項(xiàng)是92，

11、一個(gè)等比中項(xiàng)是2 5，且,ba則拋物線2()yba x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ( ) a1(0,)4 b 1(0,)4 c 1(,0)2 d 1(,0)4 解析 d. 1, 4, 5abba4. 如果1p，2p， ，8p是拋物線24yx上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為1x，2x， ，8x，f 是拋物線的焦點(diǎn)， 若)(,21nnxxxn成等差數(shù)列且45921xxx，則|5fp=（） a5 b6 c 7 d9 解析b 根據(jù)拋物線的定義， 可知12iiippfxx（1i，2，n） ，)(,21nnxxxn成等差數(shù)列且45921xxx,55x,|5fp=65、拋物線,42fxy的焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為 l ，l 與 x 軸相交

12、于點(diǎn) e，過(guò) f 且傾斜角等于60的直線與拋物線在x 軸上方的部分相交于點(diǎn)a，ab l ，垂足為 b，則四邊形abef 的面積等于（）a33 b 34c36 d38 解 析 c. 過(guò)a 作x軸 的 垂 線 交x軸 于 點(diǎn)h， 設(shè)),(nma， 則1, 1mofohfhmabaf，32, 3)1(21nmmm四邊形 abef的面積=32)13(221366、設(shè) o是坐標(biāo)原點(diǎn)， f 是拋物線24yx的焦點(diǎn)， a是拋物線上的一點(diǎn)，fa與 x軸正向的夾角為60，則oa為 解析21. 過(guò) a 作 adx軸于 d，令 fdm，則mfa2即mm22，解得2m)32, 3(a21)32(322oa綜合提高訓(xùn)練

13、7. 在拋物線24yx上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線45yx的距離為最短， 求該點(diǎn)的坐標(biāo) 解析 解法 1：設(shè)拋物線上的點(diǎn))4,(2xxp，點(diǎn) p 到直線的距離17|544|2xxd1717417|4)21( 4|2x，當(dāng)且僅當(dāng)21x時(shí)取等號(hào)，故所求的點(diǎn)為），（121解法 2： 當(dāng)平行于直線45yx且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點(diǎn)為所求，設(shè)該直線方程為bxy4，代入拋物線方程得0442bxx，由01616b得21, 1 xb，故所求的點(diǎn)為），（1218. 已知拋物線2:axyc（ a為非零常數(shù)）的焦點(diǎn)為f ，點(diǎn) p 為拋物線 c 上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 且與拋物線 c相切的直線記為l（1）求 f 的坐

14、標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn) p 在何處時(shí)，點(diǎn) f 到直線l的距離最小解： （1）拋物線方程為yax12故焦點(diǎn) f 的坐標(biāo)為)41,0(a（2）設(shè)20000),(axyyxp則2,20axkpaxy）的切線的斜率點(diǎn)處拋物線（二次函數(shù)在直線 l 的方程是)(20020 xxaxaxy02200axyxax即.411441) 1()2(41020222020axaaaxaxad)0,0(00的坐標(biāo)是此時(shí)時(shí)上式取“”當(dāng)且僅當(dāng)px.lf0,0)(p的距離最小到切線處時(shí)，焦點(diǎn)在當(dāng)9. 設(shè)拋物線22ypx（0p）的焦點(diǎn)為f，經(jīng)過(guò)點(diǎn) f 的直線交拋物線于a、b兩點(diǎn)點(diǎn)c在拋物線的準(zhǔn)線上，且bc x軸證明直線 ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)

15、o 證明: 因?yàn)閽佄锞€22ypx（0p）的焦點(diǎn)為,02pf，所以經(jīng)過(guò)點(diǎn) f的直線 ab的方程可設(shè)為2pxmy，代人拋物線方程得2220ypmyp若記11,a xy，22,b xy，則21, yy是該方程的兩個(gè)根，所以212y yp 因?yàn)?bc x軸，且點(diǎn) c在準(zhǔn)線2px上，所以點(diǎn) c的坐標(biāo)為2,2py，故直線 co的斜率為21112.2yypkpyx即k也是直線oa的斜率，所以直線ac經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o10. 橢圓12222byax上有一點(diǎn) m （-4，59）在拋物線pxy22（p0）的準(zhǔn)線 l 上，拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).（1）求橢圓方程；（2）若點(diǎn) n在拋物線上，過(guò)n作準(zhǔn)線 l 的垂線，垂足為q

16、距離，求 |mn|+|nq|的最小值 .解 ： （ 1） 12222byax上 的 點(diǎn) m 在 拋 物 線pxy22（p0）的準(zhǔn)線 l 上，拋物線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn) .c=-4，p=8m （-4，59）在橢圓上125811622ba222cba由解得： a=5、b=3橢圓為192522yx由 p=8得拋物線為xy162設(shè)橢圓焦點(diǎn)為 f（4，0） ，由橢圓定義得 |nq|=|nf|mn|+|nq|mn|+|nf|=|mf|=541)059()44(22，即為所求的最小值 .參考例題：1、 已知拋物線c的一個(gè)焦點(diǎn)為f（21， 0） ， 對(duì)應(yīng)于這個(gè)焦點(diǎn)的準(zhǔn)線方程為x=-21.（1）寫(xiě)出拋物線 c的方

17、程；（2）過(guò) f 點(diǎn)的直線與曲線c交于 a、b兩點(diǎn)， o點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求 aob重心 g的軌跡方程；（3）點(diǎn) p是拋物線 c上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)p作圓（ x-3 ）2+y2=2 的切線，切點(diǎn)分別是 m ，n. 當(dāng) p點(diǎn)在何處時(shí)， | mn | 的值最小求出 | mn | 的最小值 .解：（1）拋物線方程為：y2=2x. （4 分）（2）當(dāng)直線不垂直于x 軸時(shí)，設(shè)方程為 y=k( x-21) ，代入 y2=2x，得：k2x2-( k2+2)x+042k.設(shè) a（x1，y1） ，b( x2，y2) ，則 x1+x2=222kk，y1+y2=k( x1+x2-1)=k2.設(shè)aob的重心為 g （x，y）則

18、kyyykkxxx32303230212221，消去k得y2=9232x為所求，（6 分） 當(dāng) 直 線 垂 直 于x軸 時(shí) ， a （21， 1 ）， b （21， -1 ），（8 分）aob的重心g（31，0）也滿(mǎn)足上述方程 .綜合得，所求的軌跡方程為y2=9232x，（9 分）（3）設(shè)已知圓的圓心為q （3，0） ，半徑 r =2，根 據(jù) 圓 的 性 質(zhì) 有 ： | mn |=22222|2122|2|pqpqrpqrpqmqmp?. （11分）當(dāng)| pq |2最小時(shí)， | mn | 取最小值，設(shè) p點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x0，y0) ，則 y20=2x0.| pq |2=（x0-3 ）2+ y2

19、0= x20-4x0+9=(x0-2)2+5，當(dāng) x0=2，y0=2 時(shí)，| pq |2取最小值 5，故當(dāng)p點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2，2）時(shí)， |mn| 取最小值5302. 拋物線專(zhuān)題練習(xí)一、選擇題（本大題共10 小題，每小題 5 分，共 50 分）1如果拋物線 y 2=ax 的準(zhǔn)線是直線 x=-1，那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ a ）a （1, 0 ） b （2, 0 ） c （3, 0 ） d （1, 0 ）2圓心在拋物線y 2=2x 上，且與 x 軸和該拋物線的準(zhǔn)線都相切的一個(gè)圓的方程是（d ）ax2+ y 2- x-2 y -41=0 bx2+ y 2+x-2 y +1=0c x2+ y 2- x-2

20、y +1=0 d x2+ y 2- x-2 y +41=03拋物線2xy上一點(diǎn)到直線042yx的距離最短的點(diǎn)的坐標(biāo)是（a ）a （1，1）b （41,21） c )49,23(d （2，4）4一拋物線形拱橋，當(dāng)水面離橋頂2m時(shí)，水面寬 4m ，若水面下降 1m ，則水面寬為（ b ）a6m b 26m c d9m5平面內(nèi)過(guò)點(diǎn) a（-2，0） ，且與直線 x=2相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程是（c ）a y 2=2xb y 2=4xcy 2=8xdy 2=16x6拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x 軸，拋物線上點(diǎn)（ -5，m ）到焦點(diǎn)距離是 6，則拋物線的方程是（ b ）a y 2=-2xb y 2=-4

21、xc y 2=2xd y 2=-4x 或 y 2=-36x7過(guò)拋物線y 2=4x的焦點(diǎn)作直線，交拋物線于a(x1, y 1) ，b(x2, y 2)兩點(diǎn)，如果 x1+ x2=6，那么 |ab|= （ a ）a8 b10 c 6 d 48把與拋物線 y2=4x 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的曲線按向量a)3,2(平移，所得的曲線的方程是（ c ）a)2(4)3(2xyb)2(4)3(2xyc )2(4)3(2xyd)2(4)3(2xy9過(guò)點(diǎn) m （2，4）作與拋物線 y 2=8x 只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線l 有（c ）a0 條 b1 條 c 2 條 d3 條10過(guò)拋物線 y = ax2( a0)的焦點(diǎn) f 作一直線

22、交拋物線于p、q兩點(diǎn)，若線段 pf與 fq的長(zhǎng)分別是 p、q，則qp11等于（ c ）a2aba21c4ada4二、填空題（本大題共4 小題，每小題 6 分，共 24 分）11拋物線 y2=4x 的弦 ab垂直于 x 軸，若 ab的長(zhǎng)為 43，則焦點(diǎn)到 ab的距離為 2 12拋物線y =2 x2的一組斜率為k 的平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程是4kx13p是拋物線 y2=4x 上一動(dòng)點(diǎn)，以 p為圓心，作與拋物線準(zhǔn)線相切的圓，則這個(gè) 圓 一 定 經(jīng) 過(guò) 一 個(gè) 定 點(diǎn)q， 點(diǎn)q 的 坐 標(biāo) 是（ 1 ， 0 ）14拋物線的焦點(diǎn)為橢圓14922yx的左焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在橢圓中心， 則拋物線方程為xy542三、解

23、答題（本大題共6 小題，共 76 分）15已知?jiǎng)訄A m與直線 y =2相切，且與定圓c：1)3(22yx外切，求動(dòng)圓圓心 m的軌跡方程 (12 分) 解析 ：設(shè)動(dòng)圓圓心為m （x，y） ，半徑為 r，則由題意可得m到 c（0，-3）的距離與到直線 y=3的距離相等， 由拋物線的定義可知： 動(dòng)圓圓心的軌跡是以c（0，-3）為焦點(diǎn)，以 y=3 為準(zhǔn)線的一條拋物線，其方程為yx12216已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x 軸，拋物線上的點(diǎn)m （3，m ）到焦點(diǎn)的距離等于 5，求拋物線的方程和m的值 （12 分） 解析 ：設(shè)拋物線方程為)0(22ppyx，則焦點(diǎn) f（0,2p） ，由題意可得5)23(

24、6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的拋物線方程為yx82，62的值為m17動(dòng)直線 y =a，與拋物線xy212相交于 a點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) b的坐標(biāo)是)3, 0(a，求線段 ab中點(diǎn) m的軌跡的方程 (12 分) 解析 ：設(shè) m的坐標(biāo)為（ x，y） ，a（22a，a） ，又 b)3,0(a得ayax22消去a，得軌跡方程為42yx，即xy4218河上有拋物線型拱橋，當(dāng)水面距拱橋頂5 米時(shí)，水面寬為 8 米，一小船寬 4米，高 2 米，載貨后船露出水面上的部分高米，問(wèn)水面上漲到與拋物線拱頂相距多少米時(shí)，小船開(kāi)始不能通航(12 分) 解析 ：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橋拱拋物線方程為)0(22ppyx，由題意可知，b（4，-5）在拋物線上，所以6.1p，得yx2.32，當(dāng)船面兩側(cè)和拋物線接觸時(shí)，船不能通航，設(shè)此時(shí)船面寬為aa ，則a（ay,2） ，由ay2.322得45ay，又知船面露出水面上部分高為075米，所以75.0ayh=2米19如圖，直線 l1和 l2相交于點(diǎn) m ，l1l2，點(diǎn) n l1以 a、b為端點(diǎn)的曲線段c 上的任一點(diǎn)到l2的距離與到點(diǎn)n 的距離相等若 amn 為銳角三角形，oxyaa