高數(shù)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1高數(shù)高數(shù)第一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。2【例【例6】求】求.lim21cos02xdtextx 【解】【解】 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 【分析】【分析】這是這是 型不定式型不定式, ,應(yīng)用洛必達(dá)法則應(yīng)用洛必達(dá)法則, ,求導(dǎo)去掉積分號求導(dǎo)去掉積分號. .思考思考:去掉積分號還有沒有其它方法去掉積分號還有沒有其它方法?第1頁/共49頁第二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。3【證】【證】 xdtttfdxd0)(),(xxf

2、xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxF,)()()()(200 xxdttfdttftxxf)0(, 0)(,0 xxfxt時時, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF第2頁/共49頁第三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。4【證】【證】, 1)(2)(0 dttfxxFx, 0)(2)( xfxF, 01)0( F 10)(1)1(dttfF 10)(1dttf, 0 令令 上連續(xù)上連續(xù)在在10,)x(F .,)x(F上有解上有解在在由零點(diǎn)定理知由零點(diǎn)定理知1

3、0第3頁/共49頁第四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。5 xxxtdtdttfxx0021cos21sin21)()(0時，時，當(dāng)當(dāng)0)()(,00 xdttfxx時時當(dāng)當(dāng) 0010sin21)()(,xxdttdtdttfxx時時當(dāng)當(dāng)【解】【解】【補(bǔ)充【補(bǔ)充1】 xxxxx, 10),cos1(210, 0)(第4頁/共49頁第五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。6【解】【解】;x310 xt31dttf(t)dt)x(F,1x033x0 x02 時時當(dāng)當(dāng)61212 x 10 x12x02dttf(t)dtdtt)x(F,2x1時時當(dāng)當(dāng)12131tdtdtt2x1102xt 21,612110

4、,31)(23xxxxxFxyo122 第5頁/共49頁第六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。7【練習(xí)】【練習(xí)】求求【解】【解】dxxx 20234令令txsin2 tdtdxcos2 2,2tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(32532xdxxx 20234第6頁/共49頁第七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。8第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、換元公式一、換元公式三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思

5、考題二、分部積分公式二、分部積分公式第7頁/共49頁第八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。9 假假設(shè)設(shè) （1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)； 【定理】【定理】（2 2）函數(shù)函數(shù))(tx 在在, 上是單值的且有連續(xù)上是單值的且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)； （3 3）當(dāng)當(dāng)t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值在的值在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()(. . 第8頁/共49頁第九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。10【應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意】【應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意】(1)(2)三換三換換積分限換積分限上限對上限，下限對下限上限對上限，下

6、限對下限. .換被積函數(shù)換被積函數(shù)換微分換微分. )3(變變因此時積分變量并沒有因此時積分變量并沒有不必?fù)Q積分限，不必?fù)Q積分限，若采用湊微分法時，則若采用湊微分法時，則第9頁/共49頁第十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。11【例【例1】計算計算.sincos205 xdxx【解】【解】 令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sinxdxdt 第10頁/共49頁第十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。12.sincos205 xdxx【例【例1】計算計算 205coscos xxd6102cos616 x第11頁/共49頁

7、第十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。13【例【例2】計算計算【解】【解】.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 容易犯錯誤容易犯錯誤第12頁/共49頁第十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。14【例【例3】計算計算【解】【解】.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lne

8、exxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 第13頁/共49頁第十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。15【例【例4 】計算計算【解】【解】 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 另解另解:dudtututut ,20, 02,2令令 20cossincosdttttI 20cossinsinduuuu 20c

9、ossinsindtttt第14頁/共49頁第十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。16【證】【證】,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 第15頁/共49頁第十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。17 11211cosdxxxx奇函數(shù)奇函數(shù)【例【例6】計算計算【解】【解】.11cos21122 dxxxxx原式原式 112211

10、2dxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積第16頁/共49頁第十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。18【例【例7】設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2( 41 計算計算【解】【解】換元換元 令令tx 2dtdx , 11 tx24 tx于是于是dxxf)2( 41 21)( dttf 20012cos1dttetdtt 第17頁/共49頁第十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。19【總結(jié)】【總結(jié)】定積分的證明題定積分的證明題一般用到積分區(qū)間的一般用到積

11、分區(qū)間的分割分割性質(zhì)性質(zhì)、換元法換元法、定積分與積分變量、定積分與積分變量無關(guān)無關(guān)的特性。的特性。 .sin2sin :200 xdxxdxnn證明證明 2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令令tx 【例【例8】【證】【證】 2sin xdxn 02)(sin dttn 20sin tdtn.sin2sin200 xdxxdxnn【分析】【分析】先分割、再換元，最后改變積分變量先分割、再換元，最后改變積分變量第18頁/共49頁第十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。20【例例9】 設(shè)設(shè)f (x)是以是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則對任意為周期的連續(xù)函數(shù)，則對任意a，有，有 .)()(0

12、TTaadxxfdxxf【證證】 TaTTaTaadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令令Ttx 則則 TaTdxxf)( adtTtf0)( adttf0)(.)()(0 TTaadxxfdxxf【分析】【分析】先分割、再換元，最后改積分變量先分割、再換元，最后改積分變量【一般地】【一般地】 22)(TTdxxfn第19頁/共49頁第二十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。21【例【例1】 計算計算.arcsin210 xdx【解】【解】令令,arcsinxu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsinxdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1

13、(112120221xdx 12 21021x . 12312 則則第20頁/共49頁第二十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。22【例【例2】計算計算【解【解】.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 第21頁/共49頁第二十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。23【例【例3】計算計算【解】【解】.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32

14、ln dxxx 101121 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 第22頁/共49頁第二十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。24【例【例4】 證明定積分公式證明定積分公式( (華里士（華里士（Wallis）公式）公式) ) 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1 1的正奇的正奇數(shù)數(shù)第23頁/共49頁第二十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。25 dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossindxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInI

15、n)1()1(2 21 nnInnI積分積分 關(guān)于下標(biāo)的遞推公式關(guān)于下標(biāo)的遞推公式4223 nnInnI,直到下標(biāo)減到直到下標(biāo)減到0 0或或1 1為止為止【證】【證】設(shè)設(shè),sin1xun ,sinxdxdv , cossin)1(2xdxxndun ,cosxv 第24頁/共49頁第二十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。26,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI,221436522322122 mmmmIm.325476122212212 mmmmIm于是于是 201

16、0sin xdx如如： 207cos xdx1325476 221436587109 第25頁/共49頁第二十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。27定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv定積分的換元法定積分的換元法dxxfba )(dtttf )()(定積分的證明題定積分的證明題一般用到積分區(qū)間的一般用到積分區(qū)間的分割分割性質(zhì)、性質(zhì)、換元換元法法、定積分與積分變量、定積分與積分變量無關(guān)無關(guān)的特性。的特性。 第26頁/共49頁第二十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。28第四節(jié)第四節(jié) 反常積分反常積分一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分

17、（瑕積分）二、無界函數(shù)的反常積分（瑕積分）三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題第27頁/共49頁第二十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。29（2 2）瑕積分（被積函數(shù)無界）瑕積分（被積函數(shù)無界）以上各節(jié)所講定積分是以上各節(jié)所講定積分是正常正常情況下的積分，它情況下的積分，它滿足兩條：滿足兩條：(1)(1)積分區(qū)間為有限區(qū)間積分區(qū)間為有限區(qū)間 a，b (2)(2)被積函數(shù)為有界函數(shù)被積函數(shù)為有界函數(shù)（尤其常見的是連續(xù)函數(shù)）（尤其常見的是連續(xù)函數(shù)）（1 1）無窮限的反常積分（積分區(qū)間無限）無窮限的反常積分（積分區(qū)間無限）反常積反常積分分第28頁/共49頁第二十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。30第29

18、頁/共49頁第三十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。31第30頁/共49頁第三十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。32 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limttdxxf ttdxxf0)(lim第31頁/共49頁第三十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。33【注】【注】由上述定義及牛由上述定義及牛萊公式可得如下結(jié)果：萊公式可得如下結(jié)果： ),)()(上的一個原函數(shù)上的一個原函數(shù)在在是是設(shè)設(shè)axfxF )(),()(,(存在時存在時當(dāng)當(dāng)上，上，若在若在 FxfxFb稱稱 )()(bbxFdxxf 否則稱否則稱發(fā)散發(fā)散. .（1）（2）第32頁/共49頁第三十三頁，編輯于星期三：

19、七點(diǎn) 十八分。34)()(),( xfxF 內(nèi)，內(nèi)，類似地，在類似地，在（3）第33頁/共49頁第三十四頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。35【例【例1 1】計算反常積分計算反常積分.12 xdx【解】【解】 21xdxxxarctanlim xxarctanlim .22 arctanxxoaby幾何意義幾何意義它是位于曲線的下方，它是位于曲線的下方，x軸軸上方、兩端無限延伸的圖形的上方、兩端無限延伸的圖形的面積。但卻是有限值面積。但卻是有限值第34頁/共49頁第三十五頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。36【例【例2】計算反常積分計算反常積分【解】【解】.1sin122 dxxx 21sin12

20、dxxx 211sinxdx 211sinxdx 21cosx2cos1coslim xx. 1 第35頁/共49頁第三十六頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。37【證】【證】, 1)1( p apdxx1 adxx1 axln, , 1)2( p apdxx1 appx11 1,11,1ppapp第36頁/共49頁第三十七頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。38【定義】【定義】如果函數(shù)如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)a的的任一鄰域內(nèi)任一鄰域內(nèi)都都無界無界，則稱，則稱點(diǎn)點(diǎn)a為函數(shù)為函數(shù)f (x)的的瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)（又稱（又稱無界間斷點(diǎn)無界間斷點(diǎn)）第37頁/共49頁第三十八頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。39第38

21、頁/共49頁第三十九頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。40 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( tactdxxf)(lim btctdxxf)(lim 定義中定義中C為為瑕點(diǎn)瑕點(diǎn)，以上積分稱為，以上積分稱為瑕積分瑕積分. .第39頁/共49頁第四十頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。41【注意】【注意】由上述定義及牛由上述定義及牛萊公式可得如下結(jié)果：萊公式可得如下結(jié)果：)()(,()()1(xfxFbaxxfax 時，時，的瑕點(diǎn)，的瑕點(diǎn)，為為設(shè)設(shè))()()()( aFbFxFdxxfbaba則則極限極限 存在存在，稱反常積分，稱反常積分收斂收斂；否則否則稱反常積分稱反常積分發(fā)散發(fā)散

22、. .)( aF)()(),)()2(xfxFbaxxfbx 時，時，的瑕點(diǎn)，的瑕點(diǎn)，為為設(shè)設(shè))()()()( aFbFxFdxxfbaba 則則極限極限 存在存在，稱反常積分，稱反常積分收斂收斂；否則否則稱反常積分稱反常積分發(fā)散發(fā)散. .)( bF第40頁/共49頁第四十一頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。42)()( (), )3(xfxFc,bcacx 上上、為內(nèi)部瑕點(diǎn)，在為內(nèi)部瑕點(diǎn)，在 bccabadxxfdxxfdxxf)()()( 則則bccaxFxF)()( )()()()( cFbFaFcF badxxfcFcF)( )()(都存在時，稱反常積分都存在時，稱反常積分、當(dāng)當(dāng)收斂收斂

23、；否則當(dāng)至少有一個；否則當(dāng)至少有一個不存在不存在時，稱反常積分時，稱反常積分發(fā)散發(fā)散. .第41頁/共49頁第四十二頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。43【例【例5】計算反常積分計算反常積分【解】【解】).0(022 axadxa,1lim220 xaaxax 為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn)為被積函數(shù)的無窮間斷點(diǎn). . axadx022aax0arcsin 0arcsinlim axax.2 必為瑕點(diǎn)必為瑕點(diǎn)第42頁/共49頁第四十三頁，編輯于星期三：七點(diǎn) 十八分。44【思考題【思考題1】設(shè)設(shè))(xf 在在 1 , 0上連續(xù) ，且上連續(xù) ，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 【思考題解答】【思考題解答】第43頁/共49頁第四十四頁，編輯于星