經(jīng)濟預(yù)測與決策之回歸分析預(yù)測法

1、經(jīng)濟預(yù)測與決策經(jīng)濟預(yù)測與決策之三 回歸分析預(yù)測法本章學(xué)習(xí)目的與要求 通過本章的學(xué)習(xí)，了解回歸分析預(yù)測法的概念；掌握回歸分析中各系數(shù)的計算方法及回歸預(yù)測方法。本章學(xué)習(xí)重點和難點 重點是一元線性回歸預(yù)測法。 難點是區(qū)間估計。本章內(nèi)容提示第一節(jié)第一節(jié) 回歸分析概述回歸分析概述一、回歸的定義一、回歸的定義二、回歸模型的分類二、回歸模型的分類第二節(jié)第二節(jié) 一元線性回歸預(yù)測法一元線性回歸預(yù)測法一、一元線性回歸模型一、一元線性回歸模型二、最小二乘估計二、最小二乘估計三、擬合優(yōu)度的度量三、擬合優(yōu)度的度量四、相關(guān)系數(shù)檢驗法四、相關(guān)系數(shù)檢驗法五、最小二乘估計式的標準誤差五、最小二乘估計式的標準誤差六、回歸預(yù)測六、

2、回歸預(yù)測第三章 回歸分析預(yù)測法回歸分析預(yù)測法就是從各種經(jīng)濟現(xiàn)象之間的相互關(guān)系出發(fā)，通過對與預(yù)測對象有聯(lián)系的現(xiàn)象的變動趨勢的回歸分析，推算出預(yù)測對象未來狀態(tài)數(shù)量表現(xiàn)的一種預(yù)測方法。第一節(jié) 回歸分析概述一、回歸的定義一、回歸的定義二、回歸模型的分類二、回歸模型的分類一、回歸的定義回歸是研究自變量與因變量之間的關(guān)系形式的分析方法，其目的在于根據(jù)已知自變量值來估計因變量的總體平均值。在研究某一社會經(jīng)濟現(xiàn)象的發(fā)展變化規(guī)律時，經(jīng)過分析可以找到影響這一現(xiàn)象變化的原因。在回歸分析中，把某一現(xiàn)象稱為因變量，它是預(yù)測的對象，把引起這一現(xiàn)象變化的因素稱為自變量，它是引起這一現(xiàn)象變化的原因。而因變量則反映了自變量變化

3、的結(jié)果。回歸自變量與因變量之間的因果關(guān)系可以通過函數(shù)形式來表現(xiàn)，用數(shù)學(xué)模型來體現(xiàn)兩者之間的數(shù)量關(guān)系。自變量的值是確定的，而因變量的值是隨機的?；貧w函數(shù)中，確定的自變量值所對應(yīng)的是隨機的因變量值的總體平均值。二、回歸模型的分類1.按模型中自變量的多少，分為一元回歸模型和多元回歸模型。一元回歸模型是指只包含一個自變量的回歸模型；多元回歸模型是指包含兩個或兩個以上自變量的回歸模型。1.按模型中自變量的多少分為一元回歸模型和多元回歸模型。一元回歸模型是指只包含一個自變量的回歸模型；多元回歸模型是指包含兩個或兩個以上自變量的回歸模型。2.按模型中自變量與因變量之間是否線性分為線性回歸模型和非線性回歸模型

4、。線性回歸模型是指自變量與因變量之間呈線性關(guān)系；非線性回歸模型是指自變量與因變量之間呈非線性關(guān)系。3.按模型中方程數(shù)目的多少分為單一方程模型和聯(lián)立方程模型。單一方程模型是指只包含一個方程的回歸模型；聯(lián)立方程模型是指包含兩個或兩個以上方程的回歸模型。單一方程的一元線性回歸分析是其它回歸分析的基礎(chǔ)，本章將主要介紹一元線性回歸預(yù)測法。第二節(jié) 一元線性回歸預(yù)測法一元線性回歸預(yù)測法是根據(jù)一元線性回歸模型中單一自變量的變動來預(yù)測因變量平均發(fā)展趨勢的方法。一、一元線性回歸模型若用X代表自變量，Y代表因變量。則給定一個自變量的值Xi時，對于一元線性回歸模型就有一個因變量的總體平均值E(Yi)與它對應(yīng)，其函數(shù)關(guān)

5、系可寫成E(Yi)=f(Xi)，它表明Y的總體平均值是隨著X的變化而變化的。該函數(shù)亦稱為總體回歸函數(shù)。一元線性回歸模型的基本形式為：E(Yi)=0+1Xi （3-1） 或 Yi=E (Yi)+ui=0+1Xi+ui （3-2） 其中0、1是未知而固定的參數(shù)，稱為回歸系數(shù)，ui稱為隨機擾動項。在回歸分析中，我們要根據(jù)Y和X的觀測值來估計未知的0和1的值，進而建立回歸模型?；貧w模型通常我們是通過Y和X的樣本觀測值建立樣本回歸函數(shù)來估計參數(shù)的。一元線性回歸樣本函數(shù)17頁(3-3)的估計式。為的估計式；為）的估計式；（為式中1100iii10i YEY , 3)-(3 XY 回歸模型對于樣本中每一個與

6、Xi相對的觀測值Yi與由樣本回歸函數(shù)得到的估計值有一隨機偏差，這個偏差稱為樣本剩余，記為ei。 樣本回歸函數(shù) eXeYY ii10iii回歸模型回歸分析就是要根據(jù)樣本回歸函數(shù)來估計總體回歸函數(shù)。在這里需要解決的問題主要有兩個：其一是估計參數(shù);其二是“接近”的程度有多大。二、最小二乘估計建立樣本回歸函數(shù)的方法有許多，其中最流行的是最小二乘法（OLS）。1.最小二乘準則2.最小二乘估計式1.最小二乘準則當給定樣本X和Y的N對觀測值時，我們希望據(jù)此建立的樣本回歸函數(shù)值應(yīng)盡可能接近觀測值Yi，使其樣本剩余的平方和盡可能地小，即ei2min。這一準則就是最小二乘準則。圖3-1 Y Yi . e . .

7、. . 0 Xi X 2.最小二乘估計式根據(jù)最小二乘準則建立樣本回歸函數(shù)的過程為最小二乘估計，簡記OLS估計。由此得到的估計值得計算式稱為最小二乘估計式。雙變量線性回歸模型的最小二乘估計 XY i10i eYY iii XYYYe i10iiii )XY(e 2i10i2i雙變量線性回歸模型的最小二乘估計由最小二乘準則：ei2min有：0)XY(0)XY(12i10i12i02i10i02iee0X)XY(20)XY(2ii10ii10i 0Xe0eiii雙變量線性回歸模型的最小二乘估計式6)-(3 NXNY 5)-(3 )X(XNYXYXN i1i02i2iiiii1雙變量線性回歸模型的最小

8、二乘估計式8)-(3 XY 7)-(3 )XX()YY)(XX( 102iii1最小二乘估計式 xyx 2iii1XY10三、擬合優(yōu)度的度量1擬合優(yōu)度2可決系數(shù)1擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度是指樣本回歸直線對觀測數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣程度。如果全部觀測值都在回歸直線上，我們就獲得“完全的”擬合，但這是罕見的情況，通常都存在一些正ei或負ei。我們所希望的就是圍繞回歸直線的剩余盡可能的小。2可決系數(shù)擬合優(yōu)度通常用可決系數(shù)來度量?？蓻Q系數(shù)是樣本回歸直線對數(shù)據(jù)擬合程度的綜合度量。在雙變量的情況下，通常用r2表示可決系數(shù)。可決系數(shù)可決系數(shù)的計算步驟如下：17頁r2=（TSS-RSS）/TSS=1-RSS/TSS可決系數(shù)r

9、2稱為（樣本）可決系數(shù)，它是最常用的回歸直線擬合優(yōu)度的度量，表示由回歸模型作出解釋的變差在總變差中所占的比重。可決系數(shù)因為TSS=RSS+ESS，所以 ESS=TSS-RSS，上式表明，若樣本剩余RSS越小，r2的值就越大，擬和優(yōu)度越好；反之，RSS越大，r2的值就越小，擬和優(yōu)度越差。r2具有以下兩個性質(zhì)：（1）r2是一個非負數(shù)。（2）r2的取值范圍是：0r21。r2=1意味著完全擬合，r2=0意味著因變量與自變量之間沒有關(guān)系。r2還可以按以下推導(dǎo)出的公式求得： yxy)x(yy TSSESSr 2i2i212i2i12i2i2四、相關(guān)系數(shù)檢驗法1.相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)2.相關(guān)系數(shù)檢驗法相關(guān)系數(shù)檢

10、驗法1.相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)密切有關(guān)而在概念上又有很大差異的量就是相關(guān)系數(shù)，它是兩個變量之間的相關(guān)程度的度量?？梢愿鶕?jù)下式計算：2rr根據(jù)其定義計算：)y)(x(yxr 2i2iiir具有以下性質(zhì)：（1）它可以是正值也可以是負值，其符號取決于上式中分子的符號。（2）它的取值范圍在-1和+1之間，即 1 r +1。 （3）它的性質(zhì)是對稱的，X與Y的相關(guān)系數(shù)rxy和Y與X的相關(guān)系數(shù)ryx是相同的，都是r。（4）它只是線性聯(lián)系或線性相關(guān)的度量，用來描述非線性關(guān)系是沒有意義的。 2.相關(guān)系數(shù)檢驗法建立一元線性回歸模型之后，若要考察兩個變量之間是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系，就需要對模型進行顯著性檢驗。一元線

11、性回歸模型常用的線性相關(guān)關(guān)系的顯著性檢驗方法是相關(guān)系數(shù)檢驗法。相關(guān)系數(shù)檢驗法的步驟如下：（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)的計算公式計算相關(guān)系數(shù)r。（2）給定顯著性水平，根據(jù)和N-2的值，從相關(guān)系數(shù)臨界值表中查出相關(guān)系數(shù)臨界值r，N-2。（3）比較與的值，若 r r，N-2，表明兩變量之間線性關(guān)系在顯著性水平時相關(guān)關(guān)系顯著；否則 r r，N-2，表明兩變量之間線性關(guān)系在顯著性水平時相關(guān)關(guān)系不顯著，該模型不宜用來預(yù)測。五、最小二乘估計式的標準誤差用樣本函數(shù)的系數(shù)去估計總體參數(shù)需要有某種精度或者可靠性度量。目前常用的的衡量估計值精度的指標是標準誤差（se）。標準誤差 x)(se2i1 xNX)(se2i2i0標準

12、誤差 2Ne 2i2六、回歸預(yù)測根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，可以得到最小二乘估計值，建立一元回歸的預(yù)測模型。根據(jù)預(yù)測模型可以在給定X的條件下，求得Y的估計值，并進行預(yù)測?；貧w預(yù)測有兩類：預(yù)測對應(yīng)于給定X條件下的Y的總體均值。這類預(yù)測我們稱為均值預(yù)測。預(yù)測對應(yīng)于給定X條件下的個別Y值。這類預(yù)測我們稱為個別值預(yù)測。1.均值預(yù)測其中:1Pr 0200020）（）（）（YsetYYEYsetY x)XX(N1)Yse( 2i200均值預(yù)測上式表明，在重復(fù)抽樣中，若構(gòu)造100個這樣的區(qū)間，將會有（1）100以上的區(qū)間包含個別值。2.個別值預(yù)測 xXXN11ese 2i200）（）（ 1Pr 02000

13、20）（）（esetYYesetY其中:個別值預(yù)測上式表明，在重復(fù)抽樣中，若構(gòu)造100個這樣的區(qū)間，將會有（1）100以上的區(qū)間包含個別值。七、回歸預(yù)測例題例3-1 為了研究家庭消費支出與家庭收入的關(guān)系，對某地區(qū)進行了抽樣調(diào)查。獲得每月家庭消費支出和家庭收入的數(shù)據(jù)如下表：表3-1家庭收入（元） 家庭消費（元） 800 700 1000 650 1200 900 1400 950 1600 1100 1800 1150 2000 1200 2200 1400 2400 1550 2600 1500表3-2 計算各參數(shù)的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)表序號 Xi Yi xi yi xi2 yi2 xiyi Xi2 1

14、800 700 -900 -410 810000 168100 369000 640000 2 1000 650 -700 -460 490000 211600 322000 1000000 3 1200 900 -500 -210 250000 44100 105000 1440000 4 1400 950 -300 -160 90000 25600 48000 1960000 5 1600 1100 -100 -10 10000 100 1000 2560000 6 1800 1150 100 40 10000 1600 4000 3240000 7 2000 1200 300 90 90

15、000 8100 27000 4000000 8 2200 1400 500 290 250000 84100 145000 4840000 9 2400 1550 700 440 490000 193600 308000 5760000 10 2600 1500 900 390 810000 152100 351000 6760000 合計 17000 11100 0 0 3300000 8890000 1680000 32200000 平均 1700 1110 計算9808. 0rr 9621. 088900033000001680000)y)(x()yx(r 5455.244170050

16、91. 01110XY 5091. 033000001680000 xyx 222i2i2ii2102iii1查相關(guān)系數(shù)檢驗表，當N-2=8時，=001的rN-2=0765， r rN-2，X與Y相關(guān)極顯著。所建立的回歸模型為：8df 9621. 0r (0.0357) (64.1091) X5091. 05455.244Y 2ii預(yù)測根據(jù)以上計算結(jié)果，該模型可用于預(yù)測。若要預(yù)測家庭收入為1600元時，家庭消費的情況。即當Xi=X0=1600元時：)(1055.105916005091.05455.244Y 0元八、計算器的使用以上繁瑣的計算可以借助計算工具完成?，F(xiàn)以fx-3600pv型電子計

17、算器為例，介紹有關(guān)的計算技術(shù)。對于例3-1可按以下程序完成主要計算：MODE 2 S KAC 800 xDyD 700 DATA 1000 xDyD 650 DATA 1200 xDyD 900 DATA 1400 xDyD 950 DATA1600 xDyD 1100 DATA1800 xDyD 1150 DATA2000 xDyD 1200 DATA2200 xDyD 1400 DATA2400 xDyD 1550 DATA2600 xDyD 1500 DATA計算器的使用S A （顯示0值， 0 =244.5454545）S B （顯示1值， 1 =0.509090909）S r （顯示r值， r =0.980847368）S x2 （顯示r2值， r2 =0.96206156） 的計算10 2 = S Min Kout y2 S A Kout y S