萬有引力推導(dǎo)

1、教案用微積分推導(dǎo)Newton的萬有引力定律復(fù)旦大學(xué)於崇華Newton萬有引力定律宇宙萬物之間都存在相互的引力，其作用方向在 兩者的連線上，其大小與兩者質(zhì)量的乘積成正比而和 兩者距離的平方成反比。比例系數(shù)是絕對常數(shù)為了推導(dǎo)內(nèi)在的定量關(guān)系即數(shù)學(xué)規(guī)律，先要將行星運動定律用數(shù)學(xué)形式表達出來。太陽在橢圓的一個焦點上。Kepler第一定律：行星圍繞太陽運動的軌跡是一個橢道方程為以太陽為極點，橢圓的長軸 為極軸建立極坐標，則行星的軌1 - e cosO這里p=是焦參數(shù)，e= J1-4是離心率，°和占分別是橢圓的半 aV a-長軸和半短軸。設(shè)在t時刻：行星與太陽的距離為r=r (0,它們的連線與極軸

2、的夾角 為8 = &(/),則行星的坐標可以用向量記號表示成r = （r cos 0, r sin 0） o先從Newton第二運動定律F二ma入手將r分解成水平分量r cos 0和垂直分量r sin 0 ,利用運動 的獨立性原理，用Newton第二運動定律_ d2rF 二 T 時分別求它們的二階導(dǎo)數(shù)后再合成。記行星沿極徑方向的速度： 將三/ （稱為徑向速度）d 2 r .加速度： 亍三廠（稱為徑向加速度），d 0小d3 _.角速度：市三®角加速度：廠=3利用復(fù)介函數(shù)的求導(dǎo)法則（r和8都是/的函數(shù)），行星在X方向和y 方向上的加速度分量分別為J2(rcos0)dtrcosO-

3、 2rasin0- rcbsin0 + cd2 cos0J2(rsiii0)dt= (r-/xo2)cos0-(2H»4-nb)siii0 ；=r sill 0 + 2ko cos0+r®cos0-co2 siiiQ=(2rco + rco)cosO + (r - rco2)sin0 c記r方向上的單位向量G = 7 = （cosO, siiiO）,則加速度向量dr /八，/ 2rco+ red、.廬“一心+ ()心CO(1)aZ- f VM I / VJ為了得到行星運動規(guī)律，必須求出廠一兀/與 ，CO而求這兩個量只能借助其它的關(guān)系式 試著將Kepler的行星運動第二定律用

4、數(shù)學(xué)形式表達出來:Kepler第二定律：單位時間中，極徑掃過的那塊橢圓的 面積是常數(shù)。記d A是極徑轉(zhuǎn)過角度de所掃過的那塊橢圓的面積，則由極坐標下的面積公式的微分形式，因此，單位時間中掃過的面積dA 1曠產(chǎn)二常數(shù)。=0記行星繞太陽運行一周的時間為廠，則經(jīng)過丁時間極徑所 掃過的而積恰為整個橢圓的而積兀db ,由定積分的定義和性 質(zhì)，利用微元法，即得=0=0因此常數(shù)=0=0兩邊求導(dǎo)后得到(r2co y = 2rrco + r2co2rco + r co = 0這樣，（i）的最后一項就去掉了，等式成為=0r z.a = -= (r-zto2) o(2)這表示：行星在任一點的加速度的方向(也就是受力

5、的方向)恰 與它的極徑同向。從求加速度分量的過程可以發(fā)現(xiàn)，加速度的值r-AW2來自 XjrcosO (或rsiiiQ)求二階導(dǎo)數(shù)，而橢圓方程p = r(l-cos0)中恰含有廠cos。項。這提示我們，可能可以通過對橢圓方程兩 邊求二階導(dǎo)數(shù)來計算出12。. d 1 (r cos 9 ) res=r -(r - rco2)ecos0=(r rco2 )(1 - e cos9) + rco2r rco2 p + rco2所以r-HB2 =(r2co)2 14兀乙2 夕嚴；=_ 廠a 1b2 r2a3 1(3)=-4n2T2 r2 °Kepler第三定律：橢圓的半長軸a的三次方和運行周期口3

6、T的平方成正比，即帀=常數(shù)，記太陽的質(zhì)量為M,有4n2F = ma 二哄_窗心=-(a 3 Mm記萬有引力常數(shù)4712 a3G = IT 產(chǎn) 6.67 X 10(加 / 畑 2),便得到萬有引力定律的數(shù)學(xué)表示Mm宇宙萬物之間都存在相互的引力，其作用方向在 兩者的連線上，其大小與兩者質(zhì)量的乘積成正比而和 兩者距離的平方成反比。比例系數(shù)是絕對常數(shù)說明(1) 以上只是論證了萬有引力定律對太陽行星系統(tǒng)是正確 的。但以后的科學(xué)工作者(包括Newton本人)一系列的觀測和 實驗數(shù)據(jù)證實，它確實“放Z四海而皆準”，適用范圍從天體運 動延展到微觀世界，令人信服地宦量地解釋了許多物理現(xiàn)彖，并 成為探索未知世界的

7、有力工具。其中一些著名的例子：計算出哈雷彗星的軌道和運行周期：發(fā)現(xiàn)海王星和冥王星；正確解釋了潮汐的起因和規(guī)律；計算出第一、第二和第三宇宙速度，指導(dǎo)人類宇航活動。(2) 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展離不開外部世界的推動，是和解決實 際問題緊密聯(lián)系的。萬有引力定律是人類歷史上授偉大的數(shù)學(xué)模 型z。而一個成功的數(shù)學(xué)模型對文明發(fā)展的影響和作用可能無 法估量，因此數(shù)學(xué)及其應(yīng)用對整個人類文明進程舉足輕重。(3) 一切偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)都是站在巨人肩膀上取得的，因此 學(xué)好前人的科學(xué)總結(jié)，即打好基礎(chǔ)對于培養(yǎng)創(chuàng)新精神極為重要。(4) 通過此過程可以復(fù)習(xí)微積分中的一系列重要內(nèi)容，如： 高階丫數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、微元法等，并進一步學(xué)會如何具