(概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 茆詩松) 第5章 統(tǒng)計(jì)量及其分布

1、l樣本均值l樣本方差l樣本標(biāo)準(zhǔn)差l樣本偏度l樣本峰度l次序統(tǒng)計(jì)量l樣本分位數(shù)l樣本中位數(shù)當(dāng)人們需要從樣本獲得對(duì)總體各種參數(shù)的認(rèn)識(shí)時(shí)，最好的方法是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)反映總體的不同特征。定義5.3.1 設(shè)設(shè) x1, x2, , xn 為取自某總體的樣為取自某總體的樣 本，若樣本函數(shù)本，若樣本函數(shù)T = T(x1, x2, , xn)中不含有中不含有 任何未知參數(shù)。則稱任何未知參數(shù)。則稱T為為統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。 統(tǒng)計(jì)量的分布稱為統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。抽樣分布。按照這一定義：若 x1, x2, , xn 為樣本，則 以及經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)都是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量。而當(dāng), 2 未知時(shí)，x1, x1/ 等均

2、不是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量。l統(tǒng)計(jì)量是樣本的一個(gè)函數(shù)l統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)l 盡管統(tǒng)計(jì)量不依賴于未知參數(shù)，但是它的分布一般是依賴于未知參數(shù)的。niiniixx121,定義5.3.2 設(shè) x1, x2, , xn為取自某總體的樣本，其算術(shù)平均值稱為樣本均值，一般用 表示，即思考：在分組樣本場(chǎng)合，樣本均值如何計(jì)算？ 二者結(jié)果相同嗎？ x x= (x1+xn)/n定理5.3.2 數(shù)據(jù)觀測(cè)值與均值的偏差平方和 最小，即在形如 (xic)2 的函數(shù)中，樣本均值的基本性質(zhì)：定理5.3.1 若把樣本中的數(shù)據(jù)與樣本均值之差 稱為偏差，則樣本所有偏差之和為0，即 最小，其中c為任意給定常數(shù)。1()0.niixx2(

3、)ixx樣本均值的抽樣分布：定理5.3.3 設(shè)x1, x2, , xn 是來自某個(gè)總體的樣本，x為樣本均值。(1) 若總體分布為N(, 2)，則xx的精確分布為N(, 2/n) ; 若總體分布未知或不是正態(tài)分布， 但 E(x)=, Var(x)=2,則n 較大時(shí) 的漸近分 布為N(, 2/n) 。這里漸近分布是指n 較大時(shí)的近似分布.在重復(fù)選取容量為n的樣本時(shí)，由樣本均值的所有可能取值形成的相對(duì)頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎(chǔ)2211()1niisxxn稱為樣本標(biāo)差。s*= s*2定義5.3.3稱為樣本方差，其算術(shù)平方根在n 不大時(shí)，常用 作為樣本方差,其算術(shù)平方根也稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)

4、差。221*1()niisxxnxi與樣本均值的平均偏差平方和與樣本均值的平均偏差平方和在這個(gè)定義中， ( xi x )2n1稱為偏差平方和的自由度。其含義是：x在 確定后, n 個(gè)偏差x1x, x2x, , xnx能自由取值，因?yàn)橹挥衝1個(gè)數(shù)據(jù)可以自由變動(dòng)，而第n個(gè)則不 (xi x ) = 0 .稱為偏差平方和，中樣本偏差平方和有三個(gè)不同的表達(dá)式：( xix )2 = xi2 (xi)2/n = xi2 nx它們都可用來計(jì)算樣本方差。思考：分組樣本如何計(jì)算樣本方差？樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差，以及樣本方差的數(shù)學(xué)期望都不依賴于總體的分布形式。定理5.3.4 設(shè)總體 X 具有二階矩，即 E(x)=

5、 , Var(x)=2 x1, x2, , xn 為從該總體得到的樣本，x和s2 分別是樣本均值和樣本方差，則E( x )=, Var( x )=2 /n, E(s2) =2 Q8Q3Q7l樣本矩l次序統(tǒng)計(jì)量l樣本分位數(shù)l箱線圖樣本均值和樣本方差的更一般的推廣是樣本矩，這是一類常見的統(tǒng)計(jì)量。定義5.3.4 ak = (xik)/n 稱為樣本 k 階原點(diǎn)矩， 特別，樣本一階原點(diǎn)矩就是樣本均值。 稱為樣本k階中心矩矩。 特別，樣本二階中心矩就是樣本方差。 bk = (xi x)k/nx樣本偏度1反映了總體分布密度曲線的對(duì)稱性信息。樣本峰度2反映了總體分布密度曲線在其峰值附近的陡峭程度。定義： 1

6、= b3/b23/2 稱為樣本偏度， 2 = b4/b22 稱為樣本峰度。x數(shù)據(jù)分布偏斜程度的測(cè)度偏態(tài)系數(shù)=0=0為對(duì)稱分布偏態(tài)系數(shù) 0 0為右偏分布偏態(tài)系數(shù) 0 0為左偏分布偏態(tài)系數(shù)大于1或小于-1，被稱為高度偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)在0.51或 -1-0.5之間，被認(rèn)為是中等偏態(tài)分布；偏態(tài)系數(shù)越接近0，偏斜程度就越低 數(shù)據(jù)分布扁平程度的測(cè)度峰態(tài)系數(shù)=0=0扁平峰度適中峰態(tài)系數(shù)000為尖峰分布一、定義定義5.3.7 設(shè)設(shè) x1, x2, , xn 是取自總體是取自總體X的樣本的樣本, , x(i) 稱為該樣本的第稱為該樣本的第i 個(gè)個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量，次序統(tǒng)計(jì)量，它的取值它的取值 是將樣本觀測(cè)值由小是將

7、樣本觀測(cè)值由小到大排列后得到的第到大排列后得到的第 i 個(gè)個(gè) 觀測(cè)值。觀測(cè)值。其中，其中，x(1)=min x1, x2, xn 稱為該樣本的稱為該樣本的最小次序統(tǒng)計(jì)量，最小次序統(tǒng)計(jì)量，稱稱 x(n)=max x1,x2,xn 為該樣本的為該樣本的最大次序統(tǒng)計(jì)量。最大次序統(tǒng)計(jì)量。xp在一個(gè)樣本中，在一個(gè)樣本中，x1, x2,xn 是獨(dú)立同分布的，而是獨(dú)立同分布的，而次序統(tǒng)計(jì)次序統(tǒng)計(jì)量量 x(1), x(2), x(n) 則既不獨(dú)立，分布也則既不獨(dú)立，分布也不相同不相同，看下例。，看下例。xpP(x(1)=0) = ? 0 1 2 (1)xp1927727127(3)x7271927p127 0

8、 1 2可以清楚地看到這三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不相同的。三個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布是不相同的。(2)x1327727p727 0 1 2進(jìn)一步，我們可以給出兩個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布，如，x(1) 和x(2) 的聯(lián)合分布列為01207/279/273/27104/273/272001/27x(1)x(2)因?yàn)?P(x(1) = 0, x(2) = 0) =7/27 ，二者不等，由此可看出x(1) 和和 x(2)是不獨(dú)立的是不獨(dú)立的。而 P( x(1) = 0)*P( x(2) = 0) = (19/27)*(7/27)，二、單個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布定理5.3.5 設(shè)總體X的密度函數(shù)為p(x)，分布 函數(shù)為

9、F(x)， x1, x2, xn為樣本，則第k個(gè) 次序統(tǒng)計(jì)量x(k)的密度函數(shù)為)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例例5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為設(shè)總體密度函數(shù)為 p(x)=3x2, 0 x 1. 從該總體抽得一個(gè)容量為從該總體抽得一個(gè)容量為5的樣本，的樣本， 試計(jì)算試計(jì)算 P(x(2) 1/2)。)()(1 ()()!()!1(!)(1xpxFxFknknxpknkk例例5.3.8 設(shè)總體分布為設(shè)總體分布為U(0,1)， x1, x2, xn為樣為樣 本，本，試求第試求第 k 個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布。個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的分布。)()(1 ()()!()!1(!)(

10、1xpxFxFknknxpknkk三、多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布對(duì)任意多個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量可給出其聯(lián)合分布，以兩個(gè)為例說明：定理5.3.6 在定理5.3.5的記號(hào)下，次序統(tǒng)計(jì) 量 (x(i), x(j), (i j) 的聯(lián)合分布密度函數(shù)為zyzpypzFyFzFyFjnijinzypjnijiij),()()(1 )()()()!()!1()!1(!),(11次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)在實(shí)際中經(jīng)常用到。次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)在實(shí)際中經(jīng)常用到。如如 樣本極差樣本極差 Rn = x(n) x(1)令令 R = x(n) x(1) ，由 R 0, 可以推出0 x(1) = x(n)R 1 R ，則例5.3.9 設(shè)總體分布為

11、U(0,1)， x1, x2, xn 為 樣本，則(x(n), x(1)的聯(lián)合密度函數(shù)為p1,n(y,z)=n(n1)(zy)n-2, 0 y z 1這正是參數(shù)為(n1, 2)的貝塔分布。1220( )(1)()d(1)(1)rnnRprn nyryyn nrr樣本中位數(shù)也是一個(gè)很常見的統(tǒng)計(jì)量，它也是次序統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)，通常如下定義：更一般地，樣本p分位數(shù)mp可如下定義： 120.5122,12nnnxnmxxn 為奇數(shù)，為偶數(shù)(1)()(1),1(2nppnpnpxnpmxxnp若不是整數(shù))， 若是整數(shù)例：某數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)小組11人年齡（歲）為：17，19，22，24，25，28，34，35，36，

12、37，38(另一種方法)三個(gè)四分位數(shù)的位置分別為：Q1所在的位置=（11+1）/4=3，Q2所在的位置=2（11+1）/4=6，Q3所在的位置=3（11+1）/4=9。下四分位數(shù)、中位數(shù)和上四分位數(shù)，即：Q1=22（歲）、Q2=28（歲）、Q3=36（歲）定理5.3.7 設(shè)總體密度函數(shù)為p(x)，xp為其p分 位數(shù)， p(x)在xp處連續(xù)且 p(xp) 0，則特別，對(duì)樣本中位數(shù)，當(dāng)n時(shí)近似地有當(dāng)n 時(shí)樣本 p 分位數(shù) mp 的漸近分布為2(1),pppppmNxn p x0.50.520.51,4mNxn p x例5.3.10 設(shè)總體為柯西分布，密度函數(shù)為p(x,)= 1/(1+(x)2) ,

13、 x0.5 x1, x2, xn m0.5 m0.5 AN( , 2/4n) .Q30次序統(tǒng)計(jì)量的應(yīng)用之一是五數(shù)概括與箱線圖。在得到有序樣本后，容易計(jì)算如下五個(gè)值：最小觀測(cè)值 xmin= x(1) , 最大觀測(cè)值 xmax=x(n) ,中位數(shù) m0.5 , 第一4分位數(shù) Q1 = m0.25, 第三4分位數(shù) Q3 = m0.75.所謂五數(shù)概括就是指用這五個(gè)數(shù)：xmin , Q1 , m0.5 , Q3 , xmax來大致描述一批數(shù)據(jù)的輪廓。課程名稱課程名稱學(xué)生編號(hào)學(xué)生編號(hào)1234567891011英語英語經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)市場(chǎng)營(yíng)銷學(xué)市場(chǎng)營(yíng)銷學(xué)財(cái)務(wù)管理財(cái)務(wù)管理基礎(chǔ)會(huì)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)會(huì)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)計(jì)算機(jī)應(yīng)用基礎(chǔ)76659374687055859095818775739178975176857092688171748869846573957078669073788470936379806087816786918377769070828382928481706972787578918866948085718674687962818155787075687177Min-M