不規(guī)則幾何體體積的求法

1、（底面積或高）不易求出時,該方法尤其適用于求三棱錐的體nPA1MN的體積，便不規(guī)則幾何體體積的求法當(dāng)所給幾何體形狀不規(guī)則時，無法直接利用體積公式求解， 可嘗試用以下幾種常用的方 法求出原幾何體的體積，下面逐一介紹，供同學(xué)們參考.、等積轉(zhuǎn)換法當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或套用公式時某一量 可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進行計算求解, 積.例1 在邊長為a的正方體 ABCD A1B1C1D1中，M , N, P1分別是棱A1B1, A1D1, A1A上的點，且滿足 A1M = 2AB1,3A1N=2ND1, A1P= 4 A1A （如圖 1）,試求三棱錐 A1 MNP 的 體積.1分

2、析：若用公式V 3 Sh直接計算三棱錐 A1 MNP的體積，3則需要求出 MNP的面積和該三棱錐的高，這兩者顯然都不易求出，但若將三棱錐 A1 MNP的頂點和底面轉(zhuǎn)換一下，變?yōu)榍笕忮F1能很容易的求出其高和底面A1MN的面積，從而代入公式求解.解: Va1-MNP =VA1 MNP1 1A1MN h = 3><21A1M1 A1N A1P=31123 丄2 2a 3 a 4 a= 24#KI 21由于 VaEF-A1B1C1 = 3s s 7h（4 +s+2）= 12 Sh,則剩余不規(guī)則幾何體的體積為V -V- VAEF-A1B1C1 = Sh -7_12Sh -12 Sh,3a

3、.評注：轉(zhuǎn)換頂點和底面是求三棱錐體積的一種常用方法，也是以后學(xué)習(xí)求點到平面距離的一個理論依據(jù).二、分割法分割法也是體積計算中的一種常用方法，在求一些不規(guī)則的幾何體的體積以及求兩個幾何體的體積之比時經(jīng)常要用到分割法.例2 如圖2，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E, F分別為AB, AC的中點，平面 EB1C1F將三棱柱分成兩部分，求這兩部分的體積之比.分析：截面EB1C1F將三棱柱分成兩部分，一部分是三棱臺 AEF A1B1C仁另一部分是一個不規(guī)則幾何體，其體積可以利用棱柱 的體積減去棱臺的體積求得.解：設(shè)棱柱的底面積為 S,高為h,其體積V=Sh.則三角形AEF的面積為1 S.所以兩部分的體

4、積之比為 Vaef-a1B1C1： v =7: 5.評注：在求一個幾何體被分成的兩部分體積之比時，若有一部分為不規(guī)則幾何體，則可 用整個幾何體的體積減去規(guī)則幾何體的體積求出其體積，再進行計算.三、補形法某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中， 巧妙地破解空間幾何體的體積問題， 這是一種 重要的解題策略 一一補形法常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題.例3已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 .2正視圖俯視圖分析：由三視圖畫出直觀圖，補一個大小相同的幾何體，構(gòu)成一個圓柱即可求其體積解：由三視圖可知，此幾何體是底面半徑為1高為4的圓柱被從母線的中點處截去了圓柱的1根據(jù)對稱性，可補全此圓柱如圖，故體積V = 3Xn>