§2.4 微積分 數(shù)學ppt課件

1、稱稱A為可逆矩陣或非奇特矩陣，為可逆矩陣或非奇特矩陣， 稱稱B為為A的逆矩陣，的逆矩陣，AB = BA = I ,3152 A 2153B AB 3152 2153,2I 2IBA (* A, B為同階方陣為同階方陣)如如A可逆，可逆， A的逆矩陣為的逆矩陣為B. 簡稱簡稱A可逆可逆. 否那么稱否那么稱A為不可逆矩陣或奇特矩陣為不可逆矩陣或奇特矩陣. 1001解：待定系數(shù)法，設解：待定系數(shù)法，設例例1,3152 A問問A能否可逆，能否可逆， 假設假設A可逆，求逆矩陣可逆，求逆矩陣. dcbaB 2153B 3152AB dcba dbcadbca335252 100113 db, 152 ca

2、, 052 db, 03 ca, IBAAB BIB )(ACB CBA)( IC .C *A的逆矩陣記作的逆矩陣記作A-1.證明證明: 設設B ,C都為都為A的逆矩陣，的逆矩陣，, ICAAC IAAAA 11A1A-1是逆矩陣的記號，不是是逆矩陣的記號，不是.1無無意意義義A那么稱那么稱n階方階方陣陣為為A的伴隨矩陣的伴隨矩陣. A 12111.nAAA22212.nAAA.nnnnAAA.21Aij為為|A|中元素中元素aij的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式，證明證明: A的可逆的可逆,存在同階方陣存在同階方陣B， AB = BA = I ,|A| |B|= |I |=1 0，|A|0.nji

3、, 2 , 1, = (Aji)nn, ,101020101 A, 21002)1(1111 A, 01100)1(2112 A, 20120)1(3113 A, 01010)1(1221 A例例2 求求A的伴隨矩陣的伴隨矩陣A*. , 21111)1(2222 A, 00101)1(3223 A 202020202*A, 20210)1(1331 A, 00011)1(2332 A, 22001)1(3333 A 時時當當時時當當sisiAAanjsjij, 0,1證明證明:*AA nnnnnnnnnnnnAAAAAAAAAaaaaaaaaa212221212111212222111211

4、A00AA0000, IA IAAA *同同理理 AAA11且且證明證明:, 0 A *1AAAI n階方陣階方陣A可逆，可逆，A A*= A*A=|A| IAAA *1 AAA11A可逆可逆,1BA .1AB 證明證明:, IAB BA, 01 IAB, 0, 0 BAA, B都可逆都可逆.IAABA11 ;1 A1 BA那么那么A, B互逆，且互逆，且 IBB 同理同理.101020101 AA101020101 4 , 0 例例3 判別矩陣判別矩陣A能否可逆，假設可逆能否可逆，假設可逆,求求A-1.解解:A可逆可逆, 202020202*A由例由例2 *11AAA 20202020241

5、.21021021021021 21021021021021101020101(1) A*的元素的陳列順序的元素的陳列順序, |A|的第的第 i 行元素的代數(shù)余子式，排在行元素的代數(shù)余子式，排在A*的第的第 i 列上列上; (2) 用用A A-1=I ， 檢驗檢驗A-1能否計算正確能否計算正確. .100010001 221431021A221431021 A02 ,142243)1(1111 A, 62141)1(2112 A, 12131)1(3113 A.練習練習:判別判別 能否可逆，假設可逆，求能否可逆，假設可逆，求A-1.A可逆，可逆， 1014268414*11AAA 101426

6、841421 21021213427 332313322212312111*AAAAAAAAAA例例4 求二階矩陣求二階矩陣A的逆矩陣的逆矩陣0, bcaddcbaA, 0 bcaddcbaA解解:A可逆可逆, 2212211111AAAAAA acbdbcad1 bcadabcadcbcadbbcadd,11dA ,12cA ,21bA aA 22(1)假設假設A可逆，那么可逆，那么A-1也可逆，且也可逆，且 (A-1)-1 =A;(3) 假設假設A,B為同階可逆矩陣，那么為同階可逆矩陣，那么AB 也可逆，也可逆，且且(AB)-1 = B-1A-1 ;)(11 ABAB11)( ABBA1

7、AIA1 AA, I )(1 AB.11 AB證明證明:11)( kAA 111 AAk(4)假設假設A可逆，可逆，AT也可逆，也可逆， 且且.)()(11TTAA .1)(11 AA (2)假設假設A可逆，可逆，0，那么，那么A也可逆，且也可逆，且(5)假設假設A可逆，可逆，Ak也可逆，且也可逆，且.)()(11kkAA ,3423OIAAA ,)34(2IIAAA IAAA3421 ,33223OIAAAA IIAAIAA )3()3(2IIAAA )3)(2AAIA 21)3(例例5 設方陣設方陣A 滿足滿足A3 - 4A2 + 3A I = O,解解:A可逆可逆, A-3I可逆可逆,證

8、明證明A 與與A 3I 均可逆，并求其逆矩陣均可逆，并求其逆矩陣. ).2(211IAA ,222OIAA ,2)2(IIAA ,)2(21IIAA ;21)2(1AIA 練習練習 知知A2-2A-2I =O，證明，證明A可逆，并求其逆矩陣可逆，并求其逆矩陣.A可逆可逆,IIAA2)2( ?2)2(IAA 能寫成能寫成可可逆逆ABAX,)1( ;1BAX 可可逆逆ABXA,)2( ;1 BAX均均可可逆逆和和 BACAXB,)3( .11 CBAX解矩陣方程解矩陣方程:第一步第一步: 求逆矩陣求逆矩陣;第二步第二步: 用矩陣乘法計算用矩陣乘法計算. 2011114321X 2011114321

9、1X, 04321 201111132421 21231021例例6 解矩陣方程解矩陣方程:解解:可逆，可逆， 4321111)( BABA;)(111 BABA,01101 B1)( BA,1001 A,0110 B 111111BA例如例如,10011 A11111 111121.1II .1)(1IaaI naaA1 1111naaA特殊矩陣的逆矩陣特殊矩陣的逆矩陣:1. 單位矩陣單位矩陣I 可逆，可逆， 2. 數(shù)量陣數(shù)量陣a I 可逆的充要條件是可逆的充要條件是 a0,3. 對角陣對角陣可逆的充要條件是可逆的充要條件是ai0,可逆時，可逆時，i =1,n 可逆時可逆時121 nbbb

10、11111bbbnn nnnaaaA111 11111nnaaA 4. 上三角陣上三角陣可逆的充要條件是可逆的充要條件是 aii0，i=1,n 可逆時可逆時(2) A可逆可逆AAA|1)(1 .)(1 A )()()3(TTAA).3()()4(2 nAAAnA*可逆，可逆，1)1( nAA證明：證明：A可逆時可逆時 A (1)1 nA1 AA1 AAn1 AAn, 0 A1111)()( AAA(2) A可逆可逆, 01 nAAA*可逆可逆,1)( A.1AA )(111 AA11)( AA.1AA TTAAA)()()3(1 TAA)(1 1)( TTAA )(TA(4),1 AAA )(

11、 A1)( AA 111 AAAnAAAn11 AAn 2 留意留意: (1),(3),(4)在在A不可逆時仍成立不可逆時仍成立.TTTBABA )( ABAB,ABAB,ABABTTT)()()(111 )()(,)()(,)()(1111AAAAAATTTT111)()()( TTTTBAABIBC TTIBCAB)(1TBA)(11 TTABAC)(1TAB)(1 TTTABAC)()(1TAB)(1 TCA 例例7 化簡化簡解解: 原式原式=例例8 設設A、B 、A+B均可逆，證明均可逆，證明A-1+B 1也可逆，也可逆，并求其逆矩陣并求其逆矩陣.證明證明:1111 IBIABA111

12、1 ABABBA11)( BABAA-1+B 1可逆，且可逆，且111111)( BABABA）（ABAB1)( 11111)( ABABBA）（可得：可得：,82IBABAA ,121 A,82IBABAA ,8)2(IBAAI 11)2(8 AAIB1)|2(8 IAA14248 242例例9 設設A,B滿足滿足 求求B.解解:1111)2(8 AAAAA111)2(8 AIAAA例例10 實矩陣實矩陣A= (aij)33中，中，a11 0，Aij= aij (i,j=1,2,3),Aij為為aij的代數(shù)余子式，的代數(shù)余子式， 求求|A|.解解:131312121111|AaAaAaA 0

13、213212211 aaa那么那么A可逆，可逆， AAA11TAA1 211| AAAAT1| A,TAA ,TAA AA 131| A或或,TAA 1. 逆矩陣的定義逆矩陣的定義;2. 逆矩陣的獨一性定理逆矩陣的獨一性定理;3. 逆矩陣的存在性定理逆矩陣的存在性定理; AAA11A是非奇特矩陣是非奇特矩陣A可逆可逆4. AB =I，那么，那么A, B都可逆，且都可逆，且,1BA .1AB 5. 解矩陣方程解矩陣方程;6. 逆矩陣的性質；逆矩陣的性質； 7. 特殊矩陣的逆矩陣特殊矩陣的逆矩陣; 8. 伴隨矩陣的性質伴隨矩陣的性質. 證明證明: AkkAn 1)(1)()( kAkAkA11 AkAkn11 AAkn Akn 11. 設設n階方陣階方陣A,B 滿足滿足A*BA = 8BA-5I，且，且|A|=2 ,| I - 4A |0， 求求B.2. 設設n階方陣階方陣A,B 滿足滿足A2+AB+B2 =O， 假設假設B可逆，可逆， 證明證明A與與A+B均可逆，并求其逆矩陣均可逆，并求其逆矩陣.1.解解: |A|=