大學(xué)微積分的教程PPT

1、1第四節(jié)一、函數(shù)單調(diào)性的判定法一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與 曲線的凹凸性 第四四章 2主要內(nèi)容主要內(nèi)容 函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹凸性與拐點(diǎn)曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 工具工具: 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù) 工具工具: 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)3函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的關(guān)系y = f (x)函數(shù)單調(diào)函數(shù)單調(diào)增加增加函數(shù)單調(diào)函數(shù)單調(diào)減少減少 0 0, x (a, b), 則則 f (x) 在在 (a, b) 上上 單調(diào)單調(diào)遞增遞增;(2) 如果如果 f (x) 0, x (a, b), 則則 f (x) 在在 (a, b) 上上 單調(diào)單

2、調(diào)遞減遞減.xyo)(xfy xyo)(xfy 0)( xf0)( xf5例例解解1) 討論函數(shù)討論函數(shù) y = ln x 的單調(diào)性的單調(diào)性.2) 討論函數(shù)討論函數(shù) y = e xx1 的單調(diào)性的單調(diào)性.y 0時(shí)時(shí), y 0, y 在在 (0, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.解解ln x 在在 (0, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.當(dāng)當(dāng) x 0時(shí)時(shí), 6解解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令令 f (x) = 0 得得:x1 = 1, x2 = 2當(dāng)當(dāng) x 0, 在在 (, 1) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增;當(dāng)當(dāng) 1 x 2時(shí)時(shí), f (x) 0, 在在 (1, 2

3、) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減;當(dāng)當(dāng) 2 x 0, 在在 (2, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.求函數(shù)求函數(shù) f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增減性的增減性.例例1 17求函數(shù)求函數(shù) f (x) = 2 x3 9 x2 + 12 x 3 的增減性的增減性.解解f (x) = 6 x218 x + 12= 6 (x1)( x 2)令令 f (x) = 0 得得:x1 = 1, x2 = 2xy y(, 1)(1, 2)(2, +)12也可用列表法討論如下也可用列表法討論如下:00所以所以, 遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為: (, 1) 和和 (2, +); 遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為: (1,

4、2).例例1 18求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.例例2 29求函數(shù)求函數(shù) f (x) = (x + 2)2(x 1)3 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.解解f (x) = (x + 2)(5x + 4)( x 1)2令令 f (x) = 0 得得:xy y(, 2)1列表討論如下列表討論如下:x1 = 2, x2 = , x3 = 145(1, +)1(2, )4545( , 1)450 00遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為: (, 2) 和和 ( , +); 45遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為: (2, ).45例例2 210求函數(shù)求函數(shù) y = 的單調(diào)性的單調(diào)性.解解當(dāng)

5、當(dāng) x 0時(shí)時(shí), f (x) 0,在在 (, 0) 上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減;當(dāng)當(dāng) 0 x 0,在在 (0, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.32x當(dāng)當(dāng) x = 0時(shí)時(shí), 導(dǎo)數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)不存在.例例3 311導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)注意注意: 區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響不影響 區(qū)間的單調(diào)性區(qū)間的單調(diào)性.例如例如,3xy .),(上上嚴(yán)嚴(yán)格格單單調(diào)調(diào)增增加加但但在在 ,032 xy y2O24224x y=x3 駐點(diǎn)駐點(diǎn), 0)0( y方法方法: 用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)來(lái)劃分函數(shù)的定義區(qū)間

6、定義區(qū)間, 然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào)然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào).總結(jié)總結(jié)12利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式例例4 4證證當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 證明證明 x ln(1 + x).設(shè)設(shè) f (x) = x ln(1 + x)則則即即 x ln(1 + x).而而 f (0) = 0, f (x) f (0) = 0. 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), f (x) f (0). 在在 (0, +) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增f (x) 在在 (0, +)上連續(xù)上連續(xù), 在在 (0, +) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 且且 f (x) 013.0)( ,1e xxx證證明明不不等等式式例例5 5證證綜上所述綜上所述

7、, 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 總有總有 e x 1 + x令令 f (x) = e x (1 + x)則則 f (x) = e x1當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), f (x) 0, f (x) 在在 (0, +) 為增函數(shù)為增函數(shù)即即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), f (x) 1 + x f (x) f (0) = 0. 14利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根利用函數(shù)的單調(diào)性討論方程的根由連續(xù)函數(shù)的由連續(xù)函數(shù)的介值定理介值定理知知, 例例6 6證證證明方程證明方程 有且只有一個(gè)實(shí)根有且只有一個(gè)實(shí)根.設(shè)設(shè)f (x) 在在 (0, 1) 內(nèi)至少有一個(gè)根內(nèi)至少有一個(gè)根.又因

8、為又因?yàn)樗运? f (x) 在在 (0, 1) 內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根.f (x) 在在 (0, 1) 上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.15二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)問(wèn)題問(wèn)題: 如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoNABM16函數(shù)曲線除了有上升和下降外函數(shù)曲線除了有上升和下降外, 還有還有什么特點(diǎn)？什么特點(diǎn)？17曲線凹向的定義曲線凹向的定義 如果在某區(qū)間內(nèi)如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方的上方, 則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹上凹的的; 如果在某區(qū)間如果在某區(qū)間內(nèi)內(nèi), 曲線弧位于其上任意

9、一點(diǎn)的切線的下方曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方, 則稱(chēng)曲線在則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹下凹的的.上凹上凹下凹下凹18曲線凹向的定義曲線凹向的定義設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo). 如果對(duì)如果對(duì)(a, b) 中任意一點(diǎn)中任意一點(diǎn) x0, 總成立總成立:f (x) ( 0, x (a, b) 且且 x x0則稱(chēng)曲線在則稱(chēng)曲線在 a, b上是上是上上 (下下) 凹凹的的. 連續(xù)曲線在上凹與連續(xù)曲線在上凹與下凹的分界點(diǎn)下凹的分界點(diǎn), 稱(chēng)為稱(chēng)為拐點(diǎn)拐點(diǎn).19曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性曲線的凹向與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性拐點(diǎn)拐點(diǎn)上凹上凹下凹下

10、凹當(dāng)曲線是上凹的時(shí)，當(dāng)曲線是上凹的時(shí)， f (x)單調(diào)增加。單調(diào)增加。當(dāng)曲線是下凹的時(shí)，當(dāng)曲線是下凹的時(shí)， f (x)單調(diào)減少。單調(diào)減少。曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)拐點(diǎn)。20 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB遞遞增增)(xf abBA0 y遞遞減減)(xf 0 y定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 在在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo)內(nèi)二階可導(dǎo).則曲線則曲線 y = f (x) 在在 a, b 上是上是上凹上凹的的;(1) 如果如果 (2) 如果如果 則曲線則曲線 y = f (x) 在在 a, b 上是上是下凹下

11、凹的的;21解解,32xy ,6xy 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y；為下凹的為下凹的在在曲線曲線0 ,(時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x, 0 y；在在為上凹的為上凹的曲線曲線), 0 x yO3xy 求函數(shù)求函數(shù) y = x3 的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn)的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn).拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為 (0, 0). 例例7 722得得解解求函數(shù)求函數(shù) y = 3x 4 4 x 3 + 1的上凹、下凹區(qū)間的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn)及拐點(diǎn).x)0 ,(),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹下凹下凹上凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(令令例例8 823拐點(diǎn)的求法：拐點(diǎn)的求法：1 1. 找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2 2. 若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào)若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào), 則為拐點(diǎn)則為拐點(diǎn); 若同號(hào)若同號(hào), 則不是拐點(diǎn)則不是拐點(diǎn). .24求曲線求曲線 y = 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).解解當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí),3xx = 0 是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn), 都不存在都不存在. 點(diǎn)點(diǎn) (0, 0) 是曲線是曲線 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).當(dāng)當(dāng) x 0當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí), 0例例9 925求曲線求曲線 y = 的拐點(diǎn)的拐點(diǎn).解解當(dāng)當(dāng) x 0 時(shí)時(shí),32xx = 0 是不可導(dǎo)點(diǎn)是不可導(dǎo)點(diǎn), 都不存在都不存在. 點(diǎn)點(diǎn) (0,