高斯積分點以及有限元中應(yīng)用學習教案

1、會計學1高斯積分點以及有限元中應(yīng)用高斯積分點以及有限元中應(yīng)用第一頁，編輯于星期三：七點 二十八分。 在計算空間等參數(shù)單元的載荷列陣及剛度矩陣時，需用到如下形式的定積分： 其中被積分函數(shù)f(，)一般是很復(fù)雜的，即使能夠得出它的顯式，其積分也是很繁的。因此，一般用數(shù)值積分來代替函數(shù)的定積分。dddf 111111),(ddf 1111),(第1頁/共19頁第二頁，編輯于星期三：七點 二十八分。 數(shù)值積分數(shù)值積分：在積分區(qū)域內(nèi)按一定規(guī)則選出一些點，稱為積分點，算出被積函數(shù)f(，)在這些積分點處的值，然后再乘以相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)并求和，作為近似的積分值。 數(shù)值積分數(shù)值積分的方法的方法有多種，其中高斯積分法

2、可以用相同的積分點數(shù)達到較高的精度，或者說用較少的積分數(shù)達到同樣的精度。第2頁/共19頁第三頁，編輯于星期三：七點 二十八分。一、一維積分的高斯公式一、一維積分的高斯公式 其中f(i)是被積函數(shù)在積分點i處的數(shù)值，Hi為加數(shù)系數(shù)，n為積分點數(shù)目。 對于n個積分點，只要選取適當?shù)募訑?shù)系數(shù)及積分點位置，能夠使式在被積分函數(shù)為不超過(2n-1)次多項式時精確成立。 由于多數(shù)函數(shù)可表示成多項式形式，這種積分適應(yīng)于大多數(shù)函數(shù)。 niiifHdf111)()(第3頁/共19頁第四頁，編輯于星期三：七點 二十八分。例如，n=1時 不論f()的次數(shù)是0還是1，只需取H=2，1，上式均是精確成立的。因為 )()

3、(1111fHdfI10)(CCf101( )22(0)IfdCf第4頁/共19頁第五頁，編輯于星期三：七點 二十八分。332210)(CCCCf2011322)(CCdfI)()()()()(323222102313212101221121CCCCHCCCCHfHfHfHIiii第5頁/共19頁第六頁，編輯于星期三：七點 二十八分。221 HH02211HH32222211HH0322311HH2 ,269,350,577. 031210 ,000,000,000. 121 HH， ， 第6頁/共19頁第七頁，編輯于星期三：七點 二十八分。ln n個插值結(jié)點非等距分布個插值結(jié)點非等距分布l結(jié)

4、點和積分權(quán)系數(shù)可以查表結(jié)點和積分權(quán)系數(shù)可以查表111()(niiiAfdf第7頁/共19頁第八頁，編輯于星期三：七點 二十八分。二維積分的高斯公式二維積分的高斯公式以一維高斯積分公式為基礎(chǔ)，導(dǎo)出二維及三維公式。求二維重積分 的數(shù)值時，可以先對、進行積分， 或改寫成 這就是二維的高斯積分公式。ddf 1111),()(),(),(111niiifHdfmjjjHd111)()( mjnijiijfHHddf111111),(),( nimjjijifHHddf111111),(),(第8頁/共19頁第九頁，編輯于星期三：七點 二十八分。 nimjlkkjikjifHHHdddf111111111

5、),(),( ninjjijifHHddf111111),(),( ninjnkkjikjifHHHdddf111111111),(),(第9頁/共19頁第十頁，編輯于星期三：七點 二十八分。 由前面的推導(dǎo)可見，當在每個方向取由前面的推導(dǎo)可見，當在每個方向取n n個積分點時，個積分點時，只要多項式被積函數(shù)中自變量的次數(shù)只要多項式被積函數(shù)中自變量的次數(shù)m2n-1m2n-1，則用高斯求積，則用高斯求積公式求得的積分值是完全精確的。公式求得的積分值是完全精確的。 反過來，對于反過來，對于m m次多項式的被積函數(shù)，為了積分值完全次多項式的被積函數(shù)，為了積分值完全精確，積分點的數(shù)目必須取精確，積分點的數(shù)

6、目必須取 。第10頁/共19頁第十一頁，編輯于星期三：七點 二十八分。l高斯積分方法預(yù)先定義了積分點和相應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，求出被積分的函數(shù)在指定積分點上的數(shù)值，加權(quán)后求和，就得到了該函數(shù)的積分。l高斯積分方法具有最高的計算精度。采用n個積分點的高斯積分可以達到2n-1階的精度，也就是說，如果被積分的函數(shù)是2n-1次多項式，用n個積分點的高斯積分可以得到精確的積分結(jié)果。 第11頁/共19頁第十二頁，編輯于星期三：七點 二十八分。l積分階次的選擇直接影響計算的精度和計算工作量。l積分階次的選擇必須保證積分的精度。（完全精確積分）l很多情況下，實際選取的高斯積分點數(shù)低于精確積分的要求，往往可以取得較完全

7、精確積分更好的精度。（減縮積分）第12頁/共19頁第十三頁，編輯于星期三：七點 二十八分。線性單元完全精確積分 二次單元減縮積分第13頁/共19頁第十四頁，編輯于星期三：七點 二十八分。有限元分析主要步驟 我們知道，經(jīng)過單元方程的組裝以后，結(jié)構(gòu)靜力學有限元方程如下F=KU 其中，F(xiàn)-節(jié)點載荷向量；K-總體剛度矩陣；U-節(jié)點位移向量 在引入邊界條件以后，解上述方程組，就可以得到節(jié)點位移向量U.這是求解結(jié)構(gòu)靜力學方程組所得到的第一組解，它是最精確的。 得到節(jié)點的位移解后，下面是求取應(yīng)變解和應(yīng)力解。與位移解不同，它們并不是直接在節(jié)點上獲得，而是首先在積分點上獲得的。 第14頁/共19頁第十五頁，編輯

8、于星期三：七點 二十八分。有限元分析主要步驟 所謂積分點是指，在對單元建立方程時，例如剛度矩陣是需要通過積分而得到的，而積分時為了能夠方便計算，大多數(shù)有限元軟件采用了所謂高斯積分的方式，即在單元內(nèi)分布一些高斯點 這樣，有限元軟件會首先獲得這些高斯點的應(yīng)力和應(yīng)變，其方法如下：l在高斯積分點上，依據(jù)幾何方程:=BUl計算出高斯積分點上的應(yīng)變:l然后基于虎克定律及幾何方程推導(dǎo)的結(jié)果來計算高斯積分點的應(yīng)力。:=DBU第15頁/共19頁第十六頁，編輯于星期三：七點 二十八分。有限元分析主要步驟 可見，在應(yīng)變和應(yīng)力計算方面，高斯積分點的應(yīng)變和應(yīng)力是最最準確的。 利用特定單元的形函數(shù)以及高斯點的應(yīng)力，應(yīng)變值

9、，將這些值外推到該單元的節(jié)點上，就得到了單元上節(jié)點的應(yīng)力應(yīng)變值。 顯然，不同的單元會共用一些節(jié)點，而從不同單元內(nèi)的積分點外推到這些公共節(jié)點的應(yīng)變值和應(yīng)力值一般不相同,將一個公共節(jié)點的多個應(yīng)力進行平均，以代表該節(jié)點的應(yīng)力值。第16頁/共19頁第十七頁，編輯于星期三：七點 二十八分。有限元分析主要步驟總之，求解節(jié)點應(yīng)力的步驟是：（1）根據(jù)總體方程，得到節(jié)點的位移解。（2）根據(jù)幾何方程，得到單元高斯點的應(yīng)變解。（3）根據(jù)物理方程，得到單元高斯點的應(yīng)力解。（4）在某一個單元內(nèi)，基于形函數(shù)，將高斯點的應(yīng)力外 推到該單元的所有節(jié)點。（5）對于某一個公共節(jié)點，將該節(jié)點關(guān)聯(lián)的所有單元所推出的該節(jié)點的應(yīng)力解進行平均，最終得到該節(jié)點的應(yīng)力解。第17頁/共19頁第十八頁，編輯于星期三：七點 二十八分。積分點與節(jié)點的關(guān)系 我們需要對應(yīng)變在單元內(nèi)的面積上進行積分時，因為節(jié)點的應(yīng)力、位移顯然與x,y無關(guān)，我們只需要考慮對形函數(shù)積分。 采用Gauss-Legendre多項式計算積分時，我們只需要計算根據(jù)特定積分點的值（在自然坐標系下是固定的，可以查手冊，這些點也叫高