麥克斯韋電磁場理論

1、麥克斯韋電磁場理論麥克斯韋電磁場理論的要點可以歸結(jié)為：幾分立的帶電體或電流，它們之間的一切電的及磁的作用都是通過它們之間的中間區(qū)域傳遞的，不論中間區(qū)域是真空還是實體物質(zhì)。電能或磁能不僅存在于帶電體、磁化體或帶電流物體中，其大部分分布在周圍的電磁場中。導(dǎo)體構(gòu)成的電路若有中斷處，電路中的傳導(dǎo)電流將由電介質(zhì)中的位移電流補償貫通，即全電流連續(xù)。且位移電流與其所產(chǎn)生的磁場的關(guān)系與傳導(dǎo)電流的相同。磁通量既無始點又無終點，即不存在磁荷。光波也是電磁波。麥克斯韋方程組有兩種表達方式。1. 積分形式的麥克斯韋方程組是描述電磁場在某一體積或某一面積內(nèi)的數(shù)學(xué)模型。表達式為：式是由安培環(huán)路定律推廣而得的全電流定律，其

2、含義是：磁場強度H沿任意閉合曲線的線積分，等于穿過此曲線限定面積的全電流。等號右邊第一項是傳導(dǎo)電流第二項是位移電流。式是法拉第電磁感應(yīng)定律的表達式，它說明電場強度E沿任意閉合曲線的線積分等于穿過由該曲線所限定面積的磁通對時間的變化率的負值。這里提到的閉合曲線，并不一定要由導(dǎo)體構(gòu)成，它可以是介質(zhì)回路，甚至只是任意一個閉合輪廓。式表示磁通連續(xù)性原理，說明對于任意一個閉合曲面，有多少磁通進入盛然就有同樣數(shù)量的磁通離開。即B線是既無始端又無終端的；同時也說明并不存在與電荷相對應(yīng)的磷荷。式是高斯定律的表達式，說明在時變的條件下，從任意一個閉合曲面出來的D的凈通量，應(yīng)等于該閉曲面所包圍的體積內(nèi)全部自由電荷

3、之總和。2. 微分形式的麥克斯韋方程組。微分形式的麥克斯韋方程是對場中每一點而言的。應(yīng)用del算子，可以把它們寫成式是全電流定律的微分形式，它說明磁場強度H的旋度等于該點的全電流密度（傳導(dǎo)電流密度J與位移電流密度  之和），即磁場的渦旋源是全電流密度，位移電流與傳導(dǎo)電流一樣都能產(chǎn)生磁場。式是法拉第電磁感應(yīng)定律的微分形式，說明電場強度E的旋度等于該點磁通密度B的時間變化率的負值，即電場的渦旋源是磁通密度的時間變化率。式是磁通連續(xù)性原理的微分形式，說明磁通密度B的散度恒等于零，即B線是無始無終的。也就是說不存在與電荷對應(yīng)的磁荷。式是靜電場高斯定律的推廣，即在時變條件下，電位移D

4、的散度仍等于該點的自由電荷體密度。除了上述四個方程外，還需要有媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系式才能最終解決場量的求解問題。式中是媒質(zhì)的介電常數(shù)，是媒質(zhì)的磁導(dǎo)率，是媒質(zhì)的電導(dǎo)率。表達形式編輯積分形式麥克斯韋方程組的積分形式如下：這是1873年前后，麥克斯韋提出的表述電磁場普遍規(guī)律的四個方程。其中：（1）描述了電場的性質(zhì)。在一般情況下，電場可以是自由電荷的電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻。（2）描述了磁場的性質(zhì)。磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。（3）描述了

5、變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。（4）描述了傳導(dǎo)電流和變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。穩(wěn)恒場中的形式當(dāng)時，方程組就還原為靜電場和穩(wěn)恒磁場的方程：無場源自由空間中的形式當(dāng)  ，方程組就成為如下形式：麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關(guān)系。微分形式在電磁場的實際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。注意：(1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程組有同樣的形式。(2) 應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質(zhì)對電磁場的影響。例如在均勻各向同性介質(zhì)

6、中，電磁場量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關(guān)系。在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)。復(fù)數(shù)形式對于正弦時變場，可以使用復(fù)矢量將電磁場定律表示為復(fù)數(shù)形式。在復(fù)數(shù)形式的電磁場定律中，由于復(fù)數(shù)場量和源量都只是空間位置的函數(shù)，在求解時，不必再考慮它們與時間的依賴關(guān)系。因此，對討論正弦時變場來說面采用復(fù)數(shù)形式的電磁場定律是較為方便的。注記采用不同的單位制，麥克斯韋方程組的形式會稍微有所改變，大致形式仍舊相同，只是不同的常數(shù)會出現(xiàn)在方程內(nèi)部不同位置。國際單位制是最常使用的單位制，整個工程

7、學(xué)領(lǐng)域都采用這種單位制，大多數(shù)化學(xué)家也都使用這種單位制，大學(xué)物理教科書幾乎都采用這種單位制。其它常用的單位制有高斯單位制、洛倫茲-赫維賽德單位制（Lorentz-Heaviside units）和普朗克單位制。由厘米-克-秒制衍生的高斯單位制，比較適合于教學(xué)用途，能夠使得方程看起來更簡單、更易懂。洛倫茲-赫維賽德單位制也是衍生于厘米-克-秒制，主要用于粒子物理學(xué)；普朗克單位制是一種自然單位制，其單位都是根據(jù)自然的性質(zhì)定義，不是由人為設(shè)定。普朗克單位制是研究理論物理學(xué)非常有用的工具，能夠給出很大的啟示。在本頁里，除非特別說明，所有方程都采用國際單位制。這里展示出麥克斯韋方程組的兩種等價表述。第一

8、種表述如下：這種表述將自由電荷和束縛電荷總和為高斯定律所需要的總電荷，又將自由電流、束縛電流和電極化電流總合為麥克斯韋-安培定律內(nèi)的總電流。這種表述采用比較基礎(chǔ)、微觀的觀點。這種表述可以應(yīng)用于計算在真空里有限源電荷與源電流所產(chǎn)生的電場與磁場。但是，對于物質(zhì)內(nèi)部超多的電子與原子核，實際而言，無法一一納入計算。事實上，經(jīng)典電磁學(xué)也不需要這么精確的答案。第二種表述見前所述”積分形式“中的”一般形式“。它以自由電荷和自由電流為源頭，而不直接計算出現(xiàn)于電介質(zhì)的束縛電荷和出現(xiàn)于磁化物質(zhì)的束縛電流和電極化電流所給出的貢獻。由于在一般實際狀況，能夠直接控制的參數(shù)是自由電荷和自由電流，而束縛電荷、束縛電流和電極

9、化電流是物質(zhì)經(jīng)過極化后產(chǎn)生的現(xiàn)象，采用這種表述會使得在介電質(zhì)或磁化物質(zhì)內(nèi)各種物理計算更加簡易。表面上看，麥克斯韋方程組似乎是超定的（overdetermined）方程組，它只有六個未知量（矢量電場、磁場各擁有三個未知量，電流與電荷不是未知量，而是自由設(shè)定并符合電荷守恒的物理量），但卻有八個方程（兩個高斯定律共有兩個方程，法拉第定律與安培定律是矢量式，各含有三個方程）。這狀況與麥克斯韋方程組的某種有限重復(fù)性有關(guān)。從理論可以推導(dǎo)出，任何滿足法拉第定律與安培定律的系統(tǒng)必定滿足兩個高斯定律。1 另一方面，麥克斯韋方程組又是不封閉的。只有給定了電磁介質(zhì)的特性，此方程組才能得到定解。麥克斯韋方程

10、組乃是由四個方程共同組成的：1、 高斯定律：該定律描述電場與空間中電荷分布的關(guān)系。電場線開始于正電荷，終止于負電荷。計算穿過某給定閉曲面的電場線數(shù)量，即其電通量，可以得知包含在這閉曲面內(nèi)的總電荷。更詳細地說，這定律描述穿過任意閉曲面的電通量與這閉曲面內(nèi)的電荷之間的關(guān)系。2、 高斯磁定律：該定律表明，磁單極子實際上并不存在。所以，沒有孤立磁荷，磁場線沒有初始點，也沒有終止點。磁場線會形成循環(huán)或延伸至無窮遠。換句話說，進入任何區(qū)域的磁場線，必需從那區(qū)域離開。以術(shù)語來說，通過任意閉曲面的磁通量等于零，或者，磁場是一個無源場。3、 法拉第感應(yīng)定律：該定律描述時變磁場怎樣感應(yīng)出電場。電磁感應(yīng)是制造許多發(fā)

11、電機的理論基礎(chǔ)。例如，一塊旋轉(zhuǎn)的條形磁鐵會產(chǎn)生時變磁場，這又接下來會生成電場，使得鄰近的閉合電路因而感應(yīng)出電流。4、 麥克斯韋-安培定律：該定律闡明，磁場可以用兩種方法生成：一種是靠傳導(dǎo)電流（原本的安培定律），另一種是靠時變電場，或稱位移電流（麥克斯韋修正項）。在電磁學(xué)里，麥克斯韋修正項意味著時變電場可以生成磁場，而由于法拉第感應(yīng)定律，時變磁場又可以生成電場。這樣，兩個方程在理論上允許自我維持的電磁波傳播于空間。-麥克斯韋方程組的積分形式:（1）描述了電場的性質(zhì)。電荷是如何產(chǎn)生電場的高斯定理。（靜電場的高斯定理）電場強度在一封閉曲面上的面積分與封閉曲面所包圍的電荷量成正比。電場 E （矢量）通

12、過任一閉曲面的通量，即對該曲面的積分等于4乘以該曲面所包圍的總電荷量。靜電場（見電場）的基本方程之一，它給出了電場強度在任意封閉曲面上的面積分和包圍在封閉曲面內(nèi)的總電量之間的關(guān)系。根據(jù)庫侖定律可以證明電場強度對任意封閉曲面的通量正比于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和通過任意閉合曲面的電通量等于該閉合曲面所包圍的所有電荷量的代數(shù)和與電常數(shù)之比。電場強度對任意封閉曲面的通量只取決于該封閉曲面內(nèi)電荷的代數(shù)和，與曲面內(nèi)電荷的分布情況無關(guān)，與封閉曲面外的電荷亦無關(guān)。在真空的情況下,q是包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷的代數(shù)和。當(dāng)存在介質(zhì)時,q應(yīng)理解為包圍在封閉曲面內(nèi)的自由電荷和極化電荷的總和。在靜電場中，由于自然界中

13、存在著獨立的電荷，所以電場線有起點和終點，只要閉合面內(nèi)有凈余的正（或負）電荷，穿過閉合面的電通量就不等于零，即靜電場是有源場；高斯定理反映了靜電場是有源場這一特性。凡是有正電荷的地方，必有電力線發(fā)出；凡是有負電荷的地方，必有電力線會聚。正電荷是電力線的源頭，負電荷是電力線的尾閭。高斯定理是從庫侖定律直接導(dǎo)出的，它完全依賴于電荷間作用力的二次方反比律。把高斯定理應(yīng)用于處在靜電平衡條件下的金屬導(dǎo)體，就得到導(dǎo)體內(nèi)部無凈電荷的結(jié)論，因而測定導(dǎo)體內(nèi)部是否有凈電荷是檢驗庫侖定律的重要方法。對于某些對稱分布的電場,如均勻帶電球的電場,無限大均勻帶電面的電場以及無限長均勻帶電圓柱的電場，可直接用高斯定理計算它

14、們的電場強度。電位移對任一面積的能量為電通量，因而電位移亦稱電通密度。  （2）描述了變化的磁場激發(fā)電場的規(guī)律。 磁場是如何產(chǎn)生電場的法拉第電磁感應(yīng)定律。（靜電場的環(huán)路定理）在沒有自由電荷的空間，由變化磁場激發(fā)的渦旋電場的電場線是一系列的閉合曲線。在一般情況下，電場可以是庫侖電場也可以是變化磁場激發(fā)的感應(yīng)電場，而感應(yīng)電場是渦旋場，它的電位移線是閉合的，對封閉曲面的通量無貢獻。麥克斯韋提出的渦旋電場的概念，揭示出變化的磁場可以在空間激發(fā)電場，并通過法拉第電磁感應(yīng)定律得出了二者的關(guān)系，上式表明，任何隨時間而變化的磁場，都是和渦旋電場聯(lián)系在一起的。 （3）描述了磁場的性

15、質(zhì)。論述了磁單極子的不存在的高斯磁定律（穩(wěn)恒磁場的高斯定理）在磁場中，由于自然界中沒有單獨的磁極存在，N極和S極是不能分離的，磁感線都是無頭無尾的閉合線，所以通過任何閉合面的磁通量必等于零。由于磁力線總是閉合曲線，因此任何一條進入一個閉合曲面的磁力線必定會從曲面內(nèi)部出來，否則這條磁力線就不會閉合起來了。如果對于一個閉合曲面，定義向外為正法線的指向，則進入曲面的磁通量為負，出來的磁通量為正，那么就可以得到通過一個閉合曲面的總磁通量為0。這個規(guī)律類似于電場中的高斯定理，因此也稱為高斯定理。 （4）描述了變化的電場激發(fā)磁場的規(guī)律。 電流和變化的電場是怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。（磁場

16、的安培環(huán)路定理）變化的電場產(chǎn)生的磁場和傳導(dǎo)電流產(chǎn)生的磁場相同，都是渦旋狀的場，磁感線是閉合線。因此，磁場的高斯定理仍適用。在穩(wěn)恒磁場中，磁感強度H沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數(shù)和。磁場可以由傳導(dǎo)電流激發(fā)，也可以由變化電場的位移電流所激發(fā)，它們的磁場都是渦旋場，磁感應(yīng)線都是閉合線，對封閉曲面的通量無貢獻。麥克斯韋提出的位移電流的概念，揭示出變化的電場可以在空間激發(fā)磁場，并通過全電流概念的引入，得到了一般形式下的安培環(huán)路定理在真空或介質(zhì)中的表示形式，上式表明，任何隨時間而變化的電場，都是和磁場聯(lián)系在一起的。合體：式中H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通

17、密度。在采用其他單位制時,方程中有些項將出現(xiàn)一常數(shù)因子,如光速c等。 上面四個方程組成：描述電荷如何產(chǎn)生電場的高斯定律、描述時變磁場如何產(chǎn)生電場的法拉第感應(yīng)定律、論述磁單極子不存在的高斯磁定律、描述電流和時變電場怎樣產(chǎn)生磁場的麥克斯韋-安培定律。 綜合上述可知，變化的電場和變化的磁場彼此不是孤立的，它們永遠密切地聯(lián)系在一起，相互激發(fā)，組成一個統(tǒng)一的電磁場的整體。這就是麥克斯韋電磁場理論的基本概念。 麥克斯韋方程組的積分形式反映了空間某區(qū)域的電磁場量(D、E、B、H)和場源(電荷q、電流I)之間的關(guān)系。 麥克斯韋方程組微分形式：式中J為電流密度,，為電荷密

18、度。H為磁場強度,D為電通量密度,E為電場強度，B為磁通密度。上圖分別表示為：（1）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和；（2）電場強度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；（3）磁感強度的散度處處等于零 （磁通連續(xù)性原理） 。（4）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。在電磁場的實際應(yīng)用中，經(jīng)常要知道空間逐點的電磁場量和電荷、電流之間的關(guān)系。從數(shù)學(xué)形式上，就是將麥克斯韋方程組的積分形式化為微分形式。上面的微分形式分別表示：（1）電位移的散度等于該點處自由電荷的體密度 （高斯定理） 。（2）磁感強度的散度處處等于零

19、 （磁通連續(xù)性原理） 。（3）電場強度的旋度（法拉第電磁感應(yīng)定律）等于該點處磁感強度變化率的負值；（4）磁場強度的旋度（全電流定律）等于該點處傳導(dǎo)電流密度 與位移電流密度 的矢量和； 利用矢量分析方法，可得： (1)在不同的慣性參照系中，麥克斯韋方程有同樣的形式。 (2) 應(yīng)用麥克斯韋方程組解決實際問題，還要考慮介質(zhì)對電磁場的影響。例如在各向同性介質(zhì)中，電磁場量與介質(zhì)特性量有下列關(guān)系：  在非均勻介質(zhì)中，還要考慮電磁場量在界面上的邊值關(guān)系。在利用t=0時場量的初值條件，原則上可以求出任一時刻空間任一點的電磁場，即E(x,y,z,t)和B(x,y,z,t)

20、。  科學(xué)意義經(jīng)典場論是19世紀(jì)后期麥克斯韋在總結(jié)電磁學(xué)三大實驗定律并把它與力學(xué)模型進行類比的基礎(chǔ)上創(chuàng)立起來的。但麥克斯韋的主要功績恰恰是他能夠跳出經(jīng)典力學(xué)框架的束縛：在物理上以"場"而不是以"力"作為基本的研究對象，在數(shù)學(xué)上引入了有別于經(jīng)典數(shù)學(xué)的矢量偏微分運算符。這兩條是發(fā)現(xiàn)電磁波方程的基礎(chǔ)。這就是說，實際上麥克斯韋的工作已經(jīng)沖破經(jīng)典物理學(xué)和經(jīng)典數(shù)學(xué)的框架，只是由于當(dāng)時的歷史條件，人們?nèi)匀恢荒軓呐ｎD的經(jīng)典數(shù)學(xué)和力學(xué)的框架去理解電磁場理論。現(xiàn)代數(shù)學(xué)，Hilbert空間中的數(shù)學(xué)分析是在19世紀(jì)與20世紀(jì)之交的時候才出現(xiàn)的。而量子力學(xué)的物

21、質(zhì)波的概念則在更晚的時候才被發(fā)現(xiàn)，特別是對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理學(xué)之間的不可分割的數(shù)理邏輯聯(lián)系至今也還沒有完全被人們所理解和接受。從麥克斯韋建立電磁場理論到現(xiàn)在，人們一直以歐氏空間中的經(jīng)典數(shù)學(xué)作為求解麥克斯韋方程組的基本方法。我們從麥克斯韋方程組的產(chǎn)生,形式,內(nèi)容和它的歷史過程中可以看到：第一，物理對象是在更深的層次上發(fā)展成為新的公理表達方式而被人類所掌握，所以科學(xué)的進步不會是在既定的前提下演進的，一種新的具有認識意義的公理體系的建立才是科學(xué)理論進步的標(biāo)志。第二，物理對象與對它的表達方式雖然是不同的東西，但如果不依靠合適的表達方法就無法認識到這個對象的"存在"。第三，我們正在建立的理論將決定到我們在何種層次的意義上使我們的對象成為物理事實,這正是現(xiàn)代最前沿的物理學(xué)所給我們帶來的困惑。麥克斯韋方程組揭示了電場與磁場相互轉(zhuǎn)化中產(chǎn)生的對稱性優(yōu)美，這種優(yōu)美以現(xiàn)代數(shù)學(xué)形式得到充分的表達。但是，我們一方面應(yīng)當(dāng)承認，恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)形式才能充分展示經(jīng)驗方法中看不到的整體性(電磁對稱性)，但另一方面，我們也不應(yīng)當(dāng)忘記，這種對稱性的優(yōu)美是以數(shù)學(xué)形式反映出來的電磁場的統(tǒng)一本質(zhì)。因此我們應(yīng)當(dāng)認識到應(yīng)在數(shù)學(xué)的表達方式中"發(fā)現(xiàn)"或"看出" 了這種對稱性，而