導(dǎo)數(shù)題型五_利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

1、導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選 題型五 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（學(xué)生用）不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對(duì)這一問題沒有展開研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,操作性強(qiáng),易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式。通過作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來證明不等的的方法對(duì)相當(dāng)廣泛的一類不等式是適用

2、的。用此方法證明f(x)g(x)(axb)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)g(x)(axb)歸結(jié)為：（x）0(axb),這等價(jià)于(x)在a,b上的最小值大于等于0.2.對(duì)（x）求導(dǎo)，確定F(x)在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x)的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算（x）,直到符號(hào)能夠確定為止注意：作輔助函數(shù)(x)不同，確定F(x)符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù) 要 不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對(duì)原不等式的不同 同解變形一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(1)

3、 由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)。例如：構(gòu)造出 (2) 對(duì)含兩個(gè)變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)變量改為x，移項(xiàng)使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x） 例如：兩邊可取對(duì)數(shù)，變?yōu)榍笞C： 令一構(gòu)造形似函數(shù)型 1對(duì)證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。例1求證下列不等式（1） （相減）（2） （相除兩邊同除以x得）（3） （4）已知：，求證；（換元：設(shè)） （5）已知函數(shù)，證明： 鞏固練習(xí)： 1.證明時(shí)，不等式 2.，證明： 3.時(shí)，求證：贊同綜合應(yīng)用4.例：（理做

4、）設(shè)a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）. （）令F（x） xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x2a ln x1. 例2.（08全國(guó)卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解： 、（2009全國(guó)卷理）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且 （I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性； II）證明： 例：（1）已知：，求證； （2

5、）已知：，求證：。 解： (22) (2012山東理科22題本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間；()設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意.來源:解： 2012天津理科（21）（本小題滿分14分）已知函數(shù)() 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱證明當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>g(x)； ()如果且證明 解： （）證明：（)證明：（1）導(dǎo)數(shù)習(xí)題題型分類精選 題型五 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式（教師用）不等式的證明問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)

6、,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強(qiáng),多數(shù)學(xué)生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導(dǎo)數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導(dǎo)數(shù)證明不等式也時(shí)有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對(duì)這一問題沒有展開研究,使得學(xué)生對(duì)這一簡(jiǎn)便方法并不了解.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡(jiǎn)捷,操作性強(qiáng),易被學(xué)生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡(jiǎn)單的不等式。（一）通過作輔助函數(shù)并對(duì)輔助函數(shù)求導(dǎo)來證明不等的的方法對(duì)相當(dāng)廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)g(x)(axb)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)（x）=f(x)-g(

7、x),原不等式f(x)g(x)(axb)歸結(jié)為：（x）0(axb),這等價(jià)于(x)在a,b上的最小值大于等于0.2.對(duì)（x）求導(dǎo)，確定F(x)在所考慮的區(qū)間上的符號(hào)，從而確定(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x)的符號(hào)直接確定不了，這時(shí)一般需計(jì)算（x）,直到符號(hào)能夠確定為止 注意：作輔助函數(shù)(x)不同，確定F(x)符號(hào)難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù) 要不拘一格，可對(duì)原題作適當(dāng)變更（或換元）不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對(duì)原不等式的不同同解變形 一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(3) 由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)；構(gòu)造出 (4) 對(duì)含兩個(gè)變量的不等式，由欲證形式做恒

8、等變形，變成初等函數(shù)四則運(yùn)算的形式，再將其中一個(gè)變量改為x，移項(xiàng)使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x） 例如：兩邊可取對(duì)數(shù)，變?yōu)榍笞C： 令一構(gòu)造形似函數(shù)型 1對(duì)證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。 例1求證下列不等式（1） （相減）（2） （相除）（3） （4）已知：，求證；（換元：設(shè)） （5）已知函數(shù)，證明：解：證：設(shè)（1） 為上 恒成立 設(shè) 在上 恒成立（2） （相除）解（2）原式 令 在上是減函數(shù)。 又 （3） 解：（3）令 在上是增函數(shù)。 （4）已知：，求證；（換元：設(shè)） 解：（4）令，

9、由x>0，t>1，（巧點(diǎn)：巧在換元，降低了做題難度） 原不等式等價(jià)于 令f(t)=t-1-lnt， 當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)f(t)在遞增 f(t)>f(1)即t-1<lnt 另令，則有 g(t)在上遞增，g(t)>g(1)=0 綜上得例5已知函數(shù)，證明：證：函數(shù)的定義域?yàn)? 當(dāng)x（1，0）時(shí)，0，當(dāng)x（0，）時(shí)，0， 因此，當(dāng)時(shí)，即0 令則 當(dāng)x（1，0）時(shí)，0，當(dāng)x（0，）時(shí)，0 當(dāng)時(shí)，即 0， 綜上可知，當(dāng)時(shí)，有 鞏固練習(xí)： 1.證明時(shí)，不等式 2.，證明： 3.時(shí)，求證： 2對(duì)證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)，并通過

10、一階或二階、三階求導(dǎo)達(dá)到證明目的的不等式。例3使用了二階求導(dǎo)的方法 判出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性后再去證明不等式，也凸 顯判斷函數(shù)零點(diǎn)的作用。例3.當(dāng)時(shí),證明: 證:令,則, 而 當(dāng)時(shí), 因?yàn)樵谕蛔鴺?biāo)系中畫出，的圖像可知， 在上遞減,即,從而在(0,1)遞減 f(x)<f(0)=0,從而原不等式得證.Ex:證明:當(dāng)時(shí), 解:注意x=1時(shí),原不等式”=”成立,而 設(shè)：F(x)=,則F(1)=0 且，F(xiàn)(x)=,在上是增函數(shù)。從而根據(jù)F(1)=0推出與同號(hào)， 方法二 解：欲證當(dāng)時(shí), 即證時(shí), 設(shè)， 即證時(shí)，>0 注意到時(shí)， 則 時(shí)， 是減函數(shù) 是增函數(shù) 是減函數(shù) 時(shí)是減函數(shù) 是增函數(shù)

11、 時(shí)是增函數(shù) 時(shí)， 二作輔助函數(shù)型：對(duì)含有兩個(gè)變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個(gè)變量為為自變量的 函數(shù)，再采用上述方法證明不等式。使使用用了使用例2.已知：a、b為實(shí)數(shù)，且bae,其中e為自然對(duì)數(shù)的底，求證：abba.證法一：bae, 要證abba,只要證blnaalnb, 設(shè)f(x)=xlnaalnx(xe),則 f(x)=lna.xae,lna1,且1,f(x)0. 函數(shù)f(x)=xlnaalnx在(e,+)上是增函數(shù)， f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.證法二：要證abba,只要證blnaalnb(eab, 即證,設(shè)f(x)=(xe)

12、， 則f(x)= 0,函數(shù)f(x)在(e,+)上是減函數(shù)， 又eab, f(a)f(b),即,abba. Ex:若,證明: 解：要證：, 需證：, 設(shè) ，則需證 因?yàn)?時(shí)，。 在 上 在上是增函數(shù) 在上成立練習(xí)證明(1) (2)思考： (3),證明,并指出”=”成立的條件 綜合運(yùn)用典例精講例1.（理做）設(shè)a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x>0）.（）令F（x） xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當(dāng)x>1時(shí)，恒有x>ln2x2a ln x1.解：（）根據(jù)求導(dǎo)法則有， 故，于是， 列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所

13、以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值 于是由上表知，對(duì)一切，恒有 從而當(dāng)時(shí)，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加 所以當(dāng)時(shí)，即 (利用單調(diào)性證明不等 式） 故當(dāng)時(shí)，恒有例2.（08全國(guó)卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是(-1,),，令，解得：x=0， 當(dāng)-1 <x <0 時(shí) ,在（-1，0）上是增函數(shù) 當(dāng)x>0時(shí),，在（0，+）上是減函數(shù) 當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取得最大值，f

14、(x)f(0) 又f(0)=0，f(x)最大值是0 (II)證法一：（綜合法） 由(I)的結(jié)論知，由題設(shè)0<a<b,得 a-b<0 , 因此 ， 所以又 （這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學(xué)生的轉(zhuǎn)換能力，二是看學(xué)生的分析能力，據(jù)需取舍。）(1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數(shù)法(構(gòu)造新函數(shù)法)：解：，則， 又設(shè)0<a<b,證明0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)ln2. 構(gòu)造輔助函數(shù)：設(shè)， 則， 當(dāng)0<x<a時(shí)，因此F(x)在(0,a)內(nèi)為減函數(shù) 當(dāng)x>a時(shí)，因此F(x)在(a,+)上為增函數(shù)

15、 從而，當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因?yàn)镕(a)=0,b>a, 所以F(b)>0, 即 設(shè), 則 當(dāng)x>0時(shí),因此G(x)在(0,+)上為減函數(shù)， 因?yàn)镚(a)=0,b>a,所以G(b)<0.即例3.（2009全國(guó)卷理）(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且（I）求的取值范圍，并討論的單調(diào)性；（II）證明： 解: （I） 令，其對(duì)稱軸為。 由題意知是方程的兩個(gè)均大于的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得x當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為減函數(shù)；o-1x當(dāng)時(shí)，在內(nèi)為增函數(shù)；（II）由（I），（學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是考試的區(qū)分點(diǎn)）y設(shè)，則當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)

16、遞減。 故 例4.（1）已知：，求證； （2）已知：，求證：。解：（1）令，由x>0，t>1，（巧點(diǎn)：巧在換元，降低了做題難度） 原不等式等價(jià)于 令f(t)=t-1-lnt， 當(dāng)時(shí)，有，函數(shù)f(t)在遞增 f(t)>f(1)即t-1<lnt 另令，則有 g(t)在上遞增，g(t)>g(1)=0 綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得 即：高考新動(dòng)態(tài)例1.(2012山東理科22題本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在 點(diǎn)處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間； ()設(shè)，其中為的導(dǎo)函數(shù).證明：對(duì)任意 .

17、來源:解：(I)， 由已知，.(II)由(I)知，.設(shè)，則，即在上是減函數(shù)，由知，當(dāng)時(shí)，從而，當(dāng)時(shí)，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當(dāng)時(shí)，01+，故只需證明在時(shí)成立.當(dāng)時(shí)，1，且，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.所以.綜上，對(duì)任意，.例2.（2012天津理科 21題 ，本小題滿分14分）已知函數(shù)() 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱證明當(dāng)x>1時(shí)， f(x)>g(x)； ()如果且證明（21）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及用函