[經(jīng)濟(jì)學(xué)]【統(tǒng)計(jì)】多元正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)推斷ppt課件

1、第第3章章 多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差多元正態(tài)分布均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)陣的檢驗(yàn) 從本章開場(chǎng)，我們開轉(zhuǎn)入多元統(tǒng)計(jì)方法和統(tǒng)計(jì)模型從本章開場(chǎng)，我們開轉(zhuǎn)入多元統(tǒng)計(jì)方法和統(tǒng)計(jì)模型的學(xué)習(xí)。統(tǒng)計(jì)學(xué)分析處置的對(duì)象是帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)。的學(xué)習(xí)。統(tǒng)計(jì)學(xué)分析處置的對(duì)象是帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)。按照隨機(jī)陳列、反復(fù)、部分控制、正交等原那么設(shè)計(jì)一按照隨機(jī)陳列、反復(fù)、部分控制、正交等原那么設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成樣本信息通常以數(shù)據(jù)的方個(gè)實(shí)驗(yàn)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成樣本信息通常以數(shù)據(jù)的方式，再根據(jù)樣本進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷，是自然科學(xué)和工程技式，再根據(jù)樣本進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷，是自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域常用的一種研討方法。由于實(shí)驗(yàn)?zāi)康某槎鄠€(gè)數(shù)術(shù)領(lǐng)域

2、常用的一種研討方法。由于實(shí)驗(yàn)?zāi)康某槎鄠€(gè)數(shù)量目的，故常設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的總體為多元正態(tài)總體，量目的，故常設(shè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的總體為多元正態(tài)總體，這是本章實(shí)際方法研討的出發(fā)點(diǎn)。這是本章實(shí)際方法研討的出發(fā)點(diǎn)。 所謂統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)從總體中觀測(cè)到的部分?jǐn)?shù)據(jù)所謂統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)從總體中觀測(cè)到的部分?jǐn)?shù)據(jù)對(duì)總體中我們感興趣的未知部分作出推測(cè)，這種推測(cè)必對(duì)總體中我們感興趣的未知部分作出推測(cè)，這種推測(cè)必然伴有某種程度的不確定性，需求用概率來闡明其可靠然伴有某種程度的不確定性，需求用概率來闡明其可靠程度。統(tǒng)計(jì)推斷的義務(wù)是程度。統(tǒng)計(jì)推斷的義務(wù)是“察看景象，提取信息，建立模察看景象，提取信息，建立模型，作出推斷。型，

3、作出推斷。 統(tǒng)計(jì)推斷有參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩大類問題，統(tǒng)計(jì)推斷有參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)兩大類問題，其統(tǒng)計(jì)推斷目的不同。參數(shù)估計(jì)問題回答諸如其統(tǒng)計(jì)推斷目的不同。參數(shù)估計(jì)問題回答諸如“未知未知參數(shù)參數(shù)的值有多大的值有多大?之類的問題之類的問題,而假設(shè)檢驗(yàn)回答諸而假設(shè)檢驗(yàn)回答諸如如“未知參數(shù)未知參數(shù)的值是的值是0嗎嗎?之類的問題。本章主之類的問題。本章主要討論多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)方法及其實(shí)踐運(yùn)用，要討論多元正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)方法及其實(shí)踐運(yùn)用，我們將對(duì)一元正態(tài)總體情形作一簡(jiǎn)單回想，然后將我們將對(duì)一元正態(tài)總體情形作一簡(jiǎn)單回想，然后將引見單個(gè)總體均值的推斷，引見單個(gè)總體均值的推斷， 兩個(gè)總體均值的比較推兩個(gè)總

4、體均值的比較推斷，多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)和協(xié)方差陣的推斷等。斷，多個(gè)總體均值的比較檢驗(yàn)和協(xié)方差陣的推斷等。 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 第二節(jié)第二節(jié) 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn) 第三節(jié)第三節(jié) 協(xié)差陣的檢驗(yàn)協(xié)差陣的檢驗(yàn) 第一節(jié)第一節(jié) 引言引言 n在單一變量的統(tǒng)計(jì)分析中，曾經(jīng)給出了正態(tài)總體在單一變量的統(tǒng)計(jì)分析中，曾經(jīng)給出了正態(tài)總體N ， 2 的均值的均值和方差和方差 2的各種檢驗(yàn)。的各種檢驗(yàn)。對(duì)于多變量的正態(tài)總體對(duì)于多變量的正態(tài)總體Np ， ，各種實(shí)，各種實(shí)踐問題同樣要求對(duì)踐問題同樣要求對(duì)和和進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷。進(jìn)展統(tǒng)計(jì)推斷。n例如，我們要調(diào)查全國(guó)各省、自治區(qū)和直轄市的例如，我們要調(diào)查全國(guó)各省、自治區(qū)和直

5、轄市的社會(huì)經(jīng)濟(jì)開展情況，與全國(guó)平均程度相比較有無(wú)社會(huì)經(jīng)濟(jì)開展情況，與全國(guó)平均程度相比較有無(wú)顯著性差別等，就涉及到多元正態(tài)總體均值向量顯著性差別等，就涉及到多元正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)問題等。的檢驗(yàn)問題等。n本章類似單一變量統(tǒng)計(jì)分析中的各種均值和方差本章類似單一變量統(tǒng)計(jì)分析中的各種均值和方差的檢驗(yàn)，相應(yīng)地給出多元統(tǒng)計(jì)分析中的各種均值的檢驗(yàn)，相應(yīng)地給出多元統(tǒng)計(jì)分析中的各種均值向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)。向量和協(xié)差陣的檢驗(yàn)。 n其根本思想和步驟均可歸納為：其根本思想和步驟均可歸納為：n 第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)第一，提出待檢驗(yàn)的假設(shè)H0和和H1；n第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其服從的分布；第二，給出檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量及其

6、服從的分布；n第三，給定檢驗(yàn)程度，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，第三，給定檢驗(yàn)程度，查統(tǒng)計(jì)量的分布表，確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否認(rèn)域；確定相應(yīng)的臨界值，從而得到否認(rèn)域；n第四，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，第四，根據(jù)樣本觀測(cè)值計(jì)算出統(tǒng)計(jì)量的值，看能否落入否認(rèn)看能否落入否認(rèn) 域中，以便對(duì)待判假設(shè)做出決域中，以便對(duì)待判假設(shè)做出決策回絕或接受。策回絕或接受。n在檢驗(yàn)的過程中，關(guān)鍵在于對(duì)不同的檢驗(yàn)給出在檢驗(yàn)的過程中，關(guān)鍵在于對(duì)不同的檢驗(yàn)給出不同的統(tǒng)計(jì)量，而有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的給出大多用似不同的統(tǒng)計(jì)量，而有關(guān)統(tǒng)計(jì)量的給出大多用似然比如法得到。由于多變量問題的復(fù)雜性，本然比如法得到。由于多變量問題的復(fù)雜性，本章只偏重于解

7、釋選取統(tǒng)計(jì)量的合理性，而不給章只偏重于解釋選取統(tǒng)計(jì)量的合理性，而不給出推導(dǎo)過程，最后給出幾個(gè)實(shí)例。出推導(dǎo)過程，最后給出幾個(gè)實(shí)例。n為了更好的闡明檢驗(yàn)過程中統(tǒng)計(jì)量的分布，本為了更好的闡明檢驗(yàn)過程中統(tǒng)計(jì)量的分布，本章還要引見章還要引見HotellingT2分布和分布和Wilks分布的分布的定義。定義。第二節(jié)第二節(jié) 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn) 一一 單一變量檢驗(yàn)的回想及單一變量檢驗(yàn)的回想及HotellingT2分布分布二二 一個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)一個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)三三 兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)四四 多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)一、單一

8、變量檢驗(yàn)的回想及一、單一變量檢驗(yàn)的回想及HotellingT2分布分布n為了對(duì)多元正態(tài)總體均值向量作檢驗(yàn)，首先需為了對(duì)多元正態(tài)總體均值向量作檢驗(yàn)，首先需求給出求給出HotellingT2分布的定義。分布的定義。n n n 二、一個(gè)正態(tài)總體二、一個(gè)正態(tài)總體 均值向量的檢驗(yàn)均值向量的檢驗(yàn)n在經(jīng)濟(jì)消費(fèi)、管理決策中的很多實(shí)踐問題，通在經(jīng)濟(jì)消費(fèi)、管理決策中的很多實(shí)踐問題，通常要選取多個(gè)目的進(jìn)展調(diào)查，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，常要選取多個(gè)目的進(jìn)展調(diào)查，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，將項(xiàng)目的的歷史平均程度記作，思索新的項(xiàng)目將項(xiàng)目的的歷史平均程度記作，思索新的項(xiàng)目的平均值能否與歷史數(shù)據(jù)記載的平均值有明顯的平均值能否與歷史數(shù)據(jù)記載的平均值

9、有明顯差別？假設(shè)有差別，進(jìn)一步分析差別主要在哪差別？假設(shè)有差別，進(jìn)一步分析差別主要在哪些目的上，先看下面的實(shí)例：些目的上，先看下面的實(shí)例： n例例3.1丈量丈量20名安康女性排汗量名安康女性排汗量x1、鈉含量、鈉含量x2 、鉀含量、鉀含量x3得表得表3.1。問安康女性。問安康女性x1 、x2 、 x3的均值是不是的均值是不是4、50、10？ 排汗量排汗量x1鈉含量鈉含量x2鉀含量鉀含量x33.73.748.548.59.39.35.75.765.165.18.08.03.83.847.247.210.910.93.23.253.253.212.012.03.13.155.555.59.79.7

10、4.64.636.136.17.97.92.42.424.824.814.014.07.27.233.133.17.67.66.76.747.447.48.58.55.45.454.154.111.311.3排汗量排汗量x1鈉含量鈉含量x2鉀含量鉀含量x33.93.936.936.912.712.74.54.558.858.812.312.33.53.527.827.89.89.84.54.540.240.28.48.41.51.513.513.510.110.18.58.556.456.47.17.14.54.571.671.68.28.26.56.552.852.810.910.94.14

11、.144.144.111.211.25.55.540.940.99.49.4n例例3.1的數(shù)學(xué)模型就是：的數(shù)學(xué)模型就是： 服從服從 要根據(jù)要根據(jù)20個(gè)樣品做復(fù)合檢驗(yàn)：個(gè)樣品做復(fù)合檢驗(yàn)： ),(321xxxx ),(N10504:,10504:32113210HHn普通的，我們思索普通的，我們思索p維正態(tài)分布均值等于常數(shù)維正態(tài)分布均值等于常數(shù)的檢驗(yàn)問題：的檢驗(yàn)問題： 為取自維正態(tài)總體為取自維正態(tài)總體 n 的一個(gè)樣本，要檢驗(yàn)：的一個(gè)樣本，要檢驗(yàn)： nXXX,21),(1pN0100:;:HHn其中其中0為知為知p維向量。維向量。n n n例例3.1丈量丈量20名安康女性排汗量名安康女性排汗量x1、

12、鈉含量、鈉含量x2 、鉀含量鉀含量x3得表得表3.1。問安康女性。問安康女性x1 、x2 、 x3的的均值是不是均值是不是4、50、10？ 解：建立解：建立 10504:,10504:32113210HH用用SAS, SPSS等軟件都可算出等軟件都可算出 3.6276579 5.6400000- 1.8090526- 5.6400000- 1199.788421 10.01000001.8090526- 10.0100000 2.8793684,965. 94 .4564. 4SX74. 9)()(200102XSXT44. 2)10. 0(90. 2)3*19/(*)320(17, 32FT

13、F所以否認(rèn)原假設(shè)，即在所以否認(rèn)原假設(shè)，即在0.10顯著程度下回絕顯著程度下回絕 0H例例3.1 也可用以下也可用以下SAS程序計(jì)算程序計(jì)算 n data hanye;ninput x1-x3 ;y1=x1-4;y2=x2-50;y3=x3-10;a=1;ncards;n3.748.59.3 5.7 65.1 8.0 3.8 47.210.9n3.253.212.0 3.1 55.5 9.7 4.6 36.17.9n2.424.814.0 7.2 33.1 7.6 6.7 47.48.5n5.454.111.3 3.9 36.912.7 4.5 58.812.3n3.527.89.8 4.5 4

14、0.28.4 1.5 13.510.1n8.556.47.1 4.5 71.68.2 6.5 52.810.9n4.144.111.2 5.5 40.99.4n;nproc glm ;nmodel y1-y3=a/noint;nmanova h=a/printe printh;nrun; 執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個(gè)表執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個(gè)表n H = Type III SSCP Matrix for an E = Error SSCP Matrixn S=1 M=0.5 N=7.5nStatistic Value F Value NumDF DenDF Pr F

15、nWils La 0.661 2.90 3 17 0.0649nPilis T 0.339 2.90 3 17 0.0649nHote T 0.513 2.90 3 17 0.0649nRoys R 0.513 2.90 3 17 0.0649 P值為值為0.0649，所以否認(rèn)原假設(shè)，即在，所以否認(rèn)原假設(shè)，即在0.10顯著程度下回絕顯著程度下回絕 0H三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)三、兩個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)例例 3.2 為了研討日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)能否存為了研討日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)能否存在差別，從兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化在差別，從兩國(guó)在華企

16、業(yè)對(duì)中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化等環(huán)等環(huán)境打分，得表境打分，得表3-2。試分析日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)。試分析日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的境的評(píng)價(jià)能否存在差別？評(píng)價(jià)能否存在差別？美國(guó)企業(yè)號(hào)美國(guó)企業(yè)號(hào)政治環(huán)境政治環(huán)境X1X1經(jīng)濟(jì)環(huán)境經(jīng)濟(jì)環(huán)境X2X2法律環(huán)境法律環(huán)境X3X3文化環(huán)境文化環(huán)境X4X4美美1 16565353525256060美美2 27575505020205555美美3 36060454535356565美美4 47575404040407070美美5 570703030303050美美6 65555404035356565美美7 76060454530306060美美8

17、86565404025256060美美9 96060505030307070美美10105555555535357575例例 3.2 為了研討日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)能否存為了研討日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)能否存在差別，從兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化在差別，從兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)的政治、經(jīng)濟(jì)、法律、文化等環(huán)等環(huán)境打分，得表境打分，得表3-2。試分析日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)。試分析日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的境的評(píng)價(jià)能否存在差別？評(píng)價(jià)能否存在差別？日本企業(yè)號(hào)日本企業(yè)號(hào)政治環(huán)境政治環(huán)境Y1Y1經(jīng)濟(jì)環(huán)境經(jīng)濟(jì)環(huán)境Y2Y2法律環(huán)境法律環(huán)境Y3Y3文化環(huán)境文化環(huán)境

18、Y4Y4日日1 15555555540406565日日2 25050606045457070日日3 34545454535357575日日4 45050505050507070日日5 55555505030307575日日6 66060404045456060日日7 76565555545457575日日8 85050656535358080日日9 94040454530306565日日10104545505045457070假設(shè)假設(shè) 服從服從 ,服從服從 ，且有，且有10對(duì)樣品，要做復(fù)合檢驗(yàn)對(duì)樣品，要做復(fù)合檢驗(yàn) ),(4321XXXXX ),(xxN),(4321YYYYY ),(yyN43

19、214321yyyyxxxx普通情況下，思索普通情況下，思索 為取自為取自p維正態(tài)總體維正態(tài)總體 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本， 為取自維正態(tài)總體為取自維正態(tài)總體 的一個(gè)樣本。假定兩組樣本相互獨(dú)立，且的一個(gè)樣本。假定兩組樣本相互獨(dú)立，且),(4321XXXX),(1pN),(4321YYYY),(2pNmiiniiYmYXnX111,1n n 例例3.2的解：作假設(shè)的解：作假設(shè) yxyxHH:;:105 .70405151,635 .304364YX756.6666666 928.8888888 434.4444444 227.2222222- 928.8888888 335.8333333 1.1

20、1111111 313.3333333- 434.4444444 1.11111111 756.6666666 918.8888888- 227.2222222- 313.3333333- 918.8888888- 454.4444444 xS335.8333333 111.1111111- 426.9444444 0.83333333- 111.1111111- 050.0000000 2.77777778 419.4444444426.9444444 2.77777778 355.8333333 5.83333333 0.83333333- 419.4444444 5.83333333 3

21、55.8333333yS所以日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的所以日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)存在顯著差別。評(píng)價(jià)存在顯著差別。 0H8625.29)()(101010*1012YXSYXT)01. 0(2214. 68625.29*)4*)210910/() 141010(15, 4FF例例3.2 也可用以下也可用以下SAS程序計(jì)算程序計(jì)算 ndata wu1;ninput no $ pol ecn leg cul cou $;ncards;n美美1 65 35 25 60 a 美美275 50 20 55 an美美3 60 45 35 65 a 美美475 40 40 70 an美美5

22、 70 30 30 50 a 美美655 40 35 65 an美美7 60 45 30 60 a 美美865 40 25 60 an美美9 60 50 30 70 a 美美10 55 55 35 75 an日日1 55 55 40 65 j 日日250 60 45 70 jn日日3 45 45 35 75 j 日日450 50 50 70 jn日日5 55 50 30 75 j 日日660 40 45 60 jn日日7 65 55 45 75 j 日日850 60 35 80 jn日日9 40 45 30 65 j 日日10 45 50 45 70 j n;nproc glm;nclass

23、cou;nmodel pol ecn leg cul=cou/ss3;nmanova h=cou/printe printh;nrun;執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個(gè)表執(zhí)行此程序后得到的輸出中主要的是最后一個(gè)表n H = Type III SSCP Matrix for an E = Error SSCP Matrixn S=1 M=0.5 N=7.5nStatistic Value F Value NumDF DenDF Pr FnWils La 0.376 6.22 4 15 0.0037 nPilis T 0.624 6.22 4 15 0.0037 nHote T 1.659

24、 6.22 4 15 0.0037 nRoys R 1.659 6.22 4 15 0.0037 P值為值為0.0037，程度下回絕因此日美兩國(guó)在，程度下回絕因此日美兩國(guó)在華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)存在顯著華企業(yè)對(duì)中國(guó)運(yùn)營(yíng)環(huán)境的評(píng)價(jià)存在顯著差別。差別。 四、多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)四、多個(gè)正態(tài)總體均值向量的檢驗(yàn)n經(jīng)常遇到這樣的問題，有幾種不同的原料，要調(diào)查它經(jīng)常遇到這樣的問題，有幾種不同的原料，要調(diào)查它們對(duì)產(chǎn)質(zhì)量量有沒有顯著的影響。們對(duì)產(chǎn)質(zhì)量量有沒有顯著的影響。n某種新藥與其它一些傳統(tǒng)藥物對(duì)病人進(jìn)展分組實(shí)驗(yàn)來某種新藥與其它一些傳統(tǒng)藥物對(duì)病人進(jìn)展分組實(shí)驗(yàn)來調(diào)查不同的藥物與治愈率有否明顯不同，這

25、里我們調(diào)調(diào)查不同的藥物與治愈率有否明顯不同，這里我們調(diào)查的對(duì)象，原料，藥物稱為要素查的對(duì)象，原料，藥物稱為要素.n當(dāng)調(diào)查的要素只需一個(gè)時(shí)我們稱為單要素問題。假好當(dāng)調(diào)查的要素只需一個(gè)時(shí)我們稱為單要素問題。假好像時(shí)思索兩個(gè)或更多的要素問題，那么稱多要素方差像時(shí)思索兩個(gè)或更多的要素問題，那么稱多要素方差分析這時(shí)計(jì)算起來很復(fù)雜。分析這時(shí)計(jì)算起來很復(fù)雜。例：調(diào)查溫度對(duì)某一化工廠產(chǎn)品得率的影響，選了五種不例：調(diào)查溫度對(duì)某一化工廠產(chǎn)品得率的影響，選了五種不同溫度，同一溫度做了三次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下：同溫度，同一溫度做了三次實(shí)驗(yàn)，測(cè)得結(jié)果如下：n如今分析溫度的變化對(duì)得率的影響。從平均得率來看，好象溫度如今分析

26、溫度的變化對(duì)得率的影響。從平均得率來看，好象溫度對(duì)得率是有一定的影響，但詳細(xì)察看一下數(shù)據(jù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，表如對(duì)得率是有一定的影響，但詳細(xì)察看一下數(shù)據(jù)就會(huì)發(fā)現(xiàn)問題，表如今：今：n1同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差別的緣由是由于同一溫度下得率并不完全一樣，產(chǎn)生這種差別的緣由是由于實(shí)驗(yàn)過程中各偶爾要素的干擾及丈量誤差所致，這一類誤差稱為實(shí)實(shí)驗(yàn)過程中各偶爾要素的干擾及丈量誤差所致，這一類誤差稱為實(shí)驗(yàn)誤差，或隨機(jī)誤差。驗(yàn)誤差，或隨機(jī)誤差。n2兩種溫度的率不同的實(shí)驗(yàn)中的傾向有所差別。如兩種溫度的率不同的實(shí)驗(yàn)中的傾向有所差別。如65與與70相比，第一產(chǎn)相比，第一產(chǎn)65比比70好，而后二次好，而后二次70

27、比比65好。產(chǎn)生這種矛好。產(chǎn)生這種矛盾景象，顯然也能夠是由于隨機(jī)誤差的干擾。由于隨機(jī)誤差的存在，盾景象，顯然也能夠是由于隨機(jī)誤差的干擾。由于隨機(jī)誤差的存在，對(duì)于不同溫度下的得率的差別自然要提出疑問，這差別是隨機(jī)誤差對(duì)于不同溫度下的得率的差別自然要提出疑問，這差別是隨機(jī)誤差呵斥的呢，還是溫度不同的影響。由于溫度的不同而引起得率的差呵斥的呢，還是溫度不同的影響。由于溫度的不同而引起得率的差別我們稱為組間誤差或系統(tǒng)誤差。別我們稱為組間誤差或系統(tǒng)誤差。n上例全部上例全部15個(gè)數(shù)據(jù)參差不齊，它們的差別叫總變差。產(chǎn)生總變差個(gè)數(shù)據(jù)參差不齊，它們的差別叫總變差。產(chǎn)生總變差的緣由有兩個(gè)的緣由有兩個(gè)n1) 隨機(jī)誤

28、差隨機(jī)誤差 2) 系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 方差分析處理這類問題的思想是：方差分析處理這類問題的思想是： nl 由數(shù)據(jù)的總變差中分別出隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。nl 用系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差在一定條件下進(jìn)展比較，如差別不大那么以為系統(tǒng)誤差對(duì)目的的影響不大，如系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的多，那么闡明條件的影響很大。以上面的例子闡明即溫度的變化對(duì)得率的影響很大，因此調(diào)整溫度對(duì)產(chǎn)量的影響很大。nl 選擇較好的工藝條件或確定進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)方案。n這里引見幾個(gè)方差分析術(shù)語(yǔ)：n要素：實(shí)驗(yàn)中的每一個(gè)條件，如上例的溫度便是一個(gè)要素。n程度：要素在實(shí)驗(yàn)中的等級(jí)稱為程度，如上例中要素溫度分為五個(gè)程度：6065，70，75，80。假設(shè)把要素

29、記為A，那么相應(yīng)地把程度記為A1, A2, A3, A4, A5.n樣本：在同樣條件下得到不同的實(shí)驗(yàn)結(jié)果每個(gè)結(jié)果，稱為樣本。4.1 單要素方差分析單要素方差分析 設(shè)要素設(shè)要素A取了取了M個(gè)程度，每個(gè)程度反復(fù)了個(gè)程度，每個(gè)程度反復(fù)了N次實(shí)驗(yàn)得到次實(shí)驗(yàn)得到MN個(gè)樣本，個(gè)樣本，在程度在程度Ai下的第下的第 j 次實(shí)驗(yàn)結(jié)果樣本次實(shí)驗(yàn)結(jié)果樣本Xij 可以分解為：可以分解為：ijiijX (6.2.1)這里這里ij N0，1。為了看出要素各程度影響的大小，將為了看出要素各程度影響的大小，將 Xij 再進(jìn)展分解再進(jìn)展分解, 令令 MiiM11 (6.2.2)令令Miaii, 2 , 1njmiaXijiij

30、, 2 , 1;, 2 , 1顯然顯然ai之間有關(guān)系之間有關(guān)系01 Miiaai 表示程度表示程度 Ai 對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響，它稱做程度對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生的影響，它稱做程度 Ai 的效應(yīng)。的效應(yīng)。方差分析模型就是建立在以下假定之下：方差分析模型就是建立在以下假定之下：njMiaXijiij, 2 , 1;, 2 , 101 Miia 1 , 0 Nij 123一參數(shù)估計(jì)一參數(shù)估計(jì)即經(jīng)過實(shí)驗(yàn)估計(jì)即經(jīng)過實(shí)驗(yàn)估計(jì)和和ai，其估計(jì)量記為和，其估計(jì)量記為和和和ai 。令。令 MjijiN11 MiNjijMN111 那么那么 iiijiNjijiaaNXNX 111MiNjijiarX111這里這里MNr

31、 取取 是是的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)。類似地可以推出類似地可以推出 的無(wú)偏估計(jì)是的無(wú)偏估計(jì)是Xiaia XXaii 此時(shí)方差分析模型可以改寫為：此時(shí)方差分析模型可以改寫為：ijiijlaXX 反映了誤差反映了誤差 。由于。由于 ， ， 均為知故均為知故可以經(jīng)過樣本求得?？梢越?jīng)過樣本求得。ijlij ijXXia ijl二統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)二統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)假設(shè)要素假設(shè)要素A對(duì)目的有顯著的影響，效應(yīng)對(duì)目的有顯著的影響，效應(yīng)ai不全部為零，反之那不全部為零，反之那么全為零。因此我們假設(shè)么全為零。因此我們假設(shè)或或根本思想是將總變差進(jìn)展分別，即系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。根本思想是將總變差進(jìn)展分別，即系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差。

32、設(shè)：設(shè)：Stotal 總變差，即總變差，即mH210: MiNjMiNjiiijijXXXXXXStotal111122 )(2)(1122MiNjiiijiiijXXXXXXXX0:210maaaH MiNjMiNjiiijXXXX111122AESS 注：交叉項(xiàng)在線性假設(shè)下為注：交叉項(xiàng)在線性假設(shè)下為 0。這里統(tǒng)計(jì)量。這里統(tǒng)計(jì)量 MiMiiiiAaNXXNS1122 MiMiMiiiiiNaNaN11122 MiNjMiNjiijiijEXXS111122 對(duì)它們?nèi)∑谕?，利用?duì)它們?nèi)∑谕担?有有 0 EEi 221 MaNSEiA 2 MNSEE 令令A(yù)ASMS11 eESMNS 1

33、那么有那么有 MiAiANaMNNSE12222 2 ESE假設(shè)假設(shè)H0：成立，那么：成立，那么 ，從而，從而 與與 之比應(yīng)近于之比應(yīng)近于1，即即 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 F 值應(yīng)近于值應(yīng)近于 1。假設(shè)要素。假設(shè)要素 A 對(duì)目的有顯著的影響對(duì)目的有顯著的影響 那么那么 將顯著的大于將顯著的大于1，這就是為什么可以用統(tǒng)計(jì)量，這就是為什么可以用統(tǒng)計(jì)量 F來進(jìn)展檢驗(yàn)要素來進(jìn)展檢驗(yàn)要素 A 能否顯著的道理。能否顯著的道理。由統(tǒng)計(jì)實(shí)際推知，在線性模型假設(shè)下，由統(tǒng)計(jì)實(shí)際推知，在線性模型假設(shè)下， 服從服從M-1個(gè)自個(gè)自在度的在度的 分布，分布， 服從服從NM個(gè)自在的個(gè)自在的 分布，且兩者獨(dú)立，從而分布，且兩者獨(dú)立，從

34、而 服從以服從以M-1，N-M為自在度的為自在度的F分布。分布。02 A ASESBASSF/ /AS)1(2 M /ES)(2MN BASSF/iY(1,)AEMSFF anaMS0()(1,)HpPFfP F anaf22(1)ASSn方差分析表的普通方式為：方差分析表的普通方式為：SAS中的proc anova用于單要素的方差分析. proc anova data= Manova 按多元分析的要求略去有任一缺失值的記錄outstat=;指定統(tǒng)計(jì)結(jié)果輸出的數(shù)據(jù)集名class;必需，指定要分析的處置要素model/選項(xiàng);必需， 給出分析用的方差分析模型means/選項(xiàng); 指定要兩兩比較的要素

35、及比較方法BY;FREQ;MANOVA H=效應(yīng) E=效應(yīng) M= 公式.; 指定多元方差分析的選項(xiàng)輸出的結(jié)果如下： Source DF SumofSquares MeanSquare FVal Pr F Model 2 119.8367 59.9156933 14.32 .0001 Error 27 112.9711500 4.1841167 Total 29 232.8025367 例例3.1 為比較同一類型的三種不同食譜的營(yíng)養(yǎng)為比較同一類型的三種不同食譜的營(yíng)養(yǎng)效果，將效果，將19只幼鼠隨機(jī)的分為三組，每組分別只幼鼠隨機(jī)的分為三組，每組分別為為8只、只、4只、只、7只，各采用這三種食譜喂養(yǎng)，

36、只，各采用這三種食譜喂養(yǎng)，假定其他條件不變，假定其他條件不變，12周后測(cè)得其體重添加量周后測(cè)得其體重添加量的數(shù)據(jù)如下的數(shù)據(jù)如下,設(shè)體重添加數(shù)據(jù)服從方差分析模型設(shè)體重添加數(shù)據(jù)服從方差分析模型試分析這三種食譜的營(yíng)養(yǎng)效果能否明顯差別試分析這三種食譜的營(yíng)養(yǎng)效果能否明顯差別. 檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0(即三種食譜的營(yíng)養(yǎng)效果無(wú)顯著差即三種食譜的營(yíng)養(yǎng)效果無(wú)顯著差異異)的的p值為值為0.1863，該值較大，不能回絕，該值較大，不能回絕H0, 以為無(wú)明顯差別以為無(wú)明顯差別. 例例3.2 有四個(gè)不同實(shí)驗(yàn)室制同一型號(hào)的紙張，為有四個(gè)不同實(shí)驗(yàn)室制同一型號(hào)的紙張，為比較它們消費(fèi)的紙張的光滑度，丈量了每個(gè)實(shí)比較它們消費(fèi)的紙張

37、的光滑度，丈量了每個(gè)實(shí)驗(yàn)室消費(fèi)的驗(yàn)室消費(fèi)的8張，光滑度如下，設(shè)數(shù)據(jù)服從方差張，光滑度如下，設(shè)數(shù)據(jù)服從方差分析模型，對(duì)顯著程度分析模型，對(duì)顯著程度=0.05，析四個(gè)實(shí)驗(yàn)室，析四個(gè)實(shí)驗(yàn)室消費(fèi)的紙張光滑度有無(wú)顯著差別消費(fèi)的紙張光滑度有無(wú)顯著差別.檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)H0(即四個(gè)實(shí)驗(yàn)室試制的紙張光滑度即四個(gè)實(shí)驗(yàn)室試制的紙張光滑度有無(wú)顯著差別有無(wú)顯著差別)的的p值為值為0.0027=0.05 ，拒，拒絕絕H0, 即以為四個(gè)實(shí)驗(yàn)室消費(fèi)的紙張?jiān)陲@著水即以為四個(gè)實(shí)驗(yàn)室消費(fèi)的紙張?jiān)陲@著水平平0.05下顯著不同下顯著不同4.3 多要素方差分析多要素方差分析n 單要素方差分析的根本思想是在實(shí)驗(yàn)條件下單要素方差分析的根本

38、思想是在實(shí)驗(yàn)條件下,我們將總的誤我們將總的誤差平方和分別成隨機(jī)誤差差平方和分別成隨機(jī)誤差Se和系統(tǒng)誤差和系統(tǒng)誤差SA，并將其加工成，并將其加工成F=SA/Se統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)F比比1很多時(shí)，那么以為系統(tǒng)因子即要素對(duì)很多時(shí)，那么以為系統(tǒng)因子即要素對(duì)結(jié)果有特別的影響。將這一思想推行到多要素結(jié)果有特別的影響。將這一思想推行到多要素A1，A2，AP即得多要素方差分析。即得多要素方差分析。n以三要素以三要素A，B，C為例，我們來推導(dǎo)三要素方差分析的算法，為例，我們來推導(dǎo)三要素方差分析的算法，其他多要素方差分析可以同理推行。對(duì)要素程度的某一組合假其他多要素方差分析可以同理推行。對(duì)要素程度的某一組合假照

39、實(shí)驗(yàn)次數(shù)為一次，稱為無(wú)反復(fù)實(shí)驗(yàn)。假設(shè)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為多次那照實(shí)驗(yàn)次數(shù)為一次，稱為無(wú)反復(fù)實(shí)驗(yàn)。假設(shè)實(shí)驗(yàn)次數(shù)為多次那么稱多要素可反復(fù)方差分析。這里每一組合的反復(fù)次數(shù)必需一么稱多要素可反復(fù)方差分析。這里每一組合的反復(fù)次數(shù)必需一樣。樣。 1 無(wú)反復(fù)三要素方差分析無(wú)反復(fù)三要素方差分析記三個(gè)要素分別為記三個(gè)要素分別為A，B，C，它們的程度數(shù)分別為，它們的程度數(shù)分別為a，b，c，樣，樣本記為：本記為：), 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1(ckbjaixijk 令令 表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體均值，表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體均值， 分別表示三分別表示三個(gè)要素各自的效應(yīng)，而個(gè)要素各自的效應(yīng)，而 分別表示要素分別表示要素A

40、，B，C兩兩的混合效應(yīng)，那么多要素方差分析線性模型可表示為：兩兩的混合效應(yīng)，那么多要素方差分析線性模型可表示為： CkBjAiaaa,ACikBCjkABijaaa,ijkACikBCjkABijCkBjAiijkaaaaaax 這里，這里， 獨(dú)立同分布。獨(dú)立同分布。),0(2 Nijk我們的我們的 假設(shè)為：假設(shè)為：0H 00:0ACikBCjkABijCkBjAiaaaaaaH2可反復(fù)多要素方差分析模型可反復(fù)多要素方差分析模型在在 l l 次反復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，多要素方差分析線性模型為：次反復(fù)實(shí)驗(yàn)的情況下，多要素方差分析線性模型為： ijklABCijkACikBCjkABijCkBjAiij

41、kaaaaaaax 000:0ABCijkACikBCjkABijCkBjAiaaaaaaaH普通對(duì)普通對(duì) r 個(gè)要素個(gè)要素 的多要素方差分析中的多要素方差分析中, 對(duì)于察看值對(duì)于察看值的線性模型，有的線性模型，有 個(gè)各要素主效應(yīng)，個(gè)各要素主效應(yīng)， 個(gè)兩兩不同要素的個(gè)兩兩不同要素的交互效應(yīng)，交互效應(yīng)， 個(gè)個(gè)r-1個(gè)要素的交互效應(yīng)以及隨機(jī)誤差個(gè)要素的交互效應(yīng)以及隨機(jī)誤差項(xiàng)之和。項(xiàng)之和。平方和分解平方和分解2 rriiix211rC2rC1 rrC ijkACikBCjkABijCkBjAiijkaaaaaax2)(min 在假設(shè)之下，可得估計(jì)量。在假設(shè)之下，可得估計(jì)量。 最小二乘估計(jì)最小二乘估計(jì)

42、 AiaBjaCkaABijaBCjkaACika.X.XiX .XjX .XXk .XjXiXijX .XkXjXjkX .XkXiXkiX 三要素方差分析各影響得估計(jì)量三要素方差分析各影響得估計(jì)量 分別總平方和為分別總平方和為 ijkEACBCABCBAijkSSSSSSSxx2.其中其中 為殘差平方和項(xiàng)，我們可以得到三要素方差分析表為殘差平方和項(xiàng)，我們可以得到三要素方差分析表 ES兩要素方差分析兩要素方差分析anova2語(yǔ)法：語(yǔ)法：Two-way Analysis of Variance (ANOVA) p = anova2(X,reps) p = anova2(X,reps,displ

43、ayopt) p,table = anova2(.)p,table,stats = anova2(.)這里：這里：X：數(shù)據(jù)矩陣：數(shù)據(jù)矩陣reps：反復(fù)次數(shù)：反復(fù)次數(shù)數(shù)據(jù)的構(gòu)造為：數(shù)據(jù)的構(gòu)造為：下標(biāo)第一位：下標(biāo)第一位：A要素程度數(shù)要素程度數(shù)下標(biāo)第二位：下標(biāo)第二位：B要素程度數(shù)要素程度數(shù)下標(biāo)第三位：反復(fù)次數(shù)下標(biāo)第三位：反復(fù)次數(shù)本例的數(shù)據(jù)為：本例的數(shù)據(jù)為： 33 35 33 35 34 37 34 37 36 37 36 3736 37 3836 37 38 37 39 37 39 39 40 39 40 38 42 38 4238 41 4438 41 44 A1 A2 A3B1B2B4B3% 兩

44、要素方差分析兩要素方差分析X=load(e:dataanov_2.txt) % 讀入數(shù)據(jù)讀入數(shù)據(jù)p = anova2(X,2) % 求兩要素方差分析求兩要素方差分析結(jié)果分析：結(jié)果分析：A要素有顯著性影響，要素有顯著性影響，B要素有顯著影響。要素有顯著影響。AB的交叉要素那么沒有影響。的交叉要素那么沒有影響。多要素方差分析多要素方差分析anovan語(yǔ)法：語(yǔ)法：N-way analysis of variance (ANOVA) p = anovan(x,group) p = anovan(x,group,Param1,val1,Param2,val2,.)p,table = anovan(.)p,table,stats = anovan(.) p,table,stats,terms = anovan(.) 例例6.2.4 設(shè)三要素各有二程度，每個(gè)程度搭配下實(shí)驗(yàn)一次。設(shè)三要素各有二程度，每個(gè)程度搭配下實(shí)驗(yàn)一次。52.7 57.5 45.9 44.5 53.0 57.0 45.9 44.0 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)實(shí)