旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題1

1、- 1 - 旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題11. 平面內(nèi)，如圖，在abcd 中， ab=10 ，ad=15 ，tana=4 3，點(diǎn) p為 ad邊上任意一點(diǎn)，連接pb ，將 pb繞點(diǎn) p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900得到線(xiàn)段pq 當(dāng) dpq=100時(shí)，求 apb的大?。划?dāng)tan abp : tana =3:2時(shí)，求點(diǎn)q與點(diǎn)b間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）；若點(diǎn)q恰好落在abcd 的邊所在的直線(xiàn)上，直接寫(xiě)出bp旋轉(zhuǎn)到 pq所掃過(guò)的面積（結(jié)果保留）2. 已知直線(xiàn)mn是線(xiàn)段 bc的垂直平分線(xiàn)，垂足為o ，點(diǎn) p為射線(xiàn)om 上的一點(diǎn)，連接bp 、pc 將線(xiàn)段pb繞點(diǎn) p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 得到線(xiàn)段pq （pq與 pc不重合），旋轉(zhuǎn)角為（0 180

2、） 直線(xiàn) cq交 mn與點(diǎn) d連接 ed （1）如圖 1，當(dāng) =30，且點(diǎn)p與點(diǎn) o重合時(shí)， cdm 的度數(shù)是； （2）如圖 2，當(dāng) =120，且點(diǎn)p 與點(diǎn) o不重合時(shí)，cdm 的度數(shù)是； （3）點(diǎn) p在射線(xiàn) om 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， cdm 的度數(shù)是 （用含 的代數(shù)式表示）3. 在abcd 中， abc=60 ， ab=4，bc=8 ，將abcd繞 ad邊上任意一點(diǎn)p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（點(diǎn)p不與 a、d重合），得到abcd，且點(diǎn)c落在cd （或其延長(zhǎng)線(xiàn)上） ，如圖所示 （1）如圖1，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為30時(shí)，求pd的長(zhǎng)（2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度數(shù)為n（0 n120）時(shí)， pd= （用含 n 的式子表示）- 2 - 4. 如圖

3、 1，已知 abc=90 ，abe是等邊三角形，點(diǎn)p為射線(xiàn) bc上任意一點(diǎn)（點(diǎn)p與點(diǎn) b不重合），連接 ap ，將線(xiàn)段 ap繞點(diǎn) a逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線(xiàn)段aq ，連接 qe并延長(zhǎng)交射線(xiàn)bc于點(diǎn) f （1）如圖 2，當(dāng) bp=ba時(shí)，ebf= ，猜想 qfc= ； （2）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p為射線(xiàn) bc上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想qfc的度數(shù)，并加以證明； （ 3）已知線(xiàn)段ab=2，設(shè) bp=x，點(diǎn) q到射線(xiàn) bc的距離為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式5. 如圖，在 abcd中，過(guò)點(diǎn) c作 ce cd交 ad于點(diǎn) e，將線(xiàn)段 ec繞點(diǎn) e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到線(xiàn)段ef，點(diǎn) p為直線(xiàn) cd上一點(diǎn)（不與點(diǎn)c重

4、合） （1）在圖 1 中畫(huà)圖探究：當(dāng)點(diǎn)p在 cd延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連結(jié)ep并把 ep繞點(diǎn) e逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90得到線(xiàn)段eq 作直線(xiàn)qf交直線(xiàn) cd于 h，求證： qf cd （2）探究：結(jié)合（1）中的畫(huà)圖步驟，分析線(xiàn)段 qh 、ph與 ce之間是否存在一種特定的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)谙旅娴目崭裰袑?xiě)出你的結(jié)論；若存在， 直接填寫(xiě)這個(gè)關(guān)系式當(dāng)點(diǎn)p 在cd 延長(zhǎng)線(xiàn)上且位于h 點(diǎn)右邊時(shí)，；當(dāng)點(diǎn)p 在邊cd 上時(shí)， （3）若 ad=2ab=6 ， ae=1 ，連接 df ，過(guò) p、f 兩點(diǎn)作 m ，使 m同時(shí)與直線(xiàn)cd 、df相切，求 m的半徑是多少？6. 如圖 1，abcd 為正方形，直線(xiàn)mn分別過(guò) ad邊與 bc邊

5、的中點(diǎn)，點(diǎn)p為直線(xiàn) mn上任意一點(diǎn)，連接pb 、pc分別與 ad邊交于 e、f 兩點(diǎn)， pc與 bd交于點(diǎn) k，連接 ak與 pb交于點(diǎn) g探索發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn) p落在 ad邊上時(shí)，如圖2，試探究pb與 ak的位置關(guān)系以及pb 、pk 、ak三者的數(shù)量關(guān)系（直接寫(xiě)出無(wú)需證明） ；延伸拓展當(dāng)點(diǎn) p落在正方形外，如圖1，以上兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立請(qǐng)給出證明，如果不成立請(qǐng)說(shuō)明你的理由；應(yīng)用推廣如圖 3，在等腰rtabd中，其中 bad=90 ，腰長(zhǎng)為3，m 、n分別為 ad邊與 bd邊的中點(diǎn)， k為線(xiàn)段 dn中點(diǎn)， f為 ad邊上靠近于d的三等分點(diǎn)連接kf并延長(zhǎng)與直線(xiàn)mn交于點(diǎn) p，連接 pb分別與

6、 ad 、ak交于點(diǎn) e、g 試求四邊形efkg的周長(zhǎng)及面積- 3 - 旋轉(zhuǎn)變換問(wèn)題 1 答案1. 解： （1）如圖 1 中，當(dāng)點(diǎn) q在平行四邊形abcd 內(nèi)時(shí)， ap b=180 q pbq pd=180 9010=80，當(dāng)點(diǎn) q在平行四邊形abcd 外時(shí)， ap b=180 （ qpb qpd ）=180（ 9010）=100，綜上所述，當(dāng) dpq=10 時(shí)，apb的值為 80或 100（2）如圖 2 中，連接bq ，作 pe ab于 e tan abp ：tana=3 ：2，tana=， tan abp=2 ，在 rtape中，tana=，設(shè) pe=4k，則 ae=3k，在 rtpbe中

7、， tan abp=2， eb=2k， ab=5k=10 ， k=2， pe=8 ，eb=4 ， pb=4， bpq是等腰直角三角形，bq=pb=4（3）如圖3 中，當(dāng)點(diǎn) q落在直線(xiàn)bc上時(shí)，作be ad于 e，pfbc于 f則四邊形bepf是矩形在rtaeb中，tana=，ab=10，be=8 ，ae=6 ，pf=be=8 ， bpq是等腰直角三角形，pf bq ，pf=bf=fq=8 ，pb=pq=8， pb旋轉(zhuǎn)到 pq所掃過(guò)的面積 =32如圖 4 中，當(dāng)點(diǎn)q落在 cd上時(shí)，作 bead于 e，qf ad交 ad的延長(zhǎng)線(xiàn)于f設(shè) pe=x易證 pbe qpf ，pe=qf=x ， eb=pf

8、=8 ， df=ae+pe+pf ad=x 1， cd ab ， fdq= a， tan fdq=tana= =， =， x=4， pe=4，=4，在rt peb 中， pb=，=4， pb 旋轉(zhuǎn)到pq 所掃過(guò)的面積=20 如圖5 中，當(dāng)點(diǎn)q 落在ad 上時(shí)，易知pb=pq=8 ， pb 旋轉(zhuǎn)到pq 所掃過(guò)的面積=16，綜上所述，pb旋轉(zhuǎn)到 pq所掃過(guò)的面積為32 或 20 或 162. 解： （1）直線(xiàn)mn是線(xiàn)段 bc的垂直平分線(xiàn)，bo=co ，cod=90 段pb繞點(diǎn) p 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段pq pb=pc=pq q= c q+ c=bpq= 30， c=15 ，c+cdm=90 ， c

9、dm=75 故答案為：75（2）如圖 2，直線(xiàn)mn是線(xiàn)段 bc的垂直平分線(xiàn)，pb=pc ，bd=cd 段 pb繞點(diǎn) p 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段pqpb=pc=pq pqc=pcq在 pbd和 pcd中， pbd pcd （sss ） ， pbd= pcd ， pdb= pdc ， pbd= pcd= pqc pqc+ pqd=180 ， pqd+ pbd=180 pbd+ bdq+ dqp+ bpq=360 ，bpq+ bdc= 180 bpq=120 ，bdc=60 pdb= pdc ， pdc=30 即 cdm=30 故答案為： 30；（3） 直線(xiàn) mn是線(xiàn)段 bc的垂直平分線(xiàn)， pb=pc

10、 ， bd=cd 段 pb繞點(diǎn) p逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)， 得到線(xiàn)段pq pb=pc=pq pqc=pcq在 pbd和 pcd中， pbd pcd （sss ） ， pbd= pcd ，pdb= pdc ， pbd= pcd= pqc pqc+ pqd=180 ， pqd+ pbd=180 pbd+bdq+ dqp+ bpq=360 ， bpq+ bdc=180 bpq=a ， bdc=180 a pdb= pdc ， pdc=90 a即 cdm=90 a故答案為： 90a- 4 - 3. 解：（ 1） 如圖 1中， 連接 pc 、 pc 作 pn cd于 n， cm ad于 m ， pc=pc ，cpc

11、 =30，pc c= pcc =75，pc c= pdc+ dpc ，b=d=60 ，dpc =15，cpm=45 ，cmp=90 ， cpm= pcm=45 ，pm=cm ，在 rtcmd 中， cmd=90 ， cd=4 ，d=60 ， dm= cd=2 ，cm=pm=2， pd=2+2，（2）如圖1 中，當(dāng) c在 cd上時(shí)，由（ 1）可知， cpc =n，則 pc c=90 n，dpc =90n60=30n，cpm=30 n+n=30 +n， pd=pm+dm=+2如圖2 中，當(dāng)點(diǎn)c在線(xiàn)段 cd的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，連接pc 、pc 作 pn cd于 n ，cm ad于 m ，同理可得 cpm=3

12、0 +n， 0n120，cpm 90，pd=pm+dm=+2， 綜上所述pd=+2故答案為+24. 證明：（1） abc=90 ， bae=60 ， ebf=30 ；則猜想： qfc=60 ；（2）qfc=60 ，bap= bae+ eap=60 +eap ， eaq= qap+ eap=60 +eap ， bap= eaq 在abp 和 aeq中， abp aeq （sas ） aeq= abp=90 bef=180 aeq aeb=180 9060=30，qfc= ebf+ bef=30 +30=60；（3）在圖 1中，過(guò)點(diǎn)f 作 fgbe于點(diǎn) g abe是等邊三角形，be=ab=2由（

13、1）得 ebf=30 又qfc=60 ebf= bef ， bf=ef ， fg be bg=，bf=2ef=2在 rtabp和 rtaeq中， abp aeq 設(shè) qe=bp=x ，則 qf=qe+ef=x+2 過(guò)點(diǎn) q作 qh bc ，垂足為h在 rtqhf中，y=qh=sin60 qf=（x+2） （x0）即 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式是：y=x+5. 解： （1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，pe=qe ，ef=ed ， qef+ fep= peq=90 ， pec+ fep=cef=90 ， pec=- 5 - qef ，在 pec和 qef 中， pec qef （sas ） ， qfe= pc

14、e=90 ，fec+ pce=90 +90=180， ef cd ， qhc= qfe=90 ， qf cd ；（2） pec qef ， qf=pc ， pce= cef= qhc=90 ， ce=ef ，四邊形efhc是正方形，ch=fh=ce，如圖 1，當(dāng)點(diǎn) p 在 cd延長(zhǎng)線(xiàn)上且位于h點(diǎn)右邊時(shí)， qh=qf+fh=pc+fh=ph+ch+fh=ph+2ce， qh ph=2ce ；如圖 2，當(dāng)點(diǎn) p在邊 cd上時(shí)， qh=qf+fh=pc+fh=chph+fh=2ce ph ， qh+ph=2ce；（3） ad=6 ， ae=1 ， de=5，在rtcde中， ce=4， dh=ch

15、cd=ce cd=4 3=1，在rtdfh中， fd=，如圖，過(guò)點(diǎn)m作 mn fh于 n ，則四邊形pmnh 是矩形， m同時(shí)與直線(xiàn)cd 、df相切， dp=fd=，設(shè) m的半徑是r ，點(diǎn) p在點(diǎn) d的右邊時(shí)， 在 rtmnf中，fn=4 r ，mn= 1，由勾股定理得， fn2+mn2=mf2，即（4r ）2+ （1）2=r2，解得 r=，點(diǎn) p在點(diǎn) d的左邊時(shí)，在rtmnf中， fn=r4，mn=+1，由勾股定理得，fn2+mn2=mf2，即（ r 4）2+（+1）2=r2，解得 r=，綜上所述，m的半徑是或6. 解：探索發(fā)現(xiàn) pb ak ， pb=pk+ak ；理由： 如圖 2 中，點(diǎn)

16、p在 mn上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性易得pbc= 2 且 pb=pc ，又 abk= cbk=45 ， 在 bka和 bkc中， abk cbk ， 2=3 且 ak=ck ， pbc= 3又 pbc+ 4=90， 3+4=90，即 pb ak pb=pc=pk+ck=pk+ak延伸拓展以上兩個(gè)結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖1 中，點(diǎn) p在 mn上，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性易得pbc= 2 且 pb=pc ，又 abk= cbk=45 ，在 bka和bkc 中， abk cbk ， 2=3 且 ak=ck ， pbc= 3又 pbc+ 4=90， 3+4=90，即pb ak pb=pc=pk+ck=pk+ak應(yīng)用推廣如圖 3 中，過(guò)點(diǎn) b作 ad的平行線(xiàn)交pk延長(zhǎng)線(xiàn)與點(diǎn)c，連接 cd fdbd ， fdk cbk 又 dk ：bk=1 ：3，fd：bc=1 ：3fd：ad=1 ：3，bc=ad bcad且 ab ad且 ab=ad ，四邊形abcd 為正方形 pb=pk+ak ， 即 （pe+be ） = （pf+fk ） +ak ， 又 pe=pf ， be=fk+ak