拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、趙州橋趙州橋 L L是定直線,F F是定點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M M在平面上運(yùn)動(dòng)且滿足以下幾何條件時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線? ?問(wèn)題MFLA1MAMF軌跡是什么？平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F F和一條定直線和一條定直線l l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做。定點(diǎn)定點(diǎn)F F叫做拋物線的叫做拋物線的。定直線定直線l l 叫做拋物線的叫做拋物線的。 FMlN平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F F和一條定直線和一條定直線L 的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做。定點(diǎn)定點(diǎn)F F 叫做拋物線的叫做拋物線的。定直線定直線L L 叫做拋物線的叫做拋物線的。 的軌跡是拋物線。則點(diǎn)若MMNM

2、F|,|FMLN求曲線方程的一般步驟是：求曲線方程的一般步驟是：1 1、建系、建系2 2、設(shè)動(dòng)點(diǎn)為、設(shè)動(dòng)點(diǎn)為(x,y(x,y) )3 3、列方程、列方程4 4、化簡(jiǎn)、化簡(jiǎn)求曲線方程求曲線方程的基本步驟的基本步驟是怎樣的？是怎樣的？拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程lFMN建系建系列式列式化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)證明證明設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)xyoFMLNK設(shè)設(shè)KF= p則則F（ ，0），），L：x =- p2p2設(shè)動(dòng)點(diǎn)設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x，y） 由拋物線的定義可知：由拋物線的定義可知：化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 y2 = 2px（p0）22)2(pxypx2解：解：如圖，取過(guò)焦點(diǎn)如圖，取過(guò)焦點(diǎn)F F且垂直于準(zhǔn)線且垂直于準(zhǔn)線L L

3、的直線的直線為為x x軸，垂足為軸，垂足為K K點(diǎn)，線段點(diǎn)，線段KFKF的中垂線為的中垂線為y y軸軸 ( p 0)即右焦點(diǎn)即右焦點(diǎn)F（ ，0），左準(zhǔn)線），左準(zhǔn)線L：x = 其中其中 為正常數(shù)，它的幾何意義是為正常數(shù)，它的幾何意義是:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p2p2方程方程 y2 = 2px（p0）表示的拋物線，其焦點(diǎn)位于表示的拋物線，其焦點(diǎn)位于X X軸的軸的正半軸上，其準(zhǔn)線交于正半軸上，其準(zhǔn)線交于X X軸的負(fù)半軸軸的負(fù)半軸yxo2222( -),2-(0).x pyxypx pp化簡(jiǎn)得yoFMNx解法一：以解法一：以l為為y軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸，過(guò)點(diǎn)且垂直于l的直線為的直線為x軸軸建立

4、直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)（建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)（p ,）設(shè)動(dòng)點(diǎn)（設(shè)動(dòng)點(diǎn)（x,y),由拋物線定義得由拋物線定義得2222,2(0).xyxpypxpp化簡(jiǎn)得解法二：以定點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于解法二：以定點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于l的直的直線為線為x軸建立直角坐標(biāo)系軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)動(dòng)點(diǎn)（設(shè)動(dòng)點(diǎn)（x,y),由拋物線定義得由拋物線定義得則點(diǎn)（則點(diǎn)（0 ,）, l 的方程為的方程為x= - p yoFMNx222)222(0).ppxyxypx p(化簡(jiǎn)得設(shè)動(dòng)點(diǎn)（設(shè)動(dòng)點(diǎn)（x,y),由拋物線定義得由拋物線定義得則點(diǎn)（則點(diǎn)（ ,），），l的方程為的方程為 2p.2px 取過(guò)點(diǎn)且垂直于取過(guò)點(diǎn)且垂直于l 的直線為的直線

5、為x軸，軸，x軸與軸與l交于，以交于，以線段的垂直平分線為線段的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，軸建立直角坐標(biāo)系，yoFMNxKFMNoyx 方程方程 y2 = 2px（p0）叫做）叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.其中其中 為正常數(shù)，它的幾何為正常數(shù)，它的幾何意義是意義是: :對(duì)“標(biāo)準(zhǔn)”的理解yKFMNoxFMlN（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2 = 6x， 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解：因?yàn)椋猓阂驗(yàn)椋?232故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（故焦點(diǎn)坐標(biāo)為（,）準(zhǔn)線方程為準(zhǔn)線方程為x=- .例題講解例題講解（2）已知拋物線的方程是）已知拋物線的方程是y =

6、 6x2， 求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；解解:方程可化為方程可化為:x2 =- y, 1 1216 1 24 1 24故故p=,焦點(diǎn)坐標(biāo)為焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0, -),準(zhǔn)線方程為準(zhǔn)線方程為 : y= .例題講解例題講解（3）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是）已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），）， 求它的標(biāo)準(zhǔn)方程求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.解解:因焦點(diǎn)在因焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上軸的負(fù)半軸上,-2x2 = - 8y例題講解例題講解處理課本練習(xí)處理課本練習(xí)作業(yè) 課本37頁(yè) A組 1，2，3范圍范圍1、yox)0 ,2(pF由拋物線由拋物線y2 =2px（p0）220pxy有有 0p 0 x 所以拋物線

7、的范圍為所以拋物線的范圍為0 x 二、探索新知二、探索新知如何研究拋物線如何研究拋物線y2 =2px（p0）的簡(jiǎn)單性質(zhì)）的簡(jiǎn)單性質(zhì)?拋物線在拋物線在y軸的右側(cè)，當(dāng)軸的右側(cè)，當(dāng)x的值增大時(shí)，的值增大時(shí)，y也也增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。增大，這說(shuō)明拋物線向右上方和右下方無(wú)限延伸。對(duì)稱性對(duì)稱性2、yox)0 ,2(pF( , )x y關(guān)于關(guān)于x軸軸對(duì)稱對(duì)稱( ,)xy即點(diǎn)即點(diǎn)(x,-y) 也在拋物線上也在拋物線上,故故 拋物線拋物線y2 = 2px(p0)關(guān)于關(guān)于x軸軸對(duì)稱對(duì)稱.則則 (-y)2 = 2px若點(diǎn)若點(diǎn)(x,y)在拋物線上在拋物線上, 即滿足即滿足y2 = 2px，頂點(diǎn)

8、頂點(diǎn)3、yox)0 ,2(pF 定義：拋物線與定義：拋物線與它的軸的交點(diǎn)叫做拋它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)。y2 = 2px (p0)中，中，令令y=0,則則x=0.即：拋物線即：拋物線y2 = 2px (p0)的的頂點(diǎn)（頂點(diǎn)（0，0）.注注:這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)這與橢圓有四個(gè)頂點(diǎn),雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。雙曲線有兩個(gè)頂點(diǎn)不同。離心率離心率4、yox)0 ,2(pFP(x,y) 拋物線上的點(diǎn)與拋物線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做線的距離之比，叫做拋物線的離心率。拋物線的離心率。 由定義知，由定義知， 拋物線拋物線y2 = 2px (p0)的離心率為的離心率

9、為e=1.結(jié)合拋物線結(jié)合拋物線y2=2px(p0)的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形的標(biāo)準(zhǔn)方程和圖形,探索其的簡(jiǎn)單性質(zhì)探索其的簡(jiǎn)單性質(zhì):(1)范圍范圍(2)對(duì)稱性對(duì)稱性(3)頂點(diǎn)頂點(diǎn)類比探索類比探索x0,yR關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱軸對(duì)稱,對(duì)稱對(duì)稱軸又叫拋物線的軸軸又叫拋物線的軸.拋物線和它的軸的交點(diǎn)拋物線和它的軸的交點(diǎn).再回顧拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)再回顧拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).yxoF(4)離心率離心率(5)焦半徑焦半徑(6)通徑通徑e=1通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑。通徑。|PF|=x0+p/2xOy

10、FP補(bǔ)充補(bǔ)充（1）通徑：）通徑：通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，通過(guò)焦點(diǎn)且垂直對(duì)稱軸的直線，與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的兩點(diǎn)的線段叫做拋物線的通徑通徑。|PF|=x0+p/2xOyFP通徑的長(zhǎng)度通徑的長(zhǎng)度：2PP越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊（2）焦半徑：）焦半徑： 連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫連接拋物線任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)的線段叫做拋物線的做拋物線的焦半徑焦半徑。焦半徑公式：焦半徑公式：),(00yx（標(biāo)準(zhǔn)方程中（標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的幾何意義）的幾何意義）利用拋物線的利用拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn)、通徑的兩個(gè)、通徑的兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)可較準(zhǔn)確畫出可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本

11、特征的草圖。反映拋物線基本特征的草圖。特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它可以無(wú)雖然它可以無(wú)限延伸限延伸,但它沒(méi)有漸近線但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有沒(méi)有對(duì)稱中心對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的,為為1;思考思考：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響對(duì)拋物線開(kāi)口的影響.yox)0 ,2(pFP(x,y)P越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊即右焦點(diǎn)即右焦點(diǎn)F（ ，0），左準(zhǔn)線），左準(zhǔn)線L：x =

12、其中其中 為正常數(shù)，它的幾何意義是為正常數(shù)，它的幾何意義是:焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離p2p2但是，一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，但是，一條拋物線，由于它在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置不同，方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式。方程也不同，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有其它形式。方程方程 y2 = 2px（p0）表示的拋物線，其焦點(diǎn)位于表示的拋物線，其焦點(diǎn)位于X X軸的軸的正半軸上，其準(zhǔn)線交于正半軸上，其準(zhǔn)線交于X X軸的負(fù)半軸軸的負(fù)半軸yxo拋物線的標(biāo)準(zhǔn)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有哪些方程還有哪些形式形式?其它形式的拋物其它形式的拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線呢？呢？拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形

13、式拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式KFMNoyxFMlNFMlNFMlNpxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0 ,2p2px0 ,2p2px 2, 0p2py2, 0p2py 特點(diǎn)：特點(diǎn)：1.拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)拋物線只位于半個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi),雖然它雖然它可以無(wú)限延伸可以無(wú)限延伸,但它沒(méi)有漸近線但它沒(méi)有漸近線;2.拋物線只有一條對(duì)稱軸拋物線只有一條對(duì)稱軸,沒(méi)有對(duì)稱中心沒(méi)有對(duì)稱中心;3.拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一拋物線只有一個(gè)頂點(diǎn)、一個(gè)焦點(diǎn)、一條準(zhǔn)線條準(zhǔn)線;4.拋物線的離心率是確定的拋物線的離心率是確定的e=1;5.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的p對(duì)拋物線開(kāi)口的影響對(duì)拋

14、物線開(kāi)口的影響.P越大越大,開(kāi)口越開(kāi)闊開(kāi)口越開(kāi)闊-本質(zhì)是成比例地放大！本質(zhì)是成比例地放大！24l例例3:圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在圖中是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在 l 時(shí)，拱頂離時(shí)，拱頂離水面水面2米，水面寬米，水面寬4米米. 水下降水下降1米后，水面寬多少？米后，水面寬多少？xoy若在水面上有一寬為若在水面上有一寬為2米米,高高為為1.6米米的船只，能否安全通過(guò)拱橋？的船只，能否安全通過(guò)拱橋？思考題思考題2BA（2,2）x2=2y6x B（1，y） y=0.5B到水面的距離為到水面的距離為1.5米米不能安全通過(guò)不能安全通過(guò)y=3代入得代入得26水面寬例題例題2因?yàn)閽佄锞€關(guān)于因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x x

15、軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M M（，），（，），2 2解解:所以設(shè)方程為：所以設(shè)方程為：)0(22ppxy又因?yàn)辄c(diǎn)又因?yàn)辄c(diǎn)M M在拋物線上在拋物線上：所以：所以：2( 2 2)22p2p因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：因此所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：24yx例例3 3：已知拋物線關(guān)于：已知拋物線關(guān)于x x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M M（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程（，），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. .2 2坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x(y)軸上軸上,開(kāi)口方向不定時(shí)開(kāi)口方向不定時(shí),設(shè)為設(shè)為y2=2mx(m 0)(x2=2m

16、y (m0),可避免討論可避免討論法一法一: :直接求兩點(diǎn)坐標(biāo)直接求兩點(diǎn)坐標(biāo), ,計(jì)算弦長(zhǎng)計(jì)算弦長(zhǎng)( (運(yùn)算量一般較大運(yùn)算量一般較大);); 法法二二: :設(shè)設(shè)而而不不求求, ,運(yùn)運(yùn)用用韋韋達(dá)達(dá)定定理理, ,計(jì)計(jì)算算弦弦長(zhǎng)長(zhǎng)( (運(yùn)運(yùn)算算量量一一般般) ); ; 法法三三: :設(shè)而不求設(shè)而不求, ,數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合, ,活用定義活用定義, ,運(yùn)用韋達(dá)定理運(yùn)用韋達(dá)定理, ,計(jì)計(jì)算弦長(zhǎng)算弦長(zhǎng). . 例例3、斜率為、斜率為1的直線的直線 經(jīng)過(guò)拋物線經(jīng)過(guò)拋物線 的的焦點(diǎn)焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求線兩點(diǎn)，求線段段AB的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。l24yxAABBFOxyAABBFOxy43

17、2 .圖圖 .:,101122 xlFpp準(zhǔn)線焦點(diǎn)由題意可知解如 .,.BAddlBAyxByxA的距離分別為到準(zhǔn)線設(shè)圖2211432 .| ,|1121 xdBFxdAFBA由拋物線的定義可知.|221 xxBFAFAB于是 1101., xyABF方程為的所以直線為由已知得拋物線的焦點(diǎn) .,xxxy412122 得代入將AABBFOxy432 .圖圖. 0162 xx化簡(jiǎn)得.|,822232232121 xxABxx于是由求根公式得 621 xx或由韋達(dá)定理得.,8的長(zhǎng)是線段所以AB練習(xí)：練習(xí)：1、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為、已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，焦點(diǎn)在軸，焦點(diǎn)在直線直線3x-4y-12=0上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是上，那么拋物線通徑長(zhǎng)是 .162、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)A（-2，3）與拋物線）與拋物線 的焦點(diǎn)的距離是的焦點(diǎn)的距離是5，則，則P= 。 22(0)ypx p43.3.已知已知M M為拋物線為拋物線 上一動(dòng)點(diǎn)，上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn) F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，定點(diǎn)定點(diǎn)P(3,1)P(3,1), ,則則 的最小值為（的最小值為（ ） (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 MFMP xy42B B.)0 , 1 (F3xM.N.M.P歸納總