數(shù)理方程與特殊函數(shù)楊春22學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1數(shù)理方程數(shù)理方程(fngchng)與特殊函數(shù)楊春與特殊函數(shù)楊春22第一頁，共40頁。2本次課主要(zhyo)內(nèi)容平面特殊(tsh)區(qū)域狄氏格林函數(shù)(一)、上半平面狄氏問題(wnt)Green函數(shù) (二)、圓域上狄氏問題Green函數(shù) (三)、第一象限上狄氏問題Green函數(shù) (四)、上半圓域上狄氏問題格林函數(shù)第1頁/共39頁第二頁，共40頁。3狄氏問題解的積分(jfn)表達(dá)式回顧1、三維情形(qng xing)：000(,)()(,)SVG M Mu MdSG M MfdVn(),()SSuf MMVuM 積分(jfn)表達(dá)式為：第2頁/共39頁第三頁，共40頁。41、二維情形(qng

2、 xing)：(),()LLuf MMVuM 積分(jfn)表達(dá)式為：0()( , )LDGu MdSGf x y dn 第3頁/共39頁第四頁，共40頁。5靜電勢(shì)公式(gngsh)1、三維空間中，電量為+q的位置在M0的正點(diǎn)電荷在空間M處產(chǎn)生(chnshng)的電勢(shì)為：00()4MMqu Mr2、三維空間中，電荷密度為+q的位置在M0的無限(wxin)長(zhǎng)桿在空間M處產(chǎn)生的電勢(shì)為：001()ln2MMqu Mr第4頁/共39頁第五頁，共40頁。(一)、上半平面狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 000,(0)0yGxxyyyG 問題相當(dāng)于無限(wxin)長(zhǎng)接地導(dǎo)線(x軸)上方的電勢(shì)。MM0M1

3、xyo第5頁/共39頁第六頁，共40頁。7所以(suy)：分析：由鏡像法：格林函數(shù)G(M,M0)等于在(x0,-y0)處置(chzh)一電量為- 0的點(diǎn)電荷在M處產(chǎn)生的電勢(shì)與M0處電量為0的正點(diǎn)電荷在M處產(chǎn)生的電勢(shì)的疊加。0101111(,)22MMMMG M MLnLnrr并且(bngqi)有：GGny 第6頁/共39頁第七頁，共40頁。80222200001112()()()()LyGLnLnnyx xy yx xy y022001()yxxy 即： 例1、求上半平面(pngmin)上泊松與拉氏方程狄氏解 解：由公式(gngsh)：0()(,)LDGu MdSG fxy dn 得泊松方程(

4、fngchng)狄氏解為：0022001()( )( , )()Dyu MxdxGf x y dxxy第7頁/共39頁第八頁，共40頁。9拉氏方程(fngchng)狄氏解為： 例2、求上半平面(pngmin)上拉氏方程狄氏解，邊界條件為： 解：由公式(gngsh)：00,0(, 0 ),0 xuxux0022001()( )()yu Mxdxxxy00220000220001()( )()1()yu Mxdxxxyyudxxxy第8頁/共39頁第九頁，共40頁。1000220001()uydxxxy0002200011()1u ydxxxyy000002200001()()1yxxu ydyx

5、xyy00001arctanxxuy00001arctanxxuy000arctan2uxy第9頁/共39頁第十頁，共40頁。1102220(,),()0LGMMMMD xyRG (二)、圓域上狄氏問題(wnt)的Green函數(shù) 圓域上狄氏問題Green函數(shù)(hnsh)滿足的定解問題為 分析：圓域上狄氏問題Green函數(shù)G(M,M0)相當(dāng)于圓內(nèi)M0處放置(fngzh)電量為0的正點(diǎn)電荷，而圓周接地的電勢(shì)。MM0OM1其中：OMr11OMr00OMr0( ,)r r 第10頁/共39頁第十一頁，共40頁。12仿照(fngzho)球形域格林函數(shù)求法：延長(zhǎng)OM0至M1,使r1=R2/r0.但是(dn

6、sh)： (可證明：OM0MOMM1)101011111lnlnln222MMM MMMM Mrrrr在M0處置(chzh)一電荷密度為0的無限長(zhǎng)細(xì)桿，M1處置(chzh)一電荷密度為-0的無限長(zhǎng)細(xì)桿，兩線在M處產(chǎn)生的平面電勢(shì)為:10011lnln22MMLM MrRrr所以，格林函數(shù)應(yīng)該為：10100001111111(,)lnlnlnlnln22222MMM MMMM MrRRG M MrrrrrMM0OM1第11頁/共39頁第十二頁，共40頁。13解：LRGGnr因?yàn)?yn wi)：2202200122cosRrR RRrr 例3、求圓域上泊松與拉氏方程(fngchng)狄氏解。0()(

7、,)LDGu MdSG fxy dn 所以(suy)：LRGGnr220022001()(,)22cosLDRru MdSG fxy dR RR rr所以，狄氏解為：第12頁/共39頁第十三頁，共40頁。1400222222220000cosx xy yxyxyxyxy所以(suy)：由于(yuy)：00cosO MO MO MO M所以(suy)，在極坐標(biāo)系下，有：0coscos()222002200001()()( ,)22cos()DRru MdGfrrdrdRRrr 從而，在極坐標(biāo)下，圓域上泊松方程狄氏解為：在極坐標(biāo)下，圓域上拉氏方程狄氏解為：222002200001()()22cos

8、()Rru MdRRrr 第13頁/共39頁第十四頁，共40頁。15例4、求圓域上拉氏方程(fngchng)狄氏解。(1)、解法(ji f)1:(格林函數(shù)法)0,1(1,)( )uru ( )cosa (2)、( )cosba 選極坐標(biāo)系，設(shè)圓內(nèi)M0(r0,0),則：222002200001()()22cos()Rru MdRRrr 220200001cos*212cos()radrr第14頁/共39頁第十五頁，共40頁。16令： 則：(a) 采用(ciyng)留數(shù)計(jì)算上面積分*0()ize 于是(ysh)得：101cos()()2zz令：1ddziz00111cos()()22iiiieez

9、eze0012000211001()(1)12( ,)21()iizzez earu rdzizr zzr00220100(1)4(1)()iizarz eedzir zzr z002100(1)()iizz eeIdzr zzr z1( )zf z dz第15頁/共39頁第十六頁，共40頁。17復(fù)積分(jfn)的留數(shù)定理 定理：設(shè)函數(shù)f(z) 在回路L所圍成的區(qū)域(qy)B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)b1,b2,bn外解析,在L圍成的閉區(qū)域(qy)上除這些奇點(diǎn)外連續(xù)，則：1( )2Re( )niLif z dzisf b 特別(tbi)地，當(dāng)奇點(diǎn)為極點(diǎn)時(shí)有：111Re()lim()( )(1)!imm

10、iimzbdsf bzbfzmdz 其中m是極點(diǎn)bi的階數(shù)。第16頁/共39頁第十七頁，共40頁。18于是(ysh)：所以(suy)，(1)的解為：000002200002limlim(1)()(1)iiiizzrz eez eeir zzrr z z02Re( ),0Re( ),Iis f zs f zr000202000121iiir eeeirrr00020()21iir eeir0000( ,)cosu rar第17頁/共39頁第十八頁，共40頁。19一個(gè)常見函數(shù)(hnsh)的傅立葉級(jí)數(shù)展開(b) 采用(ciyng)級(jí)數(shù)展開法計(jì)算積分*220200001cos*212cos()raId

11、rr221( ),(1,02 )12cosf xxx將如下函數(shù)展開(zhn ki)為傅立葉級(jí)數(shù)：令： ，那么：ixte2221211( )12cos1()f xxtt111ttt第18頁/共39頁第十九頁，共40頁。20100kkkkktt01kkkkktt11kkkktt 11kikxikxkee 112coskkkx 221( )1 2 cosf xx112coskkkx 所以函數(shù)展開(zhn ki)為傅立葉級(jí)數(shù)為：第19頁/共39頁第二十頁，共40頁。21于是(ysh)得：200021000112cos()12cos()mmrrmrr所以(suy)：220200001cos*212cos

12、()raIdrr200011cos12cos()2mmarmd22000011coscoscos()2mmaadrmd 第20頁/共39頁第二十一頁，共40頁。2220001coscos()mmarmd2200000011coscoscoscossinsinmmmmaarmm drmmd 2000coscoscosard 20001coscoscosmmarmm d 00cosar當(dāng) 時(shí)：( )cosba 22002000011()()212cos()ru Mdrr 第21頁/共39頁第二十二頁，共40頁。23而：22020000220200001212cos()1cos212cos()rbd

13、rrradrr220200001212cos()rbdrr20001112cos()2mmbrmd22000011cos()2mmbbdrmdb所以(suy)，有：0000( ,)cosu rbar第22頁/共39頁第二十三頁，共40頁。24( , )( ) ( )u rR r1、分離(fnl)變量：2110RRRrr 2r RrRR 代入方程(fngchng)得：整理(zhngl)后可令比值為：解法2:(分離變量法)第23頁/共39頁第二十四頁，共40頁。25200r RrRR 得兩個(gè)常微分方程(wi fn fn chn)如下：2、求解固有(gyu)值問題 20第24頁/共39頁第二十五頁，

14、共40頁。26(1) 0時(shí)，令=2 得： sincosba結(jié)合周期條件，只能(zh nn)取正整數(shù)。于是得固有值：21,2,)n n（固有(gyu)函數(shù)為： cossin(1,2)nnnanbnn第25頁/共39頁第二十六頁，共40頁。273、求歐拉方程(fngchng)的解20(0)r RrRRR (1)、對(duì)應(yīng)(duyng)于0= 0的解為：0( )lnRrCDr由有限性得：D=0,于是(ysh)有：0( )RrC第26頁/共39頁第二十七頁，共40頁。28(2)、對(duì)應(yīng)(duyng)于n= n2(n=1,2.)2(1)0D DRDRn R作變換(binhun)：=et 得：22n Rdt2d

15、 R即 ：( )nnnnnRrC rD r由有限性得：Dn=0,于是(ysh)有：( )nnnRrC r第27頁/共39頁第二十八頁，共40頁。294、求定解( )(0,1, 2,)nnnRrC rn一般(ybn)解為：01( , )cossin2nnnnau rranbn由邊界條件(1)得：01coscossin2nnnaaanbn第28頁/共39頁第二十九頁，共40頁。30所以(suy)，比較系數(shù)得：010,1,0(1),0nnaaanb( , )cosu rar所以(suy)，(1)的解為：由邊界條件(2)得：01coscossin2nnnabaanbn所以(suy)，比較系數(shù)得：012

16、 ,1,0(1),0nnab aanb所以，(2)的解為：( , )cosu rbar第29頁/共39頁第三十頁，共40頁。(三)、第一(dy)象限上狄氏問題的Green函數(shù) 0000,(0,0)0,0yxGxxyyxyGG 由鏡像法：可確定(qudng)M0的像點(diǎn)M1,M2,M3.MM0M2(-0)xyoM3(0)M1(-0)第30頁/共39頁第三十一頁，共40頁。32第一(dy)象限上狄氏問題的Green函數(shù)為： 0123011111111(,)lnlnlnln2222MMMMMMMMG M Mrrrr2222000022220000()()()()1ln4()()()()xxyyxxyy

17、xxyyxxyy 例5、求第一(dy)象限上拉氏方程狄氏解。解：假定(jidng)定解問題為：01020(0,0)( ),( )xyuxyuyux第31頁/共39頁第三十二頁，共40頁。33由于(yuy)1:0Lx 其中(qzhng)：GGnx 0()(,)LDGu MdSG fxy dn LGdSn 1212LLGGdSdSnn 2:0Ly 對(duì)于(duy)L1:對(duì)于L2:GGny 第32頁/共39頁第三十三頁，共40頁。3400yyGGny 對(duì)于(duy)L2:0022220000221144()()yyxxyxxy 0022220000221144()()yyxxyxxy022001()y

18、xxy 00 xxGGny 022001()xyyx 第33頁/共39頁第三十四頁，共40頁。35所以(suy)，拉氏解為：000012002222000011( , )( )( )()()xyu x yydyxdxy yxx xy(四)、上半圓域上狄氏問題(wnt)格林函數(shù)格林函數(shù)(hnsh)滿足的定解問題為：200,()()(1)0(2),0(3)RGMMGG 第34頁/共39頁第三十五頁，共40頁。36M0M1M1M0Mxy設(shè)想在 放置電量(dinling)為0的電荷000(,)M (1)對(duì)于 在 放置(fngzh)電量為-0的電荷，則能夠使邊界條件(3)滿足，但不能使(2)滿足。0,000(,)M(2)若要同時(shí)使(2)滿足，對(duì)于(duy)圓周邊界來說，M0的對(duì)稱點(diǎn)為：第35頁/共39頁第三十六頁，共40頁。37在M1放置電量(dinling)為 的電荷00R對(duì)于(duy) M1的對(duì)稱點(diǎn)為：0,2100(,)RM2100(,)RM置電量(dinling)為 的電荷00R四個(gè)電荷的疊加滿足邊界條件，所以得到格林函數(shù)：00110001111(,)lnln221111lnln22M MM MM MM MGMMRR第36頁/共39頁第三十七頁，共40頁。38作業(yè)(zuy)P155習(xí)題(xt)6