第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分§3復(fù)化求積公式PPT課件

1、第四章第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分 3 3 復(fù)化求積公式復(fù)化求積公式 一、復(fù)化求積法的思想一、復(fù)化求積法的思想 二、幾種特殊的復(fù)化求積公式二、幾種特殊的復(fù)化求積公式三、例題三、例題一、復(fù)化求積法的思想一、復(fù)化求積法的思想 前面已經(jīng)指出高階牛頓前面已經(jīng)指出高階牛頓柯特斯公式柯特斯公式是不穩(wěn)定的，因此不能用提高階的方法來是不穩(wěn)定的，因此不能用提高階的方法來提高求積精度。提高求積精度。 為了提高精度通常可把積分區(qū)間分成為了提高精度通?？砂逊e分區(qū)間分成若干子區(qū)間，再在每個子區(qū)間上用低階求若干子區(qū)間，再在每個子區(qū)間上用低階求積公式。這種方法稱為積公式。這種方法稱為復(fù)化求積法復(fù)化求積法。與

2、插值多項式類似與插值多項式類似定義：復(fù)化求積法定義：復(fù)化求積法 設(shè)將積分區(qū)間設(shè)將積分區(qū)間a, b劃分為劃分為n等分，步長等分，步長 ，分點為，分點為 nabh .,.,1 , 0,nkkhaxk 復(fù)化求積法復(fù)化求積法就是先用低階的牛頓就是先用低階的牛頓柯特斯公式柯特斯公式求得每個子區(qū)間求得每個子區(qū)間xk, xk+1上的積分值上的積分值 Ik，然后，然后再求和，再求和，用用 作為所求積分作為所求積分I的近似值。的近似值。即即 10nkkI 10nkkII二、幾種特殊的復(fù)化求積公式二、幾種特殊的復(fù)化求積公式根據(jù)在每個小區(qū)間上所用低階求積公式根據(jù)在每個小區(qū)間上所用低階求積公式的的不同不同，復(fù)化求積公

3、式有如下三種：，復(fù)化求積公式有如下三種：1. 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式2. 復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式3. 復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式 1. 復(fù)化梯形公式復(fù)化梯形公式)()(21 kkkxfxfhI每個小區(qū)間每個小區(qū)間xk，xk+1上梯形公式是上梯形公式是整個區(qū)間上的復(fù)化梯形公式是整個區(qū)間上的復(fù)化梯形公式是 10nkknIT 101)()(2nkkkxfxfh即即 11)()(2)(2nkknbfxfafhT下面求復(fù)化梯形公式的積分余項下面求復(fù)化梯形公式的積分余項 103)(12nkknTfhTIRn ),(,1 kkkxx 由于由于,)(2baCxf 且且)(max)(1)(min10

4、xffnxfbxankkbxa 103)(112nkkfnnh 故存在故存在 使使,ba 10)(1)(nkkfnf 所以復(fù)化梯形公式的積分余項為所以復(fù)化梯形公式的積分余項為)(122 fhabTIRnTn ,ba 103)(112nkkTfnnhRn 即即 2. 復(fù)化辛甫生公式復(fù)化辛甫生公式)()(4)(6121 kkkkxfxfxfhI記每個小區(qū)間記每個小區(qū)間xk，xk+1的中點為的中點為,21 kx該小區(qū)間上的辛甫生公式為該小區(qū)間上的辛甫生公式為整個區(qū)間上的復(fù)化辛甫生公式是整個區(qū)間上的復(fù)化辛甫生公式是 10nkknIS且積分余項為且積分余項為 )()(2)(4)(6101021bfxfx

5、fafhSnkknkkn 10)4(4)()2(180nkknfhhSI , )(2180)4(4bafhab 3. 復(fù)化柯特斯公式復(fù)化柯特斯公式如果將每個小區(qū)間如果將每個小區(qū)間xk，xk+1四等分，內(nèi)分點四等分，內(nèi)分點依次記為依次記為,432141 kkkxxx則相應(yīng)地可得復(fù)化柯特斯公式。則相應(yīng)地可得復(fù)化柯特斯公式。)(7)(14)(32)(12)(32)(7 9011104310211041bfxfxfxfxfafhCnkknkknkknkkn 且復(fù)化柯特斯公式的積分余項為且復(fù)化柯特斯公式的積分余項為, )()4(945)(2)6(6bafhabCIn 注：注：其它牛頓其它牛頓柯特斯公式亦

6、可用類似的手續(xù)加柯特斯公式亦可用類似的手續(xù)加以復(fù)化。顯然，復(fù)化的牛頓以復(fù)化。顯然，復(fù)化的牛頓柯特斯公式仍柯特斯公式仍然是機械求積公式。然是機械求積公式。舉例舉例對于函數(shù)對于函數(shù) ，試?yán)孟卤碛嬎惴e分試?yán)孟卤碛嬎惴e分xxxfsin)( dxxxI 10sinxf(x)011/80.99739781/40.98961583/80.97672671/20.95885105/80.93615563/40.90885167/80.877192510.8414709解解將積分區(qū)間將積分區(qū)間0,1劃分劃分為為8等分，應(yīng)用復(fù)化梯等分，應(yīng)用復(fù)化梯形公式形公式三、例題三、例題將積分區(qū)間將積分區(qū)間0,1劃分為劃分

7、為4等分，應(yīng)用復(fù)化辛甫等分，應(yīng)用復(fù)化辛甫生公式求得生公式求得9460832. 04 S9456909. 08 T積分準(zhǔn)確值積分準(zhǔn)確值I = 0.9460831復(fù)化辛甫生公式精度優(yōu)于復(fù)化梯形公式復(fù)化辛甫生公式精度優(yōu)于復(fù)化梯形公式841(0)1131537(1)( )( )( )( )( )( )( )8284828482 0.9456909.11357(0)4 ( )( )( )( )4 68888113 2 ( )( )( )(1)0.9460832424ffTfffffffSfffffffff比較上面兩個結(jié)果比較上面兩個結(jié)果T8與與S4，它們都，它們都需要提供需要提供9個點上的函數(shù)值，計算個

8、點上的函數(shù)值，計算量基本相同，然而精度卻相差很大，量基本相同，然而精度卻相差很大，舉例舉例 如果用復(fù)化梯形公式計算積分如果用復(fù)化梯形公式計算積分 的的近似值，并要求余項滿足近似值，并要求余項滿足 211dxex0001102. 0 nTI則至少要把區(qū)間則至少要把區(qū)間1，2分為多少等份？分為多少等份？解解對于對于 ，已知，已知xexf1)( 1548. 8)(max21 xfx根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項公式，應(yīng)有根據(jù)復(fù)化梯形公式的余項公式，應(yīng)有0001102. 01548. 812)12(23 nRT由此解得由此解得67.66162 n所以所以79 n即至少要把區(qū)間即至少要把區(qū)間1，2分為分為79等

9、份。等份。20-3 sin 0,210425 1Ixdx計算積分， 若用復(fù)合梯形公式，問區(qū)間應(yīng)分多少等份才能使誤差不超過，若取同樣的求積節(jié)點，改用復(fù)合辛普森公式，截斷誤差例是多少？(4)22-3323-3( )cos ,( )sin ,( )sin ,2, -11 ( )()10 ,(0,)21212 22210 ,25.416,260,482261102nf xx fxx fxx bab aR fh fnnnn 解： 由于,故復(fù)合梯形公式 要求（ ）即取,即將區(qū)間分為等份時，用復(fù)合梯形公式計算，截斷誤差不超過4(4)4-9- ( )()0.7266303 101802180 2 2Sb a hR ffn 。用復(fù)合辛普森公式，截斷誤差為（ ）對本例題的進(jìn)一步思考：對本例題的進(jìn)一步思考：h如何給出？如何給出？ 前面介紹的復(fù)化求積公式對