魯教版初中數(shù)學(xué)知識梳理幾何VIP

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載初中數(shù)學(xué) -（幾何部分）幾何基礎(chǔ)概念（8 冊上）定義：一般地，用來說明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語的意義的語句叫做定義。命題：判斷一件事情的句子叫做命題。（命題就是具有真假意義的一句話）命題通常由條件和結(jié)論兩部分組成， 條件是已知的事項(xiàng)， 結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷的事項(xiàng)，命題寫成“如果那么”的形式。正確的命題叫做真命題，不正確的命題叫做假命題。證明：判斷一個(gè)命題的推理的過程叫做證明。公理：通過長期實(shí)踐總結(jié)出來，并且被人們公認(rèn)的真命題叫做公理。定理：通過推理得到證實(shí)的真命題叫做定理。證明一個(gè)命題的正確性，要按“已知”， “求證”，“證明”的順序和格式書寫。一、直線直線的性質(zhì)：直線沒有粗細(xì)、向

2、兩方無限伸展。兩條直線的位置關(guān)系：1、相交， 2、平行（重合看做是平行的特例）。1、兩條相交直線（1）斜交 。直線 ab 和直線 cd 相交于點(diǎn) o。如圖 1 和 2,叫做是對頂角。它們有公共頂點(diǎn) o，且他們的兩邊是互為反向延長線。同樣3 和 4 是對頂角。定理：對頂角相等。1 和 4， 1 和 3, 2 和 4， 2 和 3 是互為補(bǔ)角。即1+4=180o（2）垂直 。直線 ab 和直線 ef 相交于 o 點(diǎn)，其中 aof=90 o，則稱直線ab 和直線 ef 互相垂直。由此aoe 、 eob、 bof 都是 90o。1+2=bof=90 o，稱 1 和 2 是互為余角。定理：同角或等角的余

3、角相等。同角或等角的補(bǔ)角相等。（3）作圖已知線段ab ，o 是線段 ab 上中點(diǎn)，過o 點(diǎn)作線段cd，使得 cdab。已知直線ab ，p 是直線 ab 外一點(diǎn)。過p 作直線 ab 的垂線作已知 aob 的平分線已知 aob ，作 aob，使得 aob=aob 。作法：略（六冊下，p53）2、兩條直線平行（1）有關(guān)概念：同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角。如圖，直線ab 和直線 cd 被直線 l 所截，同位角有：1 和 2， 3 和 4， 5 和 6，b a c d 1 2 3 4 0 3 a b e f o 1 2 學(xué)習(xí)必備歡迎下載7 和 8。內(nèi)錯(cuò)角有：2 和 7， 5 和 4。同旁內(nèi)角有：2 和 5，

4、 7 和 4。（2）兩條直線如果沒有交點(diǎn)，稱這兩條直線平行。（3）兩條直線平行判定定理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行。兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行。（4）兩條直線平行性質(zhì)定理：如果兩條互相平行的直線被第三條直線所截，那么同位角相等， 內(nèi)錯(cuò)角相等， 同旁內(nèi)角互補(bǔ)。（5）作圖已知直線 ab ，求作直線cd，使得 cdab。二、多邊形(三角形 ) 1、概念。 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次連接所組成的圖形叫做三角形。三角形有三條邊、三個(gè)內(nèi)角和三個(gè)頂點(diǎn)。如圖：頂點(diǎn)是a，

5、b，c 的三角形記作abc 。 a 所對邊 bc 用 a來表示。 b 所對邊 ac 用 b 來表示，邊ab 用 c 來表示。bcf 叫 acb 的外角。有三個(gè)外角。2、分類 。按角分有：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。按邊分有：一般三角形，等腰三角形、等邊三角形。特殊的有等腰直角三角形。3、三角形的性質(zhì)。（1）三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。（2）三角形三個(gè)內(nèi)角之和等于180o。（3）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（4）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。（5）三角形的邊、角關(guān)系：三角形中，等邊對等角，等角對等邊。大邊對大角，大角對大邊。（6）三角形的中位線平行

6、于第三邊，且等于第三邊的一半。（7）角平分線的性質(zhì)：一個(gè)角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等；反過來，與一個(gè)角的兩邊等距離的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。（8）內(nèi)心：三角形的三個(gè)內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，叫做內(nèi)心。是三角形內(nèi)切圓的圓心。（9）外心：三角形的三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，叫做外心。是三角形外接圓的圓心。（10）垂心：三角形的三條高交于一點(diǎn)，叫做垂心。（11）重心：三角形的三條中線交于一點(diǎn)，叫做重心。且重心和各邊中點(diǎn)的距離等于這邊上中線的三分之一。42 8 6 31 7 5 l c a d b a b c a b c f 學(xué)習(xí)必備歡迎下載ob f c e a g 如圖： e、 f、g 分別為三邊

7、的中點(diǎn)。of=13af，oa=2 3af oe=13be，ob=2 3be og=13cg，oc=2 3cg 4、全等三角形（1）定義： 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。例如 abc 和 def 能夠完全重合，它們是全等的。記作“abc def”（2）全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。例如圖 abc bad ， 找出它們的對應(yīng)邊和對應(yīng)角。解： ac 與 bd ，bc 與 ad ，ab 與 ba 是對應(yīng)邊。abc 與 bad ， bac 與 abd ， c 與 d 是對應(yīng)角。（3）全等三角形的判定定理：如果三角形的三條邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（邊邊邊）或

8、（sss） 。如果三角形的兩角及夾邊分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（角邊角）或（asa ） 。如果三角形的兩邊及夾角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作（邊角邊）或（sas） 。如果三角形的兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等。記作 （角角邊）或（ aas ） 。例已知：如圖在abc 中， bf=de ，deab ，dfac 求證： d 為 bc 的中點(diǎn)。證明： deab，dfac（已知） b=edc， （平行線性質(zhì)）c=bdf ，在 bfd 和 dec 中 b=edc， c=bdf ，bf=de bfd dec（aas ） bd=dc （全等三角形性質(zhì)）故， d

9、為 bc 的中點(diǎn)。（4）作圖已知：線段a，c， 。求作： abc ，使 bc=a，ab=c ， abc= . 已知：線段c， ， ，求作： abc 使 a=， b=， ab=c 。5、等腰三角形 軸對稱圖形及性質(zhì)：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠相互重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。在軸對稱圖形或兩個(gè)成軸對稱的圖形中，對應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。 簡單的軸對稱圖形及性質(zhì)：線段是軸對稱圖形，垂直平分線段的直線是它的一條對稱軸。a bcd b d c e f a 學(xué)習(xí)必備歡迎下載ba c 線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)

10、端點(diǎn)的距離相等。角是軸對稱圖形，角分線所在的直線是它的對稱軸。角分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。等腰三角形：等腰三角形是軸對稱圖形。等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合（也稱三線合一）。它們所在的直線是等腰三角形的對稱軸。性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等。判定定理：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么它們所對的邊相等。等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。等邊三角形的三個(gè)角都相等。6、直角三角形（1）定義 ：有一個(gè)角等于90o的三角形叫做直角三角形。（2）性質(zhì) ：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。推論：等腰直角三角形的底角等于45。在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30o，那

11、么它所對的直角邊等于斜邊的一半。直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角是30。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方。如果用a，b 和 c 分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2+b2=c2。判定定理： 如果三角形的三邊長a，b，c 滿足222cba，那么這個(gè)三角形是直角三角形。222cba（3）直角三角形全等的判定：兩條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。一邊和一銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形全等。斜邊和一條直角邊分別相等的兩直角三角形全等。（4） 、銳角三角函數(shù)三角函數(shù)是講角與兩邊的比值的關(guān)系（就是度數(shù)與數(shù)值

12、的關(guān)系）。不同角的大小，對應(yīng)不同的數(shù)值（兩邊的比值）。定義：在rtabc 中如果銳角a 確定，那么 a 的對邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比也隨之確定。a 的對邊與斜邊的比叫做a 的正弦。記作sina a 的鄰邊與斜邊的比叫做a 的余弦。記作cosa a 的對邊與鄰邊的比叫做a 的正切。記作tga a 的鄰邊與對邊的比叫做a 的余切。記作ctga caasin，cbacos，batga，abctga，a b a c b c 學(xué)習(xí)必備歡迎下載、 30o、 45、o 60o角的三角函數(shù)值sina cosa tga ctga 30o212333345o22221 1 60o2321333

13、（5） 、解直角三角形（九冊上）由直角三角形中已知的元素，求出其他所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在 rtabc 中， c=90o， a， b， c 所對的邊分別是a，b，c?？傻孟铝嘘P(guān)系：銳角之間關(guān)系：a b=90o三邊之間關(guān)系：a2 b2c2角與邊之間關(guān)系：cabacossin，cbbasincos，baatan，abbtan。例在 abc 中， a=60 o， b=45o，ac=12 ，求 ab 的長。解：過點(diǎn) c 作 cdab ，垂足為d。在 rtadc 中， ac=12， a=60oad=21ac=2112=6 cd=ac sina=12 23=36在 rtbdc 中， b=4

14、5 obdc=90 o bcd=45 obd=cd=36ab=ad+bd=636三、多邊形（四邊形（七冊下）分類：四邊形平行四邊形矩形正方形菱形梯形等腰梯形直角梯形1、 平行四邊形（1）定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。連接平行四邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做這個(gè)平行四邊形的對角線。（2）性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，對角相等。平行四邊形的對線互相平分。ab=cd ac=bd oa=od ob=oc 0a b c d a d b c 學(xué)習(xí)必備歡迎下載cab= bdc acd= abd 。（3）判定：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。（定義）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（

15、定理）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（定理）兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。（定理）2、 菱形（1）定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。（2）性質(zhì)：菱形的四條邊相等；兩條對角線互相垂直平分；每一條對角線平分一組對角。（3）判定：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。兩條對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形。四條邊都相等四邊形是菱形。3、 矩形（1）定義：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫做矩形。（2）性質(zhì)：矩形的兩條對角線相等，四個(gè)角都是直角。（3）判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。兩條對角線相等的平行四邊形是矩形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。4、正方形(1)定義：一組鄰邊

16、相等的矩形叫做正方形。(2)性質(zhì)：正方形的四條邊都相等；四個(gè)角都是直角。正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角。(3)判定：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。對角線互相垂直的矩形是正方形。有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。對角線相等的菱形是正方形。5、梯形(1)概念：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行是兩邊叫做梯形的底，不平行的兩邊叫做梯形的腰，夾在兩底之間的垂線段叫做梯形的高。連接梯形的兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，且等于兩底和的一半。6、等腰梯形定義：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相

17、等。等腰梯形的兩條對角線相等。判定：同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。7、直角梯形 ：一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。8、多邊形的內(nèi)角和外角n 邊形的內(nèi)角和等于（n2） 180o。多邊形的外角和等于360o。9、中心對稱圖形（1）中心對稱圖形：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o。如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形。性質(zhì)：中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點(diǎn)所連成的線段都被對稱中心平分。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）兩個(gè)圖形關(guān)于點(diǎn)成中心對稱：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180o。能與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對稱。性質(zhì)：成中心對稱的兩個(gè)圖形全等。四、相

18、似形 （8 冊上）1、線段的比定義： 在使用同一長度單位的情況下，表示兩條線段長度的數(shù)值的比，叫做兩條線段的比。例如線段ab、cd 的比可以記作cdab（或 ab ：cd） 。線段ab ，cd 分別叫做線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)。2、比例線段定義：四條線段a， b，c，d 中，如果a與 b 的比等于c與 d 的比，即dcba（或 a：b=c：d）那么這四條線段a，b，c，d 叫做成比例線段。簡稱比例線段。線段a， b，c，d 叫做這個(gè)比例的項(xiàng)。a,d 叫做比例的外項(xiàng)，b，c 叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。當(dāng)兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)相等時(shí)，即 a：b= b：d， b 叫做比例中項(xiàng)。比例的性質(zhì) ：如果dcba，那么ad=bc。即比例的

19、兩外項(xiàng)的乘積等于兩內(nèi)項(xiàng)的乘積。（基本性質(zhì)）反之，如果ad=bc，那么dcba（a，b， c，d 都不等于0）如果dcba，那么cdab（反比定理）如果dcba，那么dbca或acbd（更比定理）如果dcba，那么ddcbba(合比定理 ) 如果dcba，那么ddcbba（分比定理）如果dcba，那么dcdcbaba（合分比定理）如果dcba=nm，那么bandbcam（b+d+n0） （等比定理）3、相似三角形（1）定義：三個(gè)角相等，三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。abc 和 abc相似，記作abc a bc。相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比。（2）相似三角形的判斷：兩個(gè)角對應(yīng)相等兩個(gè)

20、三角形相似。三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。（3）相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)角分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比。相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。4、相似多邊形學(xué)習(xí)必備歡迎下載b c aed定義： 兩個(gè)多邊形的邊數(shù)相同，個(gè)對應(yīng)角相等，個(gè)邊對應(yīng)成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比。相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。5、位似圖形 （8 冊上）定義：如果兩個(gè)相似圖形的每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都交于一點(diǎn)，那么這兩個(gè)相似圖形叫做位似圖形。這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心。這兩個(gè)相似圖形的比

21、叫做它們的位似比。性質(zhì)：位似圖形的對應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一條在線上，任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。例 如圖， d，e 分別是 ab ，ac 上的點(diǎn)（1）如果 debc，那么 ade 和 abc 是位似圖形嗎？為什么？（2）如果那么 ade 和 abc 是位似圖形，那么debc 嗎？為什么？解： （1） debc ade= b， aed= c ade abc 又點(diǎn) a 是 ade 和 abc 的公共點(diǎn)， 點(diǎn) d 和點(diǎn) b 是對應(yīng)點(diǎn)， 點(diǎn) e 和點(diǎn) c 是對應(yīng)點(diǎn)，直線 bd 和 ce 相交于點(diǎn) a ade 和 abc 是位似圖形。（2） ade 和 abc 是位似圖形 ade abc

22、 ade= b debc 五、圓1、圓的有關(guān)概念到定點(diǎn)的距離等于定長的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓（到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡）其中，定點(diǎn)稱為圓心。定長稱為半徑。以點(diǎn)o 為圓心的圓記作o。半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧。圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓為兩條等弧，每一條弧都叫做半圓。2、圓的性質(zhì)（1）圓是軸對稱圖形，它的對稱軸是任意一條過圓心的直線，（2）圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心。（3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。（4）平分弦（不是直徑）的直徑

23、垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。3、圓心角（1） 定義：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。（2）性質(zhì)：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。學(xué)習(xí)必備歡迎下載圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等。4、圓周角（1）定義：頂點(diǎn)在圓上，它們的兩邊在圓內(nèi)的部分分別是圓的弦，叫做圓心角。（2）性質(zhì)：圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于等于它所對弧的度數(shù)一半。圓周角的度數(shù)等于等于它所對弧上的圓心角度數(shù)一半。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等。直徑所對的圓周角是直角。90的圓周角所對的弦是直經(jīng)。5、外接

24、圓（1）定義：經(jīng)過三角形各個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心。這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。（2）不在同一在線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。（3）定義：一般地，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形。這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。（4）定理：圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。圓內(nèi)接四邊形的任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對角。6、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系設(shè)點(diǎn) p 到圓心 o 的距離為d，圓 o 的半徑為r，當(dāng)點(diǎn) p在圓外時(shí)dr；當(dāng)點(diǎn) p 在圓上時(shí)d=r，當(dāng)點(diǎn) p 在圓內(nèi)時(shí) d,r。7、直線和圓的位置關(guān)系（內(nèi)切圓）（1）當(dāng)直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相交。兩個(gè)公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)。當(dāng)直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相切。這條直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。當(dāng)直線和圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱直線和圓相離。（2）切線的判定：經(jīng)過半徑外端并且垂直于半徑的直線是圓的切線。（3）切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。（4）內(nèi)切圓：與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形三