例談化歸思想在中學數(shù)學解題中的應用

1、    例談化歸思想在中學數(shù)學解題中的應用    姬小光摘 要 化歸思想是中學數(shù)學解題中常用的一種重要思想，在解題時的應用十分廣泛。本文通過例舉化歸思想在中學數(shù)學解題中的應用，如：解方程，求數(shù)列通項，處理含參不等式，解三角函數(shù)，解應用題等。通過對這些題目的逐一分析，繼而總結出化歸思想解題的一般規(guī)律與原則，即通過將未知的問題轉(zhuǎn)化歸結為已知的知識、將復雜問題轉(zhuǎn)化歸結為簡單問題。關鍵詞 化歸思想;中學數(shù)學;解題;應用：b027 ：a ：1002-7661（2019）02-0075-01化歸思想的最終目的是為了簡化求解過程，實現(xiàn)復雜問題簡單化、抽象問題

2、具體化?；瘹w思想以其高度的實用性和有效性，贏得了師生的一致認可，是實現(xiàn)對學生綜合素養(yǎng)教學的重要手段。一、化歸思想的基本概念化歸思想是處理數(shù)學問題的一般思想方法，其核心是：在解決數(shù)學問題時，常常是將要解決的問題a通過某種轉(zhuǎn)化手段，歸結為另一個問題b，而問題b是相對較易解決或已有固定解決程式的問題，且通過對問題b的解決可得原問題a的解答?；瘹w的基本功能是：生疏化成熟悉、復雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗。二、化歸思想在中學數(shù)學解題中的應用（一）解方程例1.解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0解：原方程可化為：（x2+8x+7）2+8（x2+8x+7）+15=0令y=x2+8

3、x+7這樣，我們將解方程（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=0轉(zhuǎn)化為規(guī)范化方程y2+8y+15=0的形式。對于方程y2+8y+15=0可化為（y+3）（y+5）=0，可得方程的解為： y=-3或y=-5。所以我們有x2+8x+7=-3或x2+8x+7=-5，繼而接著解兩個方程可得原方程的解：從上題我們可以看出：在解方程時對方程變量進行替換把高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程，再對低次方程進行變形化為一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a0），使之納入原有的已經(jīng)解決的知識結構，這就是化歸。（二）求數(shù)列通項例2：設正數(shù)數(shù)列an的前n項和為sn，又    

4、;    ，求an。分析：因為當n2時，an=sn-s（n-1），所以2sn=，所以2sn2-2snsn-1=（sn-sn-1）2+1，所以sn2-sn-12=1，所以數(shù)列sn的平方數(shù)列sn2是公差為1的等差數(shù)列，易求s1=1，所以sn2=n，因為an>0，所以      ，所以                   。從上

5、述兩題我們看到不少既非等差又非等比的數(shù)列，卻可以通過適當?shù)淖冃?，化歸為一個等差數(shù)列、等比數(shù)列或一個通項易求的數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項公式。（三）處理含參不等式函數(shù)與不等式關系密切，尤其是含參數(shù)的不等式問題，變量較多。遇到這類問題時，我們應如何處理呢？例3：如果2x-1>m（x2-1）對任意m-2，2都成立，求x的范圍。分析：解題時易想到，由原不等式解出x，再根據(jù)m的范圍確定x的范圍?？梢韵胂?，此法解題過程非常煩瑣，很難解出結果。應如何考慮呢？注意到m的范圍已確定，轉(zhuǎn)換一下角度，把所給不等式看成m的不等式如何？解：原不等式變形為：m（x2-1）-（2x-1）<0左邊顯然是m的一次函

6、數(shù)，記作f（m），由題知，f（m）<0對任m-2，2恒成立，由一次函數(shù)性質(zhì)只需即可，這樣便可解這個關于x的不等式組，從而得解：從上例可以看出，處理這類問題時我們不妨換個角度，可通過化歸思想，把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，反客為主。把我們熟悉的未知數(shù)看作參變量，而把原來的參數(shù)看作主元未知數(shù)，分離變量，利用轉(zhuǎn)化思想把它化歸為函數(shù)問題，利用函數(shù)性質(zhì)即可輕松獲解。這樣處理，不但方法巧妙，而且過程簡單，有利于培養(yǎng)思維能力，提高解題能力。例4：某商店進貨每件50元，據(jù)市場調(diào)查，銷售價格（每件x元）在50x80時，每天售出的件數(shù)p=    。若想每天獲得的利潤最多，銷售價

7、格每件應為多少元？這是一個u關于    的二次函數(shù)，當               。即x=60（x50，80）時，u取最大值，故每件定價為60元時，利潤最大為2500元。在這一題中我們先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，使之能用數(shù)學理論解決具體的實際問題，再在數(shù)學問題的解決中繼續(xù)應用化歸轉(zhuǎn)化的思想，盡管上述方法轉(zhuǎn)化方向各不相同，但其實質(zhì)都是一樣的：盡量轉(zhuǎn)化為熟悉的知識或方便求解的問題上。從以上幾道例題我們可以總結出化歸思想解題的一般規(guī)律，即：生疏化成熟悉、復雜化成簡單、抽象化成直觀、含糊化成明朗?；瘹w思想作為一種重要的數(shù)學思想方法，在數(shù)學問題的學習中有著十分重要的作用。通過分析化歸思想在中學數(shù)學中的具體應用，我們總結出了化歸思想解題的一般規(guī)律