高中數(shù)學(xué)必修一知識點

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載高中高一數(shù)學(xué)必修1 各章知識點總結(jié)第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性：1. 元素的確定性； 2.元素的互異性； 3.元素的無序性說明： (1) 對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。(2) 任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。(3) 集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。(4) 集合元素的三個特

2、性使集合本身具有了確定性和整體性。3、集合的表示： 如 我校的籃球隊員，太平洋 , 大西洋 , 印度洋 , 北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：a=我校的籃球隊員,b=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列舉法與描述法。注意啊：常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：n 正整數(shù)集 n* 或 n+ 整數(shù)集 z 有理數(shù)集q 實數(shù)集 r 關(guān)于“屬于”的概念集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a 是集合 a的元素， 就說 a 屬于集合a 記作 aa ，相反， a 不屬于集合a 記作 a?a 列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。描述法： 將集合中的元素的公共屬性描述出來

3、，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條學(xué)習(xí)必備歡迎下載件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。語言描述法：例：不是直角三角形的三角形 數(shù)學(xué)式子描述法：例：不等式x-32 的解集是 x?r| x-32或x| x-32 4、集合的分類：1有限集含有有限個元素的集合2無限集含有無限個元素的集合3空集不含任何元素的集合例： x|x2= 5二、集合間的基本關(guān)系1. “包含”關(guān)系子集注意：有兩種可能（ 1）a是 b的一部分，； （2）a與 b是同一集合。反之: 集合 a不包含于集合b, 或集合 b不包含集合a,記作 a b或 b a2 “相等”關(guān)系(5 5，且 55，則5=5) 實例：設(shè) a=x|x2-1

4、=0 b=-1,1 “元素相同”結(jié)論：對于兩個集合a 與 b，如果集合a 的任何一個元素都是集合b 的元素，同時,集合 b的任何一個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等于集合b，即： a=b 任何一個集合是它本身的子集。a a 真子集 :如果 a b,且 a1 b 那就說集合a是集合 b的真子集，記作a b( 或 b a) 如果 a b, b c , 那么 a c 如果 a b 同時 b a 那么 a=b 3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定 : 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算1交集的定義：一般地，由所有屬于a且屬于 b的元素所組成的集合, 叫做 a,

5、b 的交集記作 a b(讀作” a交 b”) ，即 ab=x|x a，且 x b2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合a 或?qū)儆诩蟗 的元素所組成的集合，叫做a,b的并集。記作：ab(讀作” a并 b”)，即 a b=x|x a，或 xb3、交集與并集的性質(zhì)：aa = a, a= , a b = b a，a a = a, a= a ,a b = b a. 學(xué)習(xí)必備歡迎下載4、全集與補集（1）補集：設(shè)s 是一個集合， a 是 s的一個子集（即） ，由 s 中所有不屬于a的元素組成的集合，叫做s中子集 a的補集（或余集）記作： csa 即 csa =x | x?s且 x?a s csa a （2

6、）全集：如果集合s含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用u來表示。（3）性質(zhì)： cu(c ua)=a (c ua) a=(cua)a=u 二、函數(shù)的有關(guān)概念1函數(shù)的概念：設(shè)a、b是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f ，使對于集合a中的任意一個數(shù)x，在集合 b中都有唯一確定的數(shù)f(x) 和它對應(yīng)， 那么就稱f ：ab為從集合a到集合 b的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xa其中， x 叫做自變量， x 的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x 的值相對應(yīng)的y 值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xa 叫做函數(shù)的值域注意： 2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指

7、明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；3 函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式定義域補充能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x 的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是： (1) 分式的分母不等于零； (2) 偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3) 對數(shù)式的真數(shù)必須大于零； (4) 指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的. 那么，它的定義域是使各部分都有意義的x 的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零 (6) 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義. ( 又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)

8、的定義域。) 構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域?qū)W習(xí)必備歡迎下載再注意： （1）構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的， 所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同； 定義域一致 ( 兩點必須同時具備 ) ( 見課本 21 頁相關(guān)例2) 值域補充(1) 、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域 . (2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各

9、三角函數(shù)的值域，它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。3. 函數(shù)圖象知識歸納(1) 定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù) y=f(x) , (xa)中的 x 為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y 為縱坐標(biāo)的點p(x，y) 的集合 c，叫做函數(shù) y=f(x),(x a)的圖象c 上每一點的坐標(biāo)(x ， y) 均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對 x、 y 為坐標(biāo)的點 (x ， y) ，均在 c上 . 即記為 c= p(x,y) | y= f(x) , xa 圖象 c一般的是一條光滑的連續(xù)曲線( 或直線 ), 也可能是由與任意平行與y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。(2) 畫

10、法a、描點法： 根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y 的一些對應(yīng)值并列表，以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點p(x, y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來. b、圖象變換法（請參考必修4 三角函數(shù)）常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3) 作用：1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。4快去了解區(qū)間的概念（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間； （2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示學(xué)習(xí)必備歡迎下載5什么叫做映射一般地，設(shè)a、b 是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應(yīng)法則f ，使對于集合a中的任意一個元素x

11、，在集合b 中都有唯一確定的元素y 與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f ：a b 為從集合 a到集合 b的一個映射。記作“f ：a b”給定一個集合a到 b的映射， 如果 aa,b b.且元素 a 和元素 b 對應(yīng)， 那么， 我們把元素b叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應(yīng)，集合a、b及對應(yīng)法則f 是確定的；對應(yīng)法則有“方向性”，即強(qiáng)調(diào)從集合a到集合 b的對應(yīng)，它與從b到 a的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的；對于映射f ：ab來說，則應(yīng)滿足： （）集合a中的每一個元素，在集合 b中都有象，并且象是唯一的；（）集合a中不同的元素，在集合b中對應(yīng)的象可以是同一個

12、；（）不要求集合b中的每一個元素在集合a中都有原象。常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：1 函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、 離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2 解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3 圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4 列表法： 選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征注意?。航馕龇ǎ罕阌谒愠龊瘮?shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值補充一：分段函數(shù)（參見課本p24-25）在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能

13、寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況（ 1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集補充二：復(fù)合函數(shù)如果 y=f(u),(um),u=g(x),(xa), 則 y=fg(x)=f(x)， (x a) 稱為 f 、 g 的復(fù)合函數(shù)。例如 : y=2sinx y=2cos(x2+1) 7函數(shù)單調(diào)性（1） 增函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為i ，如果對于定義域i 內(nèi)的某個區(qū)間d 內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2， 當(dāng) x1x2 時， 都有 f(x1)f(x2)， 那

14、么就說f(x)在區(qū)間 d上是增函數(shù)。 區(qū)間 d稱為 y=f(x)學(xué)習(xí)必備歡迎下載的單調(diào)增區(qū)間（睇清楚課本單調(diào)區(qū)間的概念）如果對于區(qū)間d上的任意兩個自變量的值x1，x2，當(dāng) x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)，那么就說 f(x) 在這個區(qū)間上是減函數(shù). 區(qū)間 d稱為 y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間 . 注意： 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；2 必須是對于區(qū)間d內(nèi)的任意兩個自變量x1， x2；當(dāng) x1x2 時，總有f(x1)f(x2) 。（2） 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有( 嚴(yán)格的) 單調(diào)性，

15、在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的. (3). 函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(a) 定義法：1 任取 x1，x2d，且 x11，且 * 當(dāng) 是奇數(shù)時，正數(shù)的次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個負(fù)數(shù)此時，的 次方根用符號表示式子叫做根式（ radical） ，這里叫做根指數(shù)（radical exponent） ， 叫做被開方數(shù)（ radicand ） 當(dāng) 是偶數(shù)時，正數(shù)的次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)此時，正數(shù)的正的次方根用符號表示，負(fù)的次方根用符號表示正的次方根與負(fù)的次方根可以合并成（ 0 ） 由此可得：負(fù)數(shù)沒有偶次方根；0 的任何次方根都是0，記作。注

16、意：當(dāng)是奇數(shù)時，當(dāng)是偶數(shù)時，2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：，0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0， 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義指出： 規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪學(xué)習(xí)必備歡迎下載3實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)（1） ；（2）；（3）（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)（exponential ） ，其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域為r注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a1 0a1 0a1 圖象特征函數(shù)性質(zhì)函數(shù)圖象都在y 軸右側(cè)函數(shù)的定義域

17、為（0，）圖象關(guān)于原點和y 軸不對稱非奇非偶函數(shù)向 y 軸正負(fù)方向無限延伸函數(shù)的值域為r 函數(shù)圖象都過定點（1，0）自左向右看，圖象逐漸上升自左向右看，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0 第一象限的圖象縱坐標(biāo)都大于0 第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 學(xué)習(xí)必備歡迎下載第二象限的圖象縱坐標(biāo)都小于0 （三）冪函數(shù)1、冪函數(shù)定義：一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義，并且圖象都過點（1， 1） ；（2） 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3） 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)，把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。2、 函數(shù)零點的意義：