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1、會計學1數字信號處理西安電子數字信號處理西安電子(dinz)高西全課后高西全課后習題答案習題答案第一頁,共446頁。(3) 令x1(n)=2x(n2), 試畫出x1(n)波形(b xn); (4) 令x2(n)=2x(n+2), 試畫出x2(n)波形(b xn); (5) 令x3(n)=x(2n), 試畫出x3(n)波形(b xn)。 解: (1) x(n)序列的波形(b xn)如題2解圖(一)所示。 (2) x(n)=3(n+4)(n+3)+(n+2)+3(n+1)+6(n) +6(n1)+6(n2)+6(n3)+6(n4)4014)(6)()52(mmmnmnm第2頁/共445頁第二頁,共

2、446頁。(3) x1(n)的波形(b xn)是x(n)的波形(b xn)右移2位, 再乘以2, 畫出圖形如題2解圖(二)所示。 (4) x2(n)的波形(b xn)是x(n)的波形(b xn)左移2位, 再乘以2, 畫出圖形如題2解圖(三)所示。 (5) 畫x3(n)時, 先畫x(n)的波形(b xn)(即將x(n)的波形(b xn)以縱軸為中心翻轉180), 然后再右移2位, x3(n)波形(b xn)如題2解圖(四)所示。 第3頁/共445頁第三頁,共446頁。題2解圖(一)第4頁/共445頁第四頁,共446頁。題2解圖(二)第5頁/共445頁第五頁,共446頁。題2解圖(三)第6頁/共

3、445頁第六頁,共446頁。題2解圖(四)第7頁/共445頁第七頁,共446頁。3 判斷下面的序列是否是周期(zhuq)的; 若是周期(zhuq)的, 確定其周期(zhuq)。 是常數AnAnx 873cos)()81( je)(nnx(1)(2)解:解: (1) 因為因為=, 所以所以, 這是有理數,這是有理數, 因此是周期序列因此是周期序列(xli), 周期周期T=14。(2) 因為因為=, 所以所以=16, 這是無理數,這是無理數, 因此是非周期序列因此是非周期序列(xli)。738123142第8頁/共445頁第八頁,共446頁。4 對題對題1圖給出的圖給出的x(n)要求:要求: (1

4、) 畫出畫出x(n)的波的波形;形; ; 令令x1(n)=xe(n)+xo(n), 將將x1(n)與與x(n)進行比較,進行比較,你能得到什么你能得到什么(shn me)結論?結論?2121第9頁/共445頁第九頁,共446頁。解:(1) x(n)的波形如題4解圖(一)所示。(2) 將x(n)與x(n)的波形對應相加, 再除以2, 得到(d do)xe(n)。 毫無疑問, 這是一個偶對稱序列。 xe(n)的波形如題4解圖(二)所示。 (3) 畫出xo(n)的波形如題4解圖(三)所示。第10頁/共445頁第十頁,共446頁。題4解圖(一)第11頁/共445頁第十一頁,共446頁。題4解圖(二)第

5、12頁/共445頁第十二頁,共446頁。題4解圖(三)第13頁/共445頁第十三頁,共446頁。(4) 很容易證明: x(n)=x1(n)=xe(n)+xo(n)上面等式說明實序列可以分解成偶對稱序列和奇對稱序列。 偶對稱序列可以用題中(2)的公式計算, 奇對稱序列可以用題中(3)的公式計算。 5 設系統分別用下面(xi mian)的差分方程描述, x(n)與y(n)分別表示系統輸入和輸出, 判斷系統是否是線性非時變的。 (1)y(n)=x(n)+2x(n1)+3x(n2) (2)y(n)=2x(n)+3 (3)y(n)=x(nn0)n0為整常數 (4)y(n)=x(n)第14頁/共445頁第

6、十四頁,共446頁。(5)y(n)=x2(n) (6)y(n)=x(n2) (7)y(n)= (8)y(n)=x(n)sin(n)解: (1) 令輸入(shr)為x(nn0)輸出為 y(n)=x(nn0)+2x(nn01)+3x(nn02) y(nn0)=x(nn0)+2x(nn01)+3(nn02) =y(n)nmmx0)(第15頁/共445頁第十五頁,共446頁。故該系統是非(shfi)時變系統。 因為 y(n)=Tax1(n)+bx2(n) =ax1(n)+bx2(n)+2ax1(n1)+bx2(n1) +3ax1(n2)+bx2(n2) Tax1(n)=ax1(n)+2ax1(n1)+

7、3ax1(n2) Tbx2(n)=bx2(n)+2bx2(n1)+3bx2(n2)所以 Tax1(n)+bx2(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故該系統是線性系統。第16頁/共445頁第十六頁,共446頁。(2) 令輸入(shr)為x(nn0)輸出為y(n)=2x(nn0)+3y(nn0)=2x(nn0)+3=y(n)故該系統是非時變的。 由于Tax1(n)+bx2(n)=2ax1(n)+2bx2(n)+3Tax1(n)=2ax1(n)+3Tbx2(n)=2bx2(n)+3Tax1(n)+bx2(n)aTx1(n)+bTx2(n)故該系統是非線性系統。第17頁/共445頁第十七頁,共446

8、頁。(3) 這是一個延時器, 延時器是線性非時變系統(xtng), 下面證明。 令輸入為x(nn1)輸出為y(n)=x(nn1n0)y(nn1)=x(nn1n0)=y(n)故延時器是非時變系統(xtng)。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(nn0)+bx2(nn0)=aTx1(n)+bTx2(n)故延時器是線性系統(xtng)。第18頁/共445頁第十八頁,共446頁。(4) y(n)=x(n)令輸入為x(nn0)輸出(shch)為y(n)=x(n+n0)y(nn0)=x(n+n0)=y(n)因此系統是線性系統。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)=aTx1

9、(n)+bTx2(n)因此系統是非時變系統。第19頁/共445頁第十九頁,共446頁。(5) y(n)=x2(n)令輸入為 x(nn0)輸出為y(n)=x2(nn0)y(nn0)=x2(nn0)=y(n)故系統是非時變系統。 由于(yuy) Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n)+bx2(n)2 aTx1(n)+bTx2(n) =ax21(n)+bx22(n)因此系統是非線性系統。第20頁/共445頁第二十頁,共446頁。(6) y(n)=x(n2)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0)2)y(nn0)=x(nn0)2)=y(n)故系統(xtng)是非時變系統(xtng)。 由于

10、Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n2)+bx2(n2)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統(xtng)是線性系統(xtng)。第21頁/共445頁第二十一頁,共446頁。(7) y(n)=x(m)令輸入為x(nn0)輸出(shch)為 y(n)=0DD)x(m-n0)y(nn0)=x(m)y(n)故系統是時變系統。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(m)+bx2(m)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統是線性系統。nm 0nm 000nnmnm 0第22頁/共445頁第二十二頁,共446頁。(8) y(n)=x(n) sin(n)令輸入為x(nn0)輸出為y(n)=x(nn0

11、) sin(n)y(nn0)=x(nn0) sin(nn0)y(n)故系統不是(b shi)非時變系統。 由于Tax1(n)+bx2(n)=ax1(n) sin(n)+bx2(n) sin(n)=aTx1(n)+bTx2(n)故系統是線性系統。第23頁/共445頁第二十三頁,共446頁。6 給定下述系統的差分方程, 試判定系統是否是因果穩(wěn)定系統, 并說明(shumng)理由。 (1) y(n)=x(nk) (2) y(n)=x(n)+x(n+1) (3) y(n)= x(k) (4) y(n)=x(nn0) (5) y(n)=ex(n)101NkN00nnnnk第24頁/共445頁第二十四頁,

12、共446頁。解:(解:(1)只要)只要N1,該系統就是因果該系統就是因果(yngu)系統,系統, 因為輸出只與因為輸出只與n時刻的和時刻的和n時刻以前的時刻以前的輸入有關。輸入有關。如果如果|x(n)|M,則則|y(n)|M, 因此系因此系統是穩(wěn)定系統。統是穩(wěn)定系統。(2)|2M, 系統。系統。(3) 如果如果|x(n)|M, 則則|y(n)|x(k)|2n0+1|M, 因因此系統是穩(wěn)定的;此系統是穩(wěn)定的; 假設假設n00, 系統是非因果系統是非因果(yngu)的,的, 因為輸出因為輸出還和還和x(n)的將來值有關。的將來值有關。00nnnnk第25頁/共445頁第二十五頁,共446頁。m(4

13、)假設n00, 系統是因果系統, 因為n時刻(shk)輸出只和n時刻(shk)以后的輸入有關。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|M, 因此系統是穩(wěn)定的。(5) 系統是因果系統, 因為系統的輸出不取決于x(n)的未來值。 如果|x(n)|M, 則|y(n)|=|ex(n)|e|x(n)|eM, 因此系統是穩(wěn)定的。7 設線性時不變系統的單位脈沖響應h(n)和輸入序列x(n)如題7圖所示, 要求畫出y(n)輸出的波形。解: 解法(一)采用列表法。 y(n)=x(n)*h(n)=x(m)h(nm)第26頁/共445頁第二十六頁,共446頁。題7圖第27頁/共445頁第二十七頁,共446頁。y(n)

14、=2,1,0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5第28頁/共445頁第二十八頁,共446頁。解法(二)采用解析法。 按照(nzho)題7圖寫出x(n)和h(n)的表達式分別為x(n)=(n+2)+(n1)+2(n3)h(n)=2(n)+(n1)+ (n2)由于x(n)*(n)=x(n)x(n)*A(nk)=Ax(nk)故21第29頁/共445頁第二十九頁,共446頁。y(n)=x(n)*h(n) =x(n)*2(n)+(n1)+ (n2) =2x(n)+x(n1)+x(n2)將x(n)的表示(biosh)式代入上式, 得到 y(n)=2(n

15、+2)(n+1)0.5(n)+2(n1)+(n2) +4.5(n3)+2(n4)+(n5)2121第30頁/共445頁第三十頁,共446頁。8. 設線性時不變系統的單位脈沖響應h(n)和輸入x(n)分別有以下三種情況, 分別求出輸出y(n)。 (1) h(n)=R4(n), x(n)=R5(n)(2) h(n)=2R4(n), x(n)=(n)(n2)(3) h(n)=0.5nu(n), xn=R5(n)解: (1) y(n)=x(n)*h(n)=R4(m)R5(nm) 先確定求和域。 由R4(m)和R5(nm)確定y(n)對于m的非零區(qū)間(q jin)如下:0m34mnm第31頁/共445頁

16、第三十一頁,共446頁。根據(gnj)非零區(qū)間, 將n分成四種情況求解: n7時, y(n)=0nm 034nm第32頁/共445頁第三十二頁,共446頁。最后結果最后結果(ji gu)為為 0 n7 n+1 0n3=2R4(n)2R4(n2)=2(n)+(n1)(n+4)(n+5)y(n)的波形如題的波形如題8解圖解圖(二)所示(二)所示y(n)=第33頁/共445頁第三十三頁,共446頁。題8解圖(一)第34頁/共445頁第三十四頁,共446頁。第35頁/共445頁第三十五頁,共446頁。(3) y(n)=x(n)*h(n) = R5(m)0.5nmu(nm)=0.5nR5(m)0.5mu

17、(nm)y(n)對于(duy)m 的非零區(qū)間為 0m4, mn n0時, y(n)=0 0n4時, mm第36頁/共445頁第三十六頁,共446頁。nmnmnny0115 . 015 . 015 . 05 . 0)(=(10.5n1)0.5n=20.5n n5時nnmmnny5 . 0315 . 05 . 015 . 015 . 05 . 0)(4015最后(zuhu)寫成統一表達式: y(n)=(20.5n)R5(n)+310.5nu(n5)第37頁/共445頁第三十七頁,共446頁。9 證明線性卷積服從交換律、 結合律和分配律, 即證明下面(xi mian)等式成立: (1) x(n)*h

18、(n)=h(n)*x(n)(2) x(n)*(h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n)(3) x(n)*(h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)證明: (1) 因為令m=nm, 則mmnhmxnhnx)()()()()()()()()()(nxnhmhmnxnhnxm第38頁/共445頁第三十八頁,共446頁。(2) 利用(lyng)上面已證明的結果, 得到)()()()()()()()()()()()(12121221kmnhkhmxmnhmnhmxnhnhnxnhnhnxmkm第39頁/共445頁第三十九頁,共446頁。交換求和(qi h)號的

19、次序, 得到)()( )()()()()()()(121221knhknxkhkmnhmxkhnhnhnxkmk)()()(12nhnxnh)()()(21nhnhnx第40頁/共445頁第四十頁,共446頁。)()()()()()()()()()()()()()( ) 3(21212121nhnxnhnxmnhmxmnhmxmnhmnhmxnhnhnxmmm10 設系統的單位(dnwi)脈沖響應h(n)=(3/8)0.5nu(n), 系統的輸入x(n)是一些觀測數據, 設x(n)=x0, x1, x2, , xk, , 試利用遞推法求系統的輸出y(n)。 遞推時設系統初始狀態(tài)為零狀態(tài)。第41

20、頁/共445頁第四十一頁,共446頁。解解: 5 . 083)(5 . 083)()()(0mnnmmmnmmxmnuxnhnxnyn=0時, n0083)( xnyn=1時, )5 . 0(835 . 083)( 10110 xxxnymmm第42頁/共445頁第四十二頁,共446頁。)5 . 05 . 0(835 . 083)( 2102220 xxxxnymmmn=2時, 最后(zuhu)得到nmmnmxny05 . 083)(11 設系統由下面(xi mian)差分方程描述: ) 1(21)() 1(21)(nxnxnyny設系統(xtng)是因果的, 利用遞推法求系統(xtng)的單

21、位脈沖響應。第43頁/共445頁第四十三頁,共446頁。解解: 令x(n)=(n), 則) 1(21)() 1(21)(nnnhnhn=0時, 1) 1(21)0() 1(21)0(hhn=1時, 12121)0(21) 1 ()0(21) 1 (hh第44頁/共445頁第四十四頁,共446頁。n=2時, 21) 1 (21)2(hhn=3時, 221)2(21) 3(hh歸納起來, 結果(ji gu)為)() 1(21)(1nnunhn第45頁/共445頁第四十五頁,共446頁。12. 設系統用一階差分方程y(n)=ay(n1)+x(n)描述, 初始條件y(-1)=0, 試分析該系統是否(s

22、h fu)是線性非時變系統。 解: 分析的方法是讓系統輸入分別為(n)、 (n1)、 (n)+(n1)時, 求它的輸出, 再檢查是否(sh fu)滿足線性疊加原理和非時變性。 (1) 令x(n)=(n), 這時系統的輸出用y1(n)表示。)() 1()(11nnayny該情況(qngkung)在教材例1.4.1 中已求出, 系統的輸出為y1(n)=anu(n)第46頁/共445頁第四十六頁,共446頁。(2) 令x(n)=(n1), 這時系統(xtng)的輸出用y2(n)表示。 ) 1() 1()(22nnaynyn=0時, 0) 1() 1( )0( 22yayn=1時, 1)0()0( )

23、 1 (22yayn=2時, ayay) 1 () 1 ( )2(2212)(nany任意(rny) n 時, 第47頁/共445頁第四十七頁,共446頁。最后(zuhu)得到) 1()( 12nuanyn(3) 令x(n)=(n)+(n1), 系統的輸出(shch)用y3(n)表示。 ) 1()() 1()(33nnnaynyn=0時, n=1時, 1) 1()0() 1( )0(33yay1)0() 1 ()0( ) 1 (33ayayn=2時, 233)1 () 1()2() 1 ( )2(aaaayay第48頁/共445頁第四十八頁,共446頁。n=3時, 任意(rny) n 時, 3

24、2233)()2()3()2( )3(aaaaayay13)( nnaany最后(zuhu)得到)() 1()(13nuanuanynn第49頁/共445頁第四十九頁,共446頁。由(1)和(2)得到y1(n)=T(n), y2(n)=T(n1)y1(n)=y2(n1)因此可斷言這是一個時不變系統。 情況(3)的輸入信號是情況(1)和情況(2)輸入信號的相加信號, 因此y3(n)=T(n)+(n1)。 觀察y1(n)、 y2(n)、 y3(n), 得到y3(n)=y1(n)+y2(n), 因此該系統是線性系統。 最后得到結論: 用差分方程y(n)=ay(n1)+x(n), 0a1描寫(miox

25、i)的系統, 當初始條件為零時, 是一個線性時不變系統。 第50頁/共445頁第五十頁,共446頁。13 有一連續(xù)信號xa(t)=cos(2ft+j), 式中, f=20 Hz, j=/2。(1) 求出xa(t)的周期;(2) 用采樣(ci yn)間隔T=0.02 s對xa(t)進行采樣(ci yn), 試寫出采樣(ci yn)信號 的表達式;(3) 畫出對應 的時域離散信號(序列)x(n)的波形, 并求出x(n)的周期。 解: (1) xa(t)的周期為)(txa)(txas 05. 01fT第51頁/共445頁第五十一頁,共446頁。)( )40cos()()2cos()(nTtnTnTt

26、fnTtxnna(2)(3) x(n)的數字頻率=0.8, 故, 因而周期(zhuq)N=5, 所以 x(n)=cos(0.8n+/2)畫出其波形如題13解圖所示。252第52頁/共445頁第五十二頁,共446頁。題13解圖第53頁/共445頁第五十三頁,共446頁。14. 已知滑動(hudng)平均濾波器的差分方程為)4()3()2() 1()(51)(nxnxnxnxnxny(1) 求出該濾波器的單位脈沖響應;(2) 如果輸入信號波形如前面例1.3.4的圖1.3.1所示, 試求出y(n)并畫出它的波形。解: (1) 將題中差分方程中的x(n)用(n)代替(dit), 得到該濾波器的單位脈沖

27、響應, 即)4()3()2() 1()(51)(nnnnnnh第54頁/共445頁第五十四頁,共446頁。(2) 已知輸入信號(xnho), 用卷積法求輸出。 輸出信號(xnho)y(n)為kknhkxny)()()(表1.4.1表示了用列表法解卷積的過程。 計算時, 表中x(k)不動, h(k)反轉后變成h(k), h(nk)則隨著n的加大向右滑動, 每滑動一次, 將h(nk)和x(k)對應相乘, 再相加和平均, 得到相應的y(n)。 “滑動平均”清楚地表明了這種計算過程。 最后得到的輸出波形如前面(qin mian)圖1.3.2所示。 該圖清楚地說明滑動平均濾波器可以消除信號中的快速變化,

28、 使波形變化緩慢。 第55頁/共445頁第五十五頁,共446頁。第56頁/共445頁第五十六頁,共446頁。15*. 已知系統(xtng)的差分方程和輸入信號分別為)2(2)() 1(21)(nxnxnyny 1 , 2 , 4 , 3 , 2 , 1 )(nx用遞推法計算(j sun)系統的零狀態(tài)響應。 解: 求解程序ex115.m如下: %程序ex115.m% 調用filter解差分方程y(n)+0.5y(n1)=x(n)+2x(n2)xn=1, 2, 3, 4, 2, 1, zeros(1, 10); %x(n)=單位脈沖序列, 長度N=31B=1, 0, 2; A=1, 0.5; %差

29、分方程系數第57頁/共445頁第五十七頁,共446頁。yn=filter(B, A, xn) %調用filter解差分方程(fngchng), 求系統輸出信號y(n)n=0: length(yn)1; subplot(3, 2, 1); stem(n, yn, .) ; axis(1, 15, 2, 8)title(系統的零狀態(tài)響應 ); xlabel(n); ylabel(y(n)程序運行結果: 第58頁/共445頁第五十八頁,共446頁。yn =1.0000 1.5000 4.2500 5.8750 5.0625 6.4688 0.7656 1.6172 -0.8086 0.4043 -0

30、.2021 0.1011 -0.0000 0.0000 -0.0000 0.0000程序運行結果程序運行結果(ji gu)的的y(n)波形圖如題波形圖如題15*解圖解圖所示。所示。第59頁/共445頁第五十九頁,共446頁。題15*解圖第60頁/共445頁第六十頁,共446頁。16*. 已知兩個系統已知兩個系統的差分方程分別為的差分方程分別為 (1)y(n)=0.6y(n1)0.08y(n2)+x(n)(2)y(n)=0.7y(n1)0.1y(n2)+2x(n)x(nB1=1, A1=1, 0.6, 0.08(2) 系統差分方程系統差分方程的系數向量為的系數向量為B2=2, 0,1, A2=1

31、, 0.7,0.1第61頁/共445頁第六十一頁,共446頁。2.5習題與上機題解答習題與上機題解答1 設設X(ej)和和Y(ej)分別分別(fnbi)是是x(n)和和y(n)的傅里葉變換,的傅里葉變換, 試求下面序列的傅里葉變換:試求下面序列的傅里葉變換: (1) x(nn0) (2) x*(n)(3) x(n) (4) x(n)*y(n)(5) x(n)y(n) (6) nx(n)(7) x(2n) (8) x2(n)奇數偶數nnnxnx 0 )2/()(9(9)第62頁/共445頁第六十二頁,共446頁。解解:(1) nnnnxnnxj00e )()(FT令n=nn0, 即n=n+n0,

32、 則)e (e )()(FTjj)(j000Xenxnnxnnnn(2))e (e )(e )()(FTjjjXnxnxnxnnnn第63頁/共445頁第六十三頁,共446頁。(3) nnnxnxje )()(FT令n=n, 則)e (e )()(FTjjXnxnxnn(4) FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej) 下面證明(zhngmng)上式成立: mmnymxnynx)()()()(第64頁/共445頁第六十四頁,共446頁。mnnmnymxnynxje)()()()(FT令k=nm, 則)e ()e (e )(e )(ee)()()()(FTjjjjjjyxmxkykymxnyn

33、xmnkkmnkk第65頁/共445頁第六十五頁,共446頁。(5) nnnnnYnxnynxnynxjjjjede )e (21)( e )()()()(FT)( j)( jd)e ()e (21de )()e (21XYnxYjnnj第66頁/共445頁第六十六頁,共446頁?;蛘?huzh) )( jjd)e ()e (21)()(FTYXnynx(6) 因為(yn wi)nnnxXjje )()e (對該式兩邊(lingbin)求導, 得到)(jFTe )(jd)e (dnnxnnxXnnjj第67頁/共445頁第六十七頁,共446頁。因此(ync)d)e (dj)(FTjXnnx(7

34、) nnnxnxje)2()2(FT令n=2n, 則第68頁/共445頁第六十八頁,共446頁。)(e)e (21)(ee )(21e)() 1()(21e )()2(FT)(21j21j21j21j21j, 2/jXXenxnxnxnxnxnxnnnjnnnnnnnn取偶數第69頁/共445頁第六十九頁,共446頁?;蛘?huzh)e()e (21)2(FT21j21jXXnx(8) nnnxnxj22e )()(FT利用(lyng)(5)題結果, 令x(n)=y(n), 則d)e ()e (21)e ()e (21)(FTjjjj2XXXXnx第70頁/共445頁第七十頁,共446頁。(9

35、)nnnxnxje )2/()2/(FT令n=n/2, 則)e (e )()2/(FT2 j2 jXnxnxnn2 已知 |, 0|, 1)e (00jX求X(ej)的傅里葉反變換(binhun)x(n)。 第71頁/共445頁第七十一頁,共446頁。解解: nnnxnsinde21)(0j003. 線性時不變系統的頻率響應(頻率響應函數(hnsh))H(ej)=|H(ej)|ej(), 如果單位脈沖響應h(n)為實序列, 試證明輸入x(n)=A cos(0n+j)的穩(wěn)態(tài)響應為)(cos| )e (|)(00j0nHAny第72頁/共445頁第七十二頁,共446頁。解: 假設輸入信號(xnho

36、)x(n)=ej0n,系統單位脈沖響應為h(n), 則系統輸出為nmmnmmnHmhmhnxnhny00000jjjj)(je )e (e )(e e )()()()(上式說明當輸入信號為復指數序列時, 輸出序列仍是復指數序列, 且頻率相同, 但幅度和相位取決于網絡傳輸函數。 利用(lyng)該性質解此題:第73頁/共445頁第七十三頁,共446頁。)cos()(0nAnxeeee 21jjjj00nnA)(jjjj)(jjjjjjjjjj0000000000e)e (eee)e (e21)e (ee)e (ee 21)(HHeAHHAnynnnn第74頁/共445頁第七十四頁,共446頁。上

37、式中|H(ej)|是的偶函數, 相位(xingwi)函數是的奇函數, |H(ej)|=|H(e-j)|, ()=(), 故)(cos()e (eeeeee)e (21)(00j)(j)(jjj000000nHAHAnynjjnj4設其它01 . 01)(nnx第75頁/共445頁第七十五頁,共446頁。將x(n)以4為周期進行周期延拓, 形成(xngchng)周期序列, 畫出x(n)和的波形, 求出的離散傅里葉級數和傅里葉變換。)(nx)(nx)(nx)(kX解: 畫出x(n)和的波形(b xn)如題4解圖所示。 )(nx為周期以4) ( e)4cos(2)ee (ee1ee )()(DFS)

38、(4j4j4j4j2j102j42j30kXknxnxkXkkkkknknknn第76頁/共445頁第七十六頁,共446頁。第77頁/共445頁第七十七頁,共446頁?;蛘?huzh) 為周期以4)( 41sin21sine )e(ee)ee (ee1e1e)(4141j41j41j21j21j21j2j102jkXkkkXkjkkkkkkkkjnkn第78頁/共445頁第七十八頁,共446頁。)2( e )4cos()2( )(2)42()(42)(FT)e (4jjkkkkXkkXnxXkkkk第79頁/共445頁第七十九頁,共446頁。5. 設題5圖所示的序列x(n)的FT用X(ej)表

39、示, 不直接求出X(ej), 完成(wn chng)下列運算或工作:題5圖第80頁/共445頁第八十頁,共446頁。)e (0 jX(1)(2)jd)e (X(3)e (jX(4) 確定(qudng)并畫出傅里葉變換實部ReX(ej)的時間序列xa(n);2jd| )(e|X(5)(6)d|d)e (d|2jX第81頁/共445頁第八十一頁,共446頁。解解(1)6)()e (730 jnnxX(2)42)0(d)e (jxX(3)2)() 1(e )()e (73jjnnnnnxnxX(4) 因為傅里葉變換(binhun)的實部對應序列的共軛對稱部分, 即nnjnxeXRjeee )()()

40、()(21)(enxnxnx第82頁/共445頁第八十二頁,共446頁。按照(nzho)上式畫出xe(n)的波形如題5解圖所示。題5解圖第83頁/共445頁第八十三頁,共446頁。(5)28)(2d)e (7322njnxX(6) 因為(yn wi)(jFTd)e (djnnxX因此(ync)316)(2dd)e (d7322jnnnxX第84頁/共445頁第八十四頁,共446頁。6 試求如下(rxi)序列的傅里葉變換:(1) x1(n)=(n3)(2) 1(21)() 1(21)(2nnnnx(3) x3(n)=anu(n)0a1(4) x4(n)=u(n+3)u(n4)解解(1)3jjj1

41、ee)3()e (nnnX第85頁/共445頁第八十五頁,共446頁。(2)cos1)ee (211 e211e21e )()e (jjjjj2j2nnnxX(3)j0jjj3e11e e )()e (aanuaXnnnnnn第86頁/共445頁第八十六頁,共446頁。(4)33jjj4ee )4()3()e (nnnnnunuXjj3 jj4j31j30j31j30jee1e1e1e1eeeennnnnnnn)21sin()27sin(e)ee (e)ee (eee1e1e1eee1e1e1e13j21j21j21j27j27j27j3 jj7 jj4 j3 jj3jj4 j第87頁/共44

42、5頁第八十七頁,共446頁?;蛘?huzh): )3()4()3()(73nRnununxnnnRXj7j4e )3()e (j7 j60j7e1e1e)(FTnnnRnnnRXj7j4e )3()e (3 jj7 jee1e1)21sin()27sin()ee (e)ee (ee)ee (e)ee (e2j2j2j27j27j2j3 j2j2j227j2727jjj第88頁/共445頁第八十八頁,共446頁。7 設: (1) x(n)是實偶函數, (2) x(n)是實奇函數, 分別分析推導以上兩種假設下, 其x(n)的傅里葉變換(binhun)性質。 解:令nnnxXjje )()e (1)

43、 因為(yn wi)x(n)是實偶函數, 對上式兩邊取共軛, 得到)e (e)(e)()e (j)( jjjXnxnxXnnnn第89頁/共445頁第八十九頁,共446頁。因此(ync) X(ej)=X*(ej)上式說明x(n)是實序列, X(ej)具有共軛對稱性質。 nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj由于(yuy)x(n)是偶函數, x(n) sin是奇函數, 那么nnx0sin)(因此(ync)nnxXcos)()e (j第90頁/共445頁第九十頁,共446頁。該式說明X(ej)是實函數, 且是的偶函數。 總結以上, x(n)是實偶函數時, 對應(duyng)的傅里葉

44、變換X(ej)是實函數, 是的偶函數。 (2) x(n)是實奇函數。 上面已推出, 由于x(n)是實序列, X(ej)具有共軛對稱性質, 即 X(ej)=X*(ej)nnnnxnxXsinj)cos(e )()e (jj第91頁/共445頁第九十一頁,共446頁。由于(yuy)x(n)是奇函數, 上式中x(n) cos是奇函數, 那么0cos)(nnx因此(ync) nnxXsin)(j)(ej這說明X(ej)是純虛數, 且是的奇函數。 8 設x(n)=R4(n), 試求x(n)的共軛對稱序列xe(n)和共軛反對(fndu)稱序列xo(n), 并分別用圖表示。 第92頁/共445頁第九十二頁,

45、共446頁。解解:)()(21)(44enRnRnx)()(21)(44onRnRnxxe(n)和xo(n)的波形(b xn)如題8解圖所示。 題8解圖第93頁/共445頁第九十三頁,共446頁。9已知x(n)=anu(n), 0a1, 分別(fnbi)求出其偶函數xe(n)和奇函數xo(n)的傅里葉變換。解:nnnxXjje )()e (因為(yn wi)xe(n)的傅里葉變換對應X(ej)的實部, xo(n)的傅里葉變換對應X(ej)的虛部乘以j, 因此第94頁/共445頁第九十四頁,共446頁。cos21cos1e1e1e11e11)e ()(FT2jjjejejeeaaaaaaRaRX

46、Rnxcos21sine1e1e11Imje11Imje (Imj)(FT2jjjjjaaaaaaaXnxo第95頁/共445頁第九十五頁,共446頁。10 若序列(xli)h(n)是實因果序列(xli), 其傅里葉變換的實部如下式: HR(ej)=1+cos求序列(xli)h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解:nnRnhnhHjeejjje )()(FT e21e211cos1)e (第96頁/共445頁第九十六頁,共446頁。121011 21)(ennnnhnnnnnhnnhnnh其它01101 0)(20)(00)(ee)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第9

47、7頁/共445頁第九十七頁,共446頁。11 若序列h(n)是實因果(yngu)序列, h(0)=1, 其傅里葉變換的虛部為HI(ej)=sin求序列h(n)及其傅里葉變換H(ej)。 解: eej21sin)e (jjjIHnnoIonhHnhjjjje )(ee 21)(ej)(FT第98頁/共445頁第九十八頁,共446頁。12100121)(onnnnhnnnnnhnnhnnh其它011010)(20)(00)(o)2/cos(e2e1e )()e (2/jjjjnnnhH第99頁/共445頁第九十九頁,共446頁。12 設系統的單位脈沖響應h(n)=anu(n), 0a1, 輸入序列

48、為x(n)=(n)+2(n2)完成(wn chng)下面各題: (1) 求出系統輸出序列y(n); (2) 分別求出x(n)、 h(n)和y(n)的傅里葉變換。 解(1)2(2)( )2()()()()(2nuanuannnuanxnhnynnn第100頁/共445頁第一百頁,共446頁。(2)2 jjje21e)2(2)()e (nnnnXj0jjje11ee )()e (aanuaHnnnnnnj2jjjje1e21)e ()e ()e (aXHY第101頁/共445頁第一百零一頁,共446頁。13 已知已知xa(t)=2 cos(2f0t), 式中式中f0=100 Hz, 以采樣以采樣(

49、ci yn)頻頻率率fs=400 Hz對對xa(t)進行進行x(n)的表達式;的表達式; (3) 分別求出分別求出的傅里葉變換和的傅里葉變換和x(n)序列序列的傅里葉變換。的傅里葉變換。 解:解:)(txa)(txa)(txa)(txatttttxXtttttaade ee de )cos(2de )()j ( jjjj0j00第102頁/共445頁第一百零二頁,共446頁。上式中指數函數的傅里葉變換不存在, 引入奇異(qy)函數函數, 它的傅里葉變換可以表示成: )()(2)j ( 00aX(2) )()cos(2)()()(0nnaanTtnTnTttxtxnnTnx- )cos(2)(0

50、ms 5 . 21 rad 2002s00fTf第103頁/共445頁第一百零三頁,共446頁。(3) )()(2 )jj (1)(s00ksksaakkTkXTjX式中rad/s 8002ssf)2()2(2e ee e )cos(2e )cos(2e )()e (00jjjj0j0jj00kknnTnxXknnnnnnnnnn第104頁/共445頁第一百零四頁,共446頁。式中0=0T=0.5 rad上式推導過程中, 指數序列的傅里葉變換仍然不存在, 只有引入奇異函數函數才能寫出它的傅里葉變換表示式。 14 求出以下(yxi)序列的Z變換及收斂域:(1) 2nu(n)(2) 2nu(n1)

51、(3) 2nu(n)(4) (n)(5) (n1)(6) 2nu(n)u(n10)第105頁/共445頁第一百零五頁,共446頁。解(1)21 2112)(2)(2ZT110zzzznununnnnnnn(2)21 21121222) 1(2)1(2ZT1111zzzzzzznununnnnnnnnnn第106頁/共445頁第一百零六頁,共446頁。21 2112 2)(2)(2ZT00zzzzznununnnnnnnnnn(3)(4) ZT(n)=10|z|(5) ZT(n1)=z10|z|(6) 0 2121 2)10()(2ZT11101090zzzznununnnn第107頁/共445

52、頁第一百零七頁,共446頁。15 求以下序列的Z變換及其收斂(shulin)域, 并在z平面上畫出極零點分布圖。 (1) x(n)=RN(n)N=4(2) x(n)=Arn cos(0n+j)u(n)r=0.9, 0=0.5 rad, j=0.25 rad(3)其它02 12 0)(NnNnNNnnnx式中, N=4。第108頁/共445頁第一百零八頁,共446頁。解(1) 0 ) 1(1z11 )()(3414304zzzzzzznRzXnnnn由z41=0, 得零點(ln din)為3 , 2 , 1 , 0 ez 42jkkk由z3(z1)=0, 得極點為 z1, 2=0, 1零極點圖和

53、收斂域如題15解圖(a)所示, 圖中, z=1處的零極點相互(xingh)對消。第109頁/共445頁第一百零九頁,共446頁。題15解圖第110頁/共445頁第一百一十頁,共446頁。(2) )( ee eeAr21 )()cos()(jjjj000nununArnxnnnne1ee1e21eeee21)(1jj1j00jjjj0000zrzrAzrzrAzXjnnnnnnnn)e1 ()e1 ()cos(cos1j1j1000zrzrzrArz 第111頁/共445頁第一百一十一頁,共446頁。零點(ln din)為 cos)cos(01 rz極點(jdin)為00j3j2e erzrz極

54、零點(ln din)分布圖如題15解圖(b)所示。(3)令y(n)=R4(n), 則x(n+1)=y(n)*y(n)zX(z)=Y(z)2, X(z)=z1Y(z)2第112頁/共445頁第一百一十二頁,共446頁。因為(yn wi) 1(111)(3414zzzzzzY因此(ync)2472341) 1(11) 1(1)(zzzzzzzzX極點(jdin)為z1=0, z2=1零點為3 , 2 , 1 , 0 e42jkzkk在z=1處的極零點相互對消, 收斂域為0|z|, 極零點分布圖如題15解圖(c)所示。第113頁/共445頁第一百一十三頁,共446頁。16 已知112122113)(

55、zzzX求出對應(duyng)X(z)的各種可能的序列表達式。 解: X(z)有兩個極點: z1=0.5, z2=2, 因為收斂域總是以極點為界, 因此收斂域有三種情況: |z|0.5,0.5|z|2, 2|z|。 三種收斂域對應(duyng)三種不同的原序列。 (1)收斂域|z|0.5: 第114頁/共445頁第一百一十四頁,共446頁。zzzXjnxcnd)(21)(1令nnnzzzzzzzzzzXzF)2)(5 . 0(75 )21)(5 . 01 (75)()(11111n0時, 因為(yn wi)c內無極點,x(n)=0;n1時, c內有極點 0 , 但z=0是一個n階極點, 改為求

56、圓外極點留數, 圓外極點有z1=0.5, z2=2, 那么第115頁/共445頁第一百一十五頁,共446頁。) 1(22)21(3)2()2)(5 . 0()75()5 . 0()2)(5 . 0()75(2),(sRe5 . 0),( sRe)(25 . 0nuzzzzzzzzzzzFzFnxnnznzn(2)收斂(shulin)域0.5|z|2:)2)(5 . 0()75()( zzzzzFn第116頁/共445頁第一百一十六頁,共446頁。n0時, c內有極點(jdin)0.5,nzFnx)21(35 . 0 ),( sRe)( n0時, c內有極點 0.5、 0 , 但 0 是一個n階

57、極點, 改成求c外極點留數, c外極點只有一個, 即2,x(n)=ResF(z), 2=2 2nu(n1)最后(zuhu)得到) 1(22)()21(3)(nununxnn第117頁/共445頁第一百一十七頁,共446頁。(3)收斂(shulin)域|z|2: )2)(5 . 0()75()( zzzzzFnn0時, c內有極點(jdin) 0.5、 2,nnzFzFnx222132 ),( sRe5 . 0),( sRe)( n0時, 由收斂域判斷, 這是一個因果(yngu)序列, 因此x(n)=0; 或者這樣分析, c內有極點0.5、 2、 0, 但0是一個n階極點, 改求c外極點留數,c

58、外無極點, 所以x(n)=0。 第118頁/共445頁第一百一十八頁,共446頁。最后(zuhu)得到)(22213)( nunxnn17 已知x(n)=anu(n), 0a1。 分別(fnbi)求: (1) x(n)的Z變換;(2) nx(n)的Z變換;(3) anu(n)的Z變換。解: (1)azazznuanuazXnnnn 11)()(ZT)(1第119頁/共445頁第一百一十九頁,共446頁。azazazzXzznnx )1 ()(dd)( ZT212(2)(3)100 11)(ZTazazzazanuannnnnnn18 已知2112523)(zzzzX分別(fnbi)求: (1)

59、 收斂域0.5|z|2對應的原序列x(n)。 第120頁/共445頁第一百二十頁,共446頁。解解:cnzzzXnxd)(j21)(1)2)(5 . 0(232523)()(12111zzzzzzzzzXzFnnn(1) 收斂(shulin)域0.5|z|2:n0時,c內有極點0.5,x(n)=ResF(z), 0.5=0.5n=2nn0時, c內有極點0.5、 0, 但0是一個n階極點, 改求c外極點留數, c外極點只有2, x(n)=ResF(z), 2=2n第121頁/共445頁第一百二十一頁,共446頁。最后得到(d do) x(n)=2nu(n)+2nu(n1)=2|n|n2:n0時

60、, c內有極點0.5、 2,nnznnzzzzzFzFnx25 . 0)2()2)(5 . 0(235 . 02),(sRe5 . 0),( sRe)( 2第122頁/共445頁第一百二十二頁,共446頁。n0時, c內有極點0.5、 2、 0, 但極點0是一個n階極點, 改成求c外極點留數, 可是(ksh)c外沒有極點, 因此x(n)=0最后得到 x(n)=(0.5n2n)u(n)19 用部分分式法求以下X(z)的反變換:21|,252311)(211zzzzzX(1)第123頁/共445頁第一百二十三頁,共446頁。(2)21|,41121)(21zzzzX解解: (1)21z 41131

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