2020【浙教版】九年級數(shù)學(xué)下冊期末復(fù)習(xí)專題《相似三角形》(含解析)

1、專題4相似三角形題型一比例線段、平行線分線段成比例定理例 1 如圖 1,已知 AB/C CD/ EF, AD： AF= 3 : 5, BE= 12,那么 CE,224【解析】AB/CD/的長等于一BC 八36 八12, -BC= y, /.CE= BE36 24BC= 12-y=y.【點(diǎn)悟】利用平行線分線段成比例定理解題時(shí)， 要注意找好對應(yīng)線段,通常用*=牌，*=總等關(guān)系分段尋找變式跟進(jìn)1. 2018 鎮(zhèn)江如圖 2, AABB, AB= 6, DE AC 將 BD遴點(diǎn) B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到 BD E',點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)落在邊BC上，已知BE =5, D，C= 4,則 BC的長為_2+V34_.

2、圖2BD BE 一【解析】由條件 DE/ AC可彳# BD9ABAC即有4法由BA BC題意可得 B& BE =5, BD= BD = BO D C= BC-4, AB= 6.設(shè) BCx 4 5 ，t_ _ .=x,由，可列方程： / =1,解得x=2+ 434（負(fù)值舍去），故 6 XBC的長為2+取.題型二 相似三角形的判定 例2 2019 祁陽期末已知：如圖3, / 1 = / 2, AB AC= ADAE圖3求證：/ C= / E證明：在乙 AB序口ADB, . AB- AC= AD A£AB_AE ADT AC/.AABfEo A ADC. ./C= /E.【點(diǎn)悟】判

3、定三角形相似的幾條思路：（1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的預(yù)備定理；（2）條件中若有一對等角，可再找一對等角 （用判定3）或找夾邊成比例（用判定2）; （3）條件中若有兩邊對應(yīng)成比 例，可找夾角相等；（4）條件中若有一對直角，可考慮一對等角或證明 斜邊、直角邊對應(yīng)成比例；（5）條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等， 可找一對底角相等，也可找底和腰對應(yīng)成比例.s變式跟進(jìn)2. 2019 隨州在4AB時(shí)，AB= 6, AC= 5,點(diǎn) D在邊 AB上，且 AD =2,點(diǎn)E在邊AC上，當(dāng)AE= _3或152_時(shí)，以A D, E為頂點(diǎn)的三角形與ABC!似.1寸，A ADE A ABC 一 一 AD【解

4、析】/A= /A,分兩種情況：當(dāng) 一E即AE= 6,ae 5；當(dāng)祟叭 A ADEAACB 即AE= 5，AE=12.綜上所述，當(dāng)AE= 5或Y時(shí)，以A, D, E為頂點(diǎn)的三角形與 ABC 53 5相似.3. 2019 嘉興模擬已知：如圖4,四邊形ABC屋正方形，/ PAQ=45° ,將/PA端著正方形的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它與正方形ABCD）兩個(gè)外角/ EBCF口 / FDC勺平分線分別交于點(diǎn) M和N,連結(jié)MN（2）連結(jié)BD當(dāng)/ BAM勺度數(shù)為多少時(shí)，四邊形 BMND1矩形，并加以證明.解：（1）證明：.四邊形ABC醫(yī)正方形, . / ABC= / ADC= / BAD= 90 BM DM

5、別是正方形的兩個(gè)外角平分線， ./AB限 ZADN= 135 , ./MAN45 , ./BA限 ZAND= 45 /DAN.ABMb ANDA(2)當(dāng)/BAM= 22.5 時(shí)，四邊形BMNDl矩形.證明：./ BAIM= 22.5 , / EBM= 45 , /AM屋22.5 ,/ BAM= /AMB .AB= BM 同理 AD= DN/AB= AD BM= DN 四邊形ABC醫(yī)正方形， ./ABD= ZADB= 45 , ./BDN= /DBM= 90 , /BDNH /DBM= 180 , . BM/ DN四邊形BMNDi平行四邊形， ./BDN= 90° ,四邊形 BMNDl

6、矩形.題型三 相似三角形的性質(zhì) 例3如圖5,把ABC& AB邊平移到AA' B' C'的位置，它們的 重疊部分(即圖中的陰影部分)的面積是 ABC勺面積的一半，若AB= 也，則此三角形移動(dòng)的距離 AA = 亞1_ .圖5n【解析】 設(shè)BC與A C交于點(diǎn)E,由平移的性質(zhì)知，AC/ A C , .BEA s BCA Sa BEA :3bca= A B : aB=1 ： 2,AB= V2, .A B= 1, .AA =AB-A B=/1.【點(diǎn)悟】(1)相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平 方；(2)相似三角形對應(yīng)高線、中線、角平分線的比等于相似比.圖變式

7、跟進(jìn)4. 2018 自貢如圖6,在AABC, MN BC分別交AB AC于點(diǎn)M N,若 A陣 1, MB= 2, BC= 3,則 MN勺長為 1【解析】 MNZBGAMNAAB(C .普MN . AM= 1, MB= 2,AB BC1 MN -BC= 3,=5,解得 MN= 1.5.如圖7,有一塊三角形的余料 ABC要把它加工成矩形的零件，已知：BG= 8 cm,高 AD= 12 cm,矩形 EFGH勺邊 EF在 BC邊上，G, H分別在AC AB上，設(shè)HE的長為y cm, EF的長為x cm.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x取多少時(shí)，四邊形EFG隆正方形？解：(1) /BO 8 cm

8、,高 AD= 12 cm, HE 的長為 y cm, EF 的長為 x cm1四邊形EFG喋矩形， .A仁Ady=12 y, HG= EF= x, HG/ BQAK HG 口口 12 y x=即- =AD BC 128'3. y=12 2x；3(2)由(1)可知，y與x的函數(shù)關(guān)系式為y = 122x,四邊形EFG限正方形，HE= EF,即x=y, .x=12 3x,解得 x=24.25“，24， 一，一 一、一答：當(dāng)x=m時(shí)，四邊形EFG隆正萬形.題型四位似圖形及其畫法 例4如圖8,在平面直角坐標(biāo)系中有 ABC以點(diǎn)O為位似中心,相似比為2,將4AB或大，則它的對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為3A. 2

9、, 2 ，2'12'(6,2),(2, 4)C. (8, 6), (6, 2), (2, 4)或(一8, 6), (6, 2), (2, 4) D. (8, -6), (6, 2), (2, 4)或(一8, 6), (6, 2), (2, 4)【解析】 由坐標(biāo)系可知，點(diǎn)A,點(diǎn)B,點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為(4, 3), (3, 1), (1 , 2),二以點(diǎn)O為位似中心，相似比為2,將AABCM大，則它 的對應(yīng)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4X2, 3X2) ,(3X2, 1X2), (1 X2, 2X2)或(一 4X2, 3X2), (3X2, 1X2), ( 1X2, 2X2),即(8, 6), (

10、6, 2), (2, 4)或(8, 6), (6, 2), (2, -4).【點(diǎn)悟】如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k,那么位似圖形與原圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)比等于 k或一k.S變式跟進(jìn)6. 2019 煙臺如圖9,在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格的邊長均為 1.AOBWzA OB是以原點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，且相似比為 3 ： 2,點(diǎn)A, B都在格點(diǎn)上，則點(diǎn)B'的坐標(biāo)是一2,4.3圖9【解析】由題意，將點(diǎn)B的橫、縱坐標(biāo)都乘以一2,得點(diǎn)B'的坐標(biāo).由3B的坐標(biāo)(3, 2),得B'的坐標(biāo)一2, 4.37.如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，ABC勺三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(2 , 4

11、),及3, 2), Q6, -3).(1)畫出 AB或于x軸對稱的 ABC;(2)以M點(diǎn)為位似中心，在網(wǎng)格中畫出 ABC的位似圖形 ABG,使 ABC2與AABC的相似比為2： 1;(3)求出A, B2, G三點(diǎn)的坐標(biāo).圖10第7題答圖解：(1)如答圖所示， ABG即為所求；(2)如答圖所示， ABG即為所求；(3) A(3, 6); B2(5, 2); C2(11 , 4).題型五相似三角形的綜合 例52018 泰安如圖11,四邊形ABCM, AB= AOAQ AC平分/BAD點(diǎn)P是AC延長線上一點(diǎn)，且PtZL AD(1)證明：/ BDC= / PDC(2)若 A* BD相交于點(diǎn) E, AB

12、= 1, CE： CP= 2 : 3,求 AE的長.解：(1)證明：.AB= AD AC平分 /BAD .ACL BD/ACR /BD仔 90 ,/AO AD ./ACZ ADC . PDL AD/ADG /PD仔 90 , ./ BDC= /PDC 如答圖，過點(diǎn)C作CML P葉點(diǎn)Mb B BD(C= /PDCC2 CM /CMP/ADP= 90 , / P= /P, CM PC .CPMb A APO .加詼 設(shè) C陣CEx, CE： CP= 2 : 3, .PC=v AB= AD= AG= 1,3二 x.一1= 3,解得 x=3，.a 1-3= 3.333 3X+1變式跟進(jìn)8. 2019

13、甘肅如圖12, AABCJH DEEM兩個(gè)全等的等腰直角三角 形，/ BAC= /EDa90° , DER!勺頂點(diǎn)E與ABC勺斜邊BC的中點(diǎn) 重合，將4 DE隨點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段 DE與線段AB相交于 點(diǎn)巳線段EF與射線CAffi交于點(diǎn)Q(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP= AQ寸，求證：zBP國ACQE (2)如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時(shí)，求證： BPaACEQ 并求當(dāng)BP= 2, CQ= 9時(shí)BC的長.圖12解：(1)證明：AB磊等腰直角三角形, ./B= ZC= 45 , AB= AC. AP= AQ /. BF= CQ /E是 BC的中點(diǎn)，/. BE= CE

14、 在A BPEH ACQE,BE= CE/B= /C,.BPEzCQESA$;BP= CQ(2) ABCffiDEEM兩個(gè)全等的等腰直角三角形,. ./B= /C= /DEM 45 , . / BEQ= / EQQ- / C,即 / BE印 / DEF= / EQG / C, / BE' 45 = / EQG 45 , ./BEP= /EQC.BP&ACE(QBP BE CE= CQ -BF2, CQ= 9, BE= CE . .BE： 18, /. BE= CE= 3；2, /. BC= 6 2.過關(guān)訓(xùn)練八日還標(biāo)=3 cm,則ABCW&A B C'的面積比為(

15、D )A. 1：2 B.2：1 C.1：4 D.4：1【解析】AB。A.K B C , AB= 6 cm, A B' =3 cm,其相彳以比=AB 6 2A B，=3 = 1'.ABC與 A' B C'的面積比=(AB： AB' )2=4 ： 1.2. 2017 常熟期末如圖1, zAB/，D, E分別在AR AC上，下列條件中不能判斷 ADEo zACB勺是（D ）A. ZADE= /CB. /AED= /BADAEapdec.ACT Ab D. Act bc圖i3. 2017 濰坊如圖 2,在ABC, AB# AC D, E分別為邊 AR AC 上的

16、點(diǎn)，AG= 3AD AB= 3AE點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn)，添加一個(gè)條件： /A= / BFD答案不唯一，合理即可）,可以使 FDB與4ADE相 似.（只需寫出一個(gè)）_. .一AD AE 1【解析】 /AC= 3AQ AB= 3AE 二啟於彳，又./A= /A,AC AB 3AD9 AACB ：/AED= / B故要使 FDB</人口討目似，只需再添加 一組對應(yīng)角相等，或夾角的兩邊成比例即可.4. 2019 六盤水如圖3,在？ABC葉，對角線AC BD相交于點(diǎn)O,在BA的延長線上取一點(diǎn)E,連結(jié)O或 AD于點(diǎn)F.若CD= 5, BC= 8,AE=2,則 AF=圖316第4題答圖【解析】 如答圖，

17、過O點(diǎn)作OM AD :四邊形ABC崖平行四邊形,一 151 .OB= ODO罐 zABD勺中位線，.A陣 B陣 2AB=萬，。陣BC= 4,AE AF 2 AF 16. AF/ 0M .A叱 MEO .而 0M 丁7 “ §2 + 25.如圖 4,在ABCK / BAC= 90 , AB= AC 點(diǎn) D, E分別在 BCAC上，且/ ADE= 45 .(1)求證： ABDADCE若AB= 2, BD= 1,求CE的長.解：（1）證明：. ./B= /C= 45 ,又./DEG /AD曰 ZCAD= 45 + / CAD同理/ADB= /C+ ZCAD= 45 + /CAD /DEG/

18、ADB 又B= ZO45 . .AB母 ADCE(2) /AB= 2, /. BC= 25,.ABD ADCE組CDbDT CE,2 22-1.0匚 2,1 .彳 ce，一CE=2R flgHSH6 .如圖5,在正方形ABC葉，E是BC勺中點(diǎn)，F(xiàn)是CD±一點(diǎn)，AELEF,有下列結(jié)論：/BAE= 30; Sfbe= 4Sa ecf； CF= 1CD;3zAB&zAEF正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（B ）A. 1個(gè)B. 2個(gè)C . 3個(gè)D. 4個(gè)【解析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)與同角的余角相等，證得 BA3ACEF 則可證得正確，錯(cuò)誤；利用有兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三 角形相似即可證得 ABBz

19、AEF正確.故選B.7 .如圖 6,在 RtAABO, / BAC= 90 , AB= 15, AG= 20,點(diǎn) D在 邊AC上，AD= 5, DELBC于點(diǎn)E,連結(jié)A£則ABE勺面積等于_78_.t第7題答圖【解析】 如答圖，連結(jié)AE在RtzABC / BA及90° , DELBC于點(diǎn) E, ./BAZCED= 90 , .CD團(tuán)ACB/A /.CE= CD= 201,CA CB 25一13故CE=12, .嗚2512=13,25SAABg .SABC= 15°,S13AB25X 150= 78.8 . 2017 內(nèi)江如圖7,四邊形ABC前，AD/ BC CM/

20、 BCD勺平115 .分線，且CMLAR M為垂足，AM= .AB若四邊形ABCD勺面積為方，則 37四邊形AMC的面積是 1 .圖7第8題答圖11【解析】如答圖，分別延長BA和CCR于點(diǎn)E. /AM= 3AB ：AM= BM_ _ 11 CM/ BCD勺平分線，CMLAB EM= BM：AM= EM AE= EM1S EAD 1 io 1 o 11516 o1o1 16,解得SaEAD 7 ' S EBC 7 + 7 7 ' S 四邊形 AMCD- $ EBC室EAD= rr SA EAD .AE=二BE . AD/BC EANAEB(C:，即-=4S ebc 415S ea

21、h 79. 2019 門頭溝區(qū)期末在一節(jié)數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一個(gè)問題讓學(xué)生探究: 已知：如圖8,在ABOt點(diǎn)D是BA邊延長線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) F在,一 CF 1BC上，且一大連結(jié)DF交AC于點(diǎn)E.BF 2（2）當(dāng)器a（a>0）時(shí)，請求出 含勺值（用含a的代數(shù)式表示）.思考片刻后，同學(xué)們紛紛表達(dá)自己的想法：甲：過點(diǎn)F作FG/ AB交AC于點(diǎn)G,構(gòu)造相似三角形解決問題；乙：過點(diǎn)F作FG/ AC交AB于點(diǎn)G,構(gòu)造相似三角形解決問題；丙：過點(diǎn)D作DG/BC交CA延長線于點(diǎn)G構(gòu)造相似三角形解決問題;老師說：“這三位同學(xué)的想法都可以”.請參考上面某一種想法，完成第（1）問的求解過程，并直接寫出第（2）AD .向AB勺值.解：（1）甲同學(xué)的想法：如答圖，過點(diǎn) F作FG/AB交AC于點(diǎn)G ./GFE= /ADE/ FGE= / DAE .AED AGEF