初中數(shù)學歸納教學中應用芻談

1、    初中數(shù)學歸納教學中應用芻談    劉曉林摘 要：一個人的歸納能力，不是生而就強的，而是要通過后天的學習鍛煉而提升的。數(shù)學知識本就由生活經(jīng)驗知識歸納而成，因此數(shù)學學習過程其實也是一個歸納學習過程，可以有效訓練學生的歸納思維能力。初中數(shù)學中歸納教學的應用有重要的教育意義，不過在應用時要應用過程中要注意引入邏輯的支持，確保科學地歸納。關(guān)鍵詞：歸納教學；初中數(shù)學；應用【分類號】g633.6歸納是通過大量的個別事實提取共性特點的思維過程，是日常生活中人們經(jīng)常會應用的思維。一個善于歸納的人，也是一個善于發(fā)現(xiàn)問題分析問題和解決問題的人。一個人的歸納能力，不是生

2、而就強的，而是要通過后天的學習鍛煉而提升的。數(shù)學知識本就由生活經(jīng)驗知識歸納而成，因此數(shù)學學習過程其實也是一個歸納學習過程。當然，數(shù)學推理等需要演繹，而演繹卻是以歸納為基礎的。初中數(shù)學教師在執(zhí)教過程中，應有意識地引導學生進行歸納訓練，培養(yǎng)鍛煉學生的歸納思維能力。本文擬就初中數(shù)學中歸納應用談一些看法。一、初中數(shù)學歸納教學應用意義在初中數(shù)學教學中，引導學生對生活實際或動手操作進行有意義有目的的分析、探索，進而提煉數(shù)學中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗歸納的方法尋求數(shù)學的事實性結(jié)論。主要有下述教育意義：1、學生體驗了經(jīng)驗世界中數(shù)學知識的形成過程，根據(jù)建構(gòu)主義的認知觀點，是學生對知識進行意義建構(gòu)的有效途徑。不過這

3、樣建構(gòu)的知識，僅具實證性，還不深刻，是淺層次的。2、使學生得到歸納方法的學習。歸納方法被譽為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應用于自然科學研究，科學史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開普勒在研究太陽系行星運動時，對十年觀察和計算的數(shù)據(jù)進行歸納，得到天體運動第三定律。孟德爾歸納八年的實驗數(shù)據(jù)，完成了植物雜交試驗的偉大論著，為遺傳學作了科學奠基。在數(shù)學研究中，也常借助歸納作出猜想和判斷，著名的哥德巴赫猜想就是通過歸納得到的，又如對數(shù)由類比歸納得到。學習歸納方法也就是學習了科學研究的基本方法，對提高學生發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力具有十分積極的意義。3、通過對數(shù)學知識形成的“情境”性體驗，使得對抽象的數(shù)學概

4、念有樸素的理解，為進一步進行數(shù)學抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學學習的問題解決中，經(jīng)常對某問題的具體個別情形進行考察、歸納，尋求解決問題的策略和一般方法。4、增強數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，由此增進數(shù)學價值的認識，增進數(shù)學應用的意識和能力，提高用數(shù)學的眼光觀察世界的能力。5、經(jīng)驗歸納將數(shù)學與生活融洽，有利于增進學生學習數(shù)學的興趣。興趣是促進自覺能動的動力，特別是通過歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達到雖為其“勞苦”而感到樂的境界樂此不疲。正基于上述理由，當前初中數(shù)學教學中凸顯經(jīng)驗歸納教學，其意義是不言而喻的。但是，也應該清楚地認識到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學

5、知識不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。二、歸納教學應用中要注意引入邏輯的支持在數(shù)學王國里，雖然數(shù)學的某些結(jié)論可由直覺和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。（可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機器證明幾何命題，那是對證代數(shù)恒等式的一種應用）。通常把直覺和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺和歸納往往會出錯。例如：1、判斷全體正自然數(shù)的個數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個數(shù)多？從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個，自然數(shù)有2個，偶數(shù)只

6、有1個，于是得到正自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)個數(shù)的2倍；從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進行考察，自然數(shù)99個，正偶數(shù)49個，個數(shù)的比值：99/492。在1000以內(nèi)考察，兩者個數(shù)的比值：999/4992。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察，可得兩者個數(shù)比值的極限是2，與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯誤的。事實上，只要構(gòu)造函數(shù)m=2n，顯然值域與定義域有一一對應的關(guān)系，便知歸納所得結(jié)論錯誤。2、初中數(shù)學勾股定理中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關(guān)系，請你探索出直角三角形的三邊的關(guān)系，結(jié)果大部分學生根據(jù)32 =4+5、52 =12+13，繼而得出錯誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長直

7、角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方?！辈⑶腋嗟氖聦崻q如觀測水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學家開普勒指出：“當知識通過感官被直接提供給心靈時，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的?！?所以對經(jīng)驗得到的東西總要問個為什么？總要有理性的思考。哲學家叔本華說：“經(jīng)驗從總體來講，是要從這種形而上學得到解釋的?！睎|漢哲學家王充說：“是非者，不徒耳目，必開心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗得到的數(shù)學命題必須有理論的證明。實際上，人類在處理數(shù)學上理由不充足的結(jié)論時，總是小心謹慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬次驗證都是正確的，但由于沒有得到理論上的證明，人們

8、還是叫它猜想而不叫定理。有時即使得到事實性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無窮小量的處理不合理，就連當時思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學說的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。（微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年）。無數(shù)事例充分地反映了人類對數(shù)學嚴謹性所持態(tài)度是嚴肅、認真的。我們知道，要學好數(shù)學需要理解記憶，也就是要明了數(shù)學知識的形成過程。當前數(shù)學教學中普遍存在著僅把經(jīng)驗歸納作為知識的形成過程，忽略理論推導的過程。歸納是感的“進路”，理論推導是思的“進路”。數(shù)學對象的抽象性決定了學習數(shù)學離不開思，一旦離開了思，將造成不求甚解，只求記住若干“處方”，不僅茲