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文檔簡介
1、. . 山東省棗莊市高考數(shù)學一模試卷(理科)一、選擇題(共10 小題,每小題5 分,滿分 50 分)1已知 i 為虛數(shù)單位,則i2016=()a1 b 1 c i d i 2已知全集u=1,2,3,4,5, 6 ,集合 a=2,4, 5,b=1,3,5 ,則( ?ua)b=()a1 b3 c 1 ,3,5,6 d 1 ,3 3已知 a與 b是兩個事件, p(b)=,p(ab )=,則 p(a|b)=()abcd4函數(shù) f( x)=的定義域為()a (, 1 b 1 ,+)c (,1 d (,+)5已知實數(shù)x,y 滿足,若 z=2x+y 的最大值為3,則實數(shù) a 的值為()a1 b2 c 1 d
2、6設 d為 abc所在平面內一點, = +,若=( r) ,則 =()a2 b3 c 2 d 3 7函數(shù) f( x)=2cos(2x+)sin sin2 (x+) ( 為常數(shù),且,kz)圖象的一個對稱中心的坐標為()a (,0)b (0,0)c (,0) d (, 0)8函數(shù) y=的圖象大致為()abcd9執(zhí)行如圖所示的程序框圖,那么輸出的s的值為(). . a 1 b4 cd10若函數(shù)f (x)=|x|+(a0)沒有零點,則a 的取值范圍是()ab (2,+)cd (0,1)( 2, +)二、填空題(共5 小題,每小題5 分,滿分25 分)11若“ ? x , ,m tanx+ 1”為真命題
3、,則實數(shù)m的最大值為 _12若函數(shù)f (x)=|x+1|+|x+a|的最小值為1,則實數(shù) a 的值為 _13從 2 名語文老師, 2 名數(shù)學老師, 4 名英語老師中選派5 人組成一個支教小組,則語文老師、數(shù)學老師、英語老師都至少有一人的選派方法種數(shù)為_ (用數(shù)字作答)14圓錐被一個平面截去一部分,剩余部分再被另一個平面截去一部分后,與半球(半徑為r )組成一個幾何體,則該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若r=1 ,則該幾何體的體積為_15在平面直角坐標系xoy中,雙曲線c1:=1 的漸近線與橢圓c2: +=1(ab0)交于第一、二象限內的兩點分別為a、 b, 若 oab的外接圓的圓心為
4、 ( 0, a ) ,則雙曲線c1的離心率為 _三、解答題(共6 小題,滿分75 分)16如圖,在abc中,點 d在邊 bc上, bd=2 ,ba=3 ,ad=,c=45 (1)求 b的大?。唬?)求 abd的面積及邊ac的長. . 17一次測試中,為了了解學生的學習情況,從中抽取了n個學生的成績(滿分為100 分)進行統(tǒng)計按照50 ,60) , 60 ,70) ,70 ,80) ,80 ,90) ,90 , 100 的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在50 ,60) ,90 ,100 的數(shù)據(jù))(1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y 的值;(2)在選取的樣本
5、中,從成績是80 分以上(含80 分)的同學中隨機抽取3 名參加志愿者活動,設x表示所抽取的3名同學中得分在80 ,90)內的學生個數(shù),求x的數(shù)學期望及方差18如圖,在四棱錐abcd a1b1c1d1中,側棱 aa1平面 abcd ,底面 abcd 為菱形, abc=120 , ab=aa1=2,ac bd=o , e、f 分別是線段a1d、bc1的中點,延長d1a1到點 g,使得 d1a1=ag (1)證明: gb 平面 def ;(2)求直線gd與平面 def所成角的正弦值19數(shù)列 an滿足 a1=1,a2=,anan+1是公比為的等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項公式;(2)設 bn=3a
6、2n+2n7,sn是數(shù)列 bn的前 n 項和,求sn以及 sn的最小值20已知拋物線c:y2=2px(p0)的焦點f 在直線 2x+y2=0 上(1)求拋物線c的方程;(2)已知點p是拋物線c上異于坐標原點o的任意一點,拋物線在點p處的切線分別與x 軸、 y 軸交于點b,e,設=,求證:為定值;(3)在( 2)的條件下,直線pf與拋物線c交于另一點a,請問: pab的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值及此時點p的坐標,若不存在,請說明理由21已知函數(shù)f ( x)=x 1a(x1)2lnx (ar) . . (1)當 a=0 時,求函數(shù)f (x)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f (x)
7、 x+1 有一個極小值點和一個極大值點,求a 的取值范圍;(3)若存在k( 1,2) ,使得當x( 0,k 時, f ( x)的值域是 f (k) ,+) ,求 a 的取值范圍注:自然對數(shù)的底數(shù)e=2.71828. . 山東省棗莊市高考數(shù)學一模試卷(理科)參考答案與試題解析一、選擇題(共10 小題,每小題5 分,滿分 50 分)1已知 i 為虛數(shù)單位,則i2016=()a1 b 1 c i d i 【考點】 虛數(shù)單位i 及其性質【分析】 利用 i4=1,即可得出【解答】 解: i4=1,i2016=i4504=1,故選: a2已知全集u=1,2,3,4,5, 6 ,集合 a=2,4, 5,b=
8、1,3,5 ,則( ?ua)b=()a1 b3 c 1 ,3,5,6 d 1 ,3 【考點】 交、并、補集的混合運算【分析】 根據(jù)全集u求出 a的補集,找出a補集與 b的并集即可【解答】 解:全集u=1,2,3,4,5, 6 ,集合 a=2,4, 5 ,?ua=1,3,6,b=1,3,5 ,則( ?ua )b=1,3,5,6 故選: c3已知 a與 b是兩個事件, p(b)=,p(ab )=,則 p(a|b)=()abcd【考點】 條件概率與獨立事件【分析】 由條件概率的計算公式,代入數(shù)據(jù)計算可得答案【解答】 解:由條件概率的計算公式,可得p(b|a)=故選: d. . 4函數(shù) f( x)=的
9、定義域為()a (, 1 b 1 ,+)c (,1 d (,+)【考點】 函數(shù)的定義域及其求法【分析】 根據(jù)函數(shù)成立的條件,即可求函數(shù)的定義域【解答】 解:要使函數(shù)f (x)有意義,則,即 02x11,即 12x2,解得x1,故函數(shù)的定義域是(,1 ,故選: c 5已知實數(shù)x,y 滿足,若 z=2x+y 的最大值為3,則實數(shù) a 的值為()a1 b2 c 1 d【考點】 簡單線性規(guī)劃【分析】 作出不等式組對應的平面區(qū)域,根據(jù)z 的幾何意義,利用數(shù)形結合即可得到a 的值【解答】 解:不等式組對應的平面區(qū)域如圖:由 z=2x+y 得 y= 2x+z,平移直線y=2x+z,則由圖象可知當直線y=2x
10、+z 經(jīng)過點 a時直線 y=2x+z 的截距最大,此時 z 最大,為2x+y=16 由,解得,即 a(2, 1) ,此時點 a在 x+y=a,即 21=a,解得 a=1,故選: a. . 6設 d為 abc所在平面內一點, = +,若=( r) ,則 =()a2 b3 c 2 d 3 【考點】 平行向量與共線向量【分析】 d為 abc所在平面內一點, = +,可得 b,c,d三點共線若=( r) ,可得=,化簡與=+比較,即可得出【解答】 解: d為 abc所在平面內一點, = +,b, c,d三點共線若=( r) ,=,化為: =+,與=+比較,可得: = , =,解得 = 3則 = 3故選
11、: d7函數(shù) f( x)=2cos(2x+)sin sin2 (x+) ( 為常數(shù),且,kz)圖象的一個對稱中心的坐標為()a (,0)b (0,0)c (,0) d (, 0)【考點】 三角函數(shù)中的恒等變換應用【分析】 由三角函數(shù)公式化簡可得f (x) =2sin2x ,由奇函數(shù)的對稱性結合選項可得【解答】 解:由三角函數(shù)公式化簡可得:f (x)=2cos(2x+)sin sin2 (x+)=2cos(2x+)sin sin (2x+) + . . =2cos(2x+)sin sin ( 2x+)cos cos(2x+)sin =cos(2x+)sin sin (2x+)cos=sin (
12、2x) =2sin2x ,滿足 f ( x)= f(x)即函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱故選: b8函數(shù) y=的圖象大致為()abcd【考點】 函數(shù)的圖象【分析】 先判斷函數(shù)的奇偶性,再判斷函數(shù)值的變化趨勢,即可判斷【解答】 解: f ( x)=f (x) ,y=為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,當 x +時, y0,當 0 x時, y 0,故選: a9執(zhí)行如圖所示的程序框圖,那么輸出的s的值為()a 1 b4 cd【考點】 程序框圖【分析】 根據(jù)所給數(shù)值判定是否滿足判斷框中的條件,然后執(zhí)行循環(huán)語句,一旦不滿足條件就退出循環(huán),從而到結論【解答】 解:由題意,模擬執(zhí)行程序,可得. . s=1,k=1
13、滿足條件k2016,s=4, k=2 滿足條件k2016,s=,k=3 滿足條件k2016,s=,k=4 滿足條件k2016,s=1,k=5 觀察規(guī)律可知,s的取值周期為4,由 2016=5044,可知滿足條件k2016,s=,k=2015 滿足條件k2016,s=,k=2016 不滿足條件k2016,退出循環(huán),輸出s的值為故選: d10若函數(shù)f (x)=|x|+(a0)沒有零點,則a 的取值范圍是()ab (2,+)cd (0,1)( 2, +)【考點】 函數(shù)的零點與方程根的關系【分析】 根據(jù)函數(shù)f (x)沒有零點,等價為函數(shù)y=與 y=|x| 的圖象沒有交點,在同一坐標系中畫出它們的圖象,
14、即可求出a 的取值范圍【解答】 解:令 |x|+=0得=|x| ,令 y=,則 x2+y2=a,表示半徑為,圓心在原點的圓的上半部分,y= |x| ,表示以( 0,)端點的折線,在同一坐標系中畫出它們的圖象:如圖,根據(jù)圖象知,由于兩曲線沒有公共點,故圓到折線的距離小于1,或者圓心到折線的距離大于半徑,a 的取值范圍為(0,1)( 2,+)故選: d二、填空題(共5 小題,每小題5 分,滿分25 分). . 11若“ ? x , ,m tanx+ 1”為真命題,則實數(shù)m的最大值為0 【考點】 全稱命題【分析】 求出正切函數(shù)的最大值,即可得到m的范圍【解答】 解:“ ? x , , m tanx+
15、 1”為真命題,可得 1tanx 1,0 tanx+1 2,實數(shù) m的最大值為: 0 故答案為: 012若函數(shù)f (x)=|x+1|+|x+a|的最小值為1,則實數(shù) a 的值為0 或 2 【考點】 函數(shù)的最值及其幾何意義【分析】 函數(shù) f(x)=|x+1|+|x+a|的幾何意義是點x 與點 1 的距離及點x 與點 a 的距離之和, 從而解得【解答】 解:函數(shù)f (x)=|x+1|+|x+a|的幾何意義是:點 x 與點 1 的距離及點x 與點 a 的距離之和,故函數(shù) f (x)=|x+1|+|x+a|的最小值為 | 1+a|=1 ,故 a=0 或 2,故答案為: 0 或 213從 2 名語文老師
16、, 2 名數(shù)學老師, 4 名英語老師中選派5 人組成一個支教小組,則語文老師、數(shù)學老師、英語老師都至少有一人的選派方法種數(shù)為44 (用數(shù)字作答)【考點】 排列、組合的實際應用【分析】 根據(jù)題意,按4 種情況討論,分別求出每種情況下的選派方法數(shù)目,最后由分步計數(shù)原理計算可得答案【解答】 解:根據(jù)題意,按4 種情況討論:、 2 名語文老師, 2 名數(shù)學老師, 1 名英語老師,有c41=4種,、 1 名語文老師, 2 名數(shù)學老師, 2 名英語老師,有c21c42=12 種,、 2 名語文老師, 1 名數(shù)學老師, 2 名英語老師,有c21c42=12 種, 1 名語文老師, 1 名數(shù)學老師, 3 名英
17、語老師,有c21c21c43=16 種,則一共有4+12+12+16=44種選派方法,故答案為: 44 14圓錐被一個平面截去一部分,剩余部分再被另一個平面截去一部分后,與半球(半徑為r )組成一個幾何體,則該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示,若r=1 ,則該幾何體的體積為. . 【考點】 由三視圖求面積、體積【分析】 由三視圖知該幾何體是一個組合體:上面是半球、下面是圓錐,由三視圖求出幾何元素的長度,由球體、錐體體積公式求出幾何體的體積【解答】 解:由三視圖知幾何體是一個組合體:上面是半球、下面是圓錐,且球的半徑是1,圓錐的底面半徑是1,高為 2,幾何體的體積v=,故答案為:15在平面
18、直角坐標系xoy中,雙曲線c1:=1 的漸近線與橢圓c2: +=1(a b0)交于第一、二象限內的兩點分別為a 、 b,若 oab的外接圓的圓心為(0, a ) ,則雙曲線c1的離心率為【考點】 橢圓的簡單性質【分析】 由雙曲線c1:=1,可得漸近線為y=x,與橢圓方程聯(lián)立解得a,利用兩點之間的距離公式可得: =a,解得利用雙曲線c1的離心率 =即可得出【解答】 解:由雙曲線c1:=1,可得漸近線為y=x,聯(lián)立,解得 a,則=a,化為: b24ab+a2=0,解得=2. . 雙曲線c1的離心率 =故答案為:三、解答題(共6 小題,滿分75 分)16如圖,在abc中,點 d在邊 bc上, bd=
19、2 ,ba=3 ,ad=,c=45 (1)求 b的大??;(2)求 abd的面積及邊ac的長【考點】 余弦定理的應用【分析】(1)直接利用余弦定理化簡求解即可(2)利用三角形的面積以及正弦定理求解即可【解答】 解: (1)在 abd中,由余弦定理,得=又 0 b180,所以 b=60 (2)在 abc中,由正弦定理,得,即解得17一次測試中,為了了解學生的學習情況,從中抽取了n個學生的成績(滿分為100 分)進行統(tǒng)計按照50 ,60) , 60 ,70) ,70 ,80) ,80 ,90) ,90 , 100 的分組作出頻率分布直方圖,并作出樣本分數(shù)的莖葉圖(圖中僅列出了得分在50 ,60) ,
20、90 ,100 的數(shù)據(jù)). . (1)求樣本容量n和頻率分布直方圖中x、y 的值;(2)在選取的樣本中,從成績是80 分以上(含80 分)的同學中隨機抽取3 名參加志愿者活動,設x表示所抽取的3名同學中得分在80 ,90)內的學生個數(shù),求x的數(shù)學期望及方差【考點】 離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列【分析】(1)利用頻率分布直方圖,結合頻率=,能求出樣本容量n 和頻率分布直方圖中x、y 的值(2)由題意,分數(shù)在80 ,90)內的有 4 人,分數(shù)在 90 ,100 內的有 2 人,成績是80 分以上(含80 分)的學生共6人從而抽取的3 名同學中得分在80 ,90)的學生人數(shù)x
21、的所有可能的取值為1,2,3,分別求出相應的概率,由此能求出x的數(shù)學期望及方差【解答】 解: (1)由題意可知,樣本容量,(1) 注: ( 1)中的每一列式與計算結果均為(2)由題意,分數(shù)在80 ,90)內的有 4 人,分數(shù)在 90 ,100 內的有 2 人,成績是80 分以上(含80 分)的學生共6 人從而抽取的3 名同學中得分在80 ,90)的學生人數(shù)x的所有可能的取值為1,2,3,所以,18如圖,在四棱錐abcd a1b1c1d1中,側棱 aa1平面 abcd ,底面 abcd 為菱形, abc=120 , ab=aa1=2,ac bd=o , e、f 分別是線段a1d、bc1的中點,延
22、長d1a1到點 g,使得 d1a1=ag (1)證明: gb 平面 def ;(2)求直線gd與平面 def所成角的正弦值. . 【考點】 直線與平面所成的角;直線與平面平行的判定【分析】(1)設 ac ,bd交點為 o ,以 o為原點建立空間直角坐標系,根據(jù)各數(shù)量關系求出和平面 def的法向量的坐標,只需證明即可得出gb 平面 def ;(2)求出,計算 cos,于是直線gd與平面 def所成角的正弦值等于|cos | 【解答】 證明: (1)以 o為坐標原點,分別以為 x 軸, y 軸的正方向,建立空間直角坐標o xyz在菱形abcd 中, ab=ad=bc=2, abc=120 ,bd=
23、2 ,o為 ac和 bd的中點又 aa1平面 abcd ,aa1=2b( 1,0,0) ,d( 1,0, 0) ,d1( 1,0,2) e、 f分別是線段a1d、bc1的中點,于是,設平面 def的一個法向量=(x, y,z) 則,令 y=1,得,=(, 1,) =0,又 gb ?平面 def , gb 平面 def (2)=,=2,|=2,|=cos =直線 gd與平面 bef所成的角的正弦值為|cos |=. . 19數(shù)列 an滿足 a1=1,a2=,anan+1是公比為的等比數(shù)列(1)求數(shù)列 an的通項公式;(2)設 bn=3a2n+2n7,sn是數(shù)列 bn的前 n 項和,求sn以及 s
24、n的最小值【考點】 數(shù)列遞推式;數(shù)列與函數(shù)的綜合【分析】(1)可求得;從而可得隔項成等比數(shù)列,從而分別求通項公式;(2)化簡,從而利用拆項求和法求sn,討論其單調性從而求最小值【解答】 解: (1) anan+1 是公比為的等比數(shù)列,即;a1,a3,a5,a7, a2k1,是公比為的等比數(shù)列;a2,a4,a6,a8, a2k,是公比為的等比數(shù)列當 n 為奇數(shù)時,設n=2k 1(kn*) ,=;當 n 為偶數(shù)時,設n=2k( kn*) ,=;. . 綜上,(2)sn=b1+b2+b3+bn=即當 n3 時,( n3)26 和都是關于n 的增函數(shù),當 n3 時, sn是關于 n 的增函數(shù),即s3s
25、4s5,s1s2s3;20已知拋物線c:y2=2px(p0)的焦點f 在直線 2x+y2=0 上(1)求拋物線c的方程;(2)已知點p是拋物線c上異于坐標原點o的任意一點,拋物線在點p處的切線分別與x 軸、 y 軸交于點b,e,設=,求證:為定值;(3)在( 2)的條件下,直線pf與拋物線c交于另一點a,請問: pab的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值及此時點p的坐標,若不存在,請說明理由【考點】 直線與圓錐曲線的綜合問題;拋物線的標準方程. . 【分析】(1)拋物線c的焦點在 x 軸上,求出p=2由此能求出拋物線c的方程(2)由點 p是 c上異于坐標原點o的任意一點,設設切線bp的方
26、程為由,得: ky24ykt2+4t=0 ,由此利用根的判別式、切線方程,結合已知條件能證明 為定值(3)設直線fp的方程為x=my+1 ,由,得:,由此利用韋達定理、弦長公式得到spab=,令,則 f (t )為偶函數(shù),只需研究函數(shù)f (t )在 t0 時的最小值即可利用導數(shù)性質能求出結果【解答】 解: (1)由題意,拋物線c的焦點在 x 軸上在方程 2x+y2=0 中,令 y=0,得 x=1于是,解得 p=2所以,拋物線c的方程為y2=4x證明:(2)由點 p是 c上異于坐標原點o的任意一點,設設切線 bp的斜率為k,則切線bp的方程為由,消去 x 并整理得: ky24ykt2+4t=0由
27、 k0,考慮到判別式=164k( kt2+4t )=0可得 4(kt 2)2=0所以 kt 2=0故切線bp的斜率切線 bp的方程為,即在中,令 x=0,得所以點e的坐標為;在中,令 y=0,得所以點b的坐標為所以,所以故,為定值. . 解: ( 3)由直線fp過點 f(1,0) ,設直線 fp的方程為x=my+1由,消去 x 得:由韋達定理,得yayp=4所以于是=令,則 f(t )為偶函數(shù), 只需研究函數(shù)f(t )在 t0 時的最小值即可當 t 0 時,當時, f (t ) 0,f (t )為減函數(shù);當時, f (t ) 0,f (t )為增函數(shù)所以,當t0 時,函數(shù)f (t )在時取最小
28、值因為 f (t)為偶函數(shù),當t 0 時,函數(shù)f (t )在時取最小值當時,點 p的坐標為;當時,點 p的坐標為綜上, pab的面積存在最小值,此時點 p的坐標為或21已知函數(shù)f ( x)=x 1a(x1)2lnx (ar) (1)當 a=0 時,求函數(shù)f (x)的單調區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)=f (x) x+1 有一個極小值點和一個極大值點,求a 的取值范圍;. . (3)若存在k( 1,2) ,使得當x( 0,k 時, f ( x)的值域是 f (k) ,+) ,求 a 的取值范圍注:自然對數(shù)的底數(shù)e=2.71828【考點】 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性;利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【分析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間即可;(2)求出 g(x)的導數(shù),得到關于a 的不等式組,解出驗算即可;(3)求出 f (x)的導數(shù),通過討論a 的范圍確定函數(shù)的單調區(qū)間,得到關于a 的不等式,解出即可【解答】 解: (1)f( x)的定義域為(0,+) 當 a=0 時,f (x) 0? 0 x1; f(x) 0? x1所以
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