高中數(shù)學必修一知識點總結(jié)全

1、第一章 集合與函數(shù)概念一：集合有關(guān)概念1. 集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東 西，并且能判斷一個給定的東西是否屬于這個整體。2. 一般的研究對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。3. 集合的中元素的三個特性：（1）元素的確定性：集合確定，則一元素是否屬于這個集合是確定的：屬于或不屬于。例：世界上最高的山、中國古代四大美女、教室里面所有的人（2）元素的互異性：一個給定集合中的元素是唯一的，不可重復的。例：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y（3）元素的無序性:集合中元素的位置是可以改變的，并且改變位置不影響集合例：a,b,c和a,c,b是表示

2、同一個集合3.集合的表示： 如：我校的籃球隊員，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用大寫字母表示集合：A=我校的籃球隊員,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列舉法與描述法。1）列舉法：將集合中的元素一一列舉出來 a,b,c2）描述法：將集合中元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合。xÎR| x-3>2 ,x| x-3>2語言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn圖:畫出一條封閉的曲線，曲線里面表示集合。4、集合的分類：（1）有限集：含有有限個元素的集合（2）無限集：含有無限個元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合例：x|x2=55、元素與集合的關(guān)系

3、： （1）元素在集合里，則元素屬于集合，即：aÎA （2）元素不在集合里，則元素不屬于集合，即：a Au 注意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集（即自然數(shù)集） 記作：N 正整數(shù)集 N*或 N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集（1）定義：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集。記作：（或B）注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2“相等”關(guān)系：A=B (55，且55，則5=5)實例：設(shè) A=x|x2-1=0

4、 B=-1,1 “元素相同則兩集合相等”即： 任何一個集合是它本身的子集。AÍA真子集:如果AÍB,且A¹ B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA) 或若集合AÍB，存在xB且x A，則稱集合A是集合B的真子集。如果 AÍB, BÍC ,那么 AÍC 如果AÍB 同時 BÍA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為規(guī)定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。u 有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交 集并 集補 集定 義由所有屬于A且

5、屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集記作AB（讀作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并集記作：AB（讀作A并B），即AB =x|xA，或xB)全集：一般，若一個集合漢語我們所研究問題中這幾道的所有元素，我們就稱這個集合為全集，記作：U設(shè)S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作，CSA=韋恩圖示SA性 質(zhì)A A=A A =A B=BAA BA A BBAUA=A AU=AAUB=BUA AUBAUBB(CuA)(CuB)= Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= C

6、u(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=四：函數(shù)的有關(guān)概念1 函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)記作： y=f(x)，xA（1）其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；（2）與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域2 函數(shù)的三要素：定義域、值域、對應法則3 函數(shù)的表示方法：（1）解析法：明確函數(shù)的定義域（2）圖想像：確定函數(shù)圖像是否連線，函數(shù)的圖像可以是連續(xù)的曲線、直線、折線、離散的點等等。（3）列

7、表法：選取的自變量要有代表性，可以反應定義域的特征。4、函數(shù)圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù) y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù) y=f(x),(x A)的圖象C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法A、描點法： B、圖象變換法：平移變換；伸縮變換；對稱變換。 （3）函數(shù)圖像變換的特點： 1）函數(shù)y=f(x) 關(guān)于X軸對稱y=-f(x) 2）函數(shù)y=f(x) 關(guān)于Y軸對稱y=f(-x) 3）函數(shù)y=f(x)

8、關(guān)于原點對稱y=-f(-x)五：函數(shù)的解析表達式，及函數(shù)定義域的求法1、函數(shù)解析式子的求法（1）、函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）、求函數(shù)的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系數(shù)法：3）換元法：4)拼湊法：2定義域：能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零； (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那

9、么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.3、相同函數(shù)的判斷方法：表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)）；定義域一致 (兩點必須同時具備)4、區(qū)間的概念：（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間（3）區(qū)間的數(shù)軸表示六：1值域 : 先考慮其定義域（1）觀察法：直接觀察函數(shù)的圖像或函數(shù)的解析式來求函數(shù)的值域； （2）反表示法：針對分式的類型，把Y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式化成X關(guān)于Y的函數(shù)關(guān)系式，由X的范圍類似求Y的范圍。(3)配方法：針對二次函數(shù)的類型，根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)來確定函

10、數(shù)的值域，注意定義域的范圍。 (4)代換法（換元法）：作變量代換，針對根式的題型，轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的類型。七1.分段函數(shù) （1）在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。（2）各部分的自變量的取值情況（3）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集補充：復合函數(shù)如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA) 稱為f、g的復合函數(shù)。（4）常用的分段函數(shù)1）取整函數(shù)：2）符號函數(shù)：3）含絕對值的函數(shù)：2映射一般地，設(shè)A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么

11、就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關(guān)系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。 注意：映射是針對自然界中的所有事物而言的，而函數(shù)僅僅是針對數(shù)字來說的。所以函數(shù)是映射，而映射不一定的函數(shù)八函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))及最值1、增減函數(shù)（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么

12、就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.（2）如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間.注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種2、 圖象的特點如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.3、函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x

13、2； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結(jié)論（指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異減”注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間 ,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集. 九：函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）、偶函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)（2）、奇函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意

14、一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)（3）、具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關(guān)于原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函數(shù)；若對稱，則進行下面判斷；確定f(x)與f(x)的關(guān)系；作出相應結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數(shù)（4）利用奇偶函數(shù)的四則運算以及復合函數(shù)的奇偶性 1）在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)； 奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個奇

15、函數(shù)的乘除認為奇函數(shù)；偶數(shù)個奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù)； 2）復合函數(shù)的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇。 注意：函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定; (3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定 .十、函數(shù)最值及性質(zhì)的應用1、函數(shù)的最值 利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大（?。┲?利用圖象求函數(shù)的最大（?。┲?利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（?。┲担喝绻瘮?shù)y=f(x)在區(qū)間a

16、，b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b，c上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；2、函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性； 偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性。3、判斷含糊單調(diào)性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區(qū)別在于作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。4、絕對值函數(shù)求最值，先分段，再通過各段的單調(diào)性，或圖像求最值。5、在判斷函數(shù)的奇偶性時候，若已知是奇函數(shù)可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判斷函數(shù)為奇函數(shù)。（高一階段

17、可以利用奇函數(shù)f(0)=0）。十一1、 指數(shù)與指數(shù)冪的運算：復習初中整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：am*an=am+n(am)n=amn(a*b)n=anbn2、根式的概念：一般地，若，那么叫做的次方根，其中>1，且*當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)。此時，a的n次方根用符號 表示。當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)。此時正數(shù)a的正的n次方根用符號 表示，負的n的次方根用符號 表示。正的n次方根與負的n次方根可以合并成 （a>0）。注意：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數(shù)時，當是偶數(shù)時，式子 叫做根式，這里n叫做根指數(shù)

18、，a叫做被開方數(shù)。 3、 分數(shù)指數(shù)冪 正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的，0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義4、 有理數(shù)指數(shù)米的運算性質(zhì)（1）·；（2）；（3）5、無理數(shù)指數(shù)冪一般的，無理數(shù)指數(shù)冪aa（a>0,a是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)。有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣使用于無理數(shù)指數(shù)冪。十二：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點（1）1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1為什么？2、在同以坐標平面內(nèi)畫出下列函數(shù)的圖像：（1） （2） （3） （4） （5）圖像特征圖像特征a>1a>10<

19、;a<1a>1向、軸正負方向無限延伸函數(shù)的定義域為R圖像關(guān)于原點和Y軸不對稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖像都在X軸的上方函數(shù)的值域為R+函數(shù)圖象都過定點（0，1）a0=1自左向右看圖像逐漸上升。自左向右看圖像逐漸上升。增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)圖像縱坐標都大于1。在第一象限內(nèi)圖像縱坐標都大于1。x>0，ax>1x>0， ax <1在第二象限內(nèi)圖像縱坐標都小于1。在第二象限內(nèi)圖像縱坐標都大于1。x<0，ax <1x<0，ax>1圖像上升的趨勢愈來愈陡。圖像上升的趨勢愈來愈陡。函數(shù)值開始增加較慢，到了某一值后增長速度極快。函數(shù)值開始減小極快，到了某一值后減小速度較慢。十三：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其特點（1）指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1定義域 R定義域 R值域y0值域y0在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過定點（0，1）函數(shù)圖象都過定點（0，1）注意：利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數(shù)當且僅當；（3）對于指數(shù)函數(shù)，總有；（4）當a>1時，若X