正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理

1、第第4章章 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)處理 在生產(chǎn)實(shí)踐中，試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等，在生產(chǎn)實(shí)踐中，試制新產(chǎn)品、改革工藝、尋求好的生產(chǎn)條件等，這些都需要做試驗(yàn)，而試驗(yàn)總是要花費(fèi)時(shí)間，消耗人力、物力。因這些都需要做試驗(yàn)，而試驗(yàn)總是要花費(fèi)時(shí)間，消耗人力、物力。因此，試驗(yàn)的次數(shù)應(yīng)盡可能少。此，試驗(yàn)的次數(shù)應(yīng)盡可能少。 全面試驗(yàn)：全面試驗(yàn)： 如如 4 個(gè)個(gè) 3 水平的因素，要做水平的因素，要做 3481 次試驗(yàn)；次試驗(yàn)； 6 個(gè)個(gè) 5 水平的因素，要做水平的因素，要做 5615625次試驗(yàn)。非常困難。次試驗(yàn)。非常困難。 能否減少試驗(yàn)次數(shù)，而又不影響試驗(yàn)效果呢？能否減少試驗(yàn)次數(shù)

2、，而又不影響試驗(yàn)效果呢？有有4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表的記號(hào)：正交表的記號(hào)：L9（34）表示表示 4 個(gè)因素，每個(gè)因素取個(gè)因素，每個(gè)因素取 3 個(gè)個(gè)水平的正交表。格式如水平的正交表。格式如表表4-1所示。所示。4.1 正交表及其用法正交表及其用法 正交表記為正交表記為 Ln（mk），），m 是各因素的水平，是各因素的水平，k （列數(shù)）是因列數(shù)）是因素的個(gè)數(shù)，素的個(gè)數(shù)，n 是安排試驗(yàn)的次數(shù)（行數(shù)）。是安排試驗(yàn)的次數(shù)（行數(shù)）。 L9（34）4因素因素3水平正交試驗(yàn)，共做水平正交試驗(yàn)，共做9次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做做 34=81 次，減少了次，減少了72次。次。

3、L25（56） 6因素因素5水平正交試驗(yàn)，共做水平正交試驗(yàn)，共做25次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)次試驗(yàn)，而全面試驗(yàn)要做要做 56=15625 次，減少了次，減少了15600次。次。 正交表的兩條重要性質(zhì)：正交表的兩條重要性質(zhì)： （1）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如）每列中不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如 L9（34），），每每列中不同的數(shù)字是列中不同的數(shù)字是1，2，3。它們各出現(xiàn)三次。它們各出現(xiàn)三次。 （2）在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，）在任意兩列中，將同一行的兩個(gè)數(shù)字看成有序數(shù)對(duì)時(shí)，每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如每種數(shù)對(duì)出現(xiàn)的次數(shù)是相等的，如如 L9（34），），有序數(shù)對(duì)共有

4、有序數(shù)對(duì)共有9個(gè)：個(gè)：（1，1），（），（1，2），（），（1，3），（），（2，1），（），（2，2），（），（2，3），），（3，1），（），（3，2），（），（3，3），），它們各出現(xiàn)一次它們各出現(xiàn)一次。4.1 正交表及其用法正交表及其用法 由于正交表的性質(zhì)，用它來(lái)安排試驗(yàn)時(shí)，各因由于正交表的性質(zhì)，用它來(lái)安排試驗(yàn)時(shí)，各因素的各種水平是搭配均衡的。素的各種水平是搭配均衡的。 下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明如何用正交表進(jìn)行試下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明如何用正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)。驗(yàn)設(shè)計(jì)。 例例4.1 某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度，需要通過(guò)試驗(yàn)選擇某水泥廠為了提高水泥的強(qiáng)度，需要通過(guò)試驗(yàn)選擇最好的生產(chǎn)方案，經(jīng)研

5、究，有最好的生產(chǎn)方案，經(jīng)研究，有3個(gè)因素影響水泥的強(qiáng)度，這個(gè)因素影響水泥的強(qiáng)度，這3個(gè)因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時(shí)間，個(gè)因素分別為生料中礦化劑的用量、燒成溫度、保溫時(shí)間，每個(gè)因素都考慮每個(gè)因素都考慮3個(gè)水平，具體情況如個(gè)水平，具體情況如表表4-2，試驗(yàn)的考察指，試驗(yàn)的考察指標(biāo) 為標(biāo) 為 2 8 天 的 抗 壓 強(qiáng) 度 （天 的 抗 壓 強(qiáng) 度 （ M P a ） ， 分 別 為） ， 分 別 為44.1,45.3,46.7,48.2,46.2,47.0,45.3,43.2,46.3。問(wèn)：對(duì)這。問(wèn)：對(duì)這3個(gè)因素個(gè)因素的的3個(gè)水平如何安排，才能獲得最高的水泥的抗壓強(qiáng)度個(gè)水平如何安

6、排，才能獲得最高的水泥的抗壓強(qiáng)度? 解：在這個(gè)問(wèn)題中，人們關(guān)心的是水泥的抗壓強(qiáng)度，我解：在這個(gè)問(wèn)題中，人們關(guān)心的是水泥的抗壓強(qiáng)度，我們稱它為試驗(yàn)指標(biāo)，如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的水泥抗壓們稱它為試驗(yàn)指標(biāo)，如何安排試驗(yàn)才能獲得最高的水泥抗壓強(qiáng)度，這只有通過(guò)試驗(yàn)才能解決，這里有強(qiáng)度，這只有通過(guò)試驗(yàn)才能解決，這里有3個(gè)因素，每個(gè)因素個(gè)因素，每個(gè)因素有有3個(gè)水平，是一個(gè)個(gè)水平，是一個(gè)3因素，因素，3水平的問(wèn)題，如果每個(gè)因素的每水平的問(wèn)題，如果每個(gè)因素的每個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)個(gè)水平都互相搭配著進(jìn)行全面試驗(yàn)，必須做試驗(yàn)33=27次，我次，我們把所有可能的搭配試驗(yàn)編號(hào)寫出，列在表們把所有

7、可能的搭配試驗(yàn)編號(hào)寫出，列在表4-3中。中。例例4.1 進(jìn)行進(jìn)行27次試驗(yàn)要花很多時(shí)間，耗費(fèi)不少人力、物力，為了減少次試驗(yàn)要花很多時(shí)間，耗費(fèi)不少人力、物力，為了減少試驗(yàn)次數(shù)，但又不能影響試驗(yàn)的效果，因此，不能隨便地減少試驗(yàn)，試驗(yàn)次數(shù)，但又不能影響試驗(yàn)的效果，因此，不能隨便地減少試驗(yàn)，應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來(lái)，為此，應(yīng)當(dāng)把有代表性的搭配保留下來(lái)，為此，按按 L9（34）表中前表中前3列列的的情況從情況從27個(gè)試驗(yàn)中選取個(gè)試驗(yàn)中選取9個(gè)，個(gè)，它們的序號(hào)分別為它們的序號(hào)分別為1，5，9，11，15，16，21，22，26，將這，將這9個(gè)試驗(yàn)按新的編號(hào)個(gè)試驗(yàn)按新的編號(hào)19寫出來(lái)，正好是正寫出來(lái)，正

8、好是正交表交表 L9（34）的前的前3列，如列，如表表4-1所示。所示。 為了便于分析計(jì)算，把考查指標(biāo)（鐵水溫度）列于為了便于分析計(jì)算，把考查指標(biāo)（鐵水溫度）列于表表4-4的右的右邊，做成一個(gè)新的邊，做成一個(gè)新的表表4-5，利用張表進(jìn)行分析計(jì)算。，利用張表進(jìn)行分析計(jì)算。 從表從表4-5中的數(shù)據(jù)處理與分析，可以得出結(jié)論：各因素對(duì)考查中的數(shù)據(jù)處理與分析，可以得出結(jié)論：各因素對(duì)考查指標(biāo)（抗壓強(qiáng)度）的影響按大小次序來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)是指標(biāo)（抗壓強(qiáng)度）的影響按大小次序來(lái)說(shuō)應(yīng)當(dāng)是A(礦化劑用量礦化劑用量)、 B(保溫時(shí)間保溫時(shí)間)、 C(燒成溫度燒成溫度)，最好的方案應(yīng)當(dāng)是，最好的方案應(yīng)當(dāng)是A2C2B3，即：即：例

9、例4.1 A2：礦化劑用量，礦化劑用量， 第第2水平，水平，4%； C2：保溫時(shí)間，保溫時(shí)間， 第第2水平，水平，30min； B3：燒成溫度，燒成溫度， 第第3水平，水平，1450。 得出的最好方案在已經(jīng)做過(guò)的得出的最好方案在已經(jīng)做過(guò)的9次試驗(yàn)中沒(méi)有出現(xiàn)，與它比較次試驗(yàn)中沒(méi)有出現(xiàn)，與它比較接近的是第接近的是第4號(hào)試驗(yàn)，在第號(hào)試驗(yàn)，在第4號(hào)試驗(yàn)中只有號(hào)試驗(yàn)中只有燒成溫度燒成溫度B不是處于最好不是處于最好水平，而且燒成溫度對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響是水平，而且燒成溫度對(duì)抗壓強(qiáng)度的影響是3個(gè)因素中最小的。從實(shí)個(gè)因素中最小的。從實(shí)際做出的結(jié)果看出際做出的結(jié)果看出第第4號(hào)試驗(yàn)中的抗壓強(qiáng)度是號(hào)試驗(yàn)中的抗壓強(qiáng)度是4

10、8.2MPa，是，是9次試驗(yàn)次試驗(yàn)中最高的中最高的，這也說(shuō)明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。，這也說(shuō)明我們找出的最好方案是符合實(shí)際的。 為了最終確定試驗(yàn)方案為了最終確定試驗(yàn)方案A2C2B3是不是最好方案，可以按這個(gè)是不是最好方案，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，若比方案再試驗(yàn)一次，若比4號(hào)好，作為最好結(jié)果，若比號(hào)好，作為最好結(jié)果，若比4號(hào)差，則以號(hào)差，則以4號(hào)為最佳條件。如出現(xiàn)后一結(jié)果，說(shuō)明我們的理論分析與實(shí)踐有號(hào)為最佳條件。如出現(xiàn)后一結(jié)果，說(shuō)明我們的理論分析與實(shí)踐有一定的差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。一定的差距，最終還是要接受實(shí)踐的檢驗(yàn)。正交試驗(yàn)步驟歸納如下：正交試驗(yàn)步驟歸納如下：1、確定要考核

11、的試驗(yàn)指標(biāo)；、確定要考核的試驗(yàn)指標(biāo)；2、確定要考察的因素和各因素的水平；、確定要考察的因素和各因素的水平； 以上兩條要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定。以上兩條要實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)決定。3、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考、選用合適的正交表，一般只要正交表中的因素個(gè)數(shù)比試驗(yàn)要考察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康?，而察的因素的個(gè)數(shù)稍大或相等就行了。這樣既保證了試驗(yàn)?zāi)康模囼?yàn)次數(shù)又不致太多，省工省時(shí)；試驗(yàn)次數(shù)又不致太多，省工省時(shí)；4、試驗(yàn)，測(cè)定試驗(yàn)指標(biāo)；、試驗(yàn)，測(cè)定試驗(yàn)指標(biāo)；5、試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算，得出合理的結(jié)論。、試驗(yàn)結(jié)果分析計(jì)算，得出合理的結(jié)論。 以上的方法以上的方法直觀分析法。

12、簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、很實(shí)用。直觀分析法。簡(jiǎn)單、計(jì)算量小、很實(shí)用。 正交試驗(yàn)的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確正交試驗(yàn)的主要分析工具是正交表，而在因素及其水平都確定的情況下，正交表并不是唯一的，常見(jiàn)的正交表見(jiàn)本書末定的情況下，正交表并不是唯一的，常見(jiàn)的正交表見(jiàn)本書末附表附表4。4.2 多指標(biāo)的分析方法多指標(biāo)的分析方法 在在例例4.1中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考察起來(lái)比較方便，但實(shí)際中，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，考察起來(lái)比較方便，但實(shí)際問(wèn)題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，有時(shí)有兩個(gè)、三個(gè)或更問(wèn)題中，需要考察的指標(biāo)往往不止一個(gè)，有時(shí)有兩個(gè)、三個(gè)或更多。如何評(píng)價(jià)考察指標(biāo)呢？多。如何評(píng)價(jià)考察指標(biāo)呢？?jī)煞N方法兩

13、種方法。4.2.1 綜合平衡法綜合平衡法 通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明。通過(guò)具體的例子來(lái)加以說(shuō)明。 例例4.2 某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)的原料進(jìn)行配某陶瓷廠為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，要對(duì)生產(chǎn)的原料進(jìn)行配方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)方試驗(yàn)。要檢驗(yàn)3項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)項(xiàng)指標(biāo)：抗壓強(qiáng)度、落下強(qiáng)度和裂紋度，前兩個(gè)指標(biāo)越大越好，第指標(biāo)越大越好，第3個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有個(gè)指標(biāo)越小越好。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，配方有3個(gè)個(gè)重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有重要因素：水分、粒度和堿度。它們各有3個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如個(gè)水平，具體數(shù)據(jù)如表表4-6所示。試進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。所示。試

14、進(jìn)行試驗(yàn)分析，找出最好的配方方案。4.2.1 綜合平衡法（例綜合平衡法（例4.2的解）的解） 解解 3因素因素3水平，應(yīng)選水平，應(yīng)選L9（34）正交表來(lái)安排試驗(yàn)，將正交表來(lái)安排試驗(yàn)，將3個(gè)因個(gè)因素依次放在前素依次放在前3列（第列（第4列不要），得出一張具體的試驗(yàn)方案表，列不要），得出一張具體的試驗(yàn)方案表，測(cè)出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果，列于測(cè)出需要檢驗(yàn)的指標(biāo)結(jié)果，列于表表4-7(a)、(b)、(c)中，然后用直觀中，然后用直觀分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。分析法對(duì)每個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析。 將將3 個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析后，得出個(gè)指標(biāo)分別進(jìn)行計(jì)算分析后，得出3個(gè)好的方案：對(duì)抗壓個(gè)好的方案：對(duì)抗壓強(qiáng)

15、度是強(qiáng)度是A2B3C1；對(duì)落下強(qiáng)度是對(duì)落下強(qiáng)度是A3B3C2；對(duì)裂紋度是對(duì)裂紋度是A2B3C1，這這3個(gè)個(gè)方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一方案不完全相同，對(duì)一個(gè)指標(biāo)是好方案，而對(duì)另一個(gè)指標(biāo)卻不一定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？定是好方案，如何找出對(duì)各個(gè)指標(biāo)都較好的一個(gè)共同方案呢？ 綜合分析，將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來(lái)，綜合分析，將指標(biāo)隨因素水平變化的情況用圖形表示出來(lái)，如如圖圖4.0所示（為了看得清楚，將各點(diǎn)用直線連接起來(lái)，實(shí)際上并所示（為了看得清楚，將各點(diǎn)用直線連接起來(lái)，實(shí)際上并不一定是直線。不一定是直線。 把圖把圖4-1和表和表4

16、-7結(jié)合起來(lái)分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。結(jié)合起來(lái)分析，看每一個(gè)因素對(duì)各指標(biāo)的影響。圖圖4.010.19.011.29.26.814.312.78.39.38.63.15.91.13.313.36.98.32.42.03.71.73.02.71.71.72.73.00.02.04.06.08.010.012.014.016.07894681.11.31.5水分水分 粒度粒度 堿度堿度-抗壓強(qiáng)度抗壓強(qiáng)度落下強(qiáng)度落下強(qiáng)度裂紋度裂紋度4.2.1 綜合平衡法（例綜合平衡法（例4.2的解的綜合分析）的解的綜合分析）（1）粒度）粒度B對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來(lái)講，對(duì)抗壓強(qiáng)度和落下強(qiáng)度來(lái)講，極差最大極差最大

17、，是最大的影，是最大的影響因素。從響因素。從圖圖4.0中看出三個(gè)指標(biāo)中看出三個(gè)指標(biāo)B均取均取8為最好為最好即取即取B3。（2）堿度）堿度C，極差不大極差不大，次要因素。由，次要因素。由圖圖4.0分析，取分析，取1.1時(shí)兩個(gè)指時(shí)兩個(gè)指標(biāo)好，標(biāo)好，1個(gè)指標(biāo)稍差，對(duì)三個(gè)指標(biāo)綜合考慮，個(gè)指標(biāo)稍差，對(duì)三個(gè)指標(biāo)綜合考慮，C取取1.1即取即取C1。（3）水分）水分A，對(duì)對(duì)裂紋度影響極差最大裂紋度影響極差最大，A取取9最好，由最好，由圖圖4.0綜合考綜合考慮慮A取取9即取即取A2。 通過(guò)各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案通過(guò)各因素對(duì)各指標(biāo)影響的綜合分析，得出較好的試驗(yàn)方案是：是： B3：粒度取第

18、粒度取第3水平，水平，8； C1：堿度取第堿度取第1水平，水平，1.1； A2：水分取第水分取第2水平，水平，9。4.2.2 綜合評(píng)分法綜合評(píng)分法 對(duì)多指標(biāo)的問(wèn)題，真正做到好的綜合平衡，有時(shí)很困難，這對(duì)多指標(biāo)的問(wèn)題，真正做到好的綜合平衡，有時(shí)很困難，這是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評(píng)分法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。是綜合平衡法的缺點(diǎn)。綜合評(píng)分法可以克服這個(gè)缺點(diǎn)。 例例4.3 某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純某廠生產(chǎn)一種化工產(chǎn)品，需要檢驗(yàn)兩個(gè)指標(biāo)：核酸純度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有度和回收率，這兩個(gè)指標(biāo)都是越大越好。有影響的因素有4個(gè)，各個(gè)，各有有3個(gè)水平，具體情況如個(gè)水平，

19、具體情況如表表4-8所示。試通過(guò)試驗(yàn)分析出較好方案，所示。試通過(guò)試驗(yàn)分析出較好方案，使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。使產(chǎn)品的核酸含量和回收率都有提高。 解解 這是這是4因素因素3水平的試驗(yàn)，可以選用正交表水平的試驗(yàn)，可以選用正交表L9（34）安排出安排出試驗(yàn)方案（這里有試驗(yàn)方案（這里有4個(gè)因素，正好將表排滿），進(jìn)行試驗(yàn)，將得出個(gè)因素，正好將表排滿），進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的結(jié)果列入的結(jié)果列入表表4-9中。中。 綜合評(píng)分法是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的重要性的不同，按照得出的試驗(yàn)綜合評(píng)分法是根據(jù)各個(gè)指標(biāo)的重要性的不同，按照得出的試驗(yàn)結(jié)果綜合分析，給每一個(gè)試驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指結(jié)果綜合分析，給每一個(gè)試

20、驗(yàn)評(píng)出一個(gè)分?jǐn)?shù)，作為這個(gè)試驗(yàn)的總指標(biāo)。根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析。標(biāo)。根據(jù)這個(gè)總指標(biāo)作進(jìn)一步的分析。4.2.2 綜合評(píng)分法（例綜合評(píng)分法（例4.3的解）的解） 這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分。這個(gè)方法的關(guān)鍵是如何評(píng)分。 在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知在這個(gè)試驗(yàn)中，兩個(gè)指標(biāo)的重要性是不同的，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)知道，純度的重要性大于回收率，從實(shí)際分析，可以認(rèn)為純度是回收道，純度的重要性大于回收率，從實(shí)際分析，可以認(rèn)為純度是回收率的率的4倍。也就是倍。也就是純度占權(quán)數(shù)為純度占權(quán)數(shù)為4，回收率占權(quán)數(shù)為，回收率占權(quán)數(shù)為1，按這個(gè)權(quán)數(shù)，按這個(gè)權(quán)數(shù)給出這個(gè)試驗(yàn)的總分為：給出這個(gè)試驗(yàn)的總分為：總

21、分總分4純度純度1回收率回收率 由上式計(jì)算出這個(gè)試驗(yàn)的總分?jǐn)?shù)，列于由上式計(jì)算出這個(gè)試驗(yàn)的總分?jǐn)?shù)，列于表表4-9的最右邊，再根的最右邊，再根據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析法進(jìn)行分析。據(jù)這個(gè)分?jǐn)?shù)，用直觀分析法進(jìn)行分析。 從表從表4-9看出，看出，A、D兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響兩個(gè)因素的極差都很大，是對(duì)試驗(yàn)影響很大的兩個(gè)因素，很大的兩個(gè)因素，A1、D1為好；為好；B因素的極差比因素的極差比A、D的極差小，的極差小，對(duì)試驗(yàn)的影響比對(duì)試驗(yàn)的影響比A、D都??；都小；B因素取因素取B3為好；為好；C因素的極差最小，因素的極差最小，影響最小，影響最小，C取取C2為好。綜合考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是為好。綜合

22、考慮，最好的試驗(yàn)方案應(yīng)當(dāng)是A1B3C2D1，按影響大小次序排列為：按影響大小次序排列為：4.2.2 綜合評(píng)分法（例綜合評(píng)分法（例4.3的解）的解）A1：時(shí)間，時(shí)間， 25小時(shí)；小時(shí)；D1：加水量，加水量， 1：6；B3：料中核酸含量，料中核酸含量，6.0；C2：pH值，值， 6.0。 可以看出，這里分析出來(lái)的最好方案，在已經(jīng)做過(guò)的可以看出，這里分析出來(lái)的最好方案，在已經(jīng)做過(guò)的9個(gè)試驗(yàn)個(gè)試驗(yàn)中是沒(méi)有的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，中是沒(méi)有的，可以按這個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看能不能得出比第看能不能得出比第1號(hào)號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。，從而確定出真正最好的試驗(yàn)方案。

23、綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問(wèn)題，通過(guò)加權(quán)計(jì)算總分的方法化綜合評(píng)分法是將多指標(biāo)的問(wèn)題，通過(guò)加權(quán)計(jì)算總分的方法化成一個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡(jiǎn)單。成一個(gè)指標(biāo)的問(wèn)題，這樣對(duì)結(jié)果的分析計(jì)算都比較方便、簡(jiǎn)單。但如何合理地評(píng)分，是最關(guān)鍵的問(wèn)題。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)但如何合理地評(píng)分，是最關(guān)鍵的問(wèn)題。這一點(diǎn)只能依據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來(lái)解決，單純從數(shù)學(xué)上是無(wú)法解決的。來(lái)解決，單純從數(shù)學(xué)上是無(wú)法解決的。4.3 混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)混合水平的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 在實(shí)際情況中，有時(shí)做試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的水平數(shù)是不同的在實(shí)際情況中，有時(shí)做試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)因素的水平數(shù)是不同的混合水平混合水平。兩種解決方案。兩種解決方案。

24、4.3.1 混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)混合水平正交試驗(yàn)設(shè)計(jì) 混合水平正交表就是各因素的水平數(shù)不完全相等的正交表?；旌纤秸槐砭褪歉饕蛩氐乃綌?shù)不完全相等的正交表。這種正交表有好多種。比如這種正交表有好多種。比如 L8（4124）就是一個(gè)混合水平的正交就是一個(gè)混合水平的正交表，如表，如表表4-10所示。所示。 其它混合水平的正交表還有很多，見(jiàn)附表所示，它們都有上其它混合水平的正交表還有很多，見(jiàn)附表所示，它們都有上面所說(shuō)的兩點(diǎn)。面所說(shuō)的兩點(diǎn)。 例例4.4 某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，具體試驗(yàn)因素及水平如某農(nóng)科站進(jìn)行品種試驗(yàn)，具體試驗(yàn)因素及水平如表表4-11所示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表所

25、示。試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)量，數(shù)值越大越好。試用混合正交表安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。安排試驗(yàn)，找出最好的試驗(yàn)方案。例例 4.4 的的 解解解解 這個(gè)問(wèn)題中有這個(gè)問(wèn)題中有4個(gè)因素，個(gè)因素，1個(gè)是個(gè)是4水平的，水平的，3個(gè)是個(gè)是2水平的，正好水平的，正好可以選用混合正交表可以選用混合正交表 L8（4123），），因素因素A為為4水平，放在第水平，放在第1列，列，其余其余3個(gè)個(gè)2水平的因素水平的因素B、C、D順序放在順序放在2、3、4列上，第列上，第5列不用。列不用。按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然按這個(gè)方案進(jìn)行試驗(yàn)，將得出的試驗(yàn)結(jié)果放在正交表的右邊，然后進(jìn)行分析，見(jiàn)后進(jìn)行分析，見(jiàn)

26、表表4-12。 經(jīng)分析得最佳方案為：經(jīng)分析得最佳方案為： A2B2C2D2。因?yàn)椋瑥臉O差分析可知，因?yàn)?，從極差分析可知，因素因素D影響很小，這個(gè)方案影響很小，這個(gè)方案與第與第4號(hào)試驗(yàn)結(jié)果號(hào)試驗(yàn)結(jié)果A2B2C2D1很接近很接近，從，從試驗(yàn)試驗(yàn) 結(jié)果看出，第結(jié)果看出，第4號(hào)試驗(yàn)是號(hào)試驗(yàn)是8個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的，因此完全有個(gè)試驗(yàn)中產(chǎn)量最高的，因此完全有理由取第理由取第4號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。號(hào)試驗(yàn)作為最好的試驗(yàn)方案加以推廣。4.3.2 擬水平法擬水平法例例4.5 今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，今有某一試驗(yàn)，試驗(yàn)指標(biāo)只有一個(gè)，它的數(shù)值越小越好，這個(gè)試驗(yàn)有這個(gè)試驗(yàn)有4個(gè)因素

27、個(gè)因素A、B、C、D，其中因素其中因素C是是2水平的，其余水平的，其余3個(gè)因素都是個(gè)因素都是3水平的，具體數(shù)值如水平的，具體數(shù)值如表表4-13所示。試安排試驗(yàn)，并對(duì)所示。試安排試驗(yàn)，并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的試驗(yàn)方案。 解解 ： 4因素試驗(yàn)，因素試驗(yàn)，C為為2個(gè)水平，個(gè)水平，A、B、D為為3個(gè)水平。沒(méi)有個(gè)水平。沒(méi)有合適的正交表。設(shè)想：假若合適的正交表。設(shè)想：假若C有有3個(gè)水平，就變成個(gè)水平，就變成4因素因素3水平的問(wèn)水平的問(wèn)題了。如何將題了。如何將C變成變成3水平的因素呢？從水平的因素呢？從C中的中的1和和2水平中選一個(gè)水平中選一個(gè)水平讓它重復(fù)一次作

28、為第水平讓它重復(fù)一次作為第3水平，這就叫虛擬水平。取哪一個(gè)水水平，這就叫虛擬水平。取哪一個(gè)水平作為第平作為第3水平呢？一般說(shuō)，都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較水平呢？一般說(shuō)，都是要根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，選取一個(gè)較好的水平。比如，如果認(rèn)為第好的水平。比如，如果認(rèn)為第2水平比第水平比第1水平好，就選第水平好，就選第2水平水平作為第作為第3水平。這樣因素水平水平。這樣因素水平表表4-13就變?yōu)楸砭妥優(yōu)楸?-14的樣子，它比的樣子，它比表表4-13多了一個(gè)虛擬的第多了一個(gè)虛擬的第3水平。水平。例例4. 5 的的 解解 這樣就變成了一個(gè)這樣就變成了一個(gè)4因素因素3水平的試驗(yàn)，可以按水平的試驗(yàn)，可以按 L9（34）

29、表安表安排試驗(yàn)，并對(duì)正交表進(jìn)行重構(gòu)，測(cè)出結(jié)果，并進(jìn)行分析，見(jiàn)排試驗(yàn)，并對(duì)正交表進(jìn)行重構(gòu)，測(cè)出結(jié)果，并進(jìn)行分析，見(jiàn)表表4-15所示。所示。 從表從表4-15的極差可以看出，因素的極差可以看出，因素D對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第對(duì)試驗(yàn)的影響最大，取第3水平最好；其次是因素水平最好；其次是因素A，取第取第3水平為好；再者是因素水平為好；再者是因素B，取第取第1水平為好；因素水平為好；因素C影響最小，取第影響最小，取第1水平為好。最優(yōu)方案為：水平為好。最優(yōu)方案為：A3B1D3C1。這個(gè)方案在這個(gè)方案在9個(gè)試驗(yàn)中沒(méi)有。從試驗(yàn)結(jié)果看個(gè)試驗(yàn)中沒(méi)有。從試驗(yàn)結(jié)果看8號(hào)試驗(yàn)為號(hào)試驗(yàn)為最好。這個(gè)試驗(yàn)只有最好。這個(gè)試驗(yàn)只有

30、B不是處在最好情況，而因素不是處在最好情況，而因素B的影響是最小的影響是最小的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第的?？梢园催@個(gè)方案再試驗(yàn)一次，看是否會(huì)得出比第8號(hào)試驗(yàn)更好號(hào)試驗(yàn)更好的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案。的結(jié)果，從而確定出真正的最優(yōu)方案。4.4 有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)有交互作用的正交試驗(yàn)設(shè)計(jì).:.:;BABA記記為為因因素素的的交交互互作作用用各各因因素素聯(lián)聯(lián)合合起起作作用用因因素素如如各各因因素素各各自自獨(dú)獨(dú)立立起起作作用用多多因因素素試試驗(yàn)驗(yàn)例例4.6 有有4塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物?，F(xiàn)塊試驗(yàn)田，土質(zhì)情況基本一樣，種植同樣的作物?，F(xiàn)將氮肥、磷肥采用不

31、同的方式分別加在將氮肥、磷肥采用不同的方式分別加在4塊地里，收獲后算出平均塊地里，收獲后算出平均畝產(chǎn)，記在畝產(chǎn)，記在表表4-16中。中。氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的總效果（只加氮肥、磷肥交互作用的效果氮肥、磷肥的總效果（只加氮肥的效果只加磷肥的效果）氮肥的效果只加磷肥的效果） 在多因素的試驗(yàn)中，交互作用影響的大小參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如在多因素的試驗(yàn)中，交互作用影響的大小參照實(shí)際經(jīng)驗(yàn)。如果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，就可以忽略不計(jì)；如果不果確有把握認(rèn)定交互作用的影響很小，就可以忽略不計(jì)；如果不能確認(rèn)交互作用的影響很小，就應(yīng)該通過(guò)試驗(yàn)分析交互作用的大能確認(rèn)交互作用的影響很小，就應(yīng)該通過(guò)試驗(yàn)分

32、析交互作用的大小。小。4.4.1 交互作用表交互作用表 下面介紹交互作用表和它的用法，下面介紹交互作用表和它的用法，表表4-17就是正交表就是正交表 L8（27）所對(duì)應(yīng)的交互作用表。所對(duì)應(yīng)的交互作用表。 P183附表附表4中中，列出了幾個(gè)交互作用的正交表。，列出了幾個(gè)交互作用的正交表。正交表自由度的確定：正交表自由度的確定：（1）每列的自由度）每列的自由度 f列列水平數(shù)水平數(shù)1（2）兩因素交互作用的自由度）兩因素交互作用的自由度 fABfAfB （兩因素自由度的乘積）兩因素自由度的乘積）對(duì)對(duì)2因素因素2水平的正交表，因?yàn)椋核降恼槐?，因?yàn)椋篺AfB 21，每列只有一每列只有一個(gè)自由度；而個(gè)自

33、由度；而fABfAfB 111，所以也占一列。，所以也占一列。4.4.1 交互作用表交互作用表 對(duì)于對(duì)于2 因素因素3水平，水平， fAfB 312，每列有每列有2個(gè)自由度；個(gè)自由度；而而fABfAfB 224，由于交互作用列有，由于交互作用列有4個(gè)自由度，而每個(gè)自由度，而每列是列是2個(gè)自由度，因此個(gè)自由度，因此2個(gè)個(gè)3水平因素的交互作用列占水平因素的交互作用列占2列。列。 對(duì)于對(duì)于2因素因素n水平，水平， fAfB n1，每列有每列有n個(gè)自由度；個(gè)自由度；而兩因素交互作用的自由度為：而兩因素交互作用的自由度為：fABfAfB （n1）（）（n1），），所以交互作用列要占（所以交互作用列要占（

34、n1）列。列。4.4.2 水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計(jì)水平數(shù)相同的有交互作用的正交設(shè)計(jì) 例例4.7 某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于某產(chǎn)品的產(chǎn)量取決于3個(gè)因素個(gè)因素A、B、C，每個(gè)因素都每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表表4-18所示。每?jī)蓚€(gè)因素都有交互作用，所示。每?jī)蓚€(gè)因素都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。試安排試驗(yàn)，并分析試必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為產(chǎn)量，越高越好。試安排試驗(yàn)，并分析試驗(yàn)結(jié)果，找出最好的方案。驗(yàn)結(jié)果，找出最好的方案。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)表表417列號(hào)（列號(hào)（ ）列號(hào)列號(hào)例例如

35、如，從從左左向向右右看看，第第3列列與與第第5列列的的交交互互作作用用在在第第6列列例如，第例如，第4列與第列與第7列列的交互作用在第的交互作用在第3列列第第5列與第列與第6列的列的交互作用在第交互作用在第3列列例例4.7的解的解 解解 這是這是3因素因素2水平的試驗(yàn)。水平的試驗(yàn)。3個(gè)因素個(gè)因素A、B、C要占要占3列，它列，它們之間的交互作用們之間的交互作用AB、B C、A C又各占又各占3列，共占列，共占6列，可列，可以用正交表以用正交表 L8（27）來(lái)安排試驗(yàn)。若將來(lái)安排試驗(yàn)。若將A、B放在第放在第1、2列，從列，從表表4-17查出查出AB應(yīng)在第應(yīng)在第3列，因此列，因此C就不能放在第就不能

36、放在第3列，否則就要和列，否則就要和AB混雜。現(xiàn)將混雜?，F(xiàn)將C放在第放在第4列，由列，由表表4-17查出查出A C應(yīng)在第應(yīng)在第5列，列， B C應(yīng)在第應(yīng)在第6列。按這種安排進(jìn)行試驗(yàn)。測(cè)出結(jié)果，用直觀分析法列。按這種安排進(jìn)行試驗(yàn)。測(cè)出結(jié)果，用直觀分析法進(jìn)行分析，把交互作用當(dāng)成新的因素看待。整個(gè)分析過(guò)程記錄在進(jìn)行分析，把交互作用當(dāng)成新的因素看待。整個(gè)分析過(guò)程記錄在表表4-19中。中。 最后要說(shuō)明一點(diǎn)，在這里只考慮兩列間的交互作用最后要說(shuō)明一點(diǎn)，在這里只考慮兩列間的交互作用AB、B C、A C，3個(gè)因素的交互作用個(gè)因素的交互作用ABC，一般影響很小，這一般影響很小，這里不去考慮它。里不去考慮它。4.

37、5 正交表的構(gòu)造法正交表的構(gòu)造法 從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表從前面的內(nèi)容可以看出，正交表的用處和好處。那么正交表是如何得來(lái)的呢？下面就介紹兩種正交表的構(gòu)造方法。是如何得來(lái)的呢？下面就介紹兩種正交表的構(gòu)造方法。4.5.1 阿達(dá)瑪矩陣法阿達(dá)瑪矩陣法4.5.1.1 阿達(dá)瑪矩陣阿達(dá)瑪矩陣 阿陣阿陣 定義：以定義：以1，1為元素，并且任意兩列都是正交的矩為元素，并且任意兩列都是正交的矩陣。陣。性質(zhì)：性質(zhì)： （1）每列元素個(gè)數(shù)都）每列元素個(gè)數(shù)都 是偶數(shù)；是偶數(shù)； （2）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣；）任意兩列（兩行）交換后，仍為阿陣；（3）任意一列（或行）乘）任意一列（或行）

38、乘1以后，仍為阿陣。以后，仍為阿陣。 標(biāo)準(zhǔn)阿陣：第一列全為標(biāo)準(zhǔn)阿陣：第一列全為1列（用對(duì)行乘列（用對(duì)行乘1可得）。可得）。阿方陣：行、列相等阿方陣：行、列相等阿陣，偶階方陣。阿陣，偶階方陣。4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣、阿達(dá)瑪矩陣 n 階阿陣記為階阿陣記為Hn。感興趣：感興趣：第一列，第一行全為第一列，第一行全為 1 的阿陣。例如：的阿陣。例如：1111111111111111,111142HH直積構(gòu)造高階阿陣的方法：直積構(gòu)造高階阿陣的方法：定義：設(shè)兩個(gè)定義：設(shè)兩個(gè)2階方陣階方陣A、B2221121122211211,bbbbBaaaaA它們直積記為它們直積記為A B，定義如下：定義如下：BaB

39、aBaBabbbbaaaaBA2221121122211211222112114.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣、阿達(dá)瑪矩陣2222212222212121122211221221112122122112221121111212111212111111babababababababababababababababa這是一個(gè)這是一個(gè)4階方陣。階方陣。有下面兩個(gè)定理：有下面兩個(gè)定理： 定理定理1 設(shè)設(shè)2階方陣階方陣A、B如果它們中的兩列是正交的，則它們?nèi)绻鼈冎械膬闪惺钦坏?，則它們的直積的直積A B的任意兩列也是正交的。的任意兩列也是正交的。 定理定理2 兩個(gè)阿陣的直積是一個(gè)高階阿陣兩個(gè)阿陣的直積是一個(gè)

40、高階阿陣。 據(jù)此，可以用簡(jiǎn)單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿據(jù)此，可以用簡(jiǎn)單的低階阿陣，用求直積的方法得出高階阿陣，例如有：陣，例如有：4.5.1.1、阿達(dá)瑪矩陣、阿達(dá)瑪矩陣422111111111111111111111111HHH依此類推有：依此類推有：,16441682, 842HHHHHHHHH或或一個(gè)固定階的阿陣并不是唯一的。比如：一個(gè)固定階的阿陣并不是唯一的。比如：1111,1111,1111,1111都是都是2 階阿陣階阿陣H2，但我們最感興趣的是第一個(gè)但我們最感興趣的是第一個(gè)。4.5.2 2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法 有了第有了第1列第列第1行全為

41、行全為1的標(biāo)準(zhǔn)阿陣，構(gòu)造的標(biāo)準(zhǔn)阿陣，構(gòu)造2水平的正交表就非水平的正交表就非常方便了。常方便了。（1）L4（23）正交表的構(gòu)造正交表的構(gòu)造 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣取標(biāo)準(zhǔn)阿陣H4 如下：如下： 11111111111111114H 將全將全1列去掉，得出：列去掉，得出： 1111111111114.5.1.2、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法 將將1 改寫為改寫為2，按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到，按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到2水平正交表水平正交表 L4（23），），見(jiàn)見(jiàn)表表4-20所示。所示。（2） L8（27）正交表的構(gòu)造法正交表的構(gòu)造法 取標(biāo)準(zhǔn)阿陣取標(biāo)準(zhǔn)阿陣 H8 如下：如下：111

42、11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111118H4.5.1.2、2個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法個(gè)水平正交表的阿達(dá)瑪矩陣法 去掉全去掉全 1 列；列； 將將 1 改寫為改寫為2，并按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到正交表，并按順序配上列號(hào)、行號(hào)，就得到正交表 L8（27），），見(jiàn)見(jiàn)表表4-21。總結(jié)：先取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿陣總結(jié)：先取一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)阿陣 Hn ，去掉全去掉全1列，將列，將1 列改寫為列改寫為2， 配上列號(hào)、行號(hào)，就得正交表配上列號(hào)、行號(hào)，就得正交表 Ln（2n1）。）。 上法只能構(gòu)造上法只能構(gòu)造 2 水平正交表，更多水平的正

43、交表，用正交拉水平正交表，更多水平的正交表，用正交拉丁方的方法來(lái)解決。丁方的方法來(lái)解決。4.5.2正交拉丁方的方法正交拉丁方的方法4.5.2.1 拉丁方拉丁方定義：用定義：用 n 個(gè)不同的拉丁字母排成一個(gè)個(gè)不同的拉丁字母排成一個(gè) n 階方陣（階方陣（n26），），如如 果每個(gè)字母在任一行、任一列中只出現(xiàn)一次，則稱這種方果每個(gè)字母在任一行、任一列中只出現(xiàn)一次，則稱這種方 陣為陣為 nn 拉丁方，簡(jiǎn)稱為拉丁方，簡(jiǎn)稱為 n 階拉丁方。階拉丁方。例如，用例如，用3個(gè)字母?jìng)€(gè)字母 A、B、C 可排成：可排成：BACACBCBA33 拉丁方拉丁方用用4個(gè)字母?jìng)€(gè)字母 A、B、C、D 可排成：可排成：ADCBB

44、ADCCBADDCBA44 拉丁方拉丁方這這兩兩個(gè)個(gè)拉拉丁丁方方不不是是唯唯一一的。的。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方正交拉丁方。正交拉丁方。定義：設(shè)有兩個(gè)同階的拉丁方，如果對(duì)第一個(gè)拉丁方排列著相同定義：設(shè)有兩個(gè)同階的拉丁方，如果對(duì)第一個(gè)拉丁方排列著相同字母的各個(gè)位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，字母的各個(gè)位置上，第二拉丁方在同樣位置上排列著不同字母，則稱這兩個(gè)拉丁方為互相正交的拉丁方。則稱這兩個(gè)拉丁方為互相正交的拉丁方。BACACBCBAACBBACCBA3階階拉拉丁丁方方與與是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個(gè)。是正交拉丁方。正交拉丁方只有兩個(gè)。ABCDBADCCDABDCBABA

45、DCCDABABCDDCBA與與 4階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有3個(gè)；個(gè)； 5階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有4個(gè)；個(gè)； 6階拉丁方中，正交拉丁方只有階拉丁方中，正交拉丁方只有5個(gè)；個(gè)； 數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明：n 階階拉丁方的正交拉丁方個(gè)數(shù)為：拉丁方的正交拉丁方個(gè)數(shù)為：（n1）個(gè)。個(gè)。4.5.2.1、拉丁方、拉丁方4.5.2.1、拉丁方、拉丁方 將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質(zhì)沒(méi)有影響。比如將字母拉丁方改寫為數(shù)字拉丁方性質(zhì)沒(méi)有影響。比如 3 階拉階拉丁方可寫為：丁方可寫為：213132321132213321與與為正交拉丁方。為正交拉丁方。

46、4.5.2.2 3水平正交表的構(gòu)造水平正交表的構(gòu)造 首先考慮兩個(gè)首先考慮兩個(gè) 3 水平因素水平因素A、B，把它們所有水平搭配都寫出把它們所有水平搭配都寫出來(lái)來(lái) 32 9個(gè)，個(gè)，按下面的方式排成兩列按下面的方式排成兩列：4列列3列列12111212313421522623731832933這這兩兩列列叫叫做做基基本本列列然然后后寫寫出出兩兩個(gè)個(gè)3 3階階的的正正交交拉拉丁丁方方：123231312和和123312231將將 這這 兩兩 個(gè)個(gè) 正正 交交 拉拉 丁丁 方方 的的 1， 2， 3列列 ， 分分 別別 按按 順順 序序 連連 成成 一一 列列 （ 共共 得得 兩兩列列 ） ， 放放 在

47、在 兩兩 個(gè)個(gè) 基基 本本 列列 的的 右右 面面 ， 構(gòu)構(gòu) 成成 一一 個(gè)個(gè) 4列列 9行行 的的 矩矩 陣陣 ， 再再 配配 上上 列列 號(hào)號(hào)、 行行 號(hào)號(hào) ， 就就 得得 出出 正正 交交 表表 L9（ 34） ， 見(jiàn)見(jiàn) 表表 4-22。4.5.2.3 4水平正交表水平正交表 因素因素A、B兩個(gè)兩個(gè)4水平的全排列水平的全排列 4216個(gè)，構(gòu)成個(gè)，構(gòu)成基本列基本列； 三個(gè)正交拉丁方，按三個(gè)正交拉丁方，按1，2，3，4列分別按順序排成列分別按順序排成1列，共列，共3列，放在基本列右則，得列，放在基本列右則，得5列列16行矩陣。行矩陣。 得表得表4-23，為，為L(zhǎng)16（45）正交表正交表。34

48、5121112123134145216227238249311032113312341341144215431644這兩列叫做基本列123421433412432112343412432121431234432121433412配配 上上 三三 個(gè)個(gè) 正正 交交 拉拉 丁丁 方方4.5.2.4 混合型正交表的構(gòu)造法混合型正交表的構(gòu)造法 混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過(guò)混合型正交表可以由一般水平數(shù)相等的正交表通過(guò)“并列法并列法”改造而成。舉典型的例子加以說(shuō)明。改造而成。舉典型的例子加以說(shuō)明。例例4.8 混合型正交表混合型正交表 L8（424）的構(gòu)造法。的構(gòu)造法。解：解：（1）先列出正

49、交表）先列出正交表 L8（27），），見(jiàn)見(jiàn)表表4-24。（2）取出）取出表表4-24中的中的1，2列，將數(shù)對(duì)（列，將數(shù)對(duì)（1，1）、）、 （1，2）、）、 （2，1）、（）、（2，2）與單數(shù)字）與單數(shù)字1，2，3，4依次對(duì)應(yīng)，作為依次對(duì)應(yīng)，作為 新表第新表第1列。列。（3）去掉去掉12的第的第3列列。交互作用。交互作用。（4）4，5，6，7列左移，依次變?yōu)樾卤淼牧凶笠疲来巫優(yōu)樾卤淼?，3，4，5列列。列號(hào)列號(hào)行號(hào)行號(hào)11111111211122223122112241222211521212126212212172211221822121124567123表表4-24 L8（27）正交表正交

50、表列號(hào)列號(hào)行號(hào)行號(hào)11111121222232112242221152121262212171122181211234567列號(hào)列號(hào)行號(hào)行號(hào)11111112112222322112242222115321212632212174112218412112134567列號(hào)列號(hào)行號(hào)行號(hào)111111212222321122422211531212632121741221842112145671111222211222211121221211221211245674523其它正交表的構(gòu)造法，與此法相同，不再贅述。其它正交表的構(gòu)造法，與此法相同，不再贅述。請(qǐng)自學(xué)請(qǐng)自學(xué)例例4.9、例、例4.10表表4-25

51、 L8（4127）正交表）正交表4.6 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分析本節(jié)用方差分析法對(duì)正交試驗(yàn)的結(jié)果作進(jìn)一步的分析。本節(jié)用方差分析法對(duì)正交試驗(yàn)的結(jié)果作進(jìn)一步的分析。4.6.1 正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的步驟與格式正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)方差分析的步驟與格式 設(shè)用正交表安排設(shè)用正交表安排m個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為個(gè)因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為n，試驗(yàn)結(jié)，試驗(yàn)結(jié)果分別為果分別為x1，x2，xn。假定每個(gè)因素有。假定每個(gè)因素有na個(gè)水平，每個(gè)水平個(gè)水平，每個(gè)水平做做a次試驗(yàn)。則次試驗(yàn)。則n = a na，現(xiàn)分析下面幾個(gè)問(wèn)題。，現(xiàn)分析下面幾個(gè)問(wèn)題。(1) 計(jì)算離差的平方和計(jì)算離差的平方和a 總離差的平方

52、和總離差的平方和STb 各因素離差的平方和各因素離差的平方和S因因c 試驗(yàn)誤差的離差平方和試驗(yàn)誤差的離差平方和SE(2)計(jì)算自由度計(jì)算自由度(3)計(jì)算平均離差平方和計(jì)算平均離差平方和(均方均方)(4) 求求F比比(5)對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)4.6.2 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析水平正交設(shè)計(jì)的方差分析例例4.11 為了提高產(chǎn)量，需要考慮為了提高產(chǎn)量，需要考慮3個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)個(gè)因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取壓力和溶液濃度，每個(gè)因素都取3個(gè)水平，具體數(shù)值如個(gè)水平，具體數(shù)值如表表4-31所示?？紤]因素之間的所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，所示?？紤]因素之間的

53、所有一級(jí)交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。找出最好的工藝條件。解：解：所有一級(jí)交互作用：所有一級(jí)交互作用：AB、AC、BC；自由度：自由度：fA （水平數(shù)水平數(shù)1）312 fB fC ； fAB fA fB224 fBC fAC 各占兩列。各占兩列。共有共有9列，選用正交表列，選用正交表L27（313），），見(jiàn)見(jiàn)表表4-32所示。所示。 m 個(gè)因素的試驗(yàn)（個(gè)因素的試驗(yàn)（m9）；）；試驗(yàn)次數(shù)（試驗(yàn)次數(shù)（n27）；）；試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)結(jié)果分別為：分別為：x1， x2， ，xk， ，xn；每個(gè)因素有每個(gè)因素有na 個(gè)水平（個(gè)水平（na3）；）；每個(gè)水平做每個(gè)水平做a次試驗(yàn)（次試驗(yàn)（a9），）

54、，則則nana3 9 27。1、計(jì)算離差平方和、計(jì)算離差平方和（1）總離差平方和）總離差平方和ST記記 nkkxnx11（相當(dāng)于例（相當(dāng)于例4.11產(chǎn)量的平均值）產(chǎn)量的平均值） nknknkkkkTxnxxxS1121221)(記為：記為：PQSTT nkkTxQ12211 nkkxnP ST反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。反應(yīng)了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，結(jié)果之間差異越大。 兩方面的原因：兩方面的原因： 因素水平變化；因素水平變化； 試驗(yàn)誤差。試驗(yàn)誤差。（2）各因素離差的平方和）各因素離差的平方和 以因素以因素A為例為例SA，用用xij 表示表示A的系的系 i 水平第水平第

55、j 個(gè)試驗(yàn)結(jié)個(gè)試驗(yàn)結(jié)果（果（i1，2，3，na），（），（j1a）。）。 nkkniajijxxa111 aniajiAxxS112)( aniijixax1121122111211111 nikniiniajijniajijAxnKaxnxaSaaa記為：記為：PQSAA Ki 第第 i 個(gè)水平個(gè)水平 a 次試驗(yàn)結(jié)果的和。次試驗(yàn)結(jié)果的和。 用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對(duì)兩因素的用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對(duì)兩因素的交互作用，把它當(dāng)成一個(gè)新的因素看待。如果交互作用占兩列，交互作用，把它當(dāng)成一個(gè)新的因素看待。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平

56、方和之和。比如：則交互作用的離差平方和等于這兩列的離差平方和之和。比如：21)()(BABABASSS （3）試驗(yàn)誤差的離差平方和）試驗(yàn)誤差的離差平方和 SE 設(shè)設(shè) S因因+交交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，為所有因素以及要考慮的交互作用的離差平方和，因?yàn)椋阂驗(yàn)椋篍TSSS 交交因因所以：所以：交交因因 SSSTE2、自由度計(jì)算、自由度計(jì)算)(1試試驗(yàn)驗(yàn)總總次次數(shù)數(shù)總總nnf 各因素自由度：各因素自由度：)(1水水平平數(shù)數(shù)因因aannf 兩因素交互作用的自由度：兩因素交互作用的自由度：BABAfff 試驗(yàn)誤差自由度：試驗(yàn)誤差自由度：交交因因總總 fffE見(jiàn)表見(jiàn)表4-33所示所示

57、3、計(jì)算平均離差平方和（均方）、計(jì)算平均離差平方和（均方）MS 在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們是若干項(xiàng)平方在計(jì)算各因素離差平方和時(shí)，我們知道，它們是若干項(xiàng)平方的和，它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此，不能確切地反映各因素的的和，它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此，不能確切地反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)的影響，引入平均離差平方和：情況。為了消除項(xiàng)的影響，引入平均離差平方和：因因因因因因素素的的平平均均離離差差平平方方和和fS EEfS 方方和和試試驗(yàn)驗(yàn)誤誤差差的的平平均均離離差差平平4、求、求F 比比對(duì)對(duì)結(jié)結(jié)果果影影響響程程度度的的大大小小大大小小反反映映了了各各因因素素試試驗(yàn)驗(yàn)因因因因EEfSfSF

58、 5、對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)、對(duì)因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)給出檢驗(yàn)水平給出檢驗(yàn)水平a a，以以Fa a（f因因，fE）查（附表查（附表3）F分布表；分布表；比較若比較若F Fa a（f因因，fE），），說(shuō)明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。說(shuō)明該因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著。 F F0.010.01（f因因，fE）影響高度顯著，影響高度顯著，“”； F0.010.01（f因因，fE） F F0.050.05（f因因，fE）影響顯著，影響顯著，“”； F F0.050.05（f因因，fE）影響不顯著。影響不顯著。 計(jì)算結(jié)果見(jiàn)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表表4-33、表、表4-34所示所示。4.6.3 2水平正交設(shè)計(jì)的方差分析水平正交

59、設(shè)計(jì)的方差分析 由于由于2水平正交設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，它的方差分析可以采用特殊的水平正交設(shè)計(jì)比較簡(jiǎn)單，它的方差分析可以采用特殊的分析方法。分析方法。 2水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為：水平正交設(shè)計(jì)，各因素離差平方和為：2121211nkkiixnKaS因因:,21,2121所所以以上上式式可可以以簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化為為又又因因?yàn)闉閚kkKKxnaan2211KKnS因因上式同樣適用于交互作用項(xiàng)。上式同樣適用于交互作用項(xiàng)。例例4.12 某廠生產(chǎn)水泥花磚某廠生產(chǎn)水泥花磚, ,其抗壓強(qiáng)度取決于其抗壓強(qiáng)度取決于3 3個(gè)因素：個(gè)因素：A水水泥的含量，泥的含量，B水分，水分，C添加劑，每個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具添加劑，每

60、個(gè)因素都有兩個(gè)水平，具體數(shù)值如表體數(shù)值如表4-354-35a所示。所示。每?jī)蓚€(gè)因素之間都有交互作用，必每?jī)蓚€(gè)因素之間都有交互作用，必須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為抗壓強(qiáng)度須考慮。試驗(yàn)指標(biāo)為抗壓強(qiáng)度( (kg/ /cm2 2),),分別為分別為66.2，74.3，73.0，76.4，70.2，75.0，62.3，71.2越高越好。試安排試驗(yàn)，越高越好。試安排試驗(yàn)，并用方差分析對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。并用方差分析對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，找出最好的方案。解解 列出正交表列出正交表L8（27）和試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)和試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表表4-35。 說(shuō)明：誤差平方和說(shuō)明：誤差平方和SE SEST(S因因S交交) 還可以用另