《復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的加法與減法》教案新人教選修

1、數(shù)學(xué)： 3.2.1 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 - 復(fù)數(shù)的加法與 減法教案（ 1）（新人教選修 2-2 ） 3.2 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算 3.2.1 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算及幾何意義 教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：掌握復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算及意義 過(guò)程與方法：理解并掌握實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律，了解復(fù) 數(shù)加減法運(yùn)算的幾何意義 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 （ 復(fù)數(shù)集、 代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部 ） 理解并掌握復(fù)數(shù)相 等的有關(guān)概念；畫(huà)圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過(guò) 對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算，復(fù)數(shù)與從原點(diǎn)出發(fā)的向量的對(duì)應(yīng) 關(guān)系 教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的運(yùn)

2、算率，復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算的幾何 意義。 教具準(zhǔn)備：多媒體、實(shí)物投影儀 。 教學(xué)設(shè)想：復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)； 反過(guò)來(lái)， 復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng)。復(fù)數(shù) z=a+bi（a、b R）與有序?qū)崝?shù)對(duì)（a , b）是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系這是因 為對(duì)于任何一個(gè)復(fù)數(shù) z=a+bi（a、b R）,由復(fù)數(shù)相等的定義 可知，可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)(a , b)惟一確定. 教學(xué)過(guò)程： 學(xué)生探究過(guò)程： 1. 虛數(shù)單位 :(1) 它的平方等于 -1，即 ; (2) 實(shí)數(shù)可以與它 進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成 立 2. 與 1 的關(guān)系 : 就是 1 的一個(gè)平方根， 即方程 x2=

3、1 的 一個(gè)根，方程 x2= 1 的另一個(gè)根是 3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1 4. 復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的 虛部全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母 C 表示* 3. 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 : 復(fù)數(shù)通常用字母 z 表示， 即，把復(fù)數(shù)表 示成 a+bi 的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 4. 復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及 0 的關(guān)系：對(duì)于復(fù)數(shù)，當(dāng)且 僅當(dāng)b=0 時(shí)，復(fù)數(shù) a+bi(a、b R)是實(shí)數(shù) a;當(dāng) b0時(shí)，復(fù) 數(shù) z=a+bi 叫做虛數(shù)；當(dāng) a=0 且 b0時(shí)，z=bi 叫做純虛數(shù)； 當(dāng)且僅當(dāng) a=b=0 時(shí)，z 就是實(shí)數(shù)

4、 0. 5. 復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系： NZQRC. 6. 兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義： 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相 等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等即：如果 a, b, c, d R 那么 a+bi=c+dia=c ， b=d 一般地,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相等,而不能比較大小 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大小 只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù) 不全是實(shí)數(shù)時(shí)才不能比較大小 7. 復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸： 點(diǎn) Z 的橫坐標(biāo)是 a，縱坐標(biāo)是 b，復(fù)數(shù) z=a+bi（a、b R）可用 點(diǎn)Z（a , b）表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面 叫做復(fù)平面，也叫高斯平面， x 軸叫做實(shí)軸， y 軸叫做虛軸 實(shí)軸上的點(diǎn)

5、都表示實(shí)數(shù) 對(duì)于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為 （0， 0）， 它所確定的復(fù)數(shù)是 z=0+0i=0 表示是實(shí)數(shù) .故除了原 點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù) 復(fù)數(shù)集 C 和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系， 即 復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 這是因?yàn)椋恳粋€(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個(gè)點(diǎn)和它對(duì)應(yīng)； 反過(guò)來(lái)， 復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)， 有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對(duì)應(yīng) . 這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義 . 也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方 法，即幾何表示方法 8. 若，則 9. 若，則， 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 與差 10. 若，則 一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去

6、 始點(diǎn)的坐標(biāo) 即 =?=( x2, y2) ? (x1,y1)= (x2? x1, y2? y1) 講解新課： 一復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算 1 .復(fù)數(shù) z1 與 z2 的和的定義： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 2. 復(fù)數(shù) z1 與 z2 的差的定義： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 3. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律 : z1+z2=z2+z1. 證明：設(shè) Z 仁 a1+b1i , Z2=a2+b2i(a1 , bl, a2, b2 R). v Zl+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i

7、. Z2+Z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i. 又 v a1+a2=a2+a1, b1+b2=b2+b1. 二 z1+z2=z2+z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足交換律 . 4. 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律 : (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3) 證明：設(shè) z1=a1+b1i.z2=a2+b2i ，z3=a3+b3i(a1 ，a2，a3， bl, b2, b3 R). v (z1+z2)+z3= (a1+b1i)+(a2+b2i) +(a3+b3i) =(a1+a2)+(b1+b2)i +(a3+b3)i =(a1+a2)+a3 +(b1+b2)+b3

8、i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i. z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+ (a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+b1i)+ (a2+a3)+(b2+b3)i = a1+(a2+a3) + b1+(b2+b3) i =(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i V (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3) , (b1+b2)+b3=b1+(b2+b3). (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律 講解范例： 例 1 計(jì)算： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) = (5-2-3)+(

9、-6-1-4) i= - 11 i 例 2 計(jì)算： (1 2i)+( 2+3i)+(3 4i)+( 4+5i)+.+( 2002+2003i)+(2003 - 2004i) 解法一：原式 =(1 - 2+3- 4+. - 2002+2003)+( - 2+34+5+.+2003 -2004i)=(2003 -1001)+(1001 -2004)i=1002 - 1003i. 解法二：V (1 - 2i)+( - 2+3i)= - 1+i , (3 -4i)+( -4+5i)= -1+i， (2001 -2002i)+( -2002+2003)i= -1+i. 相加得 (共有 1001 個(gè)式子

10、)： 原式=1001( - 1+i)+(2003 - 2004i) =(2003-1001)+(1001 -2004)i=1002 -1003i . 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義 復(fù)數(shù)的加 (減)法 (a+bi) (c+di)=(a c)+(b d)i. 與多項(xiàng)式加 (減) 法是類(lèi)似的 . 就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛 部與虛部分別相加 ( 減). 1. 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量 2. 復(fù)數(shù)平面向量 3. 復(fù)數(shù)加法的幾何意義： 設(shè)復(fù)數(shù) z1=a+bi ，z2=c+di ，在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的向量為、， 即、的坐標(biāo)形式為=(a , b), =(c , d)以、為鄰邊作平行四邊 形 0Z1ZZ2則對(duì)角

11、線(xiàn) 0Z 對(duì)應(yīng)的向量是， 二=+=(a , b)+(c , d)=(a+c , b+d) = (a+c)+(b+d)i 4. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義： 復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算， 設(shè) z=(a -c)+(b - d)i，所以 z -z1=z2, z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何 意義，以為一條對(duì)角線(xiàn)，為一條邊畫(huà)平行四邊形，那么這個(gè) 平行四邊形的另一邊 0Z2 所表示的向量就與復(fù)數(shù) z - z1 的差 (a - c)+(b - d)i 對(duì)應(yīng)由于，所以，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差 z- z1 與連 接這兩個(gè)向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對(duì)應(yīng) . 例 3 已知復(fù)數(shù) z1=2+i ， z2=1+2i 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為

12、A、B,求對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) 乙 z在平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？ 解：z=z2 - z1=(1+2i) - (2+i)= - 1+i , Tz的實(shí)部 a=- 1v 0，虛部 b=10, 復(fù)數(shù) z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi). 點(diǎn)評(píng)：任何向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，總是這個(gè)向量的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng) 的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差 . 即所表示的復(fù)數(shù) 是 zB zA.，而所表示的復(fù)數(shù)是 zA zB,故切不可把被減 數(shù)與減數(shù)搞錯(cuò)盡管向量的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與 始點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一 的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱(chēng)之自由向量，即它只與其 方向和長(zhǎng)度有關(guān)，而與位置無(wú)關(guān) 例 4 復(fù)數(shù)

13、 z1=1+2i ， z2= 2+i ， z3=12i ，它們?cè)趶?fù)平面 上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)， 求這個(gè)正方形的第四 個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) . 分析一：利用，求點(diǎn) D的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù). 解法一：設(shè)復(fù)數(shù) z1、z2、z3 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 A B、C,正方形 的第四個(gè)頂點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 x+yi(x , y R),是： =(x+yi) (1+2i)=(x 1)+(y 2)i; =( 1 2i) ( 2+i)=1 3i. ，即(x 1)+(y 2)i=1 3i , 二解得 故點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2 i. 分析二：利用原點(diǎn) 0 正好是正方形 ABCD 勺中心來(lái)解. 解法二：因?yàn)辄c(diǎn) A與點(diǎn) C 關(guān)于

14、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以原點(diǎn) 0 為正方 形的中心，于是 (2+i)+ (x+yi)=0，二 x=2, y= 1. 故點(diǎn) D 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2 i. 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意畫(huà)圖得到的結(jié)論，不能代替論證，然而通過(guò) 對(duì)圖形的觀察，往往能起到啟迪解題思路的作用 鞏固練習(xí)： 1. 已知復(fù)數(shù) z1=2+i,z2=1+2i, 則復(fù)數(shù) z=z2 z1 在復(fù)平面內(nèi)所 表示的點(diǎn)位于 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2. 在復(fù)平面上復(fù)數(shù) 32i, 4+5i,2+i 所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是 A、 B、 C,則平行四邊形 ABCD 勺對(duì)角線(xiàn) BD 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是 A.59i B.53i C. 711i D . 7+

15、11i 3. 已知復(fù)平面上 AOB的頂點(diǎn) A所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 1+2i,其重心 G 所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 1+i,則以 OA 0B 為鄰邊的平行四邊形的對(duì) 角線(xiàn)長(zhǎng)為 A. 3 B.2 C.2 D. 4. 復(fù)平面上三點(diǎn) A B、C 分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù) 1，2i,5+2i,則由 A、 B. C 所構(gòu)成的三角形是 A.直角三角形 B.等腰三角形 C. 銳角三角形 D.鈍角三角形 5. 一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)的差（ ） A. 不可能是純虛數(shù) B. 可能是實(shí)數(shù) C. 不可能是實(shí)數(shù) D. 無(wú)法確定是實(shí)數(shù)還是虛數(shù) 6. 計(jì)算( = _ . 7. 計(jì)算： (2x+3yi) (3x 2yi)+(y 2xi) 3xi= _ (x

16、、 y R). 8. 計(jì)算( 12i) (2 3i)+(3 4i) . (20022003i). 9. 已知復(fù)數(shù) z仁 a2 - 3+(a+5)i,z2=a - 1+(a2+2a - 1)i(a R) 分別對(duì)應(yīng)向量、(0 為原點(diǎn))，若向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為純虛數(shù)， 求 a 的值 . 解：對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 z2 - z1，貝 V z2-z1=a-1+(a2+2a-1)i -a2-3+(a+5)i =(a- a2+2)+(a2+a - 6)i /z2- z1 是純虛數(shù) 二解得 a=- 1. 10已知復(fù)平面上正方形的三個(gè)頂點(diǎn)是 A(1， 2)、 B(-2， 1)、C (- 1,- 2),求它的第四個(gè)頂點(diǎn) D

17、對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù). 解：設(shè) D(x,y), 貝 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (x+yi) -(1+2i)=(x -1)+(y -2)i 對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： ( - 1 - 2i) - ( - 2+i)=1 - 3i (x - 1)+(y - 2)i=1 - 3i 二，解得 D 點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為 2-i。 答案： 1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6. -2i 7.(y -x)+5(y - x)i 8. 解：原式 =(1 2+34+.+2001 2002) +( 2+3 4+. 2002+2003)i =1001+1001i 課后作業(yè)：課本第 112 頁(yè) 習(xí)題 3.2 1 , 2 , 3 教學(xué)反思： 如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等， 那么我們就說(shuō)這兩個(gè) 復(fù)數(shù)相等即： 如果 a, b, c, d R 那么 a+bi=c+dia=c , b=d 一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說(shuō)相等或不相