高中數(shù)學(xué)北師大選修2-1421實(shí)際問(wèn)題中導(dǎo)數(shù)的意義課件

1、1 1、實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用、實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. . 在日常生活、生產(chǎn)和科研中在日常生活、生產(chǎn)和科研中,常常會(huì)遇到求函數(shù)的常常會(huì)遇到求函數(shù)的最大最大(小小)值的問(wèn)題值的問(wèn)題.建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)的方法然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路求最值是求解這類問(wèn)題常見(jiàn)的解題思路. 在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí)在建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),一定要注意確定函數(shù)的定義域一定要注意確定函數(shù)的定義域. 在實(shí)際問(wèn)題中在實(shí)際問(wèn)題中,有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使點(diǎn)使 的情形的情形,如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大如果函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)有極大(小小)值值,那么不與端點(diǎn)值比較那么不與端點(diǎn)值比較,

2、也可以知道這就是最大也可以知道這就是最大(小小)值值.這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間這里所說(shuō)的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間.0)( xf滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為滿足上述情況的函數(shù)我們稱之為“單峰函數(shù)單峰函數(shù)”.3、求最大（最?。┲祽?yīng)用題的一般方法、求最大（最?。┲祽?yīng)用題的一般方法(1)分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，把實(shí)際問(wèn)題化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。為數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系式，這是關(guān)鍵一步。(2)確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn)。確定函數(shù)定義域，并求出極值點(diǎn)。(3)比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，比較各極值與定義域端點(diǎn)函數(shù)的大小，

3、結(jié)合實(shí)結(jié)合實(shí)際，確定最值或最值點(diǎn)。際，確定最值或最值點(diǎn)。2、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是、實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的表現(xiàn)形式，常常不是以純數(shù)學(xué)模式反映出來(lái)。以純數(shù)學(xué)模式反映出來(lái)。首先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。首先，通過(guò)審題，認(rèn)識(shí)問(wèn)題的背景，抽象出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型其次，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型, 將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題將應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,再解。再解。6060解解:設(shè)箱底邊長(zhǎng)為設(shè)箱底邊長(zhǎng)為x cm， 箱子容積為箱子容積為V=x2 h例例1 在邊長(zhǎng)為在邊長(zhǎng)為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)

4、無(wú)蓋的方底箱子，箱底再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？邊長(zhǎng)為多少時(shí)，箱子容積最大？最大容積是多少？則箱則箱高高260 xh 26032xx xxV =60 x3x/2令令V =0，得，得x=40, x=0 (舍去舍去)得得V (40)=16000答：當(dāng)答：當(dāng)箱底邊長(zhǎng)為箱底邊長(zhǎng)為x=40時(shí)時(shí),箱子容積最大，箱子容積最大，最大值為最大值為16000cm3)600( x; 0()40, 0( ）時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xVx. 0()60,40( ）時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)xVx。為為極極大大值值，且且為為最最大大值值)40(V 在實(shí)際問(wèn)題中，如果函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中

5、，如果函數(shù) f ( x )在某區(qū)間內(nèi)在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)只有一個(gè)x0 使使f (x0)=0,而且從實(shí)際問(wèn)題本身又可而且從實(shí)際問(wèn)題本身又可以知道函數(shù)在以知道函數(shù)在 這點(diǎn)有極大這點(diǎn)有極大(小小)值，那么不與端點(diǎn)值，那么不與端點(diǎn)比較，比較， f ( x0 )就是所求的最大值或最小值就是所求的最大值或最小值.(所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間所說(shuō)區(qū)間的也適用于開(kāi)區(qū)間或無(wú)窮區(qū)間)hR例例2. 要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)鐵桶的容積要生產(chǎn)一批帶蓋的圓柱形鐵桶，要求每個(gè)鐵桶的容積為定值為定值V，怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才能使材料最省？此時(shí)高，怎樣設(shè)計(jì)桶的底面半徑才能使材料最省？此時(shí)高與底面半徑比為多少？

6、與底面半徑比為多少？解解:設(shè)桶底面半徑為設(shè)桶底面半徑為R,2RVh 則則桶桶高高為為,2222)(222RVRRVRRRS 桶桶的的用用料料為為,24)(2RVRRS , 024)(2 RVRRS 令令2VR 解得2322 VVRVh此時(shí)，此時(shí)，224VVRh2即因?yàn)橐驗(yàn)镾(R)只有一個(gè)極值只有一個(gè)極值,所以它是最小值。所以它是最小值。答：當(dāng)罐高與底的直徑想等時(shí)，所用材料最省。答：當(dāng)罐高與底的直徑想等時(shí)，所用材料最省。例例3.已知某商品生產(chǎn)成本已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為C=100+4q,價(jià)格價(jià)格p與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為的函數(shù)關(guān)系式為 求產(chǎn)量求產(chǎn)量q為何

7、值為何值時(shí)時(shí),利潤(rùn)利潤(rùn)L最大。最大。.8125qp 分析分析:利潤(rùn)利潤(rùn)L等于收入等于收入R減去成本減去成本C,而收入而收入R等于產(chǎn)量乘價(jià)格等于產(chǎn)量乘價(jià)格.由此可得出由此可得出利潤(rùn)利潤(rùn)L與產(chǎn)量與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式的函數(shù)關(guān)系式,再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn)再用導(dǎo)數(shù)求最大利潤(rùn).281258125qqqqpqR解：收入)2000(1002181)4100(812522 qqqqqqCRL利潤(rùn)利潤(rùn)2141qL021410 qL，即，即令令求得唯一的極值點(diǎn)求得唯一的極值點(diǎn)84q因?yàn)橐驗(yàn)長(zhǎng)只有一個(gè)極值點(diǎn)只有一個(gè)極值點(diǎn),所以它是最大值所以它是最大值.答答:產(chǎn)量為產(chǎn)量為84時(shí)時(shí),利潤(rùn)利潤(rùn)L最大最大.xy練習(xí)練習(xí)1: 如圖

8、如圖,在二次函數(shù)在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與的圖象與x軸所軸所 圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接圍成的圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形矩形ABCD,求這求這 個(gè)矩形的個(gè)矩形的最大面積最大面積.解解:設(shè)設(shè)B(x,0)(0 x2), 則則 A(x, 4x-x2).從而從而|AB|= 4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面積的面積為為:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).16246)(2 xxxS令令 ,得得.3322,33220)(21 xxxS),2 , 0(1 x所以當(dāng)所以當(dāng) 時(shí)時(shí),.9332)(3322max xSx因此當(dāng)點(diǎn)因此當(dāng)點(diǎn)B為為 時(shí)時(shí),矩形的最

9、大面積是矩形的最大面積是) 0 ,3322( .93322 2、 一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方一艘輪船在航行中的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比。已知在速度為成正比。已知在速度為10km10km/h/h時(shí)，燃料費(fèi)是時(shí)，燃料費(fèi)是6 6元元/h/h。而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用為9696元元/h/h。問(wèn)以何種速度。問(wèn)以何種速度航行時(shí)。能使行駛每公里的費(fèi)用總和最少？航行時(shí)。能使行駛每公里的費(fèi)用總和最少？3、如圖、如圖,鐵路線上鐵路線上AB段長(zhǎng)段長(zhǎng) 100km,工廠工廠C到鐵路的到鐵路的 距離距離CA=20km.現(xiàn)在要現(xiàn)在要 在在AB上某一處上某一處D,向向C修修 一條公路一

10、條公路.已知鐵路每噸已知鐵路每噸 千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為千米與公路每噸千米的運(yùn)費(fèi)之比為3:5.為了使原料為了使原料 從供應(yīng)站從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省的運(yùn)費(fèi)最省,D應(yīng)修在何處應(yīng)修在何處?B D AC解解:設(shè)設(shè)DA=xkm,那么那么DB=(100-x)km,CD= km. 2220 x2400 x 又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為又設(shè)鐵路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為3t元元,則公路上每噸千則公路上每噸千米的運(yùn)費(fèi)為米的運(yùn)費(fèi)為5t元元.這樣這樣,每噸原料從供應(yīng)站每噸原料從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠運(yùn)到工廠C的總運(yùn)費(fèi)為的總運(yùn)費(fèi)為).1000()100(34005352 xxtxtBDtCDty令令 ,在在

11、的范圍內(nèi)有的范圍內(nèi)有唯一解唯一解x=15.0) 34005(2 xxty1000 x所以所以,當(dāng)當(dāng)x=15(km),即即D點(diǎn)選在距點(diǎn)選在距A點(diǎn)點(diǎn)15千米時(shí)千米時(shí),總運(yùn)總運(yùn)費(fèi)最省費(fèi)最省.注注:可以進(jìn)一步討論可以進(jìn)一步討論,當(dāng)當(dāng)AB的距離大于的距離大于15千米時(shí)千米時(shí),要找的要找的 最優(yōu)點(diǎn)總在距最優(yōu)點(diǎn)總在距A點(diǎn)點(diǎn)15千米的千米的D點(diǎn)處點(diǎn)處;當(dāng)當(dāng)AB之間的距離之間的距離 不超過(guò)不超過(guò)15千米時(shí)千米時(shí),所選所選D點(diǎn)與點(diǎn)與B點(diǎn)重合點(diǎn)重合.練習(xí)練習(xí)4:已知圓錐的底面半徑為已知圓錐的底面半徑為R,高為高為H,求內(nèi)接于這個(gè)求內(nèi)接于這個(gè)圓錐體并且體積最大的圓柱體的高圓錐體并且體積最大的圓柱體的高h(yuǎn).答答:設(shè)圓柱底面半徑為設(shè)圓柱底面半徑為r,可得可得r=R(H-h)/H.易得當(dāng)易得當(dāng)h=H/3 時(shí)時(shí), 圓柱體的體積最大圓柱體的體積最大.例例4如圖，扇形如圖，扇形AOB中，半徑中，半徑0A=1，AOB=900，在在OA的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)的延長(zhǎng)線上有一動(dòng)點(diǎn)C，過(guò)，過(guò)C作作CD與弧與弧AB相相切于點(diǎn)切于點(diǎn)E，且與過(guò)點(diǎn)，且與過(guò)點(diǎn)B所作的所作的OB的垂線交于點(diǎn)的垂線交于點(diǎn)D，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C在什么位置時(shí)，直角梯形在什么位置時(shí)，直角梯形OCDB的面積最??？的面積最?。縊BDECA注注：