材料力學(xué)_疊加法求變形

1、會(huì)計(jì)學(xué)1材料力學(xué)材料力學(xué)_疊加法求變形疊加法求變形Cw384EI5qL448EIPL3BACw、解：解：1.求各載荷產(chǎn)生的位移求各載荷產(chǎn)生的位移2.將同點(diǎn)的位移疊加將同點(diǎn)的位移疊加16EIML2A24EIqL316EIPL23EIMLB24EIqL316EIPL26EIML=+ 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示簡支梁的跨中截面所示簡支梁的跨中截面的撓度的撓度 wC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角和兩端截面的轉(zhuǎn)角 A 及及 B。已知。已知EI為常量。為常量。例題例題 5-4為了能利用簡單荷載作用為了能利用簡單荷載作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，下梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖將圖a所示荷載視為與跨所示荷載視為與跨中

2、截面中截面C正對(duì)稱和反對(duì)稱正對(duì)稱和反對(duì)稱荷載的疊加荷載的疊加(圖圖b)。例題例題 5-4解解: 在集度為在集度為q/2的正對(duì)稱均的正對(duì)稱均布荷載作用下，查有關(guān)梁的布荷載作用下，查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式，得撓度和轉(zhuǎn)角的公式，得 EIqlEIlqwC76853842/5441 48242/331EIqlEIlqB 48242/331EIqlEIlqA C A1 B1wC例題例題 5-4注意到反對(duì)稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，注意到反對(duì)稱荷載作用下跨中截面不僅撓度為零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，而且該截面上的彎矩亦為零，但轉(zhuǎn)角不等于零，因此可將左半跨梁因此可將左半跨梁 AC 和

3、右半跨梁和右半跨梁 CB分別視為分別視為受集度為受集度為 q/2 的均布荷載作用而跨長為的均布荷載作用而跨長為 l/2 的簡的簡支梁。查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式得支梁。查有關(guān)梁的撓度和轉(zhuǎn)角的公式得 384242/2/3322EIqlEIlqBA 在集度為在集度為q/2的反對(duì)稱均布的反對(duì)稱均布荷載作用下，由于撓曲線也是荷載作用下，由于撓曲線也是與跨中截面反對(duì)稱的，故有與跨中截面反對(duì)稱的，故有02 CwC A2 B2例題例題 5-4按疊加原理得按疊加原理得 EIqlEIqlwwwCCC7685076854421 38473844833321EIqlEIqlEIqlBBB 1283384483332

4、1EIqlEIqlEIqlAAA 例題例題 5-4 試按疊加原理求圖試按疊加原理求圖a所示外伸梁的截面所示外伸梁的截面B的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)角角 B，以及，以及A端和端和BC段中點(diǎn)段中點(diǎn)D的撓度的撓度wA和和wD。已。已知知EI為常量。為常量。例題例題 5-5 利用簡支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將利用簡支梁和懸臂梁的撓度和轉(zhuǎn)角公式，將圖圖a所示外伸梁看作由懸臂梁所示外伸梁看作由懸臂梁AB(圖圖b)和簡支梁和簡支梁BC(圖圖c)所組成。所組成。 和彎矩和彎矩 應(yīng)當(dāng)作應(yīng)當(dāng)作為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁的為外力和外力偶矩施加在懸臂梁和簡支梁的B截面截面處，它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖處，它們的指向和轉(zhuǎn)向如圖b

5、及圖及圖c所示。所示。 22221qaaqMB qaFB2S 例題例題 5-5解解: 圖圖c中所示簡支梁中所示簡支梁BC的受力情況以及約束情況的受力情況以及約束情況與原外伸梁與原外伸梁BC段完全相同，注意到簡支梁段完全相同，注意到簡支梁B支座處支座處的外力的外力2qa將直接傳遞給支座將直接傳遞給支座B，而不會(huì)引起彎曲。，而不會(huì)引起彎曲。簡支梁簡支梁BC，由，由q產(chǎn)生的產(chǎn)生的 Bq 、wDq(圖圖d)，由，由MB產(chǎn)生產(chǎn)生的的 BM 、wDM (圖圖e)?？刹橛嘘P(guān)式，將它們分別疊?？刹橛嘘P(guān)式，將它們分別疊加后可得加后可得 B、wD，它們也是外伸梁的，它們也是外伸梁的 B和和wD。例題例題 5-5

6、)(241162238454224 EIqaEIaqaEIaqwwwDMDqD 3132242323EIqaEIaqaEIaqBMBqB 例題例題 5-5 圖圖b所示懸臂梁所示懸臂梁AB的受力情況與原外伸梁的受力情況與原外伸梁AB段相同，但要注意原外伸梁的段相同，但要注意原外伸梁的B截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，截面是可以轉(zhuǎn)動(dòng)的，其轉(zhuǎn)角就是上面求得的其轉(zhuǎn)角就是上面求得的 B，由此引起的，由此引起的A端撓度端撓度w1=| B|a，應(yīng)疊加到圖，應(yīng)疊加到圖b所示懸臂梁的所示懸臂梁的A端撓度端撓度w2上去上去, ,才是原外伸梁的才是原外伸梁的A端撓度端撓度wA EIqaEIaqaEIqawwwA44321127

7、8231例題例題 5-5逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：ABAB BC BC變形后變形后AB部分為曲線，部分為曲線，BC部分為直線。部分為直線。C點(diǎn)的位移為：wc2LwwwwBBcBc例：求外伸梁例：求外伸梁C點(diǎn)的位移。點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別將梁各部分分別引起的位移疊加引起的位移疊加ABCP剛化EI=PCfc11）BC部分引起的位移fc1、 c1c1EIpafc331EIpac2212）AB部分引起的位移fc2、 c2CABP剛化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIPaLB3221cccfff21BccEIPac22EIPaL3EIpafc33aEIPaL

8、3解：解：EIaqwC384)2(54EIaPa16)2(2 0Pqa56CBqaEIqaEI3364順時(shí)針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時(shí)針 EIqaEIqaawBC245844解解:解：解： EIqaEIaqaEIaqwB3143)2(8)2(434 EIqaEIaqawwBD3848)2(2243解：解：剛度條件：剛度條件：;maxlwlww、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。件正常工作時(shí)的要求。max機(jī)械：1/50001/10000,土木：1/2501/1000機(jī)械：0.0050.001radP解：由

9、剛度條件解：由剛度條件500483maxlwEIPlw250048lEIP 得所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以滿足強(qiáng)度條件。PlWz460MPa 711.kN 圖圖a所示簡支梁由兩根槽鋼組成所示簡支梁由兩根槽鋼組成( (圖圖b) )，試按，試按強(qiáng)度條件和剛度條件選擇槽鋼型號(hào)。已知強(qiáng)度條件和剛度條件選擇槽鋼型號(hào)。已知 =170 MPa， =100 MPa，E=210 GPa， 。4001 lw例題例題 5-7 一般情況下，梁的強(qiáng)度由正應(yīng)力控制，選擇梁一般情況下，梁的強(qiáng)度由正應(yīng)力控制，選擇梁橫截面的尺寸時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺橫截面的尺寸時(shí)，先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面尺寸，再按

10、切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度寸，再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核，最后再按剛度條件進(jìn)行校核。如果切應(yīng)力強(qiáng)度條件不滿足，或剛條件進(jìn)行校核。如果切應(yīng)力強(qiáng)度條件不滿足，或剛度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。度條件不滿足，應(yīng)適當(dāng)增加橫截面尺寸。例題例題 5-7解解:1. 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào)按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇槽鋼型號(hào) 梁的剪力圖和彎矩梁的剪力圖和彎矩圖分別如圖圖分別如圖c和圖和圖e所所示。最大彎矩為示。最大彎矩為Mmax=62.4 kNm。梁。梁所需的彎曲截面系數(shù)所需的彎曲截面系數(shù)為為 3663maxm10367Pa10170mN104 .62 MWz例題例題 5-7 而每根槽鋼所需的彎

11、曲截面系數(shù)而每根槽鋼所需的彎曲截面系數(shù) Wz36710-6 m3/2=183.510-6 m3=183.5 cm3。由型鋼表查得由型鋼表查得20a號(hào)槽鋼其號(hào)槽鋼其Wz=178 cm3，雖略小，雖略小于所需的于所需的Wz= 183.5 cm3，但，但所以可取所以可取20a號(hào)槽鋼。號(hào)槽鋼。%5%9 . 2%1001781785 .183 例題例題 5-72. 按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核按切應(yīng)力強(qiáng)度條件校核 圖圖c最大剪力最大剪力FS,max=138 kN。每根槽鋼承受的。每根槽鋼承受的最大剪力為最大剪力為N10692kN13823max,S F例題例題 5-7 Sz,max 為為20a號(hào)槽鋼的中性軸號(hào)槽

12、鋼的中性軸z以以下半個(gè)橫截面的面積對(duì)中性軸下半個(gè)橫截面的面積對(duì)中性軸z的的靜矩。根據(jù)該號(hào)槽鋼的簡化尺寸靜矩。根據(jù)該號(hào)槽鋼的簡化尺寸(圖圖d)可計(jì)算如下：可計(jì)算如下： 3*max,mm0001042mm11100mm773mm11100mm50mm100mm73 zSz例題例題 5-7當(dāng)然，當(dāng)然， 的值也可按下式得出：的值也可按下式得出：*max, zS 3*max,mm104000 mm211100mm7mm11100mm211100mm11mm73 zS 每根每根20a號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查號(hào)槽鋼對(duì)中性軸的慣性矩由型鋼表查得為得為 Iz =1780.4 cm4 1780cm4例題例

13、題 5-7 故故20a號(hào)槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。號(hào)槽鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。于是于是MPa57.6Pa106 .57m)107)(m10(1780m10104N)1069()2/(6348-36-3max,max,Smax dISFzz例題例題 5-73. 校核梁的剛度條件校核梁的剛度條件 如圖如圖a，跨中點(diǎn)，跨中點(diǎn)C處的撓度為梁的最大撓度處的撓度為梁的最大撓度wmax。由疊加原理可得由疊加原理可得m1066. 4)m101780Pa)(21048(210mN101671)m6 . 04m4 . 23()m6 . 0)(N1012()m9 . 04m4 . 23()m9 . 0)(N1040()

14、m8 . 04m4 . 23()m8 . 0)(N1030()m4 . 04m4 . 23()m4 . 0)(N10120(481)43(4834893222322232223222234122max EIblEIbFwwiiiiC例題例題 5-7梁的許可撓度為梁的許可撓度為6mmm106m4 . 240013 llww由于由于mm66. 4maxww 因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。因此，所選用的槽鋼滿足剛度條件。例題例題 5-7一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EIEI；EIMlw二、減小跨度二、減小跨度L或增加支承降低彎矩或增加支承降低彎矩M；三、改變加載方式和支承方式、位置等。三

15、、改變加載方式和支承方式、位置等。WV 1.純彎曲純彎曲：2.橫力彎曲：橫力彎曲：lxxIExMVd)(2)(2MW21IElMMV21IElM22cxM)(cxM)( EIxxMxMV2dd )(21d2W二二. .小結(jié)小結(jié)：1 1、桿件變形能在數(shù)值上等于變形過程中、桿件變形能在數(shù)值上等于變形過程中外力所做的功。外力所做的功。V=W2 2、線彈性范圍內(nèi)，若外力從、線彈性范圍內(nèi)，若外力從0 0緩慢的增加到緩慢的增加到最終值：最終值：PWV21則：其中：其中：P-P-廣義力廣義力 -廣義位移廣義位移拉、壓：拉、壓：軸力NNFPEALFL扭矩TPEITLP扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)：彎矩MPEIMLz彎曲：彎曲：

16、Bw解：解：PxxM)(lxIExMVd2)(2lxIEPx02d2)(P lEI2 36BPwW21得由WVEIPlwB33二二. .變形比較法解靜不定梁變形比較法解靜不定梁用多余反力代替多余約用多余反力代替多余約束，就得到一個(gè)形式上束，就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)相當(dāng)系統(tǒng)，又稱又稱靜定基靜定基。梁的約束個(gè)數(shù)多于獨(dú)立梁的約束個(gè)數(shù)多于獨(dú)立靜力平衡方程的個(gè)數(shù)。靜力平衡方程的個(gè)數(shù)。 解：將支座解：將支座B B看成多看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：為：0Bw03834EIlREIqlwwwwBBBRBqBRqlB38EIlRw

17、BBR33EIqlwBq84 （1 1）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），）選取基本靜定結(jié)構(gòu)（靜定基如圖），B端端解除多余約束，代之以約束反力；解除多余約束，代之以約束反力； （2 2）求靜定基僅在原有外力作用下于解除約）求靜定基僅在原有外力作用下于解除約束處產(chǎn)生的位移；束處產(chǎn)生的位移； （4 4）比較兩次計(jì)算的變形量，其值應(yīng)該滿足）比較兩次計(jì)算的變形量，其值應(yīng)該滿足變形相容條件，建立方程求解。變形相容條件，建立方程求解。 （3 3）求僅在代替約束的約束反力作用下于解除）求僅在代替約束的約束反力作用下于解除約束處的位移；約束處的位移；6-4 簡單超靜定梁簡單超靜定梁.超靜定梁的解法超靜定梁的解法

18、 解超靜定梁的基本解超靜定梁的基本思路與解拉壓超靜定問思路與解拉壓超靜定問題相同。求解圖題相同。求解圖a所示所示一次超靜定梁時(shí)可以鉸一次超靜定梁時(shí)可以鉸支座支座B為為“多余多余”約束，約束，以以約束力約束力FB為為“多余多余”未知力。解除未知力。解除“多余多余”約束后的基本靜定系為約束后的基本靜定系為A端固定的懸臂梁。端固定的懸臂梁?；眷o定系基本靜定系基本靜定系在原有均基本靜定系在原有均布荷載布荷載q和和“多余多余”未未知力知力FB作用下作用下( (圖圖b) )當(dāng)當(dāng)滿足位移相容條件滿足位移相容條件( (參參見圖見圖c、d) ) 時(shí)該系統(tǒng)即為原超靜時(shí)該系統(tǒng)即為原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。定梁的相當(dāng)系

19、統(tǒng)。0 BBBqww若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理若該梁為等截面梁，根據(jù)位移相容條件利用物理關(guān)系關(guān)系(參見教材中的附錄參見教材中的附錄)所得的補(bǔ)充方程為所得的補(bǔ)充方程為03834 EIlFEIqlB從而解得從而解得“多余多余”未知力未知力qlFB83 所得所得FB為正值表示原來為正值表示原來假設(shè)的指向假設(shè)的指向( (向上向上) )正確。正確。固定端的兩個(gè)固定端的兩個(gè)約束力約束力利利用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡用相當(dāng)系統(tǒng)由靜力平衡條件求得為條件求得為 28185qlMqlFAA ，該超靜定梁的剪力圖和該超靜定梁的剪力圖和彎矩圖亦可利用相當(dāng)系彎矩圖亦可利用相當(dāng)系統(tǒng)求得，如圖統(tǒng)求得，如圖所示所示

20、。思考思考 1. . 該梁的反該梁的反彎點(diǎn)彎點(diǎn)( (彎矩變換正負(fù)彎矩變換正負(fù)號(hào)的點(diǎn)號(hào)的點(diǎn)) )距梁的左端距梁的左端的距離為多少？的距離為多少？ 2. . 該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求該超靜定梁可否取簡支梁為基本靜定系求解？如何求解？解？如何求解？解：解除約束代之以解：解除約束代之以約束反力約束反力DCDDABwwEIaREIaREIPaDD3365333即RPD54變形協(xié)調(diào)條件為：變形協(xié)調(diào)條件為：解：變形協(xié)調(diào)解：變形協(xié)調(diào)條件為：條件為：BBCBABwwEIaREIaREIqaBB338334即qaRB163 試求圖試求圖a所示結(jié)構(gòu)中所示結(jié)構(gòu)中AD桿內(nèi)的拉力桿內(nèi)的拉力FN。梁。梁AC和桿

21、和桿AD的材料相同，彈性模量為的材料相同，彈性模量為E； AD桿的橫截桿的橫截面積為面積為A，AC梁的橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為梁的橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為I 。例題例題 6-71.梁梁AC共有三個(gè)未知力共有三個(gè)未知力( (圖圖b) )FN，F(xiàn)B，F(xiàn)C ，但平，但平面僅有兩個(gè)平衡方程，故為一次超靜定問題。面僅有兩個(gè)平衡方程，故為一次超靜定問題。例題例題 6-7解：解： 2. 把把AD桿視為梁桿視為梁AC的的“多余多余”約束，相應(yīng)的約束，相應(yīng)的“多余多余”未知力為未知力為FN。位移。位移(變形變形)相容條件為梁的相容條件為梁的A截面的撓度截面的撓度wA等于桿的伸長量等于桿的伸長量 lDA(圖圖b)

22、，即，即wA= lDA。例題例題 6-73. 求求wA和和 lDA wA是由荷載產(chǎn)生的是由荷載產(chǎn)生的wAq(圖圖c)和和FN產(chǎn)生的產(chǎn)生的wAF (圖圖d)兩部分組成，兩部分組成，EIqawAq1274 例題例題 6-7把圖把圖d所示外伸梁，所示外伸梁，視為由懸臂梁視為由懸臂梁AB(圖圖e)和簡支梁和簡支梁BC(圖圖f)兩部分組成。兩部分組成。)(332,)(3)(32,323)2)(3N3N3N3N23N12NN EIaFEIaFEIaFwEIaFwEIaFawEIaFEIaaFAFABABM EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127 ，例題例題 6-74. 把把wA和和

23、 lDA代入代入位移位移( (變形變形) )相容條件得補(bǔ)充方程：相容條件得補(bǔ)充方程：由此求得由此求得EAlFEIaFEIqaN3N4127 34N 127AalIAqaF 例題例題 6-7 試求圖試求圖a所示等截面連續(xù)梁的所示等截面連續(xù)梁的約束反力約束反力FA , FB , FC，并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎并繪出該梁的剪力圖和彎矩圖。已知梁的彎曲剛度曲剛度EI=5106 Nm2。例題例題 6-81. 該梁有三個(gè)未知力該梁有三個(gè)未知力FA、 FB 、 FC ，僅有兩個(gè)平，僅有兩個(gè)平衡方程。故為一次超靜定問題。衡方程。故為一次超靜定問題。例題例題 6-8解：解： 2. 若取中間支座若取

24、中間支座B處阻止其左、右兩側(cè)截面相處阻止其左、右兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的約束為“多余多余”約束，則約束，則B截面上的一對(duì)截面上的一對(duì)彎矩彎矩MB為為“多余多余”未知力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖未知力，相當(dāng)系統(tǒng)如圖b。例題例題 6-8BB 相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件是相當(dāng)系統(tǒng)的位移條件是B處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角處兩側(cè)截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角等于零，即等于零，即例題例題 6-83. 查關(guān)于梁位移公式的附錄查關(guān)于梁位移公式的附錄可得可得 EIMEIBB3m424m4N/m102033 EIMEIBB3m5m56m2m5m2m3N10303 4. 將將 B B代入位移相容條件補(bǔ)充方程，代入位移相容條件補(bǔ)充方程，從而解得從而解

25、得 這里的負(fù)號(hào)表示這里的負(fù)號(hào)表示MB的實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖的實(shí)際轉(zhuǎn)向與圖b中所設(shè)相中所設(shè)相反，即為反，即為MB負(fù)彎矩。負(fù)彎矩。mkN80.31 BM例題例題 6-85. 利用圖利用圖b可得可得約束力分別為約束力分別為 kN64.11kN66kN05.32CBAFFF例題例題 6-8繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖繪出剪力圖和彎矩圖分別如圖c,d所示。所示。(c)(d)FS例題例題 6-8 超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，超靜定梁多余約束的選擇可有多種情況，例如，若以支座若以支座B為多余約束，為多余約束，F(xiàn)B為多余未知力，位移條件為多余未知力，位移條件為為wB=0，相當(dāng)系統(tǒng)如圖，相當(dāng)系統(tǒng)如圖(e)所

26、示。有如以支座所示。有如以支座C為多為多余約束，余約束，F(xiàn)C為多余未知，位移條件為為多余未知，位移條件為wC=0，相當(dāng)系，相當(dāng)系統(tǒng)如圖統(tǒng)如圖(f)所示。所示。 位移條件容易計(jì)算的相當(dāng)系統(tǒng)就是最適宜的。位移條件容易計(jì)算的相當(dāng)系統(tǒng)就是最適宜的。(f)FC(e)FB例題例題 6-8* *II. II. 支座沉陷和溫度變化對(duì)超靜定梁的影響支座沉陷和溫度變化對(duì)超靜定梁的影響 超靜定梁由于有超靜定梁由于有“多余多余”約束存在，因而支約束存在，因而支座的不均勻沉陷和梁的上座的不均勻沉陷和梁的上, ,下表面溫度的差異會(huì)下表面溫度的差異會(huì)對(duì)梁的對(duì)梁的約束力約束力和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，在工程實(shí)踐和內(nèi)力產(chǎn)生明顯影響，

27、在工程實(shí)踐中這是一個(gè)重要問題。中這是一個(gè)重要問題。(1) (1) 支座不均勻沉陷的影響支座不均勻沉陷的影響 圖圖a所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個(gè)支所示一次超靜定梁，在荷載作用下三個(gè)支座若發(fā)生沉陷座若發(fā)生沉陷 A 、 B 、 C，而沉陷后的支點(diǎn)，而沉陷后的支點(diǎn)A1 、B1 、C1不在同一直線上時(shí)不在同一直線上時(shí)( (即沉陷不均勻時(shí)即沉陷不均勻時(shí)) )，支，支座座約束力約束力和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時(shí)的值。和梁的內(nèi)力將不同于支座均勻沉陷時(shí)的值。210CABBBBw 現(xiàn)按如圖現(xiàn)按如圖a中所示各支點(diǎn)沉陷中所示各支點(diǎn)沉陷 B C A的情的情況進(jìn)行分析。此時(shí)，支座況進(jìn)行分析。此時(shí)，支座B相對(duì)于支

28、座相對(duì)于支座A 、C 沉陷沉陷后的點(diǎn)后的點(diǎn)A1 、C1 的連線有位移的連線有位移于是，如以支座于是，如以支座B1作為作為“多余多余”約束，以約束力約束，以約束力FB為為“多余多余”未知力，則作為基本靜定系的簡支未知力，則作為基本靜定系的簡支梁梁A1C1(參見圖參見圖b)在荷載在荷載 q 和和“多余多余”未知力未知力FB共共同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是同作用下應(yīng)滿足的位移相容條件就是210CABBBBw 于是得補(bǔ)充方程于是得補(bǔ)充方程由此解得由此解得 EIlFEIqlEIlFEIlqwwwBBBFBqBB6245482384253434 2624534CABBEIlFEIql 2245413C

29、ABBlEIqlF其中的其中的wB按疊加原理有按疊加原理有( (參見圖參見圖c、d):):再由靜力平衡方程可得再由靜力平衡方程可得 23833CABCAlEIqlFF(2) (2) 梁的上梁的上, ,下表面溫度差異的影響下表面溫度差異的影響 圖圖a所示兩端固定的梁所示兩端固定的梁AB在溫度為在溫度為 t0 時(shí)時(shí)安安裝就位，其后，由于梁的裝就位，其后，由于梁的頂頂面溫度升高至面溫度升高至 t1，底，底面溫度升高至面溫度升高至 t2，且，且 t2t1，從而產(chǎn)生，從而產(chǎn)生約束力約束力如如圖中所示。圖中所示。 由于未知的由于未知的約束力約束力有有6個(gè)，而獨(dú)立的平衡方個(gè)，而獨(dú)立的平衡方程只有程只有3個(gè)，

30、故為三次超靜定問題。個(gè)，故為三次超靜定問題。l 現(xiàn)將右邊的固定端現(xiàn)將右邊的固定端B處的處的3個(gè)約束作為個(gè)約束作為“多余多余”約束，則解除約束，則解除“多余多余”約束后的基本靜定系為左約束后的基本靜定系為左端固定的懸臂梁。端固定的懸臂梁。它在上它在上, ,下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角下表面有溫差的情況下，右端產(chǎn)生轉(zhuǎn)角 Bt和撓度和撓度wBt( (見圖見圖c) )以及軸向位移以及軸向位移 Bt。 如果如果忽略忽略“多余多余”未知力未知力FBx對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的對(duì)撓度和轉(zhuǎn)角的影響，則由上影響，則由上,下表面溫差和下表面溫差和“多余多余”未知力共同未知力共同引起的位移符合下列相容條件時(shí)，圖引起的位移

31、符合下列相容條件時(shí)，圖b所示的懸臂所示的懸臂梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：梁就是原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)：0 BxBFBtBx0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 式中一些符號(hào)的意義見圖式中一些符號(hào)的意義見圖c、d、e。0 BMBFBtBwwwwBy0 BByBMBFBtB 現(xiàn)在先來求現(xiàn)在先來求 Bt和和wBt與梁的上與梁的上, ,下表面溫差下表面溫差( (t2- - t1) )之間的物理關(guān)系。之間的物理關(guān)系。 從上面所示的圖從上面所示的圖a中取出的微段中取出的微段dx, 當(dāng)其下表當(dāng)其下表面和上表面的溫度由面和上表面的溫度由t0分別升高至分別升高至t2和和t1時(shí)，右側(cè)時(shí)，右側(cè)截面相

32、對(duì)于左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角截面相對(duì)于左側(cè)截面的轉(zhuǎn)角d 由圖由圖b可知為可知為 xhtthmmnnhnnldd120 上式中的負(fù)號(hào)用以表示圖上式中的負(fù)號(hào)用以表示圖a所示坐標(biāo)系中該轉(zhuǎn)角所示坐標(biāo)系中該轉(zhuǎn)角 d 為負(fù)。為負(fù)。將此式積分，并利用邊界條件將此式積分，并利用邊界條件0| 0|dd|000 xxxwxw， 得得 212122 xhttwxhttll ，根據(jù)上式可知，該懸臂梁因溫度影響而彎曲的撓根據(jù)上式可知，該懸臂梁因溫度影響而彎曲的撓曲線微分方程為曲線微分方程為 httxxwl1222dddd 從而有從而有 hlttwwhlttllxBtllxBt2| |21212 ，至于溫差引起軸向位移至于溫差引起軸向位移 Bt則為則為ltttlBt 0212 位移相容條件表達(dá)式中由位移相容條件表達(dá)式中由“多余多余”未知力引未知力引起的位移所對(duì)應(yīng)的物理