千題百煉——高中數(shù)學(xué)100個(gè)熱點(diǎn)問題(三)：第83煉-特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題(共5頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第83煉 特殊值法解決二項(xiàng)式展開系數(shù)問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、含變量的恒等式：是指無(wú)論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通?？蓪?duì)變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)2、二項(xiàng)式展開式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過對(duì)變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)（或二項(xiàng)式系數(shù)）的等式3、常用賦值舉例：（1）設(shè)，令，可得： 令，可得： ，即：（假設(shè)為偶數(shù)），再結(jié)合可得：（2）設(shè) 令，則有：，即展開式系數(shù)和 令，則有：，即常數(shù)項(xiàng) 令，設(shè)為偶數(shù)，則有： ，即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差 由即可求出和的值二、典型例題：例1：已知，則的值為_思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開式中奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的指數(shù)冪為奇數(shù)，所

2、以考慮令，則偶數(shù)項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到的值解：令可得： 令可得： 可得：答案：例2：已知，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過對(duì)賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所求式子特點(diǎn)可令，得到，只需再求出即可。令可得，所以答案：B例3：設(shè)，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：所求，在恒等式中令可得：，令時(shí)，所以答案：A例4：若，則等于（ ）A. B. C. D. 思路：雖然展開式的系數(shù)有正有負(fù)，但與對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值相同，且均為正數(shù)。所以只需計(jì)算展開的系數(shù)和即可。令，可得系數(shù)和為，所以答案：A例5：若，則_思路：所求表達(dá)式可變形為：，從而只

3、需求出和系數(shù)和即可。令可得：，令可得：，所以答案：2014例6：若，且，則等于（ ）A. B. C. D. 思路：由可得或，解得，所求表達(dá)式只需令，可得答案：A例7：若，則（ ）A. B. C. D. 思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn)2的指數(shù)冪遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令，可得：，令可得：，所以，所以所求表達(dá)式變形為：，而，所以，從而表達(dá)式的值為答案：D例8：已知 ，若，則的值為（ ）A. B. C. D. 思路：在恒等式中令可得系數(shù)和，與條件聯(lián)系可考慮先求出，令，可得，展開式中為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以，所以，即，解得答案：B例9：若，則的值是（ ）A. B. C. D. 思路：觀察所求式子中項(xiàng)的系

4、數(shù)剛好與二項(xiàng)展開式中所在項(xiàng)的次數(shù)一致，可聯(lián)想到冪函數(shù)求導(dǎo)：，從而設(shè)，恒等式兩邊求導(dǎo)再令可解得的值，再在原恒等式中令計(jì)算出即可解：設(shè)令可得：而在中，令可得：答案：D例10：若等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立，則（ ）A. B. C. D. 思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開式對(duì)應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積分。例如：，再利用賦值法令即可得到所求表達(dá)式的值解：，兩邊同取不定積分可得： 令可得： 令可得： 答案：B小煉有話說：（1）本題可與例9作一個(gè)對(duì)照，都是對(duì)二項(xiàng)展開的恒等式進(jìn)行等價(jià)變換。是求導(dǎo)還是取不定積分是由所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開式系數(shù)對(duì)照所確定的。（2）在取不定積分時(shí)，本題有兩個(gè)細(xì)節(jié)，一個(gè)是尋找的原函數(shù)，要注意其原函數(shù)求導(dǎo)時(shí)涉及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，所以系數(shù)要進(jìn)行調(diào)整。此類問題多是先猜函數(shù)的原型