概率論資料綜合

1、概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)一填空選擇題一填空選擇題考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 掌握事件的關(guān)系與運(yùn)算，會(huì)寫樣本空間1試驗(yàn)為拋一枚硬幣,觀察正面,反面出現(xiàn)的情況,則的樣本空間 .EHTES 2設(shè)為隨機(jī)事件,則中至少有一個(gè)發(fā)生可表示為 , ,A B C, ,A B C同時(shí)發(fā)生可表示為 , ,A B C考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 古典概型的計(jì)算；古典概型的計(jì)算；1.同時(shí)拋擲枚均勻的硬幣,則恰好有枚正面朝上的概率是 322.袋中有 5 個(gè)球,其中 3 個(gè)新球,2 個(gè)舊球,每次取一個(gè),無放回地取兩次,則兩次取到的均為新球的概率為 .3一袋中裝有 6 個(gè)球，其中 3 個(gè)白球，3 個(gè)紅球，依次從中取出 2 個(gè)球（不放回） ，則

2、兩次取到的均為白球的概率為 。154從五個(gè)數(shù)中任意取兩個(gè)數(shù),則這兩個(gè)數(shù)中含偶數(shù)的概率是 1,2,3,4,5考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 概率的計(jì)算概率的計(jì)算A A 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì)和事件的獨(dú)立性事件的獨(dú)立性綜合計(jì)算1已知，若事件 AB 相互獨(dú)立，則 1/20( ), ( )0.2, ()0.96P Aa P BP ABa 2 設(shè)，獨(dú)立，則 .( )0.4, ( )0.3P AP B,A B()P AB () _P AB3設(shè)事件與相互獨(dú)立,已知, .AB( )0.5, ()0.8P AP AB()P AB B B 條件概率相關(guān)計(jì)算條件概率相關(guān)計(jì)算1設(shè)事件與獨(dú)立,且,則 AB( )0.4P A (|)0.

3、5P B A ()P AB 2設(shè),則 .()0.3P AB (|)0.4P B A ( )P A 3已知，那么 _0.2_，( )0.5, ( )0.6, ()0.4P AP BP B A()P AB _0.4_, _0.7_.()P AB ()P ABC C 正態(tài)分布概率相關(guān)計(jì)算正態(tài)分布概率相關(guān)計(jì)算1設(shè)隨機(jī)變量,則 .（）(1,1)XN02PX(1)0.84132.已知，則_0.2_. 2(1,)XN120.3PX0P X 3 設(shè)隨機(jī)變量，則 ;若 則 .(1,4)XN( 13)PX ()0.5,P Xaa 0.6826, 14隨機(jī)變量，則 。0.35), 2(2NX(04)0.3,PX(0

4、)P XD D 其它其它設(shè)隨機(jī)變量,且與相互獨(dú)立,則 (1,1),( 1,1)XNYN XY0P XY考點(diǎn)考點(diǎn) 4 4 分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)：分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)相關(guān)的性質(zhì)：1設(shè)的分布函數(shù)為，則（1/4）.X20,0( ),021,2xF xAxxxA 2.設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布律為，則,10,0,1,2,kP Xkbbk_1-b_.3設(shè)的分布律為XX1234p0.1a0.30.2則 。a4設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則_4_.3,(0,1)( )0,cxxf x其它c(diǎn) 5設(shè)的密度函數(shù)，則分布函數(shù) X 1,0440,xf x其它0,01( ), 04441,xF xx

5、xx6 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù),則常數(shù) .X1( )arctan ()F xAxx A 考點(diǎn)考點(diǎn) 5 5 數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差）：數(shù)字特征（數(shù)學(xué)期望，方差，協(xié)方差）：1 1設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量同分布，同分布，則，則,X Y21EXDX、(2)_,EXY(2)_DXY 答答 ，(2)2426EXYEXEY2(2)24 15DXYDXDY 2 2設(shè)設(shè)，則，則 。 0.5E X 2EX 222 0.51EXEX3 3設(shè)設(shè)，則，則 )9 , 2( NX)(2XE222()()9213E XDXEX 4 4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量, ,則則 . .( )X 2()E X222()()

6、E XDXEX 5 5. . 設(shè)設(shè), ,且且與與獨(dú)立獨(dú)立, ,設(shè)設(shè), ,則則服從服從 (2,2),(1,1)XNYNXYZXYZ分布分布. .2 11EZEXEY 2 13DZDXDY (1,3)ZN6 6設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從服從上的均勻分布上的均勻分布, ,則則 . .X(1,3)(2)EX 3 1(2)2242EXEX7 7設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)分布, ,且且, ,則則= = . .X( ,0.4)B n4 . 2)(XE()D X，()0.42.4E Xnpn()0.4 0.62.4 0.61.44D Xnpqn8.8.設(shè)設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量，為兩個(gè)隨機(jī)變量，則則_，,

7、X Y1,6,cov(, )2,DXDYX Y,X Y_._.(2)DXY,(, )2636X YCov X YDXDY(2)(2)( )2ov(2, )42 2ov(, )462 2 22DXYDXD YCX YDXDYCX Y 9 9設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從服從上的均勻分布上的均勻分布, ,則則 X(1,3)1()EX提示：提示：1,13( )20,xXf x其它31111()( )2Ef x dxdxXxx10.10.設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為服從參數(shù)為的泊松分布的泊松分布, ,且且, ,則則 2 2 . .X0(1)(2)1E XX1111設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，則 3 .X()3E

8、 X ()E E X考點(diǎn)考點(diǎn) 6 6 中心極限定理（考的可能性較?。┲行臉O限定理（考的可能性較?。? 設(shè)，使用中心極限定理計(jì)算 . 10000,0.1XB1030P X 9772. 02,8413. 010.8413考點(diǎn)考點(diǎn) 7 7 分位數(shù)相關(guān)計(jì)算分位數(shù)相關(guān)計(jì)算1.已知，則 。0.95) 1 , 0( NX)(05. 0uXP2設(shè)隨機(jī)變量,且,則 . 2( )Xn132( )P Xnpp考點(diǎn)考點(diǎn) 7 7 幾個(gè)重要的抽樣分布及抽樣分布定理幾個(gè)重要的抽樣分布及抽樣分布定理1 1設(shè)設(shè)是來自總體是來自總體的樣本的樣本, ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量服從服從 1021,XXXX) 1 , 0( N1021ii

9、X分布分布. .10221( )iiXn2設(shè)為取自總體的樣本， ，樣本均值為，則1,nXXX2,XN X .2P Xn考點(diǎn)考點(diǎn) 8 8 估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則（估計(jì)量的評(píng)價(jià)準(zhǔn)則（無偏估計(jì)量）1是來自總體的樣本,當(dāng)滿足時(shí)，是12,XX2( ,)N , a b_12aXbX的無偏估計(jì).1ab2 設(shè)是來自總體的一個(gè)樣本,且總體的數(shù)學(xué)期望,若12,XXXX()E X是的無偏估計(jì)量,則常數(shù) .1213CXXC 考點(diǎn)考點(diǎn) 9 9 置信區(qū)間與假設(shè)檢驗(yàn)：1、設(shè)總體，從該總體抽取容量的樣本，計(jì)算得樣本均值，2( ,)XN 16n10 x樣本方差，寫出正態(tài)總體方差的置信水平為的置信區(qū)間 16s 295. 0。24024

10、010:27.4886.2622設(shè)來自總體容量為的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的樣本均值,則未知參數(shù)2( ,4 )XN165x 的置信度為的置信區(qū)間長(zhǎng)度為 .95. 03.923、設(shè)總體，從該總體抽取容量的樣本，計(jì)算得樣本均值，2( ,)XN 16n10 x樣本方差，寫出正態(tài)總體方差的置信水平為的置信區(qū)間 16s 295. 0。39、設(shè)總體（未知） ，從該總體抽取容量的樣本，則關(guān)于假設(shè)2( ,)XN 16n的顯著性水平的檢驗(yàn)拒絕域是 0010:HH0.05。設(shè)總體（未知） ，從該總體抽取容量的樣本，則關(guān)于假設(shè)2( ,)XN 16n的顯著性水平的檢驗(yàn)拒絕域是。0010:HH0.051.753t 4設(shè)總體,均未知

11、,為來自總體的樣本,為樣本均2( ,)XN , 12,nXXXXX值,為樣本方差,欲檢驗(yàn)假設(shè),則檢驗(yàn)水平為的檢驗(yàn)拒絕域?yàn)?S0010:,:HH .0 xsn2t二、求解下列概率問題二、求解下列概率問題考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 條件概率條件概率 3 3 大公式（考的概率較?。┐蠊剑嫉母怕瘦^小）1（本題 10 分）已知某電子元件的壽命服從參數(shù)為指數(shù)分布，求X11500（1）元件壽命超過 1000 小時(shí)的概率；（2）5 個(gè)這樣的元件使用 1000 小時(shí)，至少有一個(gè)損壞的概率. (1) 510002150031000P Xee(2) 552103311ee 2、設(shè)一批產(chǎn)品中，A、B、C 三工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品各

12、占 50%、30%、20%，次品率分)15(分別為 0.02、0.04、0.05，現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，求取得的產(chǎn)品是次品的概率；(2) )10(分若已知取得的產(chǎn)品是正品，求該產(chǎn)品是 A 工廠產(chǎn)品的概率。)5( 分解：設(shè)分別表示產(chǎn)品取自三工廠，事件表取到產(chǎn)品為次品。321,AAACBA,B)()()()()()()(332211APABPAPABPAPABPBP.10 分032. 02 . 005. 03 . 004. 05 . 002. 0.5 分484245032. 015 . 098. 0)(1)()()()()()(11111BPAPABPBPAPABPBAP3、 （15 分）一袋中裝有

13、 7 個(gè)黑球，3 個(gè)白球，先后兩次從袋中各取一球（不放回） 。（1）若第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；（2）求兩次取出的都是黑球的概率；（3）求第二次取出的是黑球的概率。（1 1）（5 5 分）分） （2 2）（5 5 分）分） （3 3）（5 5 分）分）23715710考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 求概率求概率1、 （本題 10 分）設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布，求關(guān)于的方程X0,3y有實(shí)根的概率.24420yXyX2設(shè)。)10(分210,2,614 ,102XNPXP X求提示 .5 分610101410614222(2)( 2)2 (2)10.9544XPXP ) 1() 1 (1

14、) 1210() 1210() 1210()210(XPXPXPXP3174. 0)1 (1 (23 3、 （10 分）設(shè)，求。 1 , 2 NX 31,4XPXP提示：提示：(4)1(2)0.0228(5 )(13)2 (1) 10.6826(5 )P XPX 4、 （10 分）設(shè)服從二項(xiàng)分布，即，已知X55(1),0,1,5kkkP XkC ppk，求。51(0.6)P X 2P X 提示：提示： （5 5 分）分）55501 0.611 0.6P Xp （5 5 分）分）4555552110.65(11 0.6 )(1 0.6 )P XP XP X5設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,表示對(duì)的三

15、次獨(dú)立重復(fù)觀察中事件X0,3YX出現(xiàn)的次數(shù),求.1X 2P Y 提示：提示： 由于,因此概率密度為. 0,3XX1 3,03( )0,xf x其它 1011133pP Xdx由題知，所以 1(3, )3YB22311221339P YC 考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 離散型和連續(xù)型概率的求法與期望和方差的計(jì)算離散型和連續(xù)型概率的求法與期望和方差的計(jì)算1、 （本題 16 分）已知離散型隨機(jī)變量的分布律為：XX2101ip61313161 (1) 求; (2) 求分布函數(shù); (3) 求出期望 方差.1.51.5PX( )F x(),E X()D X提示：提示：1.(1) 451.51.51016PxP XP

16、XP X (2) 40,21,2161,10( )25,0161,1xxxF xxx (3) 2221711,4,()()42612E XE XD XE XEX 2、 （本題 12 分）設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù) ,X,01( )2, 120,xxf xxx其他 (1) 求; (2) 求出期望 方差.0.5P X (),E X()D X提示：(1) 4120.51317(0.5)(2)828P Xxdxx dx(2) 4 1201(2)1E Xx xdxxx dx41222220171()()()(2)1166D XE XEXxxdxxx dx 3.設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為XX2101kp0.2a

17、0.30.3求常數(shù);設(shè),求的概率分布律.a21YXY提示：提示：由,得. 0.20.30.31a0.2a 可能取值 ,Y1,0,3100.3P YP X , . 0110.5P YP XP X 320.2P YP X 的分布律為YY103kp0.30.50.2 4. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度.X,1231( )2320,xxf xx他他他求分布函數(shù);.( )F x1.5P X ()E X提示：提示：當(dāng)時(shí)，; 當(dāng)時(shí)，;1x ( )0F x 12x211( )36xtxF xdt當(dāng)時(shí)，; 23x21211( )322xtxF xdtdt當(dāng)時(shí)，; （4 分）3x ( )1F x 所以. 2011,

18、126( )1,2321,3xxxF xxxx，. 51.511.51(1.5)24P XP XF . 2312173()3236xE Xxdxxdx三、求解下列各題三、求解下列各題考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 求隨機(jī)變量函數(shù)的分布（必考）：求隨機(jī)變量函數(shù)的分布（必考）：1、 （10 分）設(shè)的概率密度，求的密度函數(shù)。X 1,010,xf x其它1YXY解 （5 5 分）分）00( )0111xF xxxx （5 5 分）分）112( )0yyfy其它2、 （本題 8 分）設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù), 求的概率密度.X1,12( )0,xf x其他2XYe1. 3 21,12,( )()()0,xYxf xFyP

19、 YyP ey其他 當(dāng)時(shí)，; 20y ( )0YFy 當(dāng)時(shí)，, ,0,y 11( )(ln )( ln )22YFyP XyFy( )( ).YYfyFy于是 3241,2( )0,Yeyeyfyothers3設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布律為(, )X YXY10111 61 91 1821 3若與相互獨(dú)立, 求常數(shù);求，;設(shè)XY, max(, )1PX Y 0P XY ,求的概率分布律.ZXYZ解：XY101jp11 61 91 181 321 31 3ip1 21 91 18由于與相互獨(dú)立， XY1 3（1 9+ ）=1 92 91 3（118+ ）=1181 9 1max(, )11,10,

20、11,13PX YP XYP XYP XY 100,10,11,23P XYP XYP XYP XY可能取值為：Z012 3， 01,11 6P ZP XY 10,11,24 9P ZP XYP XY 21,10,25 18P ZP XYP XY31,21 9P ZP XYY0123kp1 64 95 181 9 考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望, ,方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算（必考）：方差，協(xié)方差，相關(guān)系數(shù)的計(jì)算（必考）：1 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且求,X Y 1,2,2,4,E XE YD XD Y. 2,XYE XD XY相關(guān)系數(shù)解解. .322()()()2 13E XD XEX 由

21、于相互獨(dú)立，故 .3,X Y0XY .222222D(XY)=E XY( ()()3 8420E XYE X YEXEY 考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 邊緣分布：邊緣分布：1、 （本題 12 分）設(shè)的聯(lián)合概率分布為YX,YX12300.10.20.110.20.10.3（1）求邊緣分布律；（2）判別與是否相互獨(dú)立；（3）求.XY(, )Cov X Y2、設(shè)總體的聯(lián)合概率密度函數(shù)為：)15(分(, )X Y其他021 , 10),(yxkxyyxf（1）求常數(shù)；（2）求；（3）求邊緣概率密度)5( 分k)4( 分)5 . 1, 1(YXP)6( 分；并判斷是否獨(dú)立。)(),(yfxfYXYX與解（1）344

22、323),(1102110 kkdxkxkxydydxdxdyyxf.4 分1256534)5 . 1, 1(10105 . 11dxxdyxydxYXP時(shí)，；10 xxdyxydyyxfxfX234),()(21 .2 分其他0102)(xxxfX 時(shí)，；21 y3234),()(10ydxxydxyxfyfY.2 分其他02132)(yyyfY 與是相互獨(dú)立 .2 分)()(),(yfxfyxfYXXY四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題四、求解下列數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題考點(diǎn)考點(diǎn) 1 1 距估計(jì)：距估計(jì)：1、 （本題 8 分）設(shè)總體的密度函數(shù)為 ，X101,( )0,xxf x其他為未知參數(shù),是取自總體的樣本,

23、求的矩估計(jì).012,nXXXX01ip0.40.6Y123jp0.30.30.4提示提示 2 1110,1aEXxxdx 3 211,1aa 從而3 2.1XX2.設(shè)總體的概率密度為,其中為未知參數(shù),X36(), 0( ; )0,xxxf x其他0是來自總體的樣本.求未知參數(shù)的矩估計(jì)量;的方差.nXXX,21X( )D提示提示 ：, 11306()()22xaE Xxx dxa代替,得的矩估計(jì)值為. X1a2X, 2223063()()10 xE Xxx dx2221()() ()20D XE XE X 211( )4 ()4()5DD XD Xnn3（本題 10 分）設(shè)總體，為未知參數(shù).已知

24、取得了樣本值， ( , )XB n p01p12( ,)nx xx求的矩估計(jì).p提示提示 ： 5 5EXnpMExpn4 （本題 10 分）設(shè)總體具有概率分布XX123kp22（1- ）2（1）為未知參數(shù)。已知取得了樣本值，求的矩估計(jì).0112342,1,2,3xxxx解. 3 3 32EX1(3)2x 1 32x 12ME考點(diǎn)考點(diǎn) 2 2 最大似然估計(jì)：最大似然估計(jì)：1（本題 8 分）設(shè)總體的密度函數(shù)為X，0,( )0,xxef x其他為未知參數(shù),是取自總體的樣本,求的最大似然估計(jì).012,nXXX提示提示: : 311( )ln ( )lninnXniiiLeLnX令 3 得2ln ( )

25、0,dLd1.X2（本題 10 分）設(shè)總體具有概率密度X，為未知參數(shù)，為其一組樣本值.1,1( )0,xxf x 其它012( ,)nx xx求的最大似然估計(jì).提示提示: :. 31111( )()nnniiiiLxx 21ln ( )ln(1)lnniiLnx 2 31ln ( )ln0niiLnx1lnMLEniinx3、 （10 分）設(shè)總體的密度函數(shù)為X(1)01( ; )0 xxf x其它其中為未知參數(shù)，已知取得了樣本值，求的最大似然估計(jì)。012,nx xx提示提示: : 1( )(1) ()nnLxx1lninx 4、 （本題 10 分）設(shè)總體具有概率密度X，為未知參數(shù)為其一組樣本值

26、.其他010) 1();(xxxf112( ,)nx xx求的矩估計(jì)值.解： 2121) 1();()(10)2(101xdxxxdxxxfXEa 12111aa12112111XXAA121xx5、 （本題 10 分）設(shè)總體具有分布律為：XX123kp22 (1)2(1)為未知參數(shù)。已知取得了樣本值，求的最大似然估計(jì)值。012, 3, 2321xxx解：422232131)1 (4)1 ()1 (2)2()3()2();()(xpxpxpxpLii.0142)(lnL316、 （14 分）設(shè)總體 X 的概率密度 ，其中未知，0，101( ; )0 xxf x其他為取自總體的一個(gè)樣本1,nXX

27、，（1）求的矩估計(jì)量；（2）求的最大似然估計(jì)量.)1ln(4ln24ln)(lnL提示提示: : 2211212(1) (),()(7 )11(2) ( ),(7 )(ln)nniXE XXnLxxx考點(diǎn)考點(diǎn) 3 3 假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)：1.（本題 8 分）要求一種元件使用壽命不得低于 1000 小時(shí)，今從這批元件中隨機(jī)抽取 25個(gè)，測(cè)得其壽命的平均值為 950 小時(shí). 已知該種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為小時(shí)的正100態(tài)分布.試在顯著性水平下確定這批元件是否合格？設(shè)總體均值為即檢驗(yàn)假設(shè)0.05,. ( 參考值：)01:1000 H :1000H0.050.0251.645,1.96uu提示：提示：

28、拒絕域 3 , 1.645Ru 30950 10002.51.6451005Xn 所以拒絕原假設(shè),即認(rèn)為這批元件不合格. 20H2（本題 8 分）已知某一試驗(yàn)，其溫度服從正態(tài)分布，均未知，現(xiàn)在測(cè)量2,N 2, 了 16 個(gè)溫度，其均值，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，試檢驗(yàn)下列假設(shè)：1259X 12S (0.05)。01:1277:1277HH提示：提示：拒絕域 22,(1)(1),Rtntn , 2.13152.1315, 3 301259 127762.1315124Xsn 所以拒絕原假設(shè) 20H3、 （6 分）設(shè)某種元件的壽命均未知，現(xiàn)從中抽取容量為 16 的一個(gè),2NX樣本，算得，試檢驗(yàn)：。12,2xs0

29、1:11.5:11.5HH05. 0提示：提示：02.131(4 ),12.131,(6 )TH 拒絕域T所以接受一選擇題與填空題1若事件滿足，則一定有（B）,B ABAB(A)(B)A AB (C)(D) AB BA2設(shè)事件互不相容，則（A）,A B (A)(B)()1P AB()1P AB (C)(D)()( ) ( )P ABP A P B( )1( )P AP B 3. 一袋有 10 個(gè)球，其中 9 只白球，一只黑球.現(xiàn)有 10 人依次來取球，每人取一個(gè)，直至把球取完.則（C）(A)第一個(gè)人取到黑球的概率最大(B) 第 10 個(gè)人取到黑球的概率最大 (C)每個(gè)人取到黑球的概率相等(D)

30、 最后一個(gè)人取到黑球的概率最小4 “三個(gè)事件中至少有兩個(gè)發(fā)生”這一事件表示為., ,A B CABBCAC“兩個(gè)事件中至少有一個(gè)發(fā)生” ，這一事件表示為 , ,A B CABC5已知，那么 _0.2_，( )0.5, ( )0.6, ()0.4P AP BP B A()P AB _0.4_, _0.7_.()P AB ()P AB6已知，若事件 AB 相互獨(dú)立，則 1/20( ), ( )0.2, ()0.96P Aa P BP ABa 設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布律為，則,10,0,1,2,kP Xkbbk_1-b_.設(shè)的分布函數(shù)為，則（ 1 /4）.X20,0( ),021,2xF xAxx

31、xA 設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，則_4_.3,(0,1)( )0,cxxf x其它c(diǎn) .已知，則_0.2_. 2(1,)XN120.3PX0P X 11一袋中裝有 6 個(gè)球，其中 3 個(gè)白球，3 個(gè)紅球，依次從中取出 2 個(gè)球（不放回） ，則兩次取到的均為白球的概率為 。15二解答題1設(shè)22,2,24 ,22XNPXP X 求解：（1），故 22,2XN2012XN， 22242224212222XXPXPP 12112 1210.8185 （2） 22222111222XXXP XPPP 1112 11 =0. 31743 設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律為XX-1012kpa0.20.40.1（1

32、）確定常數(shù) （2）求的分布函數(shù) （3）求aX( )F x01.5PX（4）則的分布律22YX解：（1）由分布律的性質(zhì)：并且 得0a 0.20.40.11a0.3a （2）由公式得( )iixxF xP Xxp0,10.3,10( )0.5,010.9,121,2xxF xxxx （3）由公式得iixDP xDp01.5010.6PXP XP X（4）先寫下表：X-1012kp0.30.20.40.122YX-1-2-10整理得22YX-2-10kp0.20.70.14、設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求關(guān)于的方程沒有實(shí)根的概X1,6y210yXy 率.解： 隨機(jī)變量的密度函數(shù)為X1,16( )50

33、Xxfx，其它 24 1022XX 222111( 22)( )55XPXfx dxdx 5已知隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求的概率密度函數(shù).X0,231YX解： 隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 X1,02( )20Xxfx，其它 30,0( ),0221XxxFxxx，2 40,11( ),15615YyyFyyy ， 1,15( )60Yyfy ，其它2. 已知某電子元件的壽命服從參數(shù)為指數(shù)分布，求X11500（1）元件壽命超過 1000 小時(shí)的概率；（2）5 個(gè)這樣的元件使用 1000 小時(shí)，至少有一個(gè)損壞的概率.(1) 510002150031000P Xee(2) 52103311ee 61設(shè)一

34、批產(chǎn)品中，A、B、C 三工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品各占 50%、30%、20%，次品率分別為0.02、0.04、0.05，現(xiàn)從中任取一件產(chǎn)品，（1）求取得的產(chǎn)品是次品的概率；（2）若已知取得的產(chǎn)品是正品，求該產(chǎn)品是 A 工廠產(chǎn)品的概率。 112233111(1)|30.0326|2|20.5 0.9820.968P BP A P B AP AP B AP AP B AP A P B AP A BP B一一 填空題填空題1 1設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量設(shè)獨(dú)立隨機(jī)變量同分布，同分布，則，則,X Y21EXDX、(2)_,EXY(2)_DXY 答答 (2)2426EXYEXEY2(2)24 15DXYDXDY 2 2設(shè)設(shè)，

35、則，則 。 0.5E X 2EX 222 0.51EXEX3 3設(shè)設(shè)，則，則 )9 , 2( NX)(2XE222()()9213E XDXEX 4 4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量, ,則則 . .( )X 2()E X222()()E XDXEX 5 5. . 設(shè)設(shè), ,且且與與獨(dú)立獨(dú)立, ,設(shè)設(shè), ,則則服從服從 (2,2),(1,1)XNYNXYZXYZ分布分布. .2 11EZEXEY 2 13DZDXDY (1,3)ZN6 6設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從服從上的均勻分布上的均勻分布, ,則則 . .X(1,3)(2)EX 3 1(2)2242EXEX7 7設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布服從二項(xiàng)

36、分布, ,且且, ,則則= = . .X( ,0.4)B n4 . 2)(XE()D X()0.42.4E Xnpn()0.4 0.62.4 0.61.44D Xnpqn8.8.設(shè)設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)變量，為兩個(gè)隨機(jī)變量，則則_，,X Y1,6,cov(, )2,DXDYX Y,X Y_._.(2)DXY,(, )2636X YCov X YDXDY(2)(2)( )2ov(2, )42 2ov(, )462 2 22DXYDXD YCX YDXDYCX Y 9 9設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量服從服從上的均勻分布上的均勻分布, ,則則 X(1,3)1()EX1,13( )20,xXf x其它提示：提示：311

37、11()( )2Ef x dxdxXxx1010設(shè)設(shè)是來自總體是來自總體的樣本的樣本, ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量服從服從 1021,XXXX) 1 , 0( N1021iiX分布分布. .10221( )iiXn二二 選擇題選擇題1 1設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量, ,且且與與獨(dú)立獨(dú)立, ,設(shè)設(shè), ,則則 D D (2,2),(1,1)XNYNXYZXYZ （A） （B） （C） （D）(3,1)N(1,1)N(3,3)N(1,3)N2 2設(shè)設(shè)與與為兩個(gè)隨機(jī)變量為兩個(gè)隨機(jī)變量, ,下列等式一定成立的是下列等式一定成立的是 C C .XY（A A） （B B）()()( )D XYD XD Y()()(

38、)D XYD X D Y（C C） （D D）()()( )E XYE XE Y()() ( )E XYE X E Y3 3設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為, ,則其邊緣分布函數(shù)則其邊緣分布函數(shù)為為 B B .(, )X Y( , )F x y( )XFx（A A） （B B） （C C） （D D）lim( , )yF x ylim( , )yF x y( ,0)F x(0, )Fx4 4設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量, ,且且, ,則則分別為分別為 A A .( , )XB n p()1.6,()1.28E XD X, n p（A A） （B B） 8,0.2np4,0.4np（C C）

39、 （D D）5,0.32np6,0.3np提示：提示：()1.6,()1.28E XnpD Xnpq5 5設(shè)設(shè), ,與與相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù), ,則則 D D .()( )2D XD YXY1 2XY()D XY（A A） （B B） （C C） （D D）2456()2(, )2221422242XYD XYDXDYCov X YDXDY 6 6已知已知，則，則（ ）. .1,3EXDX 23(2)EX (A)(A) (B)(B) (C)(C) (D)(D) 9630362223(2)3 ()63 () )63 (3 1)6EXE XDXEX 三、判斷題：三、判斷題：1 1如果事件如果事件相互獨(dú)

40、立相互獨(dú)立, ,則則也相互獨(dú)立也相互獨(dú)立. ,A B,A B2 2若若, ,則則相互獨(dú)立相互獨(dú)立. . 1212()() ()()nnP A AAP A P AP A12,nA AA 3 3若若, ,則事件則事件是不可能事件是不可能事件. . ( )0P A A4 4一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)隨機(jī)變量, ,如果它不是離散型的那一定是連續(xù)型的如果它不是離散型的那一定是連續(xù)型的. . 6 6對(duì)于任意的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差一定是都存在的對(duì)于任意的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差一定是都存在的. . 7 7對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量來說來說, ,和和不相關(guān)與不相關(guān)與和和相互獨(dú)立是等價(jià)的相互獨(dú)立是等價(jià)的. .

41、(, )X YXYXY8 8對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量來說來說, ,隨機(jī)變量隨機(jī)變量和和的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布一定可以確定一定可以確定(, )X YXY( , )F x y和和的邊緣分布的邊緣分布和和.XY( )XFx( )YFy四、解答題：四、解答題：1 1、 （本題（本題 1515 分）設(shè)分）設(shè)的聯(lián)合概率分布為：的聯(lián)合概率分布為：,X Y Y X1 12 23 3Xip0 00.10.1a0 00.20.21 1b0.30.3cYjp0.50.5（1 1）確定確定的值（的值（2 2）試求）試求的邊緣分布（的邊緣分布（3 3）是否獨(dú)立？是否獨(dú)立？ , ,a b c,X Y,X Y（1 1

42、）0.10.50.100.20.10.31aaabc 0.10.40.1abc（2 2） Y X1 12 23 3Xip0 00.10.10.10.10 00.20.21 10.40.40.30.30.10.10.80.8Yjp0.50.50.40.40.10.11 1X X1 12 23 3p p0.50.50.40.40.10.1Y Y0 01 1p p0.20.20.80.8(3)(3)不獨(dú)立不獨(dú)立2 2、 （本題（本題 1515 分）設(shè)分）設(shè)的聯(lián)合分布律為：的聯(lián)合分布律為：,X Y Y X1 12 23 30 01121801 1143816試求（試求（1 1）的邊緣分布律；（的邊緣分

43、布律；（2 2）；（；（3 3）)6( 分,X Y)4( 分)32 , 10(YXP)5( 分。)(),(XDXE解：解：(1)(1)YX1 12 23 3. ip0 01/121/121/81/80 05/245/241 11/41/43/83/81/61/619/2419/24. jp1/31/31/21/21/61/61 1所以所以 X X 的邊緣分布律為的邊緣分布律為Y Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為Y Y1 12 23 3p p1/31/31/21/21/61/6X X0 01 1p p5/245/2419/2419/24(2)(2)1312(01,23)08863PXY (3)(

44、3)2222251919()01,24242451919()01242424()()()E XE XD XE XE X 3.3.（本小題滿分（本小題滿分 1010 分）設(shè)隨機(jī)變量分）設(shè)隨機(jī)變量分布律為分布律為(, )X YXY101200.00.050.050.2010.10.100.150.0520.10.150.000.05（1 1）求關(guān)于）求關(guān)于和和邊緣分布律邊緣分布律; ;（2 2）求）求的分布律的分布律. .XYmax(, )UX Y解：提示解：提示(1)(1)XY1012. jp00.00.050.050.200.310.10.100.150.050.420.10.150.000.

45、050.3. ip0.2 0.30.20.3所以所以 X X 的邊緣分布律為的邊緣分布律為X X-1-10 01 12 2p p0.20.20.30.30.20.20.30.3Y Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為Y Y0 01 12 2p p0.30.30.40.40.30.3（3 3）提示）提示p p0.10.10.10.10.050.050.10.10.150.150.050.050.150.150.20.20.050.050.050.05(X,Y)(X,Y)(-1,1)(-1,1)(-1,2)(-1,2)(0,0)(0,0)(0,1)(0,1)(0,2)(0,2)(1,0)(1,0)(1,1)(1,1)(2,0)(2,0)(2,1)(2,1)(2,2)(2,2)max(, )X Y1 12 20 01 12 21 11 12 22 22 24.4.（本小題滿分（本小題滿分 8 8 分）設(shè)分）設(shè)和和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, ,在在上服務(wù)均勻上服務(wù)均勻XYX(0,1)分布分布, ,的概率密度為的概率密度為Y212,0( )0,yYeyfy他他（1 1）問）問和和的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度; ;XY（2