代數(shù)基本規(guī)律

1、代數(shù)基本規(guī)律一、 數(shù)實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)基本概念 實(shí)數(shù)包括有理數(shù)和無(wú)理數(shù)。其中無(wú)理數(shù)就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)就包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)。實(shí)數(shù)的分類數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)直觀地定義為和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的數(shù)。本來(lái)實(shí)數(shù)僅稱作數(shù)，后來(lái)引入了虛數(shù)概念，原本的數(shù)稱作“實(shí)數(shù)”意義是“實(shí)在的數(shù)”。實(shí)數(shù)可以分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)兩類，或正數(shù)，負(fù)數(shù)和零三類。實(shí)數(shù)集合通常用字母 R 或 Rn 表示。而 Rn 表示 n 維實(shí)數(shù)空間。實(shí)數(shù)是不可數(shù)的。實(shí)數(shù)是實(shí)分析的核心研究對(duì)象。實(shí)數(shù)可以用來(lái)測(cè)量連續(xù)的量。理論上，任何實(shí)數(shù)都可以用無(wú)限小數(shù)的方式表示，小數(shù)點(diǎn)的右邊是一個(gè)無(wú)窮的數(shù)列（可以是循環(huán)的，也可以是非循環(huán)的）。在實(shí)際運(yùn)用中，實(shí)數(shù)經(jīng)常被近似成

2、一個(gè)有限小數(shù)（保留小數(shù)點(diǎn)后 n 位，n 為正整數(shù)）。在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，由于計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限的小數(shù)位數(shù)，實(shí)數(shù)經(jīng)常用浮點(diǎn)數(shù)來(lái)表示。相反數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，我們就說(shuō)其中一個(gè)是另一個(gè)的相反數(shù)） 實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a絕對(duì)值（在數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)0的距離） 實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值是：|a|= a為正數(shù)時(shí)，|a|=a a為0時(shí)， |a|=0 a為負(fù)數(shù)時(shí)，|a|=-a倒數(shù) （兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積是1，則這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)） 實(shí)數(shù)a的倒數(shù)是：1/a （a0） 分類 按性質(zhì)分類是：正數(shù)、負(fù)數(shù)、0；按定義分類是：有理數(shù)、無(wú)理數(shù)。注意 （一）任何一個(gè)有理數(shù)都可寫成有限小數(shù)或者無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式，反之，任何有限小數(shù)或無(wú)限

3、循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)（二）對(duì)無(wú)理數(shù)的判斷注意以下三點(diǎn)：1、無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以只能以四種形式出現(xiàn)開方開不盡的數(shù)化簡(jiǎn)后含圓周率的數(shù)?！啊彪m然是一個(gè)常數(shù)，但它是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，屬無(wú)理數(shù)特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.100 100 010 000 1等 有些三角函數(shù)值2、判斷無(wú)理數(shù)要先化簡(jiǎn)，不能只看表面形式3、一些除不盡的分?jǐn)?shù)，如 22/7，1/13,1/7 等，會(huì)誤認(rèn)為是無(wú)理數(shù)，但事實(shí)上分?jǐn)?shù)都是有理數(shù)相關(guān)規(guī)律分析1、實(shí)數(shù)比較大小方法：一、比較被開方數(shù)法一般地，當(dāng)a>0，b>0時(shí)，如果a>b，那么。也就是說(shuō)，兩個(gè)正數(shù)，較大的正數(shù)的算術(shù)平方根也較大，其立方根也較大。反之也成立。例1、比較

4、大?。海?）；（2）。解析：若要比較形如的兩數(shù)的大小，可先把根號(hào)外的因數(shù)a與c移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。（1）因?yàn)?，且，所以，因此，。?）因?yàn)?，且，所以，所以。因此，。二、添加根?hào)法若a>0，則。在比較一個(gè)有理數(shù)和一個(gè)無(wú)理數(shù)的大小時(shí)，常選用此式。例2、比較的大小。解析：因?yàn)?，又因?yàn)椋谑?，即。三、乘方法（平方法或立方法）如果a>0，b>0，若，那么a>b；若 ，那么a>b。例3、比較大?。海?）；（2）。解析：（1）因?yàn)?，?2<18，所以。（2）因?yàn)?，而，所以。四、取近似值法（估算法）在比較兩個(gè)無(wú)理數(shù)的大小時(shí)，如果有計(jì)算器，可以先用計(jì)算器

5、求出它們的近似值。不過(guò)取近似值時(shí)，要使它們的精確度相同。再通過(guò)比較它們的近似值的大小，從而確定它們的大小。如果沒(méi)有計(jì)算器，則可用估算法。先估算出兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較。例4、比較大?。海?）；（2）。解析：（1）因?yàn)樗?。又因?yàn)?，所以。?）因?yàn)?，所以，所以。五、作差法作差法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，先求出a與b的差。當(dāng)時(shí)，得到a>b；當(dāng)時(shí)，得到a<b；當(dāng)時(shí)，得到a=b。例5、比較的大小。解析：因?yàn)?，所以。六、作商法作商法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先求出a與b的商。當(dāng)時(shí)，a<b；當(dāng)時(shí)，a>b；當(dāng)時(shí)，a=b。例6、比較的大小。解

6、析：因?yàn)?，所以。七、放縮法（中間值法）如果a<c，c<b，那么a<b。若通過(guò)放縮能夠確定兩個(gè)實(shí)數(shù)中的一個(gè)比某個(gè)數(shù)小，而另一個(gè)恰好比該數(shù)大時(shí)，可選用此法。例7、比較的大小。解析：因?yàn)?，所以。所以，即。八、不等式性質(zhì)法例8、比較大?。?。解析：因?yàn)?，所以，因此。九、特殊值法在解決含有字母的選擇題或填空題時(shí)，常?？梢圆捎锰厥庵捣?，這樣能夠比較快捷地得到答案。例9、已知x<y<0，設(shè)，則M、N、P、Q的大小關(guān)系是（ ）。A、M<Q<P<N B、M<P<Q<N C、Q<N<P<M D、N<Q<P<M解析：

7、根據(jù)條件，不妨設(shè)，則M=4，N=1，。不難得到：N<Q<P<M。因此，應(yīng)選D。十、數(shù)軸比較法數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，數(shù)軸上的靠右邊的點(diǎn)表示的數(shù)大于靠左邊的點(diǎn)表示的數(shù)。例10、已知a、b是實(shí)數(shù)，且。試比較a，b，a，b的大小關(guān)系。解析：因?yàn)?，故可將a、b兩數(shù)在數(shù)軸上表示出來(lái)，如圖1。又因?yàn)閍與與互為相反數(shù)，根據(jù)相反數(shù)的幾何意義，a與,在數(shù)軸上可表示為圖2。所以的大小關(guān)系是。十一、法則比較法正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。兩個(gè)正數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)較大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的數(shù)反而較小。例11、已知a、b是實(shí)數(shù)，且a<0<b，c0，試比較的大小。解析：因?yàn)閍

8、<0,b>0，則ab<0。又c0，則，所以，為負(fù)數(shù)。而b>0，所以，為正數(shù)。所以。十二、根式定義法該法適用于二次根式和三次根式的大小比較。例12、比較的大小。解析：根據(jù)平方根的定義可知。所以，故。而。十三、倒數(shù)法倒數(shù)法的基本思路是，設(shè)a、b為任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，先分別求出a與b的倒數(shù)、，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，a<b，來(lái)比較a與b的大小。例13、設(shè)，則a、b、c的大小關(guān)系是（ ）。A、a>b>c B、a>c>b C、c>b>a D、b>c>a解析：當(dāng)幾個(gè)式子中的被開方數(shù)的差相等且式子中的運(yùn)算符號(hào)相同時(shí)，可選用倒數(shù)法。首先，。因?yàn)?，?/p>

9、以，則b>c。又因?yàn)?，所以，則a>b。由此可得：a>b>c。故選A。十四、分子有理化法例14、比較的大小。解析：，。因?yàn)?，故，所以?？傊?，具體使用什么方法來(lái)進(jìn)行比較，應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目所給的實(shí)數(shù)的類型或形式靈活選用。一-2 整式、多項(xiàng)式等相關(guān) （一）、因式分解定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（也叫作分解因式）。例如：m²-n²=（m+n）（m-n)意義：它是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握

10、因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用。學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又為學(xué)習(xí)分式打好基礎(chǔ)；學(xué)好它，既可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察、思維發(fā)展性、運(yùn)算能力，又可以提高學(xué)生綜合分析和解決問(wèn)題的能力。分解因式與整式乘法為相反變形。同時(shí)也是解一元二次方程中因式分解法的重要步驟。高級(jí)結(jié)論：在高等數(shù)學(xué)上因式分解有一些重要結(jié)論，在初等數(shù)學(xué)層面上證明很困難，但是理解很容易。1、因式分解與解高次方程有密切的關(guān)系。對(duì)于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對(duì)固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因?yàn)楣竭^(guò)于復(fù)雜

11、，在非專業(yè)領(lǐng)域沒(méi)有介紹。對(duì)于分解因式，三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對(duì)于五次以上的一般多項(xiàng)式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒(méi)有固定解法。2 、所有的三次和三次以上的一元多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解。這看起來(lái)或許有點(diǎn)不可思議。比如X4+1,這是一個(gè)一元四次多項(xiàng)式，看起來(lái)似乎不能因式分解。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解。如果有興趣，你也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來(lái)的式子并不整潔。（這是因?yàn)?，由代?shù)基本定理可知n次一元多項(xiàng)式總是有n個(gè)根，也就是說(shuō)，n次一元多項(xiàng)式總是

12、可以分解為n個(gè)一次因式的乘積。并且還有一條定理：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛數(shù)根兩兩共軛的，將每對(duì)共軛的虛數(shù)根對(duì)應(yīng)的一次因式相乘，可以得到二次的實(shí)系數(shù)因式，從而這條結(jié)論也就成立了。）3 、因式分解雖然沒(méi)有固定方法，但是求兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時(shí)候就是用來(lái)提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)難度頗高，但是中學(xué)有時(shí)候要處理的多項(xiàng)式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項(xiàng)式的除法也可以但比較笨，不過(guò)能有效地解決找公因式的問(wèn)題。4、因式分解是很困難的，但初中所接觸的只是因式分解很簡(jiǎn)單的一部分，真正的因式分解需要研究生的水準(zhǔn)，抽象代數(shù)在因式分解上有重要的應(yīng)用。因

13、式分解方法十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法，求根公因式分解沒(méi)有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法式法，換元法，長(zhǎng)除法，短除法，除法等。注意四原則：1分解要徹底（是否有公因式，是否可用公式）2最后結(jié)果只有小括號(hào)3最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正（例如：-3x2+x=x(-3x+1)）不一定首項(xiàng)一定為正，如-2x-3xy-4xz=-x(2+3y+4z)歸納方法：1提公因式法。2運(yùn)用公式法。3拼湊法。提取公因式法各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，公因式可以是單項(xiàng)式，也可以

14、是多項(xiàng)式。如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提取公因式。具體方法：當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項(xiàng)的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時(shí)，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出“-”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出“-”號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)?？谠E：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。例如：-am+bm+cm=-(a-b-c)ma(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y

15、)=(a-b)(x-y)。注意：把變成不叫提公因式公式法如果把乘法公式反過(guò)來(lái)，就可以把某些多項(xiàng)式分解因式，這種方法叫運(yùn)用公式法。平方差公式：反過(guò)來(lái)為完全平方公式：反過(guò)來(lái)為反過(guò)來(lái)為注意：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式必須是三項(xiàng)式，其中有兩項(xiàng)能寫成兩個(gè)數(shù)(或式)的平方和的形式，另一項(xiàng)是這兩個(gè)數(shù)(或式)的積的2倍。兩根式：立方和公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)立方差公式：a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)完全立方公式：a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-c

16、a)例如：a2+4ab+4b2 =(a+2b)21分解因式技巧掌握：分解因式是多項(xiàng)式的恒等變形，要求等式左邊必須是多項(xiàng)式。分解因式的結(jié)果必須是以乘積的形式表示。每個(gè)因式必須是整式，且每個(gè)因式的次數(shù)都必須低于原來(lái)多項(xiàng)式的次數(shù)。分解因式必須分解到每個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。注：分解因式前先要找到公因式，在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。2提公因式法基本步驟：（1）找出公因式（2）提公因式并確定另一個(gè)因式第一步找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母第二步提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式

17、分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同解方程法通過(guò)解方程來(lái)進(jìn)行因式分解，如：X2+2X+1=0 ,解，得X1=-1，X2=-1，就得到原式=（X+1）×（X+1）3競(jìng)賽方法編輯分組分解法分組分解是解方程的一種簡(jiǎn)潔的方法，下面是這個(gè)方法的詳細(xì)講解。能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。比如：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)我們把a(bǔ)x和ay分一組，bx和by分一組，利用乘法分配律，兩兩相配，立即解除了困難。同樣，這道題也可以這樣做。ax+ay+bx+

18、by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)幾道例題：1 5ax+5bx+3ay+3by解法：=5x(a+b)+3y(a+b)=(5x+3y)(a+b)說(shuō)明：系數(shù)不一樣一樣可以做分組分解，和上面一樣，把5ax和5bx看成整體，把3ay和3by看成一個(gè)整體，利用乘法分配律輕松解出。2 x2-x-y2-y解法：=(x2-y2)-(x+y)=(x+y)(x-y)-(x+y)=(x+y)(x-y-1)利用二二分法，再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b)，然后相合解決。十字相乘法十字相乘法在解題時(shí)是一個(gè)很好用的方法，也很簡(jiǎn)單。這種方法有兩種情況。x2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解

19、這類二次三項(xiàng)式的特點(diǎn)是：二次項(xiàng)的系數(shù)是1；常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的積；一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩個(gè)因數(shù)的和。因此，可以直接將某些二次項(xiàng)的系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例1：x2-2x-8=(x-4)(x+2)kx2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時(shí)，那么kx2+mx+n=(ax+c)(bx+d)例2：分解7x2-19x-6圖示如下：a=1 b=7 c=2 d=-3因?yàn)?3×7=-21，1×2=2，且-21+2=-19，所以，原式=(7x+2)(x-3)十字相乘法口訣：分二次項(xiàng)，分常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘求和

20、得一次項(xiàng)。例3：6X2+7X+2第1項(xiàng)二次項(xiàng)（6X2）拆分為：2×3第3項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)（2）拆分為：1×22（X）3（X）12對(duì)角相乘：1×3+2×2得第2項(xiàng)一次項(xiàng)（7X）縱向相乘，橫向相加。與之對(duì)應(yīng)的還有雙十字相乘法，也可以學(xué)一學(xué)。拆添項(xiàng)法這種方法指把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+bc(a+b)+ca(c-a)

21、-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)=(bc+ca)(c-a)+(bc-ab)(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)配方法對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種方法叫配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。例如：x2+3x-40=x2+3x+2.25-42.25=(x+1.5)2-(6.5)2=(x+8)(x-5)因式定理對(duì)于多項(xiàng)式f(x)，如果f(a)=0，那么f(x)必含有因式x-a例

22、如：f(x)=x2+5x+6，f(-2)=0，則可確定x+2是x2+5x+6的一個(gè)因式。(事實(shí)上，x2+5x+6=(x+2)(x+3)注意：1、對(duì)于系數(shù)全部是整數(shù)的多項(xiàng)式，若X=q/p（p,q為互質(zhì)整數(shù)時(shí)）該多項(xiàng)式值為零，則q為常數(shù)項(xiàng)約數(shù)，p最高次項(xiàng)系數(shù)約數(shù)2對(duì)于多項(xiàng)式f(a)=0,b為最高次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，則有a為c/b約數(shù)換元法有時(shí)在分解因式時(shí)，可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù)，然后進(jìn)行因式分解，最后再轉(zhuǎn)換回來(lái)，這種方法叫做換元法。注意：換元后勿忘還元。例如在分解(x2+x+1)(x2+x+2)-12時(shí)，可以令y=x2+x,則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y+2

23、-12=y2+3y-10=(y+5)(y-2)=(x2+x+5)(x2+x-2)=(x2+x+5)(x+2)(x-1)綜合除法令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x1，x2，x3，xn，則該多項(xiàng)式可分解為f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn) 例如在分解2x4+7x3-2x2-13x+6時(shí)，令2x4 +7x3-2x2-13x+6=0，則通過(guò)綜合除法可知，該方程的根為0.5 ，-3，-2，1所以2x4+7x3-2x2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)令y=f(x)，做出函數(shù)y=f(x)的圖象，找到函數(shù)圖像與X軸的交點(diǎn)x1,x2,x3,xn ，則多項(xiàng)式可因式

24、分解為f(x)= f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-xn)與方法相比，能避開解方程的繁瑣，但是不夠準(zhǔn)確。主元法例如在分解x3+2x2-5x-6時(shí)，可以令y=x3+2x2-5x-6.作出其圖像，與x軸交點(diǎn)為-3，-1，2則x3+2x2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)先選定一個(gè)字母為主元，然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列，再進(jìn)行因式分解。特殊值法將2或10代入x，求出數(shù)p，將數(shù)p分解質(zhì)因數(shù)，將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合，并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。例如在分解x3+9x2+23x+15時(shí)，令x=2，則x3+9x2+23

25、x+15=8+36+46+15=105，將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積，即105=3×5×7 注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1，而3、5、7分別為x+1，x+3，x+5，在x=2時(shí)的值，則x3+9x2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5)，驗(yàn)證后的確如此。待定系數(shù)法首先判斷出分解因式的形式，然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù)，求出字母系數(shù)，從而把多項(xiàng)式因式分解。例如在分解x4-x3-5x2-6x-4時(shí)，由分析可知：這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式，因而只能分解為兩個(gè)二次因式。于是設(shè)x4-x3-5x2-6x-4=(x2+ax+b)(x2+cx+d)相關(guān)公式=x4+(a+c)x3+(a

26、c+b+d)x2+(ad+bc)x+bd由此可得a+c=-1，ac+b+d=-5，ad+bc=-6，bd=-4解得a=1，b=1，c=-2，d=-4則x4-x3-5x2-6x-4=(x2+x+1)(x2-2x-4)也可以參看右圖。雙十字相乘法雙十字相乘法屬于因式分解的一類，類似于十字相乘法。雙十字相乘法就是二元二次六項(xiàng)式，啟始的式子如下：ax2+bxy+cy2+dx+ey+fx、y為未知數(shù)，其余都是常數(shù)用一道例題來(lái)說(shuō)明如何使用。例：分解因式：x2+5xy+6y2+8x+18y+12分析：這是一個(gè)二次六項(xiàng)式，可考慮使用雙十字相乘法進(jìn)行因式分解。解：圖如下，把所有的數(shù)字交叉相連即可x 2y 2x

27、3y 6原式=(x+2y+2)(x+3y+6)雙十字相乘法其步驟為：先用十字相乘法分解2次項(xiàng)，如十字相乘圖中x2+5xy+6y2=(x+2y)(x+3y)先依一個(gè)字母（如y）的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)。如十字相乘圖中6y2+18y+12=(2y+2)(3y+6)再按另一個(gè)字母（如x）的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，如十字相乘圖，這一步不能省，否則容易出錯(cuò)。縱向相乘，橫向相加。二次多項(xiàng)式（根與系數(shù)關(guān)系二次多項(xiàng)式因式分解）例：對(duì)于二次多項(xiàng)式 aX2+bX+c(a0).當(dāng)=b2-4ac0時(shí)，設(shè)aX2+bX+c=0的解為X1,X2=a(X2-(X1+X2)X+X1X2)=a(X-X1)(X-X2).分解步驟編輯如果多項(xiàng)

28、式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來(lái)分解；如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來(lái)分解分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。也可以用一句話來(lái)概括：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式。十字相乘試一試，分組分解要相對(duì)合適?！崩}編輯1分解因式(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（補(bǔ)項(xiàng)）=(1+y)+x2(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2)（完全平方）=(1+y)+x

29、2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x(1+y)+x2(1-y)-2x=(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1)=(x+1)2-y(x2-1)(x-1)2-y(x2-1)=(x+1)2-y(x+1)(x-1)(x-1)2-y(x+1)(x-1)=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)2求證：對(duì)于任何整數(shù)x,y，下式的值都不會(huì)為33：x5+3x4y-5x3y2-15x2y3+4xy4+12y5解：原式=(x5+3x4y)-(5x3y2+15x2y3)+(4xy4+12y5)=x4(x+3y)-5x2y2(x+3y)+4y4(x+3y

30、)=(x+3y)(x4-5x2y2+4y4)=(x+3y)(x2-4y2)(x2-y2)=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)當(dāng)y=0時(shí)，原式=x5不等于33；當(dāng)y不等于0時(shí)，x+3y，x+y，x-y，x+2y，x-2y互不相同，而33不能分成四個(gè)以上不同因數(shù)的積，所以原命題成立。3ABC的三邊a、b、c有如下關(guān)系式：-c2+a2+2ab-2bc=0，求證：這個(gè)三角形是等腰三角形。分析：此題實(shí)質(zhì)上是對(duì)關(guān)系式的等號(hào)左邊的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解。證明：-c2+a2+2ab-2bc=0，(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0(a-c)(a+2b+c)=0a、b、c是ABC的三條邊，

31、a+2b+c>0ac=0，即a=c，ABC為等腰三角形。4把-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1分解因式。解：-12x2n×yn+18xn+2yn+1-6xn×yn-1=-6xn×yn-1(2xn×y-3x2y2+1)四個(gè)注意因式分解中的四個(gè)注意，可用四句話概括如下：首項(xiàng)有負(fù)常提負(fù)，各項(xiàng)有“公”先提“公”，某項(xiàng)提出莫漏1，括號(hào)里面分到“底”?，F(xiàn)舉下例，可供參考。例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。解：-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4）=-(a-b)2-4=-(a-b+2)(a-b-

32、2)這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯(cuò)誤。這里的“公”指“公因式”。如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；這里的“1”，是指多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1。分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止。即分解到底，不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提“干凈”，不留“尾巴”，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。防止學(xué)生出現(xiàn)諸如4x4

33、y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y(x+1)(4x2-9)的錯(cuò)誤，因?yàn)?x2-9還可分解為(2x+3)(2x-3)?？荚嚂r(shí)應(yīng)注意：在沒(méi)有說(shuō)明化到實(shí)數(shù)時(shí)，一般只化到有理數(shù)就夠了，有說(shuō)明實(shí)數(shù)的話，一般就要化到實(shí)數(shù)！由此看來(lái)，因式分解中的四個(gè)注意貫穿于因式分解的四種基本方法之中，與因式分解的四個(gè)步驟或說(shuō)一般思考順序的四句話：“先看有無(wú)公因式，再看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適”等是一脈相承的。應(yīng)用1 應(yīng)用于多項(xiàng)式除法。：a(b1)(ab+2b+a)說(shuō)明：(ab+b)2(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+bab) = (ab+2b+a)(aba) = a(b

34、1)(ab+2b+a)2 應(yīng)用于高次方程的求根。3 應(yīng)用于分式的通分與約分順帶一提，梅森合數(shù)分解已經(jīng)取得一些微不足道的進(jìn)展：1，p=4r+3，如果8r+7也是素?cái)?shù)，則：(8r+7)|(2P-1)。即（2p+1）|（2P-1）例如：23|(211-1);；11=4×2+347|(223-1);；23=4×5+3167|(283-1);,.83=4×20+32,p=2n×32+1,，則（6p+1）|(2P-1)，例如：223|(237-1)；37=2×2×3×3+1439|(273-1)；73=2×2×2&#

35、215;3×3+13463|(2577-1)；577=2×2×2×2×2×2×3×3+13，p=2n×3m×5s-1,則（8p+1）|（2P-1）例如；233|(229-1)；29=2×3×5-11433|(2179-1)；179=2×2×3×3×5-11913|（2239-1）；239=2×2×2×2×3×5-1分解公式平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式(a+b)2

36、=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2立方和（差）兩數(shù)差乘以它們的平方和與它們的積的和等于兩數(shù)的立方差。即a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)證明如下： a3-b3=a3-3a2b+3ab2-b3所以a3-b3=(a-b)3-3(a2)b+3ab2=(a-b)(a-b)2+3ab(a-b)=(a-b)(a2-2ab+b2+3ab)=(a-b)(a2+ab+b2)同理 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)十字相乘公式十字相乘法能把某些二次三項(xiàng)式分解因式。要?jiǎng)?wù)必注意各項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab二、方程（一）一元一次方程基本信息：只含有一個(gè)

37、未知數(shù)（即“元”），并且未知數(shù)的最高次數(shù)為1（即“次”）的整式方程叫做一元一次方程（英文名：linear equation with one unknown）。一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0）。求根公式：x=-b/a。標(biāo)準(zhǔn)形式：一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式（即所有一元一次方程經(jīng)整理都能得到的形式）是ax+b=0（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0）。其中a是未知數(shù)的系數(shù)，b是常數(shù)，x是未知數(shù)。未知數(shù)一般設(shè)為x，y，z。方程特點(diǎn)（1）該方程為整式方程。（2）該方程有且只含有一個(gè)未知數(shù)。（3）該方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是1。滿

38、足以上三點(diǎn)的方程，就是一元一次方程。判斷方法要判斷一個(gè)方程是否為一元一次方程，先看它是否為整式方程。若是，再對(duì)它進(jìn)行整理。如果能整理為 ax+b=0（a0）的形式，則這個(gè)方程就為一元一次方程。里面要有等號(hào)，且分母里不含未知數(shù)。變形公式ax=-b（a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)，且a0）求根公式： 通常解法去分母去括號(hào)移項(xiàng)合并同類項(xiàng)系數(shù)化為1。兩種類型（1）總量等于各分量之和。將未知數(shù)放在等號(hào)左邊，常數(shù)放在右邊。如：x+2x+3x=6。（2）等式兩邊都含未知數(shù)。如：300x+400=400x，40x+20=60x1。方程舉例2a=4a-63b=-1x=1都是一元一次方程。方程起源“方程”一詞來(lái)源于中國(guó)

39、古算術(shù)書九章算術(shù)。在這本著作中，已經(jīng)列出了一元一次方程。法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾把未知數(shù)和常數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算所組成的方程稱為代數(shù)方程。在19世紀(jì)以前，方程一直是代數(shù)的核心內(nèi)容。主要用途一元一次方程通?？捎糜谧鰬?yīng)用題，如工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、分配問(wèn)題、盈虧問(wèn)題、球賽積分表問(wèn)題、電話（水表、電表）計(jì)費(fèi)問(wèn)題、數(shù)字問(wèn)題等。補(bǔ)充說(shuō)明編輯合并同類項(xiàng)（1）依據(jù)：乘法分配律（2）把未知數(shù)相同且其次數(shù)也相同的項(xiàng)合并成一項(xiàng)；常數(shù)計(jì)算后合并成一項(xiàng)（3）合并時(shí)次數(shù)不變，只是系數(shù)相加減。移項(xiàng)（1）依據(jù)：等式的性質(zhì)1（2）含有未知數(shù)的項(xiàng)變號(hào)后都移到方程左邊，把常數(shù)項(xiàng)移到右邊。（3）把方程一邊某項(xiàng)移到另一邊時(shí)，一定要變號(hào)（如：移項(xiàng)時(shí)將

40、+改為-，×改為÷）。等式性質(zhì)等式的性質(zhì)一：等式兩邊同時(shí)加一個(gè)數(shù)或減去同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，等式仍然成立。等式的性質(zhì)二：等式兩邊同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），等式仍然成立。等式的性質(zhì)三：等式兩邊同時(shí)乘方（或開方），等式仍然成立。解方程都是依據(jù)等式的這三個(gè)性質(zhì)。解的定義：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解。解法步驟一、去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)（不含分母的項(xiàng)也要乘）；依據(jù)：等式的性質(zhì)2二、去括號(hào)一般先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)，可根據(jù)乘法分配律（記住如括號(hào)外有減號(hào)或除號(hào)的話一定要變號(hào)）依據(jù)：乘法分配律三、移項(xiàng)把方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程

41、的一邊（一般是含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程左邊，而把常數(shù)項(xiàng)移到右邊）依據(jù)：等式的性質(zhì)1四、合并同類項(xiàng)把方程化成ax=b（a0）的形式；依據(jù)：乘法分配律（逆用乘法分配律）五、系數(shù)化為1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x=b/a。依據(jù)：等式的性質(zhì)2.解方程口訣去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)時(shí)，要變號(hào)，同類項(xiàng)，合并好，再把系數(shù)來(lái)除掉。同解方程如果兩個(gè)方程的解相同，那么這兩個(gè)方程叫做同解方程。同解原理（1）方程的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)等式所得的方程與原方程是同解方程。（2）方程的兩邊同乘或同除同一個(gè)不為0的數(shù)所得的方程與原方程是同解方程。求根公式由于一元一次方程是基本方程，故教科書上的解法只有上述的

42、方法。但對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)形式下的一元一次方程：ax+b=0 (a0)?？傻贸銮蟾胶瘮?shù)解法由于一元一次函數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常量，a0）的形式，所以解一元一次方程就可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某一個(gè)函數(shù)值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值。從圖像上看，這就相當(dāng)于求直線y=kx+b（k，b為常量，k0）與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值。解法舉例例（1）題目：已知ax=b是關(guān)于x的方程（a、b為常數(shù)），求x的值。分析：要牢牢抓住一元一次方程的定義，進(jìn)行分類討論。解：當(dāng)a0時(shí)，。當(dāng)a=0，b=0時(shí)，方程有無(wú)數(shù)個(gè)解（注意：這種情況不屬于一元一次方程，而屬于恒等方程）當(dāng)a=0，b0時(shí)，方程無(wú)解（注意：此種情況也不屬于一元一次

43、方程）例（2）題目：解方程分析：按照一元一次方程的解法順序一步步進(jìn)行，計(jì)算要細(xì)心。解：去分母，得去括號(hào)，得移項(xiàng)，得合并同類項(xiàng)，得系數(shù)化為1，得檢驗(yàn)：把代入原方程左邊=右邊=左邊=右邊是原方程的解等式性質(zhì)若a=b，則a+c=b+c，a-c=b-c（等式的性質(zhì)1）。若a=b，則ac=bc，a÷c=b÷c (c0)（等式的性質(zhì)2）解應(yīng)用題做一元一次方程應(yīng)用題的重要方法：（1）認(rèn)真審題（審題）（2）分析已知和未知量（3）找一個(gè)合適的等量關(guān)系（4）設(shè)一個(gè)恰當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)（5）列出合理的方程 （列式）（6）解出方程（解題）（7）檢驗(yàn)（8）寫出答案（作答）注意事項(xiàng)（1）分母是小數(shù)時(shí)，根據(jù)分?jǐn)?shù)

44、的基本性質(zhì)，把分母轉(zhuǎn)化為整數(shù)；（2）去分母時(shí)，方程兩邊各項(xiàng)都乘各分母的最小公倍數(shù)，此時(shí)不含分母的項(xiàng)切勿漏乘，分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于括號(hào)，去分母后分子各項(xiàng)應(yīng)加括號(hào)；（3）去括號(hào)時(shí)，不要漏乘括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；（4）移項(xiàng)時(shí)，切記要變號(hào)，不要丟項(xiàng)，有時(shí)先合并再移項(xiàng)，以免丟項(xiàng)；（5）系數(shù)化為1時(shí)，方程兩邊同乘以系數(shù)的倒數(shù)或同除以系數(shù)，不要弄錯(cuò)符號(hào)；（6）不要生搬硬套解方程的步驟，具體問(wèn)題具體分析，找到最佳解法。（7）分、小數(shù)運(yùn)算時(shí)不能嫌麻煩。（8）不要跳步，一步步仔細(xì)算。（二）一元二次方程定義一元二次方程式是只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的多項(xiàng)式方程。2一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：是整

45、式方程，即等號(hào)兩邊都是整式，方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；只含有一個(gè)未知數(shù)；未知數(shù)的最高次數(shù)是2。方程形式一般式：一般地，任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過(guò)整理，都能化成如ax2+bx+c=0 (a0,a,b,c是常數(shù))的形式。這種形式叫一元二次方程的一般形式。其中ax2叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c可取任意實(shí)數(shù)，而二次項(xiàng)系數(shù)a必須是不等于0的實(shí)數(shù)。這是因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，方程中就沒(méi)有二次項(xiàng)了，此方程也就不是一元二次方程了。要確定二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先把一元二次方程化成一般形式。變形式（a、b是實(shí)數(shù)，a0）

46、（a、c是實(shí)數(shù)，a0）（a是實(shí)數(shù)，a0）配方式兩根式解（根）的意義（1）一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根（只含有一個(gè)未知數(shù)的方程的解也叫做這個(gè)方程的根）。（2）一元二次方程一定且最多有兩個(gè)解，但不一定有兩個(gè)實(shí)數(shù)解。根的個(gè)數(shù)和判別式利用一元二次方程根的判別式（=b2-4ac）可以判斷方程的根的情況。一元二次方程 的根與判別式有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，有2個(gè)不相等的復(fù)數(shù)根。上述結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立。根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程的兩根與方程中各

47、系數(shù)有如下關(guān)系：（也稱韋達(dá)定理）。由韋達(dá)定理可得，當(dāng)方程的兩根為x1=p，x2=q時(shí)，方程為：ax2-(p+q)x+pq=0（其中）。求根方法直接開平方法形如x²=p或(nx+m) ²=p(p0)的一元二次方程可采用直接開平方法解一元二次方程。如果方程化成的形式，那么可得 。如果方程能化成 (p0)的形式，那么 ，進(jìn)而的出方程的根。注意：等號(hào)左邊是一個(gè)數(shù)的平方的形式而等號(hào)右邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)。降次的實(shí)質(zhì)是由一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程。方法是根據(jù)平方根的意義開平方。配方法將一元二次方程配成(x+m) ²=n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的

48、方法叫配方法。用配方法解一元二次方程的步驟：把原方程化為一般形式；方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過(guò)直接開平方法來(lái)求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無(wú)實(shí)數(shù)解。配方法的理論依據(jù)是完全平方公式a²+b²±2ab=（a±b）²配方法的關(guān)鍵是：先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1，然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方。例一：用配方法解方程 3x24x-2=0解：將常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊 3x2-

49、4x=2將二次項(xiàng)系數(shù)化為1：方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方：配方：直接開平方得：,.原方程的解為,求根公式法用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法1。用求根公式法解一元二次方程的一般步驟為：把方程化成一般形式，進(jìn)而確定a，b，c的值（注意符號(hào)）；求出的值，判斷根的情況（若，則方程有2個(gè)不相等的復(fù)數(shù)根；若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根）；在的前提下，把a(bǔ)、b、c的值代入公式進(jìn)行計(jì)算，求出方程的根。因式分解法因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法。因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可

50、能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)化歸思想）。因式分解法解一元二次方程的一般步驟：移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解計(jì)算機(jī)法在使用計(jì)算機(jī)解一元二次方程時(shí)，跟人手工計(jì)算類似，大部分情況下也是根據(jù)下面的公式去解可以進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算的程序，比如Mathematica，可以給出根的解析表達(dá)式，而大部分程序則只會(huì)給出數(shù)值解。(但亦有部分顯示平方根及虛數(shù))2（三）二元一次方程組相關(guān)定義把兩個(gè)含有相同未知數(shù)的一次

51、方程聯(lián)合在一起，那么這兩個(gè)方程就組成了一個(gè)二元一次方程組。二元一次方程定義：一個(gè)方程含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的整式方程，叫二元一次方程。二元一次方程組定義：含有兩個(gè)相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程所組成的方程組叫做二元一次方程組。二元一次方程的解：適合一個(gè)二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解。二元一次方程組的解：二元一次方程組中各個(gè)方程的公共解，叫做這個(gè)二元一次方程組的解?！菊n標(biāo)要求】考點(diǎn)課標(biāo)要求知識(shí)與技能目標(biāo)了解理解掌握靈活應(yīng)用二元一次方程組了解二元一次方程（組）及解的定義熟練掌握用代入法和加減法解二元一次方程組的方法并能靈活運(yùn)用能正確列出二元一次方程組解應(yīng)用

52、題【知識(shí)梳理】1二元一次方程（組）及解的應(yīng)用：注意:方程（組）的解適合于方程，任何一個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)個(gè)解，有時(shí)考查其整數(shù)解的情況，還經(jīng)常應(yīng)用方程組的概念巧求代數(shù)式的值。2解二元一次方程組：解方程組的基本思想是消元，常用方法是代入消元和加減消元，3二元一次方程組的應(yīng)用：列二元一次方程組的關(guān)鍵是能正確分析出題目中的等量關(guān)系，題目?jī)?nèi)容往往與生活實(shí)際相貼近，與社會(huì)關(guān)系的熱點(diǎn)問(wèn)題相聯(lián)系，請(qǐng)平時(shí)注意搜集、觀察與分析。解法消元法1）代入消元法用代入消元法的一般步驟是：1.選一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，變成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；2.將y = ax + b 或 x =

53、ay + b代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，從而將另一個(gè)方程變成一元一次方程；3.解這個(gè)一元一次方程，求出 x 或 y 值；4.將已求出的 x 或 y 值代入方程組中的任意一個(gè)方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一個(gè)未知數(shù)；5。把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，這就是二元一次方程的解。1例：解方程組 ：x+y=56x+13y=89解：由得x=5-y把代入，得6(5-y)+13y=89得 y=59/7把y=59/7代入，得x=5-59/7得x=-24/7 x=-24/7y=59/7 為方程組的解我們把這種通過(guò)“代入”消去一個(gè)未知數(shù)，從而求出方程組的解的方法叫做代入消

54、元法（elimination by substitution)，簡(jiǎn)稱代入法。2）加減消元法用加減法消元的一般步驟為：在二元一次方程組中，若有同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)），則可直接相減（或相加），消去一個(gè)未知數(shù)；在二元一次方程組中，若不存在中的情況，可選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使其中一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同（或互為相反數(shù)），再把方程兩邊分別相減（或相加），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一元一次方程；解這個(gè)一元一次方程；將求出的一元一次方程的解代入原方程組系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，求另一個(gè)未知數(shù)的值；把求得的兩個(gè)未知數(shù)的值用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，這就是二元一次方程組的解。例：解方程組：x+y=9x-y=5解

55、：+2x=14即 x=7把x=7代入，得7+y=9解，得：y=2 x=7y=2 為方程組的解利用等式的性質(zhì)使方程組中兩個(gè)方程中的某一個(gè)未知數(shù)前的系數(shù)的絕對(duì)值相等，然后把兩個(gè)方程相加（或相減），以消去這個(gè)未知數(shù)，使方程只含有一個(gè)未知數(shù)而得以求解。像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法（elimination by addition-subtraction），簡(jiǎn)稱加減法。3）加減-代入混合使用的方法例1 13x+14y=41 14x+13y=40 解：-得x-y=-1x=y-1 把代入得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入得x=1所以：x=1,y=2特點(diǎn)：兩方程相加減，單個(gè)x或單個(gè)y，這樣就適用接下來(lái)的代入消元.換元法例2，（x+5)+(y-4)=8（x+5)-(y-4)=4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特點(diǎn)：兩方程中都含有相同的代數(shù)式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡(jiǎn)化方程也是主要原因