小波分析的基本理論

1、東北大學研究生考試試卷評分注意事項1. 考前研究生將上述項目填寫活楚2. 字跡要活楚，保持卷面活潔3. 交卷時請將本試卷和題簽一起上交東北大學研究生院小波分析的基本理論小波分析是當前應用數(shù)學和工程學科中一個迅速發(fā)展的新領域，是分析和處理非平穩(wěn)信號的一種有力工具。經(jīng)過大量學者不斷探索研究，它是以局部化函數(shù)所形成的小波 基作為基底而展開的。小波分析在保留傅里葉分析優(yōu)點的基礎上，具有許多特殊的性能 和優(yōu)點。而小波分析則是一種更合理的時頻表示和子帶多分辨分析方法。所以理論基礎 漸已扎實，理論體系逐步完善，在工程領域已得到廣泛應用。1小波變換理論1.1 連續(xù)小波變換定義1.1 小波函數(shù)的定義：設w (x

2、)為一平方可積函數(shù)，也即w (x)亡L2 (0, 若其傅里葉變換甲(3)滿足條件：3= +；'d 與 < + oo1-1-則稱甲(x)是一個基本小波或小波母函數(shù)(Mother Wavelet ),并稱上式為小 波函數(shù)的容許性條件。由定義1.1可知，小波函數(shù)具有兩個特點：(1) ?。核鼈冊跁r域都具有緊支集或近似緊支集。由定義的條件知道任何滿足可容許性條件的L2 (0空間的函數(shù)都可以作為小波母函數(shù)(包括實數(shù)函數(shù)或復數(shù)函數(shù)、 緊支集或非緊支集函數(shù)等)。但是在一般的情況下，常常選取緊支集或近似緊支集的同 時具有時域和頻域的局部性實數(shù)或復數(shù)函數(shù)作為小波母函，讓小波母函數(shù)在時域和頻域都具有較

3、好的局部特性，這樣可以更好的完成實驗。(2) 波動性：若設平(切)在點=0連續(xù)，則由容許性條件得：+一、x dx = ' 0 = 01-2-也即直流分量為零，同時也就說明平(x)必是具有正負交替的波動性，這也是其 稱為小波的原因。定義1.2 連續(xù)小波基函數(shù)的定義：將小波母函數(shù)平(x)進行伸縮和平移，設其收縮 因子(即尺度因子)為a,平移因子為b,使其平移伸縮后的函數(shù)為a,b (x)，則有:甲a b x = a-% 已,a> 0, b R1-3a, ba 5'稱隊,b (x)為依賴丁參數(shù)a,b的小波基函數(shù)。由丁伸縮因子a,平移因子b都是取連 續(xù)變化的值，因此乂稱平a,b (

4、x)為連續(xù)小波基函數(shù)。它們是一組函數(shù)系列,這組函數(shù)系列 是由同一母函數(shù)甲(x)經(jīng)伸縮和平移后得到的。定義1.3 若f (x)肴L2 (R)，函數(shù)f(x)在小波基下進行展開，則f(x)的連續(xù)小波 變換(CWT陀義為：Wf a, b = f x ,甲a, b x = 土 _甘f x 甲dx 1-4由定義1.3可知，小波基具有收縮因子a和平移因子b,若將函數(shù)在小波基下展開， 就是把一個時間函數(shù)投影到二維的時間-尺度相平面上，把一個一維函數(shù)變換為一個二 維函數(shù)，即連續(xù)小波變換 Wf (a,b)是f (x)在函數(shù)？a,b (x)上的“投影”。小波函數(shù)若滿足容許性條件(1-1),則存在其逆變換。由小波變換

5、的系數(shù)可以重構信 號，其重構公式為：f x = 3-Ewm a, b n bx 京b 1-5定理i連續(xù)小波變換是一種線性變換，具有如下性質(zhì)：(1) 疊加性：設 f (x) =kifi (x) +lf (x)，則:Wf (a,b ) = k1 Wf1 (a,b ) +k2 Wf2 (a,b )1-6(2) 時移不變性:設g (x) =f (x-c),則:Wg (a,b ) = Wf (a,b-c )1-7(3) 尺度變換：設g (x) =f (cx)，貝U：Wg a, b = C-；Wf - , bc1-8c該性質(zhì)說明，信號在連續(xù)小波變換的尺度 a和位移b上做拉伸時，其信號也在時域 拉伸，且能保

6、持拉伸前后的形狀不變。(4) 內(nèi)積定理：對丁 f (x)在L2 (R)，則有 Wf (a,b)在L2 (R2),并且對f (x), g (x)在 L2 (R),會有： Wf (a,b ), Wg (a,b ) =CM f (x), g (x) 1-9(5) 能量關系：當內(nèi)積定理中的信號f (x)三g (x)時，內(nèi)積定理變?yōu)椋海?#176;° 土da + °° Wf a, b I db = 3 +" f (x) I dx 1-100 a2- CXD1* - OO 、 /同時稱式1-1。為能量關系。性質(zhì)(4)和性質(zhì)(5)表明，信號的變換域內(nèi)積和時域內(nèi)積之間保

7、持著一定的聯(lián)系, 小波變換系數(shù)的幅度平方在尺度位移平面內(nèi)的積分實際上是在尺度位移域內(nèi)能量的積 累，它與原始信號的能量成正比。1.2 離散小波變換由前文定義的連續(xù)小波基函數(shù)：2-11甲a, b x =號¥式中a, bR, a0,平滿足容許性條件，并且伸縮因子a,平移因子b是連續(xù)變化的。 由丁連續(xù)小波變換系數(shù)的信息量是冗余的雖然在有些情況下連續(xù)小波變換的冗余性是 有益的。例如，在圖像降噪進行數(shù)據(jù)恢復及特征提取時，連續(xù)小波變換以犧牲計算量、 存儲量為代價來獲得更好的結果。但是許多情況下需要考慮的是在數(shù)字處理中壓縮數(shù)據(jù) 和節(jié)約計算量，這樣便希望可以再不丟失原信號的情況下， 盡量減小小波變換的

8、冗余度， 為了解決這一問題，提出了將其離散化，最大程度地消除或降低冗余性，這才適合數(shù)字 計算機處理。離散小波變換是相對丁連續(xù)小波變換的變換方法，本質(zhì)上是對收縮因子a和平移因子b分別進行離散化處理。(1) 收縮因子離散化：將收縮因子按籍級數(shù)進行離散化，即取a=aoj , pZ, a°#1, 這時離散后的函數(shù) 褊(x)變?yōu)閍oj/2平(aoJ (x-b), j Z(2) 平移因子離散化：在尺度j下，平移因子均勻離散化，即使平移量以Ab=kao-Jbo 作為采樣間隔量，其中bo是j=o時的均勻采樣間隔量。因而離散后的函數(shù) 甲a,b (x)變?yōu)?a°j/2 平(aoJ (x- ka

9、 o-Jbo) , j Z在實際運用中，我們通常取ao=2, bo=1，這時？a,b (x)變?yōu)?2平(2j (x-k ),這時 記半,k (x) =2/2甲(2j (x-k ),稱甲a,b (x)為離散小波。定義1.4 若f (x) e L2 (R2)，則f (x)的離散小波變換定義為：Wf j, k = f, % k = 2j 2 _"f x W (2j (x- k) dx 1-12其相應的逆變換為：f x =技 +疽 W5 j, k 2j 2 甲(2j (x- k)1-13上文表述的對連續(xù)小波進行離散化時，若取離散的柵格 a=2, Ab =0,即相當丁只 將伸縮參數(shù)a進行二進制

10、離散，而平移參數(shù)b仍取連續(xù)變換，則得到的離散小波稱為二 進小波。定義1.5 函數(shù)W (x) e L2 (0，若存在二常數(shù)0<ABe使得 ._.2A < ；二忡 2-y | < B1-14那么稱甲(x)為二進小波。其時域表示為： 吟=2/2平(2j (x-b )函數(shù)f (x)在L2 (R)的二進小波變換定義為：+°°.;。Wj fb = f x ,2j叩(2j(x- b) = -g2j 2fx w(2j(x- b) dx 1-15其相應的逆變換為：，+8山.c .f x =_gWjfb 2j2(2j(x- b)db 1-16二進小波是介丁連續(xù)小波和離散小波之

11、間的一種“半離散”化小波，它只是對伸縮 參數(shù)進行了離散化，而在時間域上的平移參數(shù)仍保持連續(xù)變化，因此二進小波變換仍具 有連續(xù)小波變換的時移共變性，這是它與離散小波相比所具有的獨特優(yōu)點。正因為如此,它在奇異性檢測、圖像處理等方面十分有用。2多分辨率分析理論由丁離散化小波的信息量仍是冗余的，因此再次從數(shù)字計算機處理的角度考慮，人 們?nèi)匀幌Ｍ麥p小離散化小波的冗余量，直到得到一組正交基。這組正交基稱為正交小波 基。如何構成正交基，構造小波母函數(shù) 甲(x),而解決這些問題的方法就是多分辨率分 析理論。多分辨分析(Multi-resolution Analysis MRA ), 乂稱為多尺度分析，是建立在

12、函 數(shù)空間概念上的理論。其創(chuàng)建者 S.mallat是在1988年在構造正交小波基時提出，在研 究圖像處理問題時建立這套理論的。MR"僅為正交小波基的構建提供了 一種比較簡單的方法，并且對正交小波變換的快速算法提供了理論根據(jù)。但其思想乂同多采樣濾波器 不謀而合，這樣把小波變換和數(shù)字濾波器理論相結合起來。這使在小波變換理論中多分 辨率分析具有重要的地位。2.1多分辨分析多分辨分析的基本思想是隨著尺度由大到小的變化，在各尺度上可以由粗到細地觀察目標。為了更好的理解這個思想，把尺度想象為照相機的鏡頭，當尺度由大到小變化 時，就相當丁照相機鏡頭由遠及近的觀察目標。在大的尺度空間里對應遠鏡頭下觀

13、察到 的目標，只能看到目標的大概。而在小尺度空間里，對應近鏡頭下觀察目標，則可觀看 到目標的細微部分。定義2.1 L 2 (R)空間中的多分辨分析是L2 (R)中滿足如下條件的一個閉子空間 序列Vjj.Z：(1) 一致單調(diào)性：u V2=ViuV)uVuM；(2) 漸進完全性：j%Vj = L2 R , jMV = 0 ;(3) 伸縮規(guī)則性：f (x)在Vu f (2jx), j £Z;(4) 平移不變性:f (x) Eg f (x-n ) WV0, wnZ;(5) 正交基存在性：正交基存在性條件可放寬為 Riesz基存在性，存在函e (x-n ) nm構成V0的Riesz基，即存在0

14、<A, Be,使得對 f V0均能唯一地分解為：f x = +二oo CkB (x- k)2-1其中A+三ooCk2< II+=!8CkB(x-n)|2 < B +胃-Ck22-2定義2.1所描述的多分辨分析在人類視覺系統(tǒng)對物體認識的直觀解釋。事實上，如 果把V看作是某人眼睛在尺度j下觀察到的一個物體，而這個物體實際上是三維物體的 兩面。那么當尺度增加到j+1時，這個人所觀察到的就是物體的全部，也就是三維物體 的三個面，這樣就表示人進一步的觀察了物體，相當丁拉近了照相機的鏡頭。因而V+1比V包含更多的信息，即V=V+1。所以，尺度越大，距目標越近，貝U觀察到的信息越豐 富；尺

15、度越小，距目標越遠，則觀察到的信息越少。多分辨率分析的空間關系可用圖2-1 來表明。Vci圖2-1多分辨率分析的空間關系圖正交多分辨率分析就是在多分辨率分析中，存在 © (x) 使得9 (x-n ) k&是V) 的正交基。定理2.1 若巾(x)的平移族6 (x-n ) km構成V0空間的標準正交基，即：_"令x - m令x - n dx= n的充要條件是+二“梆+ 2k兀)2 = 1。正交多分辨率分析是由尺度函數(shù)生成每個空間 V的一組正交基所完全刻畫而成的。 正交多分辨率分析對小波基函數(shù)的構造提供了理論基礎，由多分辨率分析的伸縮規(guī)則性可知，我們通過尺度函數(shù)的伸縮，在

16、已知任意一個子空間基函數(shù)的情況下，可以得到與 這個子空間相鄰空間的基函數(shù)，從而得出所有子空間的基函數(shù)。設Vj n早是L2 (R) 一個正交多分辨率分析，若存在一個函數(shù) * (x) f (x)的 平移族 6 (x-k ) /構成子空間M的正交基。因為VUV+1, 乂因巾(x) EV0UV1,所以 一定存在唯一的序列hk V使得* x =2 +； oo hk 巾 2x- k2-3式中，hk = x , 2 2x - k+ oo (,2 _8 (x)2x-k dx,序歹0 hk為離散濾波器,稱式2-3是雙尺度方程對式2-3的兩邊同時作傅里葉變換，有：*0=4 +二oo hk e- ik®

17、2e 22-4+=hke-W 則2-5定理2.2式為：若* (x)亡L2 (R)是個尺度函數(shù)，則"滿足頻域正交條件的等價形h 切 f + h co + Tt2-62.2 L 2 (R)的正交分解L2 (R)空間中2.3。因為MM+i,則令 W是M在M+1中的正交補，即M+1=VW,則存在 的小波函數(shù)甲亦=2/2平(2j (x-k )為W的標準正交基。從而，得出了定理定理2.3 L 2 (R)二號叫證明：由 丁 j'Vj = lim noo V n = 0 ,則Vo = W-1 二V 1 = W-1 二 W-2 二 V-2 =二 W-j二 V-n =：W-下面用Vj岷示V在L2

18、 (R)中的正交補，故：V j= V+1v+1 = VWjv+i，所以v=叫睇彳土 ,?j Z乂因為j Z'zV= l2(R)Vj在L2 (R)中稠密，"=j： zEmX所以n- 100V- = w0 + j = wo 二 W1 二 v 汗 二 Wj 二 v= 二 w這就證明了-100l2r = v)-v)-=二 W 二 二 W =.三舟jj = - 8 j = 0 j &Z一 、 2所以定理2.3實現(xiàn)了對L (R)的正交分解。2.3 Mallat 算法1989年，Mallat在圖像處理的運用和小波變換多分辨率分析理論的研究中，受到 塔式算法的啟發(fā)，提出了信號的塔式多

19、分辨率的分解與重構的算法，這種算法就稱之為 Mallat 算法。若4 n n二和平j, n位是V和W的標準正交基，6 , n = <f ,由，nA和dj , n=<f ,由，n> 用來表示f在V和"的投影，則可以得到以下定理：定理3信號的小波分解：2-72-82-9+ oo , n= - s hn- 2p aj+1,n+ OOdj,p n= - 8 gn-2paj+1,n信號的小波重構:a+00aj+1,p-n=-00 hp- 2n aj,n+ n= - 00gp-2n dj,n式中，h, g為共扼鏡像濾波器，其值由所選擇的小波基決定。式 2-2 0可以看作是 先將

20、2j+1的尺度系數(shù)和小波系數(shù)分別在每兩個數(shù)據(jù)點間插零的采樣的形式，再分別和序 列h和g卷積，再將卷積的結果相加。圖 2-2a描述了式2-7和2-8的一步分解算法， 圖2-2b描述了式2-9的一步重建算法。(ab圖2-2 一步離散小波分解與重建算法圖3常用小波函數(shù)介紹在小波分析理論在數(shù)學和工程領域中一個很重要的問題就是小波基的選擇，選擇一個最優(yōu)的小波基，可以使圖像處理更加優(yōu)化。在小波分析理論中有很多種的小波函數(shù)， 下面介紹一些常用的小波基函數(shù)：(1) Haar 小波Haar小波是Haar 丁 1990年提出的一種正交小波，它是小波理論分析發(fā)展過程中用 的最早的小波。Haar小波是由一組互相正交歸

21、一的函數(shù)集，即 Haar函數(shù)衍生產(chǎn)生的， 其是具有緊支撐的正交小波函數(shù)，其定義如下：1,- (x)-1,01-< x < 12 otherHaar小波是一個最簡單的時域不連續(xù)的二進小波，它類似一個階梯函數(shù)，由丁它的CIS4J.S圖3-1 Haar小波函數(shù)圖像緊支性和正交性，使得Haar小波的應用很普遍。圖2-3所示為Haar波的函數(shù)圖像。(2) Mexican hat(墨西哥草帽)小波Mexican Hat小波乂被稱Marr小波。Marr小波函數(shù)就是高斯函數(shù)的二階導數(shù)，其 表達式為：, t = (1 -其波形如圖3-2所示。Marr小波的時域、尺度函數(shù)不存在，主要用丁信號處理和邊緣

22、檢測t2頻域都有很好的局部特性，但它的正交性0668圖3-2 Mexicat小波函數(shù)圖像(3) Morlet 小波Morlet小波是高斯下的單頻率復正弦函數(shù):式中，i表示虛數(shù)，與常數(shù)。其波形如圖3-3所示。雖然Morlet小波有解析表達 式，但其不具有正交性的同時也不存在緊支集。 Morlet小波的特點是能夠提取信號中的 幅值和相應信息，廣泛應用丁地球物理信號處理中。Morlet 1 i-t 函教圖3-3 Morlet 小波函數(shù)圖像(4) Daubechies 小波Daubechies小波是法國學者 Daubechies所創(chuàng)造，Daubechies小波的研究是基丁對 尺度取為2的整數(shù)籍條件下的

23、小波變換。Daubechies小波無明確的解析方程，不具有對 稱性，可以由尺度函數(shù)求出。Daubechies小波是緊支集正交小波，它的出現(xiàn)使離散小波 分析成為可能。Daubechies系列的小波簡寫為dbN,其中N表示階數(shù)，圖3-4所示為db2 小波的形狀。(a)Db2小波函數(shù)(b)圖3-4 Db2的小波函數(shù)和尺度函數(shù)(5) Meyer小波Db2的尺度函數(shù)Meyer小波是具有緊支撐的(2 兀)-1 23 2sin(2vx =(2 兀)-1 %住 2 cos(2v孔-12 Tt：x- 12 Tt),x ),x e3 32兀8兀 x -,其中V為構造Meyer小波的輔助函數(shù),3 3其函數(shù)圖像如圖

24、3-5所示。Meyer小波的小波函數(shù)平(x)是在頻域中進行定義的, 正交小液(a) MeyerMeyer尺度函數(shù)(b) Meyer尺度函數(shù)小波函數(shù)圖3-5 Meyer小波函數(shù)和尺度函數(shù)4圖像小波變換小波變換應用丁圖像處理中，首先因為圖像是二維信號，則需要將多分辨率分析擴 展到二維信號，所以一開始把小波分解從一維推廣到二維。對丁二維正交小波，我們常 用的是正方形二維正交小波基。根據(jù)一維空間尺度的定義，我們定義j尺度下的二維尺度空間V為:V = V®V = g x ,f(x) ?f x cVj,g x w ,j e Z式中，符號表示空間相乘，則，n (x ) 9, m(x ) n,舊一定

25、是可的標準正交基， 且有：V-1 = V-1 二 V-1 = V 二 W；1 二財二 Wj3其中叫1 = wv，W2 = V康WjWj3 = Wj®Wj分別稱為二維小波空間。從上式中不難 看出，Wj1的標準正交基一定是Wj, n (x) % m (x) n,歸，Wj2的標準正交基一定是 ，n (x) Wj,m(x) n,定Z, Wj3 的標準正交基一定是%，n (x) j, m(x) n,歸。所以在L2 (R)空間中任一個函數(shù)f (x, y)在祐，在正方形二維正交小波基下的展 開公式為：f x，y =扁,n% x j y + ikn 如m x % y + Wj,m x % yj m,n+&m,n 4j,m x 4j,n ym,n式中，小波二維空間W1 ,Wj2,Wj3的小波展開系數(shù)分別為ajm n, Ejm n, 7m, n。尺度空間V；的 尺度展開系數(shù)是Sm n。正方形二維正交小波變換的快速算法與一維是相似的。其快速分解公式為：j -ai,l-k,mhik