希爾伯特變換與傅立葉變換

1、在數(shù)學與信號處理的領(lǐng)域中,一個 實數(shù)值函數(shù)s(*)的希爾伯特轉(zhuǎn)換(Hilberttransform) 在此標示為直 是將信號&(*)與頊3,)做卷積，以得到可今。因 此，希爾伯特轉(zhuǎn)換結(jié)果&F)可以被解讀為輸入是B(*)的線性非時變系統(tǒng)(linear time invariant system)的輸出，而此一系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)為 1以2。 這是一項有用的數(shù)學， 用在描述一個以實數(shù)值載波做調(diào)制的信號之復(fù)數(shù)包絡(luò)(complex envelope),出現(xiàn)在 通訊理論(應(yīng)用方面的詳述請見下文。)希爾伯特轉(zhuǎn)換是以著名數(shù)學家 大衛(wèi)希爾伯特(David Hilbert)來命名。希爾伯特轉(zhuǎn)換定義如下

2、：富(t) = 7£$=杠(*) * s(t) = J s(T)ht r)dr J其中附=mI并考慮此積分為 柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在T = t以及 T = ±0C等處的奇點。另外要指出的是：若S匚只)，則可被定義，且屬于£P(R)；其中18。頻率響應(yīng)希爾伯特轉(zhuǎn)換之頻率響應(yīng)由傅立葉變換給出：丑(3)=萬互(3)= i - sgnfti? I,其中萬是傅立葉變換， i (有時寫作j )是虛數(shù)單位， *是角頻率，以及I 1,for> 0,sgn（aj） = 0,forcv= 0,Lfor/< o,即為符號函數(shù)。既

3、然：萬宙（以）=H（S）萬5（戒希爾伯特轉(zhuǎn)換會將 負頻率成分£（*）偏移+90°，而正頻率成分偏移-90°反（逆）希爾伯特轉(zhuǎn)換我們也注意到："氣3、） = 一1。因此將上面方程式乘上一日（3，可得到：萬伯（3）=.廣宙（回從中，可以看出反（逆）希爾伯特轉(zhuǎn)換s（t）=（人 * s） （t） = Ws（t）.傅里葉變換（Fourier變換）是一種線性的積分變換。因其基本思想首先由法國學者 約瑟夫傅里葉系統(tǒng)地提出,所以以其名字來命名以示紀念。傅里葉變換在物理學、聲學、光學、結(jié)構(gòu)動力學、量子力學、數(shù)論、組合數(shù)學、概 率論、統(tǒng)計學、信號處理、密碼學、海洋學、通訊、

4、金融等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成振幅分量和頻率分量。傅里葉變換能將滿足一定條件的某個 函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函 數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不 同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。最初傅里葉分析是作為 熱過程的解析分析的工具被提出的1。傅里葉變換屬于諧波分析。傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似。正弦基函數(shù)是微分運算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化 為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不變的性 質(zhì)，從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通

5、過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng) 來獲取。卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運算為簡單的乘積運算，從而 提供了計算卷積的一種簡單手段。離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機快速的實現(xiàn)（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT）。線性性質(zhì)兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和。數(shù)學描述是：若函數(shù)f 3）和。（司的傅里葉變換 尹丁和尸回都存在，d和廿為任意常系數(shù)，貝u萬w +閩=QVJ +印M ； 傅里葉變換算符J7可經(jīng)歸一化成為幺正算 貧。平移性質(zhì)若函數(shù)，存在傅里葉變換，則對任意 實數(shù)Hp，函數(shù)f （矽臼°也存在傅里葉變 換且有巧（少*1 =坦心一地）。式中花體萬是傅里葉變換的作用算

6、子， 平體F表示變換的結(jié)果（復(fù)函數(shù)），e為自然對數(shù)的底,i為虛數(shù)單位二1。微分關(guān)系若函數(shù)f （事）當T 8時的極限為0 ,而其導(dǎo)函數(shù)（罰的傅里葉變換存在，貝U有門/饑）=注爐六時 即導(dǎo)函數(shù)的傅里葉變換等于原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子如。更一般地，若/（±8）=，（土8）=,一=廣1）（士8）=0,且 原函數(shù)的傅里葉變換乘以因子（如）萬糜值）存在,則52® =方或,即k階導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換等于卷積特性若函數(shù)丁及g 3）都在（-8j +8）上絕對可積，則卷積函數(shù)y*+oo/koG/ * ? = /（丁一£）。（£）武 f * g = /（f）g（ S）此J8（或

7、者J8）的傅里葉變換存在，且*。=萬/"盧前。卷積性質(zhì)的逆形式為芹 八3)*G(3三尸任(間尸徊(3),即兩個函數(shù)卷積的傅里 葉逆變換等于它們各自的傅里葉逆變換的乘積乘以2tt。帕塞瓦爾定理Z- +°°1 r+<xj_f2(x)dx = /成(3)|2心一 O0 k /2" - 8 I k 刀。其中F( 3 )是f(x)的傅里葉變換。更一般化而言，若函數(shù)f 3)和g(i)皆平方可積,則f (g)g*(T)dT = £ /F(g)G%)d3J OCIZk JXiO 其中 F( 3 )和 G(3)分別是f(x)和g(x)的傅里葉變換，*代表復(fù)

8、共弛。連續(xù)傅里葉變換一般情況下，若 傅里葉變換”一詞不加任何限定語，則指的是 連續(xù)傅里葉變換”逐 續(xù)函數(shù)的傅里葉變換)。連續(xù)傅里葉變換將平方可積的函數(shù) f (t)表示成復(fù)指數(shù)函數(shù) 的積分或級數(shù)形式。8F3)=萬以圳=/ 此co這是將頻率域的函數(shù)F(3表示為時間域的函數(shù)f (t)的積分形式。連續(xù)傅里葉變換的逆變換(inverse Fourier transform) 為oo/(*) =尸偵(3)瑚必.加JDO即將時間域的函數(shù)f (t)表示為頻率域的函數(shù)F( 3的積分。一般可稱函數(shù)f (t)為原函數(shù)，而稱函數(shù)F( 3為傅里葉變換的像函數(shù)，原函 數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個傅里葉變換對(transform p

9、air )。除此之外，還有其它型式的變換對，以下兩種型式亦常被使用。在通訊或是 3 f =訊號處理方面，常以來代換，而形成新的變換對：8X。)=萬區(qū)(圳=/ 說£) ei2nftdt 88x(t)=萬TX(/) = j X(f)ei2vfidf.oo或者是因系數(shù)重分配而得到新的變換對：fs=刁六切=/幣)1出oo8/(*) =尸“(")=£ /如00一種對連續(xù)傅里葉變換的推廣稱為分數(shù)傅里葉變換(Fractional Fourier Transform )。當f (t)為偶函數(shù)(或奇函數(shù))時，其正弦(或余弦)分量 將消亡，而可以稱這時的變換為 余弦轉(zhuǎn)換(cosine

10、 transform ) 或正弓玄轉(zhuǎn)換 (sine transform ).另一個值得注意的性質(zhì)是，當 f (t)為純實函數(shù)時， F(- 3 )= F*( 3 成立.傅里葉級數(shù)連續(xù)形式的傅里葉變換其實是傅里葉級數(shù)(Fourier series)的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和算子而已。對于周期函數(shù)，其傅里葉級數(shù)是存在的：8血=Z "弋71=8其中*為復(fù)振幅。對于實值函數(shù)，函數(shù)的傅里葉級數(shù)可以寫成：8+ $2 扇 cos(m:) + bn sin(nx)n=l其中an和bn是實頻率分量的振幅。傅里葉分析 最初是研究周期性現(xiàn)象，即傅里葉級數(shù)的，后來通過傅里葉變換 將其推廣到了非周

11、期性現(xiàn)象。理解這種推廣過程的一種方式是將非周期性現(xiàn) 象視為周期性現(xiàn)象的一個特例，即其周期為無限長。離散時間傅里葉變換離散傅里葉變換是 離散時間傅里葉變換（DTFT）的特例（有時作為后者的近似）。 DTFT在時域上離散，在頻域上則是周期的。DTFT可以被看作是傅里葉級數(shù)的逆轉(zhuǎn) 換。離散傅里葉變換為了在科學計算和數(shù)字信號處理等領(lǐng)域使用計算機進行傅里葉變換，必須將函數(shù)Xn定義在離散點而非連續(xù)域內(nèi)，且須滿足 有限性或周期性條件。這種情況下，使用離 散傅里葉變換，將函數(shù)Xn表示為下面的求和形式：N-1工皿=£ Xkelkn n = 0,TV 1 fc=O其中Xfc是傅里葉振幅。直接使用這個公式

12、計算的計算復(fù)雜度 為 ,而快速傅里葉變換（FFT）可以將復(fù)雜度改進為計算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計算能力的發(fā)展使得 DFT成為在信號處理領(lǐng)域十分實用且重要的方 法。在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換。這一問題屬于 調(diào)和分析的范疇。在調(diào)和分析中，一個變換從一個群變換到它的 對偶群（dual group ）。此外，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析 中也有類似的結(jié)論。傅里葉變換的廣義理論基礎(chǔ)參見龐特里亞金對偶性（Pontryagin duality）中的介紹。時頻分析變換小波變換,chirplet轉(zhuǎn)換和分數(shù)傅里葉變換試圖得到時

13、間信號的頻率信息。同時解析頻率和時間的能力在數(shù)學上受不確定性原理的限制。傅里葉變換家族下表列出了傅里葉變換家族的成員。容易發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在時（頻）域的離散對應(yīng)于其 像函數(shù)在頻（時）域的周期性.反之連續(xù)則意味著在對應(yīng)域的信號的非周期性 .變換時間頻率連續(xù)傅里葉變換連續(xù)，非周期性連續(xù)，非周期性傅里葉級數(shù)連續(xù)，周期性離散，非周期性離散時間傅里葉變換離散，非周期性連續(xù)，周期性離散傅里葉變換離散，周期性離散，周期性常用傅里葉變換表下表列出常用的傅里葉變換對。G和H分別代表函數(shù) 9。)和照) 的傅里葉變換. 和A可以使可積函數(shù)或衰減的分布。函數(shù)關(guān)系時域信號角頻卒表示的傅里葉變換弧頻率表示的 傅里葉變換注釋雎)

14、mG(，)mI" g(t)eftdtJoa1a g(t)+b- h(t)a . G(s) + b HQ線性2心G(w)廠 f G(_f)時域平移/a 頻域平移，3%) tt)FD變換2的頻域?qū)?yīng)4。（成）取(3如果值較大，則9（*）會收縮到原點附近，而擊&G)會擴散并 變得扁平.當回趨向無窮時，成 為狄拉克8 函數(shù)。5墮g(2傅里葉變換的二元性性質(zhì)。通過交換時域變量f和頻域變量3得到.成g。）Ji傅里葉變6傾3）(i27r/)"G(/)換的微分d切1性質(zhì)7產(chǎn)3)變換6的8 3 * h）（說扁3）GU）H（f ）衣g和a的卷積一這就是卷積定 理9以）故）(G*H)(3

15、)變換8的vir頻域?qū)?yīng)。平方可積函數(shù)時域信號角頻卒表示的傅里葉變換弧頻率表示的傅里葉變換注釋G（3）mGg1 嚴75= G(g)驢V 2" J 8房頊加g(塊 5W JOQ10rect(at1矩形脈沖和歸一化的sinc函數(shù)1( 3 '； sine 1 八/27ra2k2?ra.1(f-sine | 1aa /1sine (ai l1/ 3 ', rect (/27ra2k 2%a >a a/變換10的 頻域?qū)?應(yīng)。矩形 函數(shù)是理 想的低通 濾波器， sinc函數(shù) 是這類濾 波器對反 因果沖擊 的響應(yīng)。1變換12的 頻域?qū)?yīng)高斯函數(shù)exp(a7的傅里葉 變換是他

16、 本身.只有 當Re(o) >時，這是 可積的。光學領(lǐng)域應(yīng)用較多2 a2q7T砂+爐 / + 4茂戶a>0變換本身就是一個公式J0（t）是 02 .代）尸 洗或修I 2:洗二（時）階第一類0 JV TtS? Ji 一 4江2產(chǎn)貝塞爾函21上一個變換的推廣*（T 尸 7；（3）TeB2(i)T1Tp( 2?r/)rect形式；Tn （t）是第一類 Li?2/ - 4tt2/2AC- / J切比雪夫多項式。22Jji(t)t 1(項皿-品一1 (iV -jr n(T)“ S一i(2時 nUn (t)是第¥ fl 1 E>二類切比 雪夫多項、/1 - w2rect i 三

17、) /l 4?r2/2rect(j式O分布時域信號角頻卒表示的傅里葉變換G(cj)三M &時和三弧頻率表示的傅里葉變換OO注釋* 6 (3)變換23的頻域?qū)?yīng)v2tt 5 (a; a)由變換3和24得至U.Rin(M)vvWW)此處數(shù)；注意此變換與變換725242326272829由變換1和25得到，應(yīng) 用了歐拉公分布.這個變換展示了狄 拉克a函數(shù)的重要性： 該函數(shù)是常函數(shù)的傅立 葉變換代表狄拉克a函數(shù)mgn（3）為符號函這里，孔是一個自然 數(shù).陽是狄拉克a附-9機/一義）一批J一擔一由變換1和25得到履n函數(shù)分布的中階微分。這 個變換是根據(jù)變換7和 24得到的。將此變換與 1結(jié)合使用，我們可以變 換所有多項式。£.T/-sgn(w)和24是一致的.1E30；/JT （-訕）mT Ft S頊變換29的推廣.31御（古）|V 1 U;可變換29的頻域?qū)?yīng).3而/ |1 / 1此處"（£）是單位階躍函2 "V 2 （誠+碓5 （前+海數(shù);此變換根據(jù)變換1和-31得到.H（曰是單位階躍函數(shù),狄拉克梳狀函數(shù)有助于解釋或理解從連續(xù) 到離散時間的轉(zhuǎn)變.海皿+訕）"被”且行0.cn=88弟-n峙E 仞- k=ca二元函數(shù)時域信號角 頻 率 表 示