專(zhuān)練13（幾何壓軸大題）備考2022中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（通用版）（解析版）

1、2020中考考點(diǎn)必殺500題專(zhuān)練13（幾何壓軸大題）（30道）1（2019·安徽省中考模擬）已知如圖1，在abc中，acb90°，bcac，點(diǎn)d在ab上，deab交bc于e，點(diǎn)f是ae的中點(diǎn)（1）寫(xiě)出線段fd與線段fc的關(guān)系并證明；（2）如圖2，將bde繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（0°90°），其它條件不變，線段fd與線段fc的關(guān)系是否變化，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；（3）將bde繞點(diǎn)b逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如果bc4，be2，直接寫(xiě)出線段bf的范圍【答案】（1）結(jié)論：fdfc，dfcf理由見(jiàn)解析；（2）結(jié)論不變理由見(jiàn)解析；（3）bf【解析】解：（1）結(jié)論：fdfc，dfcf

2、理由：如圖1中，adeace90°，affe，dfafefcf，fadfda，facfca，dfefda+fad2fad，efcfac+fca2fac，cacb，acb90°，bac45°，dfcefd+efc2（fad+fac）90°，dffc，dffc（2）結(jié)論不變理由：如圖2中，延長(zhǎng)ac到m使得cmca，延長(zhǎng)ed到n，使得dnde，連接bn、bmem、an，延長(zhǎng)me交an于h，交ab于obcam，accm，babm，同法bebn，abmebn90°，nbaebm，abnmbe，anem，banbme，affe，accm，cfem，fcem

3、，同法fdan，fdan，fdfc，bme+bom90°，bomaoh，ban+aoh90°，aho90°，anmh，fdfc（3）當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，取得最大值， 如圖5所示，是的中點(diǎn)，又，即的最大值為圖5當(dāng)點(diǎn)落在延長(zhǎng)線上時(shí)，取得長(zhǎng)最小值，如圖6所示，是的中點(diǎn)，又，即的最小值為圖6綜上所述，【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題2（2019·山東省中考模擬）正方形中，e是邊上一點(diǎn)，（1）將繞點(diǎn)a按順時(shí)針?lè)较?/p>

4、旋轉(zhuǎn)，使重合，得到，如圖1所示.觀察可知：與相等的線段是_，_.（2）如圖2，正方形中，分別是邊上的點(diǎn)，且，試通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式說(shuō)明：（3）在（2）題中，連接分別交于，你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說(shuō)明.【答案】（1）bf，aed；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【解析】 (1)、ade繞點(diǎn)a按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使ad、ab重合，得到abf，de=bf，afb=aed(2)、將adq繞點(diǎn)a按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則ad與ab重合，得到abe，如圖2，則d=abe=90°， 即點(diǎn)e、b、p共線，eaq=bad=90°，ae=aq，be=dq， paq=45°， pae=

5、45° paq=pae， apeapq（sas）， pe=pq， 而pe=pb+be=pb+dq， dq+bp=pq；(3)、四邊形abcd為正方形， abd=adb=45°，如圖，將adn繞點(diǎn)a按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則ad與ab重合，得到abk，則abk=adn=45°，bk=dn，ak=an， 與（2）一樣可證明amnamk，得到mn=mk，mba+kba=45°+45°=90°， bmk為直角三角形， bk2+bm2=mk2， bm2+dn2=mn2考點(diǎn)：(1)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；(2)、全等三角形的判定與性質(zhì)；(3)、勾

6、股定理；(4)、正方形的性質(zhì)3（2019·內(nèi)蒙古自治區(qū)中考模擬）如圖,abc內(nèi)接于o,ab是o的直徑,cd平分acb交o于點(diǎn)d,交ab于點(diǎn)f,弦aecd于點(diǎn)h,連接ce、oh.(1)延長(zhǎng)ab到圓外一點(diǎn)p,連接pc,若pc2=pb·pa,求證:pc是o的切線;(2)求證:cf·ae=ac·bc;(3)若=,o的半徑是,求tanaec和oh的長(zhǎng).【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) tanaec=，oh =1.【解析】(1)證明:pc2=pb·pa,=,bpc=apc,pbcpca,bac=pcb,連接oc,如圖所示,ao=oc,aco=ba

7、c,aco=pcb.ab是o的直徑,acb=90°,bco+aco=90°,bco+pcb=90°,pco=90°.oc是半徑,pc是o的切線.(2)證明:ab是o的直徑,acb=90°.cd平分acb,acd=fcb=45°.aecd,cae=45°=fcb.在ace與cfb中,cae=fcb,aec=fbc,acecfb,=,cf·ae=ac·bc. (3)作fmac于m,fnbc于n,cqab于q,延長(zhǎng)ae、cb交于點(diǎn)k.cd平分acb,fm=fn.sacf=ac·fm=af·c

8、q,sbcf=bc·fn=bf·cq,=,=.ab是o的直徑,acb=90°且tanabc=.=且aec=abc,tanaec=tanabc=. 設(shè)ac=3k,bc=2k,在rtacb中,ab2=ac2+bc2且ab=2,(3k)2+(2k)2=(2)2,k=2(k=-2舍去),ac=6,bc=4,fcb=45°,chk=90°,k=45°=cae,ha=hc=hk,ck=ca=6.cb=4,bk=6-4=2,oa=ob,ha=hk,oh是abk的中位線,oh=bk=1.【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和

9、性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用4（2017·營(yíng)口市老邊區(qū)柳樹(shù)鎮(zhèn)中學(xué)中考模擬）如圖所示，四邊形abcd是正方形，m是ab延長(zhǎng)線上一點(diǎn)直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)d，且直角頂點(diǎn)e在ab邊上滑動(dòng)（點(diǎn)e不與點(diǎn)a、b重合），另一直角邊與cbm的平分線bf相交于點(diǎn)f （1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)e在ab邊得中點(diǎn)位置時(shí)： 通過(guò)測(cè)量de、ef的長(zhǎng)度，猜想de與ef滿足的數(shù)量關(guān)系是 ；連接點(diǎn)e與ad邊的中點(diǎn)n，猜想ne與bf滿足的數(shù)量關(guān)系是 ，請(qǐng)證明你的猜想；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)e在ab邊上的任意位置時(shí)，猜想此時(shí)de與ef有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想【答案】（1）de=ef；n

10、e=bf；理由見(jiàn)解析；（2）de=ef，理由見(jiàn)解析【解析】解：（1）de=ef；ne=bf；理由如下：四邊形abcd為正方形，ad=ab，dab=abc=90°，n，e分別為ad，ab中點(diǎn)， an=dn=ad，ae=eb=ab，dn=be，an=ae，def=90°，aed+feb=90°，又ade+aed=90°，feb=ade，又an=ae，ane=aen，又a=90，ane=45°，dne=180°ane=135°，又cbm=90°，bf平分cbm，cbf=45°，ebf=135°，在dn

11、e和ebf中， dneebf（asa），de=ef，ne=bf（2）de=ef，理由如下：在da邊上截取dn=eb，連接ne，四邊形abcd是正方形，dn=eb，an=ae，aen為等腰直角三角形，ane=45°，dne=180°45°=135°，bf平分cbm，an=ae，ebf=90°+45°=135°，dne=ebf， nde+dea=90°，bef+dea=90°，nde=bef，在dne和ebf中，dneebf（asa）， de=ef【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，能

12、正確地根據(jù)圖1中證明dne與ebf全等從而得到結(jié)論，進(jìn)而應(yīng)用到圖2是解題的關(guān)鍵5（2019·山東省中考模擬）（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，在rtabc中，abac2，bac90°，點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)，以cd為一邊作正方形cdef，點(diǎn)e恰好與點(diǎn)a重合，則線段be與af的數(shù)量關(guān)系為 （2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形cdef繞點(diǎn)c旋轉(zhuǎn)，連接be，ce，af，線段be與af的數(shù)量關(guān)系有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）當(dāng)正方形cdef旋轉(zhuǎn)到b，e，f三點(diǎn)共線時(shí)候，直接寫(xiě)出線段af的長(zhǎng)【答案】（1）be=af；（2）無(wú)變化；（3）1或+1【解析】解：（1）在

13、rtabc中，ab=ac=2，根據(jù)勾股定理得，bc=ab=2，點(diǎn)d為bc的中點(diǎn)，ad=bc=，四邊形cdef是正方形，af=ef=ad=，be=ab=2，be=af，故答案為be=af；（2）無(wú)變化；如圖2，在rtabc中，ab=ac=2，abc=acb=45°，sinabc=，在正方形cdef中，fec=fed=45°，在rtcef中，sinfec=，fce=acb=45°，fceace=acbace，fca=ecb，acfbce， =，be=af，線段be與af的數(shù)量關(guān)系無(wú)變化；（3）當(dāng)點(diǎn)e在線段af上時(shí)，如圖2，由（1）知，cf=ef=cd=，在rtbcf中

14、，cf=，bc=2，根據(jù)勾股定理得，bf=，be=bfef=，由（2）知，be=af，af=1，當(dāng)點(diǎn)e在線段bf的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，在rtabc中，ab=ac=2，abc=acb=45°，sinabc=，在正方形cdef中，fec=fed=45°，在rtcef中，sinfec= ， ，fce=acb=45°，fcb+acb=fcb+fce，fca=ecb，acfbce， =，be=af，由（1）知，cf=ef=cd=，在rtbcf中，cf=，bc=2，根據(jù)勾股定理得，bf=，be=bf+ef=+，由（2）知，be=af，af=+1即：當(dāng)正方形cdef旋轉(zhuǎn)到b，e

15、，f三點(diǎn)共線時(shí)候，線段af的長(zhǎng)為1或+16（2019·山東省中考模擬）如圖1，在中，點(diǎn)、分別在邊、上，連結(jié)，點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是_，位置關(guān)系是_；（2）探究證明把繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連結(jié)、，判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）拓展延伸把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出面積的最大值【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）面積的最大值為.【解析】解：（1）點(diǎn)、是、的中點(diǎn)，點(diǎn)、是、的中點(diǎn)，（2）結(jié)論：是等腰直角三角形證明：由旋轉(zhuǎn)知，由三角形中位線的性質(zhì)可知，是等腰三角形同（1）的方法得，、同（1）的方法得， 、是等腰直角三

16、角形；（3）由（2）得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大且在頂點(diǎn)上面時(shí)，連接am，an，如圖：在中，在中，故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見(jiàn)解析；（3）面積的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及求最大面積問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，屬壓軸題目，綜合性較強(qiáng)7（2018·河南省中考模擬）已知：在中，ad是bc邊上的中線，點(diǎn)e是ad的中點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)a作，交be的延長(zhǎng)線于f，連接cf求證：四邊形adcf是平行四邊形；填空：當(dāng)時(shí)，四邊形adcf是_形；當(dāng)時(shí)，四邊形adcf是_形【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）矩；菱.【解析】證明：， 在和

17、中， 又，四邊形adcf為平行四邊形；當(dāng)時(shí)，四邊形adcf是矩形；當(dāng)時(shí)，四邊形adcf是菱形故答案為矩，菱【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出是解題關(guān)鍵8（2019·江蘇省中考模擬）如圖，矩形中，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，連接，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，交邊的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）連接，若，求證：四邊形為菱形；（2）在（1）的條件下，求的長(zhǎng)；（3）設(shè)，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并直接寫(xiě)出的取值范圍.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3），.【解析】解：（1）證明：bd=be，bmdedbn=ebn四邊形abcd是矩形，adbc dnb=ebndbn=dnbbd=dn又 bd

18、=bebe=dn又adbc四邊形dben是平行四邊形又bd=be 平行四邊形dben是菱形（2）由（1）可得，be=bd=10ce=be-bc=2在rtdce中，de=2由題意易得mbc=edc，又dce=bcd=90°bcmdce bm=（3）由題意易得bna=edc，a=dce=90°nabdce y=，其中0<x<【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理和三角形相似的綜合應(yīng)用9（2019·河南省中考模擬）如圖（1），已知點(diǎn)g在正方形abcd的對(duì)角線ac上，gebc，垂足為點(diǎn)e，gfcd，垂足為點(diǎn)f（1）證明與推斷：求證：四邊形cegf是正方形；推斷：的值為

19、：（2）探究與證明：將正方形cegf繞點(diǎn)c順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角（0°45°），如圖（2）所示，試探究線段ag與be之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：（3）拓展與運(yùn)用：正方形cegf在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)b，e，f三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖（3）所示，延長(zhǎng)cg交ad于點(diǎn)h若ag=6，gh=2，則bc= 【答案】（1）四邊形cegf是正方形；（2）線段ag與be之間的數(shù)量關(guān)系為ag=be；（3）3【解析】（1）四邊形abcd是正方形，bcd=90°，bca=45°，gebc、gfcd，ceg=cfg=ecf=90°，四邊形cegf是矩形，cge=ecg=45

20、6;，eg=ec，四邊形cegf是正方形；由知四邊形cegf是正方形，ceg=b=90°，ecg=45°，geab，故答案為；（2）連接cg，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知bce=acg=，在rtceg和rtcba中，=、=，=，acgbce，線段ag與be之間的數(shù)量關(guān)系為ag=be；（3）cef=45°，點(diǎn)b、e、f三點(diǎn)共線，bec=135°，acgbce，agc=bec=135°，agh=cah=45°，cha=ahg，ahgcha，設(shè)bc=cd=ad=a，則ac=a，則由得，ah=a，則dh=adah=a，ch=a，由得，解得：a=3，即bc=3

21、，故答案為3【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練掌握正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10（2018·山東省中考模擬）如圖，在abc中，bac=90°，ab=ac，點(diǎn)e在ac上（且不與點(diǎn)a，c重合），在abc的外部作ced，使ced=90°，de=ce，連接ad，分別以ab，ad為鄰邊作平行四邊形abfd，連接af（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出線段af，ae的數(shù)量關(guān)系 ；（2）將ced繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)e在線段bc上時(shí)，如圖，連接ae，請(qǐng)判斷線段af，ae的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

22、論；（3）在圖的基礎(chǔ)上，將ced繞點(diǎn)c繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖寫(xiě)出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)af=ae；（2）af=ae，證明詳見(jiàn)解析；（3）結(jié)論不變，af=ae，理由詳見(jiàn)解析.【解析】解：（1）如圖中，結(jié)論：af=ae理由：四邊形abfd是平行四邊形，ab=df，ab=ac，ac=df，de=ec，ae=ef，dec=aef=90°，aef是等腰直角三角形， af=ae（2）如圖中，結(jié)論：af=ae理由：連接ef，df交bc于k四邊形abfd是平行四邊形，abdf，dke=abc=45°，ekf=180°

23、dke=135°，ade=180°edc=180°45°=135°，ekf=ade，dkc=c，dk=dc，df=ab=ac，kf=ad， 在ekf和eda中， ，ekfeda， ef=ea，kef=aed，fea=bed=90°，aef是等腰直角三角形，af=ae（3）如圖中，結(jié)論不變，af=ae理由：連接ef，延長(zhǎng)fd交ac于kedf=180°kdcedc=135°kdc，ace=（90°kdc）+dce=135°kdc，edf=ace，df=ab，ab=ac，df=ac在edf和eca中，

24、edfeca，ef=ea，fed=aec，fea=dec=90°，aef是等腰直角三角形，af=ae【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題，綜合性較強(qiáng)11（2019·哈爾濱市雙城區(qū)第六中學(xué)中考模擬）如圖，點(diǎn)m是正方形abcd的邊bc上一點(diǎn)，連接am，點(diǎn)e是線段am上一點(diǎn)，cde的平分線交am延長(zhǎng)線于點(diǎn)f(1)如圖1，若點(diǎn)e為線段am的中點(diǎn)，bm：cm1：2，be，求ab的長(zhǎng)；(2)如圖2，若dade，求證：bf+dfaf【答案】(1)ab6；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】解：(1)設(shè)bmx，則cm2x，bc3x，babc，ba3x在rtabm中，e為斜邊am中點(diǎn)，am2be2由勾股定理可

25、得am2mb2+ab2，即40x2+9x2，解得x2ab3x6(2)延長(zhǎng)fd交過(guò)點(diǎn)a作垂直于af的直線于h點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)d作dpaf于p點(diǎn)df平分cde，12deda，dpaf341+2+3+490°，2+345°dfp90°45°45°ahafbaf+daf90°，had+daf90°，bafdah又abad，abfadh(sas)afah，bfdhrtfah是等腰直角三角形，hfafhfdh+dfbf+df，bf+dfaf【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)等

26、知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.12（2017·湖北省中考模擬）如圖1，在矩形abcd中，e是cb延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，f、g分別為ae、bc的中點(diǎn)，fg與ed相交于點(diǎn)h(1) 求證：hehg(2) 如圖2，當(dāng)beab時(shí)，過(guò)點(diǎn)a作apde于點(diǎn)p連接bp，求的值(3) 在(2)的條件下，若ad2，ade30°，則bp的長(zhǎng)為_(kāi) 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）bp的長(zhǎng)為【解析】（1）延長(zhǎng)bc至m，且使cmbe，連接am，abmdce（sas）decambebcm，bgcgg為em的中點(diǎn)fg為aem的中位線fgamhgeambheghehg(2) 過(guò)點(diǎn)b作bqbp交

27、de于q由八字型可得：beqbapbeqbap（asa）paqe(3) adeced30°cecdbebccd2cd，cdde2cdade30°apeq1，dppq1bp13（2019·陜西省中考模擬）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1，acb和dce均為等邊三角形，點(diǎn)a、d、e在同一條直線上，連接be填空：aeb的度數(shù)為 ；線段ad、be之間的數(shù)量關(guān)系為 （2）拓展研究如圖2，acb和dce均為等腰直角三角形，acbdce90°，點(diǎn)a、d、e在同一條直線上，cm為dce中de邊上的高，連接be，請(qǐng)判斷aeb的度數(shù)及線段cm、ae、be之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由（3）

28、解決問(wèn)題如圖3，在正方形abcd中，cd2，若點(diǎn)p滿足pd2，且bpd90°，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)a到bp的距離【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析；（3）點(diǎn)a到bp的距離為或【解析】解：（1）如圖1acb和dce均為等邊三角形，ca=cb，cd=ce，acb=dce=60°，acd=bce在acd和bce中，acdbce（sas），adc=becdce為等邊三角形，cde=ced=60°點(diǎn)a，d，e在同一直線上，adc=120°，bec=120°，aeb=becced=60°故答案為60°acdbce，ad=be故答案為ad=be（

29、2）aeb=90°，ae=be+2cm理由：如圖2acb和dce均為等腰直角三角形，ca=cb，cd=ce，acb=dce=90°，acd=bce在acd和bce中，acdbce（sas），ad=be，adc=becdce為等腰直角三角形，cde=ced=45°點(diǎn)a，d，e在同一直線上，adc=135°，bec=135°，aeb=becced=90°cd=ce，cmde，dm=medce=90°，dm=me=cm，ae=ad+de=be+2cm（3）點(diǎn)a到bp的距離為或理由如下：pd=1，點(diǎn)p在以點(diǎn)d為圓心，1為半徑的圓上b

30、pd=90°，點(diǎn)p在以bd為直徑的圓上，點(diǎn)p是這兩圓的交點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)p在如圖3所示位置時(shí)，連接pd、pb、pa，作ahbp，垂足為h，過(guò)點(diǎn)a作aeap，交bp于點(diǎn)e，如圖3四邊形abcd是正方形，adb=45°ab=ad=dc=bc=，bad=90°，bd=2dp=1，bp=bpd=bad=90°，a、p、d、b在以bd為直徑的圓上，apb=adb=45°，pae是等腰直角三角形又bad是等腰直角三角形，點(diǎn)b、e、p共線，ahbp，由（2）中的結(jié)論可得：bp=2ah+pd，=2ah+1，ah=當(dāng)點(diǎn)p在如圖3所示位置時(shí)，連接pd、pb、pa，作ahbp

31、，垂足為h，過(guò)點(diǎn)a作aeap，交pb的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e，如圖3同理可得：bp=2ahpd，=2ah1，ah=綜上所述：點(diǎn)a到bp的距離為或 【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題而通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問(wèn)題是解決第（3）的關(guān)鍵14（2019·浙江省中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形oabc的頂點(diǎn)b坐標(biāo)為（4，6），點(diǎn)p為線段oa上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)o、a不重合），連接cp，過(guò)點(diǎn)p作pecp

32、交ab于點(diǎn)d，且pepc，過(guò)點(diǎn)p作pfop且pfpo（點(diǎn)f在第一象限），連結(jié)fd、be、bf，設(shè)opt（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)e的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）： ；（2）四邊形bfde的面積記為s，當(dāng)t為何值時(shí)，s有最小值，并求出最小值；（3）bdf能否是等腰直角三角形，若能，求出t；若不能，說(shuō)明理由【答案】(1)、（t+6，t）；(2)、當(dāng)t=2時(shí)，s有最小值是16；(3)、理由見(jiàn)解析【解析】（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)e作egx軸于點(diǎn)g，則cop=pge=90°，由題意知co=ab=6、oa=bc=4、op=t，pecp、pfop，cpe=fpg=90°，即cpf+fpe=fpe+epg

33、，cpf=epg，又coog、fpog，cofp，cpf=pco，pco=epg，在pco和epg中，pco=epg，poc=egp，pc=ep，pcoepg（aas），co=pg=6、op=eg=t，則og=op+pg=6+t，則點(diǎn)e的坐標(biāo)為（t+6，t），（2）daeg，padpge，ad=t（4t），bd=abad=6t（4t）=t2t+6，egx軸、fpx軸，且eg=fp，四邊形egpf為矩形，efbd，ef=pg，s四邊形bedf=sbdf+sbde=×bd×ef=×（t2t+6）×6=（t2）2+16，當(dāng)t=2時(shí)，s有最小值是16；（3）假設(shè)

34、fbd為直角，則點(diǎn)f在直線bc上，pf=opab，點(diǎn)f不可能在bc上，即fbd不可能為直角；假設(shè)fdb為直角，則點(diǎn)d在ef上，點(diǎn)d在矩形的對(duì)角線pe上，點(diǎn)d不可能在ef上，即fdb不可能為直角；假設(shè)bfd為直角且fb=fd，則fbd=fdb=45°，如圖2，作fhbd于點(diǎn)h，則fh=pa，即4t=6t，方程無(wú)解，假設(shè)不成立，即bdf不可能是等腰直角三角形15（2019·江西省中考模擬）某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在研究三角形拓展圖形的性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過(guò)程：操作發(fā)現(xiàn)在等腰abc中，abac，分別以ab和ac為腰，向abc的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，連接de，其中f是de的中點(diǎn)，連接

35、af，則下列結(jié)論正確的是 （填序號(hào)即可）afbc：afbc；整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形；debc、數(shù)學(xué)思考在任意abc中，分別以ab和ac為腰，向abc的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，連接de，其中f是de的中點(diǎn)，連接af，則af和bc有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請(qǐng)給出證明過(guò)程類(lèi)比探索在任意abc中，仍分別以ab和ac為腰，向abc的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖所示，連接de，其中f是de的中點(diǎn)，連接af，試判斷af和bc的數(shù)量和位置關(guān)系是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由【答案】操作發(fā)現(xiàn)：；數(shù)學(xué)思考：afbc，afbc，理由見(jiàn)解析；類(lèi)比探索：af和bc的數(shù)量和位置關(guān)系不發(fā)生改變，理由見(jiàn)解析【解析】操作發(fā)現(xiàn)：如圖1

36、，延長(zhǎng)fa交bc于gabd和ace是等腰直角三角形，且bad=cae=90°，ab=ad，ac=aeab=ac，ad=aef是de的中點(diǎn)，afde，daf=eaf，baf=cafab=ac，af=af，fbafca（sas），fb=fc，fg是bc的垂直平分線，即fgbc，afbc，故正確；agb=afd=90°，bag=fda，afdbga（aas），af=bgbc，故正確；afd=agc=90°，debc，故正確；根據(jù)前面的證明可以得出將圖形1，沿fg對(duì)折左右兩部分能完全重合，整個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故正確，結(jié)論正確的有：故答案為：；數(shù)學(xué)思考：結(jié)論：afbc，a

37、fbc，理由是：如圖2，延長(zhǎng)af至m，使fm=af，連接dm、em，延長(zhǎng)fa交bc于gdf=ef，四邊形daem是平行四邊形，ad=em=ab，adem，dae+aem=dae+bac=180°，bac=aemac=ae，cabaem（sas），am=bc=2af，ame=cba，即afbcadem，dam=ame=cbabad=90°，dam+bag=90°，cba+bag=agb=90°，afbc；類(lèi)比探索：af和bc的數(shù)量和位置關(guān)系不發(fā)生改變，理由是：如圖3，延長(zhǎng)af至m，使af=fm，連接em、dm，設(shè)af交bc于nef=df，四邊形aemd是平

38、行四邊形，ae=dm=acbad+eac=180°，bac+ead=180°aedm，adm+ead=180°，adm=bacab=ad，abcdam（sas），am=bc=2af，dam=abc，afbcdam+baf=abc+baf=90°，anb=90°，afbc【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用類(lèi)比的方法：作輔助線構(gòu)建平行四邊形是解答本題的關(guān)鍵16（2017·湖北省中考模擬）如圖1，abcd為正方形，將正方形的邊cb繞點(diǎn)c順時(shí)針

39、旋轉(zhuǎn)到ce，記bce=，連接be，de，過(guò)點(diǎn)c作cfde于f，交直線be于h（1）當(dāng)=60°時(shí)，如圖1，則bhc= ；（2）當(dāng)45°90°，如圖2，線段bh、eh、ch之間存在一種特定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你通過(guò)探究，寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系式： （不需證明）；（3）當(dāng)90°180°，其它條件不變（如圖3），（2）中的關(guān)系式是否還成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，寫(xiě)出你認(rèn)為成立的結(jié)論，并簡(jiǎn)要證明【答案】（1）45°；（2）bh+eh=ch；（3）不成立，bheh=ch【解析】解：（1）作cgbh于g，如圖1所示：四邊形abcd是正方形，cb=cd，bcd

40、=90°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：ce=cb，bce=60°，cd=ce，bcg=ecg=bce=30°cfde，ecf=dcf=dce，gch=（bce+dce）=×90°=45°；故答案為45°；（2）bh+eh=ch理由如下：作cgbh于g，如圖2所示：同（1）得：bhc=45°，cgh是等腰直角三角形，ch=ghcb=ce，cgbe，bg=eg=be，bh+eh=bg+eg+eh+eh=2gh=ch；故答案為bh+eh=ch；（3）當(dāng)90°180°，其它條件不變，（2）中的關(guān)系式不成立，bheh

41、=ch；理由如下：作cgbh于g，如圖3所示：同（2）得：bhc=45°，cgh是等腰直角三角形，ch=gh，bg=eg=be，bheh=bg+gheh=bg+egeheh=2gh=ch點(diǎn)睛：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度17（2018·山東省中考模擬）矩形abcd中，de平分adc交bc邊于點(diǎn)e，p為de上的一點(diǎn)（pepd），pmpd，pm交ad邊于點(diǎn)m（1）若點(diǎn)f是邊cd上一點(diǎn)，滿足pfpn，且點(diǎn)n位于ad邊上，如圖1所示求證：pn=pf；df+dn=dp；（2）如圖2所

42、示，當(dāng)點(diǎn)f在cd邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，仍然滿足pfpn，此時(shí)點(diǎn)n位于da邊的延長(zhǎng)線上，如圖2所示；試問(wèn)df，dn，dp有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【答案】（1）證明見(jiàn)解析；證明見(jiàn)解析；（2），證明見(jiàn)解析【解析】解：（1）四邊形abcd是矩形，adc=90°又de平分adc，ade=edc=45°；pmpd，dmp=45°，dp=mppmpd，pfpn，mpn+npd=npd+dpf=90°，mpn=dpf在pmn和pdf中， ，pmnpdf（asa），pn=pf，mn=df；pmpd，dp=mp，dm2=dp2+mp2=2dp2，dm=dp又dm=dn+mn，

43、且由可得mn=df，dm=dn+df，df+dn=dp；（2）理由如下： 過(guò)點(diǎn)p作pm1pd，pm1交ad邊于點(diǎn)m1，如圖，四邊形abcd是矩形，adc=90°又de平分adc，ade=edc=45°；pm1pd，dm1p=45°，dp=m1p，pdf=pm1n=135°，同（1）可知m1pn=dpf在pm1n和pdf中，pm1npdf（asa），m1n=df，由勾股定理可得：=dp2+m1p2=2dp2，dm1dpdm1=dnm1n，m1n=df，dm1=dndf，dndf=dp【點(diǎn)睛】本題為四邊形的綜合應(yīng)用，涉及矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等

44、三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)在每個(gè)問(wèn)題中，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，注意勾股定理的應(yīng)用本題考查了知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中18（2019·云南省中考模擬）在矩形abcd中，ab=12，p是邊ab上一點(diǎn)，把pbc沿直線pc折疊，頂點(diǎn)b的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)g，過(guò)點(diǎn)b作becg，垂足為e且在ad上，be交pc于點(diǎn)f（1）如圖1，若點(diǎn)e是ad的中點(diǎn)，求證：aebdec；（2）如圖2，求證：bp=bf；當(dāng)ad=25，且aede時(shí)，求cospcb的值；當(dāng)bp=9時(shí)，求beef的值【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；108. 【解析】（1）在矩形abcd中，a=d=90°，

45、ab=dc，e是ad中點(diǎn)，ae=de，在abe和dce中，abedce（sas）；（2）在矩形abcd，abc=90°，bpc沿pc折疊得到gpc，pgc=pbc=90°，bpc=gpc，becg，bepg，gpf=pfb，bpf=bfp，bp=bf；當(dāng)ad=25時(shí)，bec=90°，aeb+ced=90°，aeb+abe=90°，ced=abe，a=d=90°，abedec，設(shè)ae=x，de=25x，x=9或x=16，aede，ae=9，de=16，ce=20，be=15，由折疊得，bp=pg，bp=bf=pg，bepg，ecfgcp

46、，設(shè)bp=bf=pg=y，y=，bp=，在rtpbc中，pc=，cospcb=；如圖，連接fg，gef=bae=90°，bfpg，bf=pg=bp，bpgf是菱形，bpgf，gfe=abe，gefeab，beef=abgf=12×9=108【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，利用方程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵19（2018·廣東省中考模擬）已知：如圖1在rtabc中，c=90°，ac=8cm，bc=6cm，點(diǎn)p由點(diǎn)b出發(fā)沿ba方向向點(diǎn)a勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)點(diǎn)q由點(diǎn)a出

47、發(fā)沿ac方向點(diǎn)c勻速運(yùn)動(dòng)，速度為lcm/s；連接pq，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0t5），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)為t何值時(shí)，pqbc；（2）設(shè)aqp的面積為y（cm2），求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；（3）如圖2，連接pc，并把pqc沿qc翻折，得到四邊形pqpc，是否存在某時(shí)刻t，使四邊形pqp'c為菱形？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）當(dāng)t=時(shí)，pqbc；（2）（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，y有最大值為；（3）存在，當(dāng)t=時(shí)，四邊形pqpc為菱形【解析】（1）在rtabc中，ab=10，bp=2t，aq=t，則ap=102t，pqbc，apqabc，=，即=

48、，解得t=，當(dāng)t=時(shí)，pqbc（2）過(guò)點(diǎn)p作pdac于d，則有apdabc，=，即=，pd=6t，y=t（6t）=（t）2+，當(dāng)t=時(shí)，y有最大值為（3）存在理由：連接pp，交ac于點(diǎn)o四邊形pqpc為菱形，oc=cq，apoabc，=，即=，oa=（5t），8（5t）=（8t），解得t=，當(dāng)t=時(shí)，四邊形pqpc為菱形【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)理由參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題20（2018·江蘇省中考模擬）如圖1，在矩形abcd中，ad3，dc4，動(dòng)點(diǎn)p在線

49、段dc上以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)d向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)p作pqac交ad于q，將pdq沿pq翻折得到pqe. 設(shè)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（1）當(dāng)點(diǎn)e落在邊ab上時(shí)，t的值為 ；（2）設(shè)pqe與adc重疊部分的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，以pe為直徑作o當(dāng)o與ac邊相切時(shí)，求cp的長(zhǎng)【答案】（1）（2）s=（當(dāng)0t2），s=（2t4）（3） 【解析】解：（1）過(guò)p作pfba于f在adc中，sinacd=，cosacd=pqca，qpd=acd，tanacd=pd=pe=t，qd=，pq=，eq=qd=，aq=在efp中，pf=3，pe=t，ef=peq=90°，fep+e

50、pf=90°，aeq+eqa=90°，fep=eqa，cosfep=coseqa，解得：t=；（2）當(dāng)e剛好在ca上時(shí)，如圖3pqca，1=4，2=33=4，1=2，pc=pepe=pd=t，pc=pd=t，2t=4，解得：t=2當(dāng)時(shí)，如圖1，s=sepq=spdq=pdqd=；當(dāng)時(shí)，如圖4，由（2）可知，pm=pc=4-t，em=t-（4-t）=2t4acpq，emnepq， sepq=spdq=pdqd=， ，s=-=綜上所述：s=（3）如圖，設(shè)切點(diǎn)為h，作pgac于g，連接ho并延長(zhǎng)交pq于f設(shè)cp5x，則pg3x，pdpe45x，of op， hfohofopof op pd（ 45x ） （ 45x ）3x，解得：x ，cp5x點(diǎn)睛：本題是四邊形的綜合題解答時(shí)要充分利用折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用相等的角的三角函數(shù)值相等21（2019·山東省中考模擬）abc中，bac=90°，ab=ac，點(diǎn)d為直線bc上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)d不與b，c重合），以ad為邊在ad右側(cè)作正方形adef，連接cf，（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點(diǎn)d在線段bc上時(shí)，bc與cf的位置關(guān)系為： bc，cd，cf之間的數(shù)量關(guān)系為： ；（將結(jié)論直接寫(xiě)在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點(diǎn)d在線段cb的延長(zhǎng)線上時(shí)，結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不