備考2022中考數(shù)學(xué)類型四 拋物線型問(wèn)題（解析版）

1、類型四 拋物線形問(wèn)題例1、已知平面直角坐標(biāo)系（如圖1），直線的經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn).（1）求、的值；（2）如果拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，該拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，求的值；圖1oxy（3）設(shè)點(diǎn)在直線上，且在第一象限內(nèi)，直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，如果，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】：（1） （2）（3）（4,8）【解析】：（1） 直線的經(jīng)過(guò)點(diǎn)直線的經(jīng)過(guò)點(diǎn) （2）由可知點(diǎn)的坐標(biāo)為 拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、 ， 拋物線的表達(dá)式為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為, （3）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，則軸 , 直線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為,又，,軸 即點(diǎn)的縱坐標(biāo)是又點(diǎn)在直線上點(diǎn)的坐標(biāo)為例2、如圖在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線與y軸交于點(diǎn)a，與x軸分別交于點(diǎn)b（-1，0）、點(diǎn)c（3，0

2、），點(diǎn)d是拋物線的頂點(diǎn).（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）聯(lián)結(jié)ad、dc，求的面積；備用圖第2題圖（3）點(diǎn)p在直線dc上，聯(lián)結(jié)op，若以o、p、c為頂點(diǎn)的三角形與abc相似，求點(diǎn)p的坐標(biāo) 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3）或【解析】：（1） 點(diǎn)b（-1，0）、c（3，0）在拋物線上，解得 拋物線的表達(dá)式為，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)是（1，-4） （2）a（0，-3），c（3，0），d（1，-4） ， （3），cadaob，oa=oc， ，即 若以o、p、c為頂點(diǎn)的三角形與abc相似 ，且abc為銳角三角形 則也為銳角三角形，點(diǎn)p在第四象限由點(diǎn)c（3，0），d（1，-4）得直線cd的表達(dá)式是

3、，設(shè)（）過(guò)p作phoc，垂足為點(diǎn)h，則，當(dāng)時(shí),由得，解得， 當(dāng)時(shí),由得，解得， 綜上得或例3、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、（1）求拋物線的解析式；（2）聯(lián)結(jié)ac、bc、ab，求的正切值；（3）點(diǎn)p是該拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過(guò)點(diǎn)p作交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的上方，且與相似時(shí)，求點(diǎn)p的坐標(biāo)（第3題圖）yxabco【答案】：（1）解得 （2） （3） 點(diǎn)的坐標(biāo)為或【解析】：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為，將（,）、（，）、（,）代入，得 解得 所以，這個(gè)二次函數(shù)的【解析】式為（2）（,）、（，）、（,） ，（3）過(guò)點(diǎn)p作，垂足為h設(shè)，則（,），當(dāng)apg與abc相似時(shí)，存在以下兩種可能： 則即 解得點(diǎn)的坐標(biāo)為

4、 則即 解得點(diǎn)的坐標(biāo)為例4、已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1,0）和b（0,3），其頂點(diǎn)為d.（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）求abd的面積；（3）設(shè)p為該拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，作ph對(duì)稱軸，垂足為h，若dph與aob相似，求點(diǎn)p的坐標(biāo).【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為（2）1（3）點(diǎn)p的坐標(biāo)為（5,8），.【解析】：（1）由題意得：得：，所以拋物線的表達(dá)式為.（2）由（1）得d（2，1），作dty軸于點(diǎn)t, 則abd的面積=.（3）令p.由dph與aob相似，易知aob=phd=90°，所以或，解得：或，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為（5,8），.圖5例5、平面直角坐標(biāo)系xoy中（如圖8）

5、，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1,0）和b（3,0），與y軸相交于點(diǎn)c，頂點(diǎn)為p （1）求這條拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)p的坐標(biāo)； （2）點(diǎn)e在拋物線的對(duì)稱軸上，且ea=ec，求點(diǎn)e的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，記拋物線的對(duì)稱軸為直線mn，點(diǎn)q在直線mn右側(cè)的拋物線上，meq=neb，求點(diǎn)q的坐標(biāo)【答案】：（1）p的坐標(biāo)是（2，-1）（2）m=2（3），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（5，8）【解析】：（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1，0）和b（3，0），解得：， 這條拋物線的表達(dá)式是.頂點(diǎn)p的坐標(biāo)是（2，-1）（2）拋物線的對(duì)稱軸是直線，設(shè)點(diǎn)e的坐標(biāo)是（2，m）根據(jù)題意得： ，解得：m=2，點(diǎn)e的坐標(biāo)為（2，2）（3）解

6、法一：設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為，記mn與x軸相交于點(diǎn)f作qdmn，垂足為d， 則，,qde=bfe=90°，qed=bef，qdebfe，解得（不合題意，舍去），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（5，8）解法二：記mn與x軸相交于點(diǎn)f聯(lián)結(jié)ae，延長(zhǎng)ae交拋物線于點(diǎn)q，ae=be， efab，aef=neb，又aef=meq，qem=neb，點(diǎn)q是所求的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為，作qhx軸，垂足為h，則qh=，oh=t，ah=t-1，efx軸，ef qh，解得（不合題意，舍去），點(diǎn)e的坐標(biāo)為（5，8）例6、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)b（8,0）和點(diǎn)c（9，）拋物線（a，c是常數(shù)，a0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)b、c，且與x軸的另一交

7、點(diǎn)為a對(duì)稱軸上有一點(diǎn)m ，滿足ma=mc（1） 求這條拋物線的表達(dá)式； （2） 求四邊形abcm的面積； （3） 如果坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)d，滿足四邊形abcd是等腰梯形，xbc第6題圖oy·且ad/bc，求點(diǎn)d的坐標(biāo) 【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式： （2）3（3） 點(diǎn)d的坐標(biāo)【解析】：（1）由題意得：拋物線對(duì)稱軸，即點(diǎn)b（8,0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)a（0,0）， 將c（9，-3）代入，得拋物線的表達(dá)式： （2）點(diǎn)m在對(duì)稱軸上，可設(shè)m（4，y）又ma=mc，即 , 解得y=-3, m（4，-3）ymc/ab且mcab, 四邊形abcm為梯形，, ab=8,mc=5,ab邊上的高h(yuǎn) =

8、 ym = 3 xo(3) 將點(diǎn)b（8,0）和點(diǎn)c（9，3）代入 可得macb，解得由題意得，ad/bc, ，又ad過(guò)（0,0），dc=ab=8，設(shè)d(x,-3x) ,解得(不合題意，舍去)， 點(diǎn)d的坐標(biāo)abocxy（第7題圖）d例7、如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)a和點(diǎn)b（1，0），與y軸相交于點(diǎn)c（0，3）（1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）求證：dab=acb；（3）點(diǎn)q在拋物線上，且adq是以ad為底的等腰三角形，求q點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)d（1，4）（2）（3）點(diǎn)q的坐標(biāo)是，【解析】：（1）把b（1，0）和c（0，3）代入中，得，解得拋物線的

9、解析式是：頂點(diǎn)坐標(biāo)d（1，4）（2）令，則，a（3，0），cao=oca在中，；，是直角三角形且，又dac和ocb都是銳角，dac=ocb，即（3）令，且滿足，,0)，4）是以ad為底的等腰三角形，即， 化簡(jiǎn)得：由，解得，點(diǎn)q的坐標(biāo)是，例8、如圖8，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，并與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)（1）求和的值；（2）點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，且以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形與相似，求點(diǎn)的坐標(biāo)；圖8xy11o（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)：它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在軸上如果存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，試說(shuō)明理由 【答案】：（1）b=1（2）點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是和 （3）

10、點(diǎn)的坐標(biāo)是或【解析】：（1） 由直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得.由拋物線的對(duì)稱軸是直線，可得.（2） 直線與軸、軸分別相交于點(diǎn)、，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.拋物線的頂點(diǎn)是點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是.bcg與bcd相似，又由題意知，bcg與相似有兩種可能情況：如果，那么，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.如果，那么，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)是.綜上所述，符合要求的點(diǎn)有兩個(gè)，其坐標(biāo)分別是和 （3）點(diǎn)的坐標(biāo)是或.例9、已知：如圖9，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線的圖像與x軸交于點(diǎn)a（3，0），與y軸交于點(diǎn)b，頂點(diǎn)c在直線上，將拋物線沿射線ac的方向平移，當(dāng)頂點(diǎn)c恰好落在y軸上的點(diǎn)d處時(shí)，點(diǎn)b落在點(diǎn)e處（1）求這個(gè)拋物線的【

11、解析】式；（2）求平移過(guò)程中線段bc所掃過(guò)的面積； （3）已知點(diǎn)f在x軸上，點(diǎn)g在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)c、e、f、g為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，求點(diǎn)f的坐標(biāo)備用圖圖9 【答案】：（1）拋物線的解析式為 （2）12（3）有，），【解析】：（1）頂點(diǎn)c在直線上，將a（3，0）代入，得，解得，拋物線的解析式為（2）過(guò)點(diǎn)c作cmx軸，cny軸，垂足分別為m、n =，c（2，），mac=45°，oda=45°，拋物線與y軸交于點(diǎn)b，b（0，），拋物線在平移的過(guò)程中，線段bc所掃過(guò)的面積為平行四邊形bcde的面積，（3）聯(lián)結(jié)ce.四邊形是平行四邊形，點(diǎn)是對(duì)角線與的交點(diǎn)，即 .（i）當(dāng)ce為矩形

12、的一邊時(shí)，過(guò)點(diǎn)c作，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，在中，即 ，解得 ，點(diǎn)同理，得點(diǎn)（ii）當(dāng)ce為矩形的對(duì)角線時(shí)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧分別交軸于點(diǎn)、，可得 ，得點(diǎn)、綜上所述：滿足條件的點(diǎn)有，），例10、如圖，已知拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為c（1，），p是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線op交該拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)b，直線cp交x軸于點(diǎn)a（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）如果點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為m，試用m的代數(shù)式表示線段bc的長(zhǎng)；（3）如果abp的面積等于abc的面積，求點(diǎn)p坐標(biāo)(第10題圖)ypoxcba【答案】：（1）拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x（2） bc= m-2+1=m-1（3）p的坐標(biāo)為（）(第10題圖)ypoxcba【解析】：（1）拋物線y=ax2+bx的頂點(diǎn)為c（1，） 解得： 拋物線的表達(dá)式為：y=x2-2x；（2）點(diǎn)p