備考2022年中考數(shù)學專題復習：圖形中的二次函數(shù)解析式與復雜圖象變換

1、圖形中的二次函數(shù)解析式與復雜圖象變換 知識互聯(lián)網(wǎng) 題型一：二次函數(shù)的解析式思路導航二次函數(shù)的三種解析式示例剖析一般式頂點式或交點式其中是方程的兩個實根例題精講【引例】 如圖，拋物線與軸交于、兩點，交軸于點，若,則拋物線的解析式為 . 【解析】 當時，與軸交于，點的坐標為，點的坐標為把點和代入得解得，拋物線的解析式為.典題精練【例1】 根據(jù)給定條件求出下列二次函數(shù)解析式 拋物線，當1x5時，y值為正；當x1或x5時，y值為負； 拋物線與軸交于點m，若拋物線與x軸的一個交點關于直線的對稱點恰好是點m； 如圖，在平面直角坐標系xoy中，點b，c在x軸上，點a，e在y軸上，oboc=13，ae=7，且

2、tanoce=3，tanabo=2，拋物線經(jīng)過a，b，c. 【解析】 拋物線與y軸交點為m 拋物線與x軸的交點為和，它們關于直線的對稱點分別為和.由題意，可得：，即m=2或m=3. 【例2】 拋物線的最低點a的縱坐標是3；則拋物線的解析式為 . (2013房山二模)如圖，拋物線經(jīng)過的三個頂點，已知軸，點在軸上，點在軸上，且則拋物線的解析式為 .設拋物線，其中，與軸交于、兩點（在的左側(cè)），若點的坐標為，且，求拋物線的解析式.【解析】 .由題意可知：點坐標，拋物線對稱軸，軸，點坐標，則在中，點坐標為， 代入拋物線解析式得，解得拋物線解析式為 當時，得，,或 拋物線與軸的交點分別為、，在的左側(cè)，則，

3、解得 ，拋物線的解析式為題型二：二次函數(shù)的圖象變換思路導航 平移“左加右減，上加下減”對稱關于軸對稱的圖象關于軸對稱后得到圖象的解析式是關于軸對稱的圖象關于軸對稱后得到圖象的解析式是關于原點對稱的圖象關于原點對稱后得到圖象的解析式是旋轉(zhuǎn)主要旋轉(zhuǎn)和.例題精講【引例】 在直角坐標平面內(nèi)，二次函數(shù)圖象的頂點為，且過點求該二次函數(shù)的解析式；將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點?并直接寫出平移后所得圖象與軸的另一個交點的坐標【解析】 設二次函數(shù)解析式為， 二次函數(shù)圖象過點，得 二次函數(shù)解析式為，即 令，得，解方程，得， 二次函數(shù)圖象與軸的兩個交點坐標分別為和二次函數(shù)圖象向右平

4、移個單位后經(jīng)過坐標原點平移后所得圖象與軸的另一個交點坐標為典題精練【例3】 把拋物線向左平移個單位，向上平移個單位，則得到的拋物線經(jīng)過點 和，求、的值 把拋物線向左平移個單位，向下平移個單位后，所得拋物線為，其圖象經(jīng)過點，求原解析式【解析】 把向左平移個單位，向上平移個單位，得到的拋物線為于是，由題設得解得即拋物線向右平移了兩個單位，向上平移了一個單位 首先，拋物線經(jīng)過點，可求得，設原來的二次函數(shù)為，可得解得所以原二次函數(shù)為，即說明：將拋物線向右平移個單位，得到的拋物線是；向左平移個單位得到；向上平移個單位，得到；向下平移個單位得到【例4】 在同一坐標平面內(nèi)，圖象不可能由函數(shù)的圖象通過平移變換

5、、軸對稱變換得到的函數(shù)是（）ab cd將拋物線繞它的頂點旋轉(zhuǎn)，所得拋物線的解析式是（ ）a bc d已知拋物線的對稱軸為，且與軸只有一個交點.求的值；把拋物線沿軸翻折，再向右平移個單位，向下平移個單位，得到新的拋物線，求新拋物線的解析式.【解析】 d d 拋物線的對稱軸為， 拋物線與軸只有一個交點 ， ，沿軸翻折后得到，向右平移個單位，向下平移個單位得到拋物線的解析式為 題型三：二次函數(shù)中的特殊三角形例題精講【引例】 已知拋物線的頂點為，點、是拋物線上的動點，若是等邊三角形，求的邊長【分析】 要注意等邊三角形和拋物線具有軸對稱這一特性【解析】 點的坐標為，不妨設點在對稱軸的右側(cè)，設拋物線的對稱

6、軸為與交于點在中，設，把代入（舍），.【點評】 拋物線定了，相對應的等邊三角形就定了任意拋物線都可以通過平移得到通過設點坐標代入解析式可得等邊三角形的邊長為典題精練【例5】 如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的三個頂點、，則的值為 【解析】 連接交于點，（圖略）首先由可得點，又根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，所以有，點，代入拋物線解析式可得：，解得【例6】 已知拋物線的頂點為，點、是拋物線上的動點，點為直角坐標系內(nèi)一點，若四邊形是正方形，求正方形的面積【分析】 要注意正方形和拋物線具有軸對稱這一特性【解析】 點的坐標為，不妨設點在對稱軸的右側(cè)，設拋物線的對稱軸交于點在 中，設，則把代入得

7、解得（舍），正方形的面積為【點評】 其實拋物線定了，相對應的正方形就定了任意拋物線都可以通過平移為通過設點坐標代入解析式可得正方形的對角線為【例7】 若如圖，拋物線m：與x軸的交點為a、b，與y軸的交點為c，頂點為m（3，），將拋物線m繞點b旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線n，它的頂點為d； 求拋物線n的解析式； 設拋物線n與x軸的另一個交點為e，點p是線段ed上一個動點（p不與e、d重合），過點p作y軸的垂線，垂足為f，連接ef如果p點的坐標為（x，y），pef的面積為s，求s與x的函數(shù)關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出s的最大值 【解析】 拋物線的頂點為，的解析式為=，. 拋物線

8、是由拋物線繞點旋轉(zhuǎn)得到，的坐標為，拋物線的解析式為：，即. 點與點關于點中心對稱，.設直線的解析式為，則 . 又點坐標為，s=，當時，s有最大值， 但,所以的面積s沒有最大值精講：拋物線的內(nèi)接特殊三角形探究【探究對象】拋物線的內(nèi)接特殊三角形【探究過程】【探究1】以拋物線頂點為頂點的對稱圖形變式1已知拋物線的頂點為，點、是拋物線上的動點，若是等邊三角形，求的邊長變式2變式1中，如果把換成，若是等邊三角形時，則的邊長會發(fā)生怎樣的變化？變式2前面的問題的換成等腰直角三角形或正方形時，它們的邊長又會發(fā)生怎樣的變化？總結：(1) 拋物線定了，相對應的等邊三角形就定了任意拋物線都可以通過平移得到通過設點坐

9、標代入解析式可得等邊三角形的邊長為(2) 其實拋物線定了，相對應的正方形就定了任意拋物線都可以通過平移為通過設點坐標代入解析式可得正方形的對角線為【探究2】拋物線與軸兩個交點和頂點確定的三角形變式1已知，二次函數(shù)與軸的兩個交點、都在原點右側(cè)，頂點為。當是等腰直角三角形時，求判別式 變式2 變式1中，如果把換成，是等腰直角三角形時，判別式的值會發(fā)生變化嗎？變式3前面的問題中當為等邊三角形時，的判別式又是多少？變式4前面的問題中當為頂角為120°的等腰三角形時，的判別式又是多少？總結：(1) 當與軸交于、兩點，是頂點，當為等腰直角三角形時，則(2) 當與軸交于、兩點，是頂點，當為等邊三角

10、形時，則(3) 當與軸交于、兩點，是頂點，當為頂角為120°的等腰三角形時，則【探究3】拋物線與坐標軸的三個交點確定的三角形變式1已知拋物線與軸正、負半軸分別交于、兩點，與軸負ayxboc半軸交于點若，求拋物線解析式分析：由雙垂圖聯(lián)想到射影定理，結合條件易想到，可求點坐標再利用交點式求解析式變式2若上例中把條件，去掉，其它條件不變，則、之間滿足什么關系？變式3請你設計一種平移方案，將平移，使其與坐標軸三個交點為直角三角形三個頂點分析：上下平移開口方向和對稱軸不變，則、不變，只需求出平移后的解析式，再確定平移了多少個單位總結：當拋物線與軸有交點、，和軸交于點，一般結論：是復習鞏固題型一

11、 二次函數(shù)的解析式 鞏固練習【練習1】 拋物線與軸的交點為 ，且頂點在直線上，則拋物線的解析式為 .【解析】 ，與軸的交點為和，拋物線的解析式為且對稱軸為，當時，故拋物線的頂點為，把代入中得，拋物線的解析式為.【練習2】 如圖，四邊形是菱形，點的坐標是，以點為頂點的拋物線恰經(jīng)過軸上的點、 求點的坐標； 若拋物線向上平移后恰好經(jīng)過點，求平移后拋物線的解析式【解析】 連接，在菱形abcd中， 由拋物線對稱性可知 都是等邊三角形 點的坐標為 由拋物線的頂點為，可設拋物線的解析式為由可得，把代入上式，解得 設平移后拋物線的解析式為，把代入上式得平移后拋物線的解析式為 即題型二 二次函數(shù)的圖象變換 鞏固

12、練習【練習3】 已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當取不同的值時，其圖象構成一個“拋物線系”下圖分別是當，時二次函數(shù)的圖象它們的頂點在一條直線上，這條直線的解析式是 【解析】 【練習4】 二次函數(shù)的圖象所示，請將此圖象向右平移個單位，再向下平移個單位 畫出經(jīng)過兩次平移后所得到的圖象，并寫出函數(shù)的解析式 求經(jīng)過兩次平移后的圖象與軸的交點坐標，指出當滿足什么條件時，函數(shù)值大于？【解析】 畫圖如圖所示：依題意得：平移后圖象的解析式為： 當時，平移后的圖象與軸交于兩點，坐標分別為和由圖可知，當或時，二次函數(shù)的函數(shù)值大于題型三 二次函數(shù)中的特殊三角形 鞏固練習【練習5】 已知拋物線的頂點為，拋物線與軸的交點為、（

13、點在點的左邊），若為等腰直角三角形，求的值在的條件下，若繞點旋轉(zhuǎn)，兩邊交拋物線于、（不與點、重合），探索和的大小關系，并證明【解析】 點的坐標為，代入得 結論：作的角平分線交于，分別從點、點引的垂線段、在和中，在和中，即，課后測【測試1】 把拋物線的圖象先向右平移個單位，再向下平移個單位，所得的圖象的解析式是，則_【答案】11【測試2】 設拋物線，把它向右平移個單位，或向下移個單位，都能使拋物線與直線恰好有一個交點，求、的值 把拋物線向左平移個單位，向上平移個單位，則得到的拋物線經(jīng)過點和，求、的值 【解析】 拋物線向右平移個單位后，得到由得方程，即因為拋物線與直線恰好有一個交點，所以上述方程有

14、兩個相同的實數(shù)根，故判別式，得，這時的交點為拋物線向下平移個單位，得到拋物線，于是得方程，即，該方程有兩個相同的實數(shù)根，故判別式，得，這時的交點為 把向左平移個單位，向上平移個單位，得到的拋物線為于是，由題設得解得即拋物線向右平移了兩個單位，向上平移了一個單位 第十七種品格：成就當代保爾張海迪張海迪，1955年秋天在濟南出生。5歲患脊髓病，胸以下全部癱瘓。從那時起，張海迪開始了她獨到的人生。她無法上學，便在在家自學完中學課程。15歲時，海迪跟隨父母，下放(山東)聊城農(nóng)村，給孩子當起教書先生。她還自學針灸醫(yī)術，為鄉(xiāng)親們無償治療。后來，張海迪自學多門外語，還當過無線電修理工。 在殘酷的命運挑戰(zhàn)面前，張海迪沒有沮喪和沉淪，她以頑強的毅力和恒心與疾病做斗爭，經(jīng)受了嚴峻的考驗，對人生充滿了信心。她雖然沒有機會走進校門，卻發(fā)憤學習，學完了小學、中學全部課程，自學了大學英語、日語、德語和世界語，并攻讀了大學和碩士研究生的課程。1983年張海迪開始從事文學創(chuàng)作，先后翻譯了海邊診所等數(shù)十萬字的英語小說，編著了向天空敞開的窗口、生命的追問、輪椅上的夢等書籍。其中輪椅上的夢在日本和韓國出版，而生命的追問出版不到半年，已重印3次，獲得了全國