備考2022數(shù)學專題10 圖形變換綜合題探究專題（解析版）

1、玩轉壓軸題，爭取滿分之備戰(zhàn)2020年中考數(shù)學解答題高端精品專題十 圖形變換綜合題探究專題【考題研究】本專題主要包括圖形的變換和相似形其中軸對稱圖形、平移、中心對稱圖形的識別，相似三角形性質以填空和選擇題為主，主要是考查對圖形的識別和性質；圖形的折疊、平移、旋轉與幾何圖形面積相關的計算問題以填空題和解答題為主，主要是考查對幾何問題的綜合運用能力；而相似三角形的性質及判斷定的應用往往還會結合圓或者解直角三角形等問題一并考查，主要是以解答題為主。 【解題攻略】圖形的軸對稱、平移、旋轉是近年中考的新題型、熱點題型，它主要考查學生的觀察與實驗能力，探索與實踐能力，因此在解題時應注意以下方面：1.熟練掌握

2、圖形的軸對稱、圖形的平移、圖形的旋轉的基本性質和基本方法。2.結合具體問題大膽嘗試，動手操作平移、旋轉，探究發(fā)現(xiàn)其內在規(guī)律是解答操作題的基本方法。3注重圖形與變換的創(chuàng)新題，弄清其本質，掌握其基本的解題方法，尤其是折疊與旋轉等?！窘忸}類型及其思路】1.變換中求角度注意平移性質：平移前后圖形全等，對應點連線平行且相等2變換中求線段長時把握折疊的性質：折線是對稱軸、折線兩邊圖形全等、對應點連線垂直對稱軸、對應邊平行或交點在對稱軸上3變換中求坐標時注意旋轉性質：對應線段、對應角的大小不變，對應線段的夾角等于旋轉角.4變換中求面積，注意前后圖形的變換性質及其位置等情況?！镜淅敢款愋鸵?【圖形的平移】

3、 【典例指引1】1兩個三角板abc，def按如圖所示的位置擺放，點b與點d重合，邊ab與邊de在同一條直線上(假設圖形中所有的點、線都在同一平面內)，其中，cdef90°，abcf30°，acde4 cm.現(xiàn)固定三角板def，將三角板abc沿射線de方向平移，當點c落在邊ef上時停止運動設三角板平移的距離為(cm)，兩個三角板重疊部分的面積為 (cm2)(1)當點c落在邊ef上時，_cm；(2)求關于的函數(shù)表達式，并寫出自變量的取值范圍；(3)設邊bc的中點為點m，邊df的中點為點n，直接寫出在三角板平移過程中，點m與點n之間距離的最小值【答案】(1)10;(2)見解析；（

4、3） .【解析】分析：（1）由銳角三角函數(shù)，得到bg的長，進而得出ge的長，又矩形的性質可求解；（2）分類討論：當0t4時，根據(jù)三角形的面積公式可得答案；當4t8時，當時，根據(jù)面積的和差求解；（3）根據(jù)點與直線上所有點的連線中垂線段最短，可得m在線段ng上，根據(jù)三角形的中位線，可得ng的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得mg的長，然后根據(jù)線段的和差求解.詳解:（1）如圖：作cgab于g點 在rtabc中，由ac=4，abc=30，得bc=4在rtbcg中，bg=bccos30°=6四邊形cgeh是矩形，ch=ge=bg+be=6+4=10cm，故答案為：10 . （2）當時，如解圖gdb60

5、°，gbd30°，dbx，dgx，bgx， 重疊部分的面積ydg·bg×x×xx2時，如解圖bdx，dgx，bgx，bex4，eh (x4) 重疊部分的面積ysbdgsbehdg·bgbe·eh，即y×x×x (x4)× (x4)，化簡得： 當時，如解圖ac4，bc4，bdx，bex4，eg (x4) 重疊部分的面積ysabcsbegac·bcbe·eg，即y×4×4 (x4)× (x4)，化簡得：綜上所述，（3） 【名師點睛】此題主要考查了幾何

6、變換綜合，利用銳角三角函數(shù)和矩形的性質，利用三角形的面積，面積的和差，分類討論是解題關鍵，以防遺漏，利用垂線段最短，三角形的中位線定理，銳角三角函數(shù)解答即可.【舉一反三】如圖，將兩塊全等的三角板拼在一起，其中abc的邊bc在直線l上，acbc且ac=bc；efp的邊f(xié)p也在直線l上，邊ef與邊ac重合，effp且ef=fp（1）在圖中，通過觀察、測量，猜想直接寫出ab與ap滿足的數(shù)量關系和位置關系，不要說明理由；（2）將三角板efp沿直線l向左平移到圖的位置時，ep交ac于點q，連接ap、bq猜想寫出bq與ap滿足的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由【答案】（1）ab=ap且abap，（2）bq與

7、ap所滿足的數(shù)量關系是ap=bq，位置關系是apbq【解析】分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形性質得出ab=ap，bac=pac=45°，求出bap=90°即可； （2）求出cq=cp，根據(jù)sas證bcqacp，推出ap=bq，cbq=pac，根據(jù)三角形內角和定理求出cbq+bqc=90°，推出pac+aqg=90°，求出agq=90°即可詳解：（1）ab=ap且abap。理由如下：acbc且ac=bc，abc為等腰直角三角形，bac=abc=（180°acb）=45° 又abc與efp全等，同理可證pef=45°，b

8、ap=45°+45°=90°，ab=ap且abap （2）bq與ap所滿足的數(shù)量關系是ap=bq，位置關系是apbq，理由如下：延長bq交ap于g，由（1）知，epf=45°，acp=90°，pqc=45°=qpc，cq=cp acb=acp=90°，ac=bc，在bcq和acp中， ，bcqacp（sas），ap=bq，cbq=pac acb=90°，cbq+bqc=90° cqb=aqg，aqg+pac=90°，agq=180°90°=90°，apbq點睛：本題

9、考查了等腰直角三角形性質和全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點，主要考查了學生的推理能力和猜想能力，題目比較好類型二 【圖形的軸對稱-折疊】 【典例指引2】將一個直角三角形紙片abo放置在平面直角坐標系中，點a3,0，點b0,4，點o0,0.p是邊ab上的一點(點p不與點a，b重合)，沿著折疊該紙片，得點b的對應點b'.()如圖，當bop=30°時，求點b'的坐標；()如圖，當點b'落在x軸上時，求點p的坐標；()當pb'與坐標軸平行時，求點b'的坐標(直接寫出結果即可).【答案】()點b的坐標為（23，2）；() 點p的坐標為（

10、，）；() 點b的坐標為（，）或（，-）.【解析】()如圖，過b作bcx軸于c，由b點坐標可得ob的長，根據(jù)折疊的性質可得bop=pob=30°，ob=ob，即可求出boc=30°，利用boc的正弦和余弦值求出bc和oc的長即可得點b的坐標；()過p作pdx軸，由折疊性質可知bop=bop=45°，可得pd=od，da=3-od，利用oab的正切值即可求出pd的值，進而可得點p的坐標；()分兩種情況討論：當pb/x軸時，過b作bex軸于e，根據(jù)平行線的性質和折疊的性質可得boe=oba，利用boe的正弦和余弦求出be和oe的長即可得點b的坐標；當pb/y軸時，pb

11、x軸，設pb交x軸于f，根據(jù)折疊性質可得b=oba，利用b的正弦和余弦即可求出of和bf的長，即可得點b的坐標.【詳解】()如圖，過b作bcx軸于c，a（3，0），b（0，4），ob=4，oa=3，沿著op折疊該紙片，得點b的對應點b'.bop=pob=30°，ob=ob=4，boc=30°，bc=obsin30°=2，oc= obcos30°=23，點b的坐標為（23，2）()如圖，過點p作pdx軸于d，opb是opb沿op折疊得到，點b'落在x軸上，bop=bop=45°，pd=od，ad=oa-od=3-od，tanpad

12、=pdad=pd3-pd=oboa=43，pd=od=127，點p的坐標為（127，127）.()如圖，當pb/x軸時，過b作bex軸于e，opb是opb沿op折疊得到，pbo=oba，ob=ob=4，oa=3，ob=5，ab=5，pb/x軸，pbo=boe，boe=oba，sinboe=sinoba=oaab=35，cosboe=obab=45，be=obsinboe=125，oe=obcosboe=165，點b的坐標為（165，125）.如圖，當pb/y軸時，則pbx軸，設pb交x軸于f，b=oba，sinb=35，cosb=45，of=obsinb=125，bf=obcosb=165，點

13、b在第四象限，點b的坐標為（125，-165）.綜上所述：點b的坐標為（165，125）或（125，-165）.【名師點睛】本題考查折疊的性質、平行線的性質及銳角三角函數(shù)的定義，正確得出折疊后的對應邊和對應角并熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題關鍵.【舉一反三】如圖，在矩形abcd中，點e在邊cd上，將該矩形沿ae折疊，使點d落在邊bc上的點f處，過點f作fgcd，交ae于點g，連接dg（1）求證：四邊形defg為菱形；（2）若cd=8，cf=4，求的值【答案】（1）證明見試題解析；（2）【解析】（1）由折疊的性質，可以得到dg=fg，ed=ef，1=2，由fgcd，可得1=3，再證明 fg=fe，

14、即可得到四邊形defg為菱形；（2）在rtefc中，用勾股定理列方程即可cd、ce，從而求出的值【詳解】解：（1）證明：由折疊的性質可知：dg=fg，ed=ef，1=2，fgcd，2=3，fg=fe，dg=gf=ef=de，四邊形defg為菱形；（2）設de=x，根據(jù)折疊的性質，ef=de=x，ec=8x，在rtefc中，即，解得：x=5，ce=8x=3，=考點：1翻折變換（折疊問題）；2勾股定理；3菱形的判定與性質；4矩形的性質；5綜合題類型三 【圖形的旋轉】 【典例指引3】如圖1，點o是正方形abcd兩對角線的交點，分別延長od到點g，oc到點e，使og=2od，oe=2oc，然后以og、

15、oe為鄰邊作正方形oefg，連接ag，de（1）求證：deag；（2）正方形abcd固定，將正方形oefg繞點o逆時針旋轉角（0°360°）得到正方形oefg，如圖2在旋轉過程中，當oag是直角時，求的度數(shù)；若正方形abcd的邊長為1，在旋轉過程中，求af長的最大值和此時的度數(shù)，直接寫出結果不必說明理由【答案】（1）見解析；（2）30°或150°，的長最大值為，此時【解析】（1）延長ed交ag于點h，易證aogdoe，得到ago=deo，然后運用等量代換證明ahe=90°即可；（2）在旋轉過程中，oag成為直角有兩種情況：由0°增大到

16、90°過程中，當oag=90°時，=30°，由90°增大到180°過程中，當oag=90°時，=150°；當旋轉到a、o、f在一條直線上時，af的長最大，af=ao+of=+2，此時=315°【詳解】(1)如圖1,延長ed交ag于點h,點o是正方形abcd兩對角線的交點，oa=od，oaod，og=oe，在aog和doe中，aogdoe，ago=deo，ago+gao=90°，gao+deo=90°，ahe=90°，即deag；(2)在旋轉過程中,oag成為直角有兩種情況：()由0&#

17、176;增大到90°過程中,當oag=90°時，oa=od=og=og，在rtoag中,sinago=，ago=30°，oaod,oaag，odag,dog=ago=30°，即=30°；()由90°增大到180°過程中,當oag=90°時，同理可求bog=30°，=180°30°=150°.綜上所述,當oag=90°時,=30°或150°.如圖3,當旋轉到a. o、f在一條直線上時,af的長最大，正方形abcd的邊長為1，oa=od=o

18、c=ob=，og=2od，og=og=，of=2，af=ao+of=+2，coe=45°，此時=315°.【名師點睛】本題考查的是正方形的性質、旋轉變換的性質以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握正方形的四條邊相等、四個角相等，旋轉變換的性質是解題的關鍵，注意特殊角的三角函數(shù)值的應用【舉一反三】（1）（問題發(fā)現(xiàn)）如圖1，在rtabc中，abac2，bac90°，點d為bc的中點，以cd為一邊作正方形cdef，點e恰好與點a重合，則線段be與af的數(shù)量關系為 （2）（拓展研究）在（1）的條件下，如果正方形cdef繞點c旋轉，連接be，ce，af，線段be與af的數(shù)量關系有無變

19、化？請僅就圖2的情形給出證明；（3）（問題發(fā)現(xiàn)）當正方形cdef旋轉到b，e，f三點共線時候，直接寫出線段af的長【答案】（1）be=af；（2）無變化；（3）1或+1【解析】（1）先利用等腰直角三角形的性質得出ad= ，再得出be=ab=2，即可得出結論；（2）先利用三角函數(shù)得出，同理得出，夾角相等即可得出acfbce，進而得出結論；（3）分兩種情況計算，當點e在線段bf上時，如圖2，先利用勾股定理求出ef=cf=ad=，bf=，即可得出be=，借助（2）得出的結論，當點e在線段bf的延長線上，同前一種情況一樣即可得出結論【詳解】解：（1）在rtabc中，ab=ac=2，根據(jù)勾股定理得，bc

20、=ab=2，點d為bc的中點，ad=bc=，四邊形cdef是正方形，af=ef=ad=，be=ab=2，be=af，故答案為be=af；（2）無變化；如圖2，在rtabc中，ab=ac=2，abc=acb=45°，sinabc=，在正方形cdef中，fec=fed=45°，在rtcef中，sinfec=，fce=acb=45°，fceace=acbace，fca=ecb，acfbce， =，be=af，線段be與af的數(shù)量關系無變化；（3）當點e在線段af上時，如圖2，由（1）知，cf=ef=cd=，在rtbcf中，cf=，bc=2，根據(jù)勾股定理得，bf=，be=

21、bfef=，由（2）知，be=af，af=1，當點e在線段bf的延長線上時，如圖3，在rtabc中，ab=ac=2，abc=acb=45°，sinabc=，在正方形cdef中，fec=fed=45°，在rtcef中，sinfec= ， ，fce=acb=45°，fcb+acb=fcb+fce，fca=ecb，acfbce， =，be=af，由（1）知，cf=ef=cd=，在rtbcf中，cf=，bc=2，根據(jù)勾股定理得，bf=，be=bf+ef=+，由（2）知，be=af，af=+1即：當正方形cdef旋轉到b，e，f三點共線時候，線段af的長為1或+1類型四 【

22、圖形的位似】 【典例指引4】如圖，二次函數(shù)y=x23x的圖象經(jīng)過o（0，0），a（4，4），b（3，0）三點，以點o為位似中心，在y軸的右側將oab按相似比2：1放大，得到oab，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象經(jīng)過o，a，b三點（1）畫出oab，試求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的表達式；（2）點p（m，n）在二次函數(shù)y=x23x的圖象上，m0，直線op與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象交于點q（異于點o）連接ap，若2apoq，求m的取值范圍；當點q在第一象限內，過點q作qq平行于x軸，與二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象交于另一點q，與二次函數(shù)y=x23

23、x的圖象交于點m，n（m在n的左側），直線oq與二次函數(shù)y=x23x的圖象交于點pqpmqbn，則線段nq的長度等于 【答案】（1）二次函數(shù)的解析式為y=x23x；（2）1m1+，且m0；6【解析】(1)根據(jù)位似的性質得出a（8，8），b（6，0），將o（0，0），a（8，8），b（6，0）代入y=ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法進行求解即可得；（2）如圖1，由p（m，n）在二次函數(shù)y=x23x的圖象上，可得p（m，m23m），根據(jù)待定系數(shù)法易求得op的解析是為y=（m3）x，繼而可求得q（2m，2m26m），過點p作pcx軸于點c，過點q作qdx軸于點d，證明ocpodq，可得oq=2op，

24、然后根據(jù)2apoq，可得apop，從而可得關于m的不等式，解不等式即可得；如圖2，p（m，m23m），q（2m，2m26m），根據(jù)點q在第一象限，可得m3，qq的表達式是y=2m26m，解方程組，可得點q（62m，2m26m），繼而可得oq的解析式為y=mx，從而求得點p（3m，m23m），由qq與y=x23x交于點m、n，求出點m、n的坐標，再根據(jù)qpmqbn，根據(jù)相似三角形的性質可得關于的方程，解方程求出m的值即可得答案.【詳解】（1）如圖1，由以點o為位似中心，在y軸的右側將oab按相似比2：1放大，得，a（4，4），b（3，0），a（8，8），b（6，0），將o（0，0），a（8，8）

25、，b（6，0）代入y=ax2+bx+c，得，解得，二次函數(shù)的解析式為y=x23x；（2）如圖1，p（m，n）在二次函數(shù)y=x23x的圖象上，n=m23m，p（m，m23m），設直線op的解析式為y=kx，將點p（m，m23m）代入函數(shù)解析式，得mk=m23m，k=m3，op的解析是為y=（m3）x，op與yx23x交于q點，解得（不符合題意舍去），q（2m，2m26m），過點p作pcx軸于點c，過點q作qdx軸于點d，則oc=|m|，pc=|m23m|，od=|2m|，qd=|2m26m|，ocpodq，oq=2op，2apoq，2ap2op，即apop，化簡，得m22m40，解得1m1+，且

26、m0；如圖2，p（m，m23m），q（2m，2m26m）點q在第一象限，解得m3，由q（2m，2m26m），得qq的表達式是y=2m26m，qq交y=x23x交于點q，解得（不符合題意，舍），q（62m，2m26m），設oq的解析是為y=kx，（62m）k=2m26m，解得k=m，oq的解析式為y=mx，oq與y=x23x交于點p，mx=x23x，解得x1=0（舍），x2=3m，p（3m，m23m），qq與y=x23x交于點m、n，x23x=2m26m，解得x1=，x2=，m在n左側，m（，2m26m），n（，2m26m），qpmqbn，即，化簡得：m212m+27=0，解得：m1=3（舍），

27、m2=9，n（12，108），q（18，108），qn=6，故答案為：6.【名師點睛】本題考查了幾何與代數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法、位似圖形、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程、解不等式等，綜合性較強，有一定難度，熟練掌握相關知識，正確畫出圖形是解題的關鍵.【舉一反三】如圖所示，網(wǎng)格紙中的每個小方格都是邊長為1的正方形，我們把以格點間連線為邊的三角形稱為“格點三角形”，圖中的abc是格點三角形在建立平面直角坐標系后，點b的坐標為(1，1)(1)把abc向下平移5格后得到a1b1c1，寫出點a1，b1，c1的坐標，并畫出a1b1c1；(2)把abc繞點o按順時針方向旋轉180°后得

28、到a2b2c2，寫出點a2，b2，c2的坐標，并畫出a2b2c2；(3)把abc以點o為位似中心放大得到a3b3c3，使放大前后對應線段的比為12，寫出點a3，b3，c3的坐標，并畫出a3b3c3.【答案】(1)a1(3，2)，b1(1，6)，c1(5，6)，圖見解析；(2)a2(3，3)，b2(1，1)，c2(5，1)，圖見解析；(3)a3(6，6)，b3(2，2)，c3(10，2)或a3(6，6)，b3(2，2)，c3(10，2)，圖見解析.【解析】（1）abc的各點向左平移8格后得到新點，順次連接得a1b1c1；（2）abc的另兩點繞點c按順時針方向旋轉90°后得到新的兩點，順

29、次連接得a2b2c；（3）利用位似放大的性質作圖【詳解】(1)a1(3，2)，b1(1，6)，c1(5，6)(2)a2(3，3)，b2(1，1)，c2(5，1)(3)a3(6，6)，b3(2，2)，c3(10，2)或a3(6，6)，b3(2，2)，c3(10，2)【點睛】本題考查了作圖-平移變換；作圖-旋轉變換；作圖-位似變換難點是第三問，即把abc以點a為位似中心放大，就是在ab、ac的延長線上取點b3、c3，使b3c3=2bc，也就是說，bc是a b3c3的中位線【新題訓練】1在如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，格點三角形（頂點是網(wǎng)格線的交點的三角形）abc的頂點a

30、，c的坐標分別為（4，5），（1，3）（1）請在如圖所示的網(wǎng)格平面內作出平面直角坐標系；（2）寫出點b的坐標      ；（3）將abc向右平移5個單位長度，向下平移2個單位長度，畫出平移后的圖形abc；（4）計算abc的面積（5）在x軸上存在一點p，使pa+pc最小，直接寫出點p的坐標.【答案】(1)詳見解析;(2)b(-2,1);(3)詳見解析;(4)4;(5)p(,0).【解析】(1)直接利用已知點位置得出x,y軸的位置；(2)利用平面直角坐標系得出b點坐標即可；(3)直接利用平移的性質得出對應點位置進而得出答案；(4)利用ab

31、c所在矩形形面積減去周圍三角形面積進而得出答案(5)作c關于x軸的對稱點d,連接ad交x軸一點就為所求點.【詳解】(1)如圖所示,點a的坐標為（4,5）,在a點y軸向右平移4個單位,x軸向下平移5個單位得到即可；(2)b（2,1）；(3)如圖所示：abc即為所求；(4)abc的面積為：3×4×3×2×1×2×2×4=4(5)作點c關于x軸的對稱點d(-1,-3),連接ad交x軸于一點,該點為所求點.設直線ad:y=kx+b,將a(-4,5),d(-1,-3)代入 解得:直線ad:令y=0,則x=p點坐標為(,0)【點睛】此題

32、主要考查了平移變換以及三角形面積求法,正確得出平移后對應點位置是解題關鍵2如圖（1），在平面直角坐標系中，點a，b的坐標分別為（1，0），（3，0），將線段ab先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段cd，連接ac，bd，構成平行四邊形abdc（1）請寫出點c的坐標為 ，點d的坐標為 ，s四邊形abdc ；（2）點q在y軸上，且sqabs四邊形abdc，求出點q的坐標；（3）如圖（2），點p是線段bd上任意一個點（不與b、d重合），連接pc、po，試探索dcp、cpo、bop之間的關系，并證明你的結論【答案】（1）（0，2），（4，2），8；（2）q(0，4)或q(0，4)；（

33、3）cpodcp+bop，證明見解析【解析】（1）根據(jù)平移直接得到點c，d坐標，用面積公式計算s四邊形abdc即可；（2）設出q的坐標，oq|m|，用sqabs四邊形abdc建立方程，解方程即可；（3）作peab交 y 軸 于 點 e，利用兩直線平行，內錯角相等即可得出結論【詳解】解：（1）線段ab先向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到線段cd，且a（1，0），b（3，0），c（0，2），d（4，2）；ab4，oc2，s四邊形abdcab×oc4×2=8；故答案為：（0，2）；（4，2）；8；（2）點q在y軸上，設q（0，m），oq|m|，sqab×

34、ab×oq×4×|m|2|m|，s四邊形abdc8，2|m|8，m4或m4，q（0，4）或q（0，4）（3）如圖，線段cd是線段ab平移得到，cdab，作peab交 y 軸 于 點 e，cdpe，cpedcp，peab，opebop，cpocpe+opedcp+bop，cpodcp+bop【點睛】本題主要考查了線段的平移及平行線的性質，掌握平行線的性質并作出輔助線是解題的關鍵3（問題情境）在綜合實踐課上，同學們以“圖形的平移”為主題開展數(shù)學活動，如圖，先將一張長為4，寬為3的矩形紙片沿對角線剪開，拼成如圖所示的四邊形，則拼得的四邊形的周長是_.（操作發(fā)現(xiàn)）將圖中的

35、沿著射線方向平移，連結、，如圖.當?shù)钠揭凭嚯x是的長度時，求四邊形的周長. （操作探究）將圖中的繼續(xù)沿著射線方向平移，其它條件不變，當四邊形是菱形時，將四邊形沿對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長.【答案】【問題情境】16；【操作發(fā)現(xiàn)】6+2；【操作探究】20或22【解析】【問題情境】首先由題意，可得ab=cd，ac=bd，adb=dbc=90°，然后根據(jù)勾股定理，可得ab，即可求得四邊形abcd的周長；【操作發(fā)現(xiàn)】首先由平移，得ae=cf=3，de=bf，再根據(jù)平行，即可判定四邊形aecf是平行四邊形，然后根據(jù)勾股定理，可得af，即可求

36、得四邊形aecf的周長；【操作探究】首先由平移，得當點e與點f重合時，四邊形abcd為菱形，得出其對角線的長，沿對角線剪開的三角形組成的矩形有兩種情況：以6為長，4為寬的矩形和以3為寬，8為長的矩形，即可求得其周長.【詳解】由題意，可得ab=cd，ac=bd，adb=dbc=90°又，根據(jù)勾股定理，可得四邊形的周長是故答案為16.由平移，得ae=cf=3，de=bfaecf，四邊形aecf是平行四邊形be=df=4，ef=de=2在rtaef中，aef=90°，由勾股定理，得af= 四邊形aecf的周長為2ae+2af=6+2由平移，得當點e與點f重合時，四邊形abcd為菱

37、形，ae=ce=3，be=de=4，沿對角線剪開的三角形組成的矩形有兩種情況：以6為長，4為寬的矩形，其周長為；以3為寬，8為長的矩形，其周長為.故答案為20或22【點睛】此題主要考查根據(jù)平移的特征，矩形和菱形的性質進行求解，熟練運用，即可解題.4如圖，在的正方形方格中，每個小正方形的邊長都為1，頂點都在網(wǎng)格線交點處的三角形，是一個格點三角形在圖中，請判斷與是否相似，并說明理由；在圖中，以o為位似中心，再畫一個格點三角形，使它與的位似比為2：1 在圖中，請畫出所有滿足條件的格點三角形，它與相似，且有一條公共邊和一個公共角【答案】（1）相似；（2）見解析；（3）見解析【解析】試題分析：（1）利用

38、網(wǎng)格結合勾股定理得出三角形各邊長，進而得出對應邊的比相等，進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質結合位似比得出答案；（3）利用相似三角形的性質結合有一條公共邊和一個公共角進而得出答案試題解析：如圖所示：與相似，理由：；，與相似；如圖所示：即為所求；如圖所示：和即為所求  點睛：三條邊對應成比例，兩個三角形相似.5已知：是的高，且.（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，點e在ad上，連接，將沿折疊得到，與相交于點，若be=bc，求的大小；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接，過點作，交的延長線于點，若，求線段的長.圖1. 圖2. 圖3. 【答案】（1）見解析，（2）（3）.【解

39、析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一，易得ab=ac，；（2）在圖2中，連接，可證得是等邊三角形， ，且由折疊性質可知，可得 ；（3）連接，過點分別作于點，于點，于點，可證得，可得線段的長.【詳解】解：（1）證明：如圖1， ； 圖1（2）解：在圖2中，連接， 又 是等邊三角形 由折疊性質可知 由（1）可知 圖2（3）解：連接，過點分別作于點，于點，于點， 又 在中， 令，則 同理，在和中， 解得 圖3故答案為（1）見解析，（2） （3）.【點睛】本題考查翻折的性質，涉及角平分線的性質、等腰三角形的性質和判定、等邊三角形的判定和性質、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性質等知識點，屬于較難的

40、題型.6如圖，長方形在平面直角坐標系的第一象限內，點在軸正半軸上，點在軸的正半軸上，點、分別是、的中點，點的坐標為.（1）求的值及直線的表達式；（2）現(xiàn)將長方形沿折疊，使頂點落在平面內的點處，過點作軸的平行線分別交軸和于點，.求的坐標；若點為直線上一動點，連接，當為等腰三角形，求點的坐標.（說明：在直角三角形中，如果一個銳角等于，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半）【答案】（1）a=4；y=x+2；（2）c（3，3）；（1，3），（，3+2），（3，5）或（-，2-3）【解析】（1）由點的坐標為可知ce=2，由30°角的性質可求de=4，由勾股定理可求cd=2，從而可求出oc的長，再設

41、出直線de的表達式求解即可；（2）運用折疊的特性即可求出c的坐標；分四種情況討論：dp=pc，：dp=dc時，：當dc=pc時，：當dp=dc時分別求解即可【詳解】解：（1）cde=30°，點e的坐標為（2，a）ce=2，cd=2，點d、e分別是oc、bc的中點，oc=2cd=4，a=4；設直線de的表達式為y=kx+b，把d（0，2），e（2，4）代入得，y=x+2；（2）將長方形oabc沿de折疊，使頂點c落在平面內的點c處，過點c作y軸的平行線分別交x軸和bc于點f，g，ced=ced=60°，ce=ce=2，eg=1，cg=，cg=ce+eg=2+1=3，cf=oc

42、-cg=4-=3，c（3，3）；如圖1，點p為de的中點連接cp，dce是直角三角形，dp=pc，pcd為等腰三角形，p（1，3），如圖2，dp=dc時，dc=dc=2，dp=2，p（，3+2），如圖3，當dc=pc時，dc=pc=2，且p點為cg的延長線與de的交點，p（3，5）如圖4，當dp=dc時，dc=dc=2，dp=2，p（-，2-3），綜上所述：當pcd為等腰三角形時，點p的坐標為（1，3），（，3+2），（3，5）或（-，2-3）【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，折疊的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是數(shù)形結合，分類討論7如圖1，四邊形abcd的對角線ac，bd相交于點o，o

43、b=od，oc=oa+ab，ad=m，bc=n，abd+adb=acb（1）填空：bad與acb的數(shù)量關系為_； （2）求的值； （3）將acd沿cd翻折，得到acd（如圖2），連接ba，與cd相交于點p若cd=，求pc的長【答案】（1）bad+acb=180°；（2）；（2）1. 【解析】試題分析：（1）在abd中，根據(jù)三角形的內角和定理即可得出bad+acb的度數(shù)；（2）作deab交ac于e，證明oaboed，達到截長補短的目的，得到ab=de=ce，由eadabc，推出ed：ac=ae：ab=da：cb=m：n，即可解決問題；（3）作deab交ac于e，通過證明padpbc，可

44、得a'd：bc=pd：pc=，由此解決問題.解：（1）在abd中，bad+abd+adb=180°，abd+adb=acb，bad+acb=180°.（2）如圖1中，作deab交ac于edea=bae，oba=ode，ob=od，oaboed，ab=de，oa=oe，設ab=de=ce=x，oa=oe=y，eda+dab=180°，bad+acb=180°，eda=acb，dea=cab，eadabc， = = = ， = ，4y2+2xyx2=0，（ ）2+ 1=0， = （負根已經(jīng)舍棄）， = （3）如圖2中，作deab交ac于e由（1）可知

45、，de=ce，dca=dca，edc=ecd=dca，decaab，abc+acb=180°，eadacb，dae=abc=dac，dac+acb=180°，adbc，padpbc， = = ， = ，即 = cd= ，pc=1 點睛：本題考查了幾何變換、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，構造全等三角形或相似三角形解決問題.8如圖，直線：y+4與x軸、y軸分別別交于點m、點n，等邊abc的高為3，邊bc在x軸上，將abc沿著x軸的正方向平移，在平移過程中，得到a1b1c1，當點b1與原點o重合時，解答下列問

46、題：（1）點a1的坐標為 （2）求a1b1c1的邊a1c1所在直線的解析式；（3）若以p、a1、c1、m為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出p點坐標【答案】（1）（，3）；（2）yx+6；（3）點p的坐標為：（3，3）或（5，3）或（，3）【解析】（1）當點b1與原點o重合時，過點a1作a1dx軸于點d，則a1d3，則b1da1dtan30°3×，當x時，y+43a1d，故點a1在直線上，點a1（，3）；（2）將點c1（，0）、a1的坐標代入一次函數(shù)表達式y(tǒng)kx+b，即可求解；（3）分a1c1是平行四邊形的邊、a1c1是平行四邊形的對角線兩種情況，分別求解即可【詳解】解：

47、（1）直線：y+4與x軸、y軸分別別交于點m、點n，則點m（4，0），當點b1與原點o重合時，過點a1作a1dx軸于點d，則a1d3，則b1da1dtan30°3×，當x時，y+43a1d，故點a1在直線上，點a1（，3），故答案為：（，3）；（2）將點c1（，0）、a1的坐標代入一次函數(shù)表達式：ykx+b 并解得：直線a1c1的表達式為：yx+6；（3）設點p（m，n）當a1c1是平行四邊形的邊時，則，03n或，0+3n解得：m或，n3或3，故點p的坐標為：（，3）或（，3）；當a1c1是平行四邊形的對角線時，由中點公式得：解得：m，n3，故點p（，3）；綜上點p的坐標為

48、：（3，3）或（5，3）或（，3）【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與圖形的運動問題，綜合性比較強，能夠確定a1的位置及對以p、a1、c1、m為頂點的四邊形分情況討論是解題的關鍵.9已知：abc和ade均為等邊三角形，連接be，cd，點f，g，h分別為de，be，cd中點（1）當ade繞點a旋轉時，如圖1，則fgh的形狀為 ，說明理由；（2）在ade旋轉的過程中，當b，d，e三點共線時，如圖2，若ab=3，ad=2，求線段fh的長；（3）在ade旋轉的過程中，若ab=a，ad=b（ab0），則fgh的周長是否存在最大值和最小值，若存在，直接寫出最大值和最小值；若不存在，說明理由【答案】（1）fgh

49、是等邊三角形；（2）；（3）fgh的周長最大值為（a+b），最小值為（ab）【解析】試題分析：（1）結論：fgh是等邊三角形理由如下：根據(jù)三角形中位線定理證明fg=fh，再想辦法證明gfh=60°即可解決問題；、（2）如圖2中，連接af、ec在rtafe和rtafb中，解直角三角形即可；（3）首先證明gfh的周長=3gf=bd，求出bd的最大值和最小值即可解決問題；試題解析：解：（1）結論：fgh是等邊三角形理由如下：如圖1中，連接bd、ce，延長bd交ce于m，設bm交fh于點oabc和ade均為等邊三角形，ab=ac，ad=ae，bac=dae，bad=cae，badcae，bd

50、=ce，adb=aec，eg=gb，ef=fd，fg=bd，gfbd，df=ef，dh=hc，fh=ec，fhec，fg=fh，adb+adm=180°，aec+adm=180°，dmc+dae=180°，dme=120°，bmc=60°gfh=boh=bmc=60°，ghf是等邊三角形，故答案為：等邊三角形（2）如圖2中，連接af、ec易知afde，在rtaef中，ae=2，ef=df=1，af=，在rtabf中，bf= =，bd=ce=bfdf=，fh=ec=（3）存在理由如下由（1）可知，gfh是等邊三角形，gf=bd，gfh的

51、周長=3gf=bd，在abd中，ab=a，ad=b，bd的最小值為ab，最大值為a+b，fgh的周長最大值為（a+b），最小值為（ab）點睛：本題考查等邊三角形的性質全等三角形的判定和性質、解直角三角形、三角形的三邊關系、三角形的中位線的寬等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，正確尋找全等三角形解決問題，學會利用三角形的三邊關系解決最值問題，屬于中考壓軸題10綜合與實踐問題背景折紙是一種許多人熟悉的活動，將折紙的一邊二等分、四等分都是比較容易做到的，但將一邊三等分就不是那么容易了，近些年，經(jīng)過人們的不懈努力，已經(jīng)找到了多種將正方形折紙一邊三等分的精確折法，最著名的是由日本學者芳賀和夫發(fā)現(xiàn)的三

52、種折法，現(xiàn)在被數(shù)學界稱之為芳賀折紙三定理其中，芳賀折紙第一定理的操作過程及內容如下（如圖1）：操作1：將正方形abcd對折，使點a與點d重合，點b與點c重合再將正方形abcd展開，得到折痕ef；操作2：再將正方形紙片的右下角向上翻折，使點c與點e重合，邊bc翻折至b'e的位置，得到折痕mn，b'e與ab交于點p則p即為ab的三等分點，即ap：pb=2：1解決問題（1）在圖1中，若ef與mn交于點q，連接cq求證：四邊形eqcm是菱形；（2）請在圖1中證明ap：pb=2：l發(fā)現(xiàn)感悟若e為正方形紙片abcd的邊ad上的任意一點，重復“問題背景”中操作2的折紙過程，請你思考并解決如下問題：（3）如圖2若 =2則= ；（4）如圖3，若=3，則= ；（5）根據(jù)問題（2），（3），（4）給你的啟示，你能發(fā)現(xiàn)一個更加一般化的結論嗎？請把你的結論寫出來，不要求證明【答案】