函數(shù)的微分PPT課件

1、1 微分的定義微分的定義 微分的幾何意義微分的幾何意義 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式與的微分公式與微分的運算法則微分的運算法則 微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用 微分的近似計算微分的近似計算 誤差估計誤差估計 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式 和、差、積、商的微分法則和、差、積、商的微分法則 復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則 21.1.實例實例函數(shù)增量的構(gòu)成函數(shù)增量的構(gòu)成20 xA xx 0 xx 0 x2 x x0 0 x0 0 x 此此時時面面積積改改變變了了多多少少？變變到到邊邊長長由由熱熱正正方方形形金金屬屬薄薄片片，因因受受,xxx, 002xA 的

2、的函函數(shù)數(shù)關(guān)關(guān)系系為為解解：正正方方形形邊邊長長與與面面積積2020202)(xxxxxxAx 時時，面面積積增增量量為為當(dāng)當(dāng)邊邊長長增增量量為為函數(shù)的增量由兩部分構(gòu)成：函數(shù)的增量由兩部分構(gòu)成：的的主主要要部部分分。的的線線性性式式，是是函函數(shù)數(shù)增增量量、等等式式右右邊邊第第一一項項， x 1.022的的高高階階無無窮窮小小時時，是是，當(dāng)當(dāng)、第第二二項項xxx 32 2、微分的定義、微分的定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義，在某區(qū)間內(nèi)有定義， 區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量區(qū)間內(nèi)，如果函數(shù)的增量)()(00 xfxxfy )( xoxAy .xAdy 可表示為可表示為 （1 1）其中其中

3、A是不依賴于是不依賴于 x 的常數(shù)，而的常數(shù)，而 )( xo 是比是比x 高階無窮小，高階無窮小，)(xfy 那么稱函數(shù)那么稱函數(shù) 在點在點 0 x是可微的，而是可微的，而 xA 叫做函數(shù)叫做函數(shù) 相應(yīng)于自變量增量相應(yīng)于自變量增量 x的微分的微分， )(xfy在點在點 0 x 記作記作dy，即：即： 及及0 xxx 0在這在這 .),(為為函函數(shù)數(shù)的的微微分分則則稱稱若若xAdyxxAy dyyxdyyxA 很很小小時時，。的的線線性性主主部部，即即：稱稱為為40 x設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點可微可微, 則有則有(1)成立，即成立，即)( xoxAy .)(xxoAxy 得得,x 等式兩

4、端除以等式兩端除以).(0 xfA0 x因此因此, 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在點在點可微，可微，0 x則則)(xf在點在點也一定可導(dǎo)也一定可導(dǎo), 且且3 3、問題：函數(shù)可微的條件是什么？問題：函數(shù)可微的條件是什么？?A 于是于是, 當(dāng)當(dāng)0 x 時時, 由上式就得到由上式就得到xyx 0lim0 xfxxoAx 0lim.A)(lim00 xfxyx 根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系根據(jù)極限與無窮小的關(guān)系, 上式可寫為上式可寫為反之反之, 如果如果)(xfy 0 x在在存在存在,可導(dǎo)可導(dǎo), 即即 5），（0, 0)(0 xxfxy .)(0 xxxfy 則則,)(,0 xxfxox 不不依依賴賴于于且且）

5、（因因 故上式相當(dāng)于故上式相當(dāng)于(1)式式, 在點在點0 x可微?？晌?。)(xf則則).( ,)()(000 xfAxxfxxfy且且處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在處可微處可微在在函數(shù)函數(shù)4. 4.函數(shù)可微的充要條件：函數(shù)可微的充要條件： 如函數(shù)如函數(shù)xycos的微分為的微分為xxxxdy sin)(cos顯然，函數(shù)的微分顯然，函數(shù)的微分xxfdy )( 與與x和和x 有關(guān)。有關(guān)。函數(shù)在任意點的微分函數(shù)在任意點的微分,稱為稱為函數(shù)的微分函數(shù)的微分,記作記作.)(xxfdy ),(xdfdy或或即即65 5、微分的幾何意義、微分的幾何意義x xy yMM0 0NNPPQ Qx x0 0 xx 0 x y dy

6、T TO O)x(fy 當(dāng)當(dāng) x 很小時，很小時， . ydy 縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的相相應(yīng)應(yīng)增增量量。就就是是曲曲線線的的切切線線上上點點的的，上上點點的的縱縱坐坐標(biāo)標(biāo)的的增增量量時時是是曲曲線線dyxfy)( y:幾何意 義7例例1 1 求函數(shù)求函數(shù)處處的的微微分分。和和在在312xxxy處處的的微微分分為為在在3xxxxdyx 6|)(32解解;2|)(12xxxdyx 處處的的微微分分為為在在12xxy 函數(shù)函數(shù)例例2 2 求函數(shù)求函數(shù).x,xxy時時的的微微分分當(dāng)當(dāng)02023 .3)(23xxxxdy 時時的的微微分分再再求求函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)0202.x,x .xxdy.xx.xx240020

7、2332020220202 解解 先求函數(shù)在任意點的微分先求函數(shù)在任意點的微分8).(0 xfdxdy從從而而有有：通常把通常把自變量的增量自變量的增量稱為稱為自變量的微分自變量的微分.記作記作.dx即即xdx .)(0dxxfdy則函數(shù)則函數(shù) 的微分又可記作：的微分又可記作： )(xfy 這表明這表明, 函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù). 因此因此, 導(dǎo)數(shù)也叫導(dǎo)數(shù)也叫“微商微商”.導(dǎo)數(shù)（微商）即微分之商。導(dǎo)數(shù)（微商）即微分之商。91. 1. 基本初等函數(shù)的微分公式基本初等函數(shù)的微分公式導(dǎo)數(shù)公式導(dǎo)數(shù)公式微分公式微分公式,xx1 ,coss

8、inxx,sincosxx,sectan2xx,csccot2xx,tansecsecxxx,cotcsccscxxx,lnaaaxx,exxe,dxxxd1 ,cossinxdxxd,sincosxdxxd,sectan2xdxxd,csccot2xdxxd,tansecsecxdxxxd,cotcsccscxdxxxd,lnadxaadxx,dxedxxe102.函數(shù)的和、差、積、商的微分法則函數(shù)的和、差、積、商的微分法則,ln1logaxxa ,1lnx,11arcsin2xx,11arccos2xx,11arctan2xx.11cot2xxarc,ln1logdxaxxda,1lndx

9、xxd,11arcsin2dxxxd,11arccos2dxxxd,11arctan2dxxxd.11cot2dxxxarcd11函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則 ,vuvu ，是是常常數(shù)數(shù)CuCCu,vuvuuv.vvvuvuvu02函數(shù)和、差、積、商的微分法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則 ,dvduvud，是常數(shù)是常數(shù)CCduCud,udvvduuvd.vvudvvduvud023. 3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則復(fù)合函數(shù)的微分法則微分公式的形式不變性微分公式的形式不變性。由此可見，無論是自變量還是中間變量的可微函數(shù)，微分形式由此可見，無論是自變量還是中間變量的可微函數(shù)，

10、微分形式duufdy)( 保持不變保持不變 。這一性質(zhì)叫做這一性質(zhì)叫做微分形式不變性微分形式不變性。:)(,)(),(的的微微分分為為則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)都都可可導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)xfyxuufy .)()(dxxufdxydyx duydyduufdyu或或或或?qū)憣憺闉椋?(dxxdu)( 124 4、利用微分公式的形式不變性計算、利用微分公式的形式不變性計算 利用微分公式的形式不變性，不僅可以求函數(shù)的微分，而且利用微分公式的形式不變性，不僅可以求函數(shù)的微分，而且可以求導(dǎo)數(shù)，只要可以求導(dǎo)數(shù)，只要把微分運算進行到只剩自變量的微分把微分運算進行到只剩自變量的微分，就可以，就可以得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。得到函數(shù)的導(dǎo)

11、數(shù)。例例3 3：. ,2cos2dxdydyxy求：求： )2(cos2cos2)2(cos2xxdxddy )2(2sin2cos2xxdx dxxx 2)2sin(2cos2xdx4sin2 .4sin2xdxdy 132 2、分別按照分別按照dx、dy合并同類項。合并同類項。 得到得到g1(x,y) dy = g2 (x,y) dx利用微分公式的形式不變性，求隱函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)的步驟：利用微分公式的形式不變性，求隱函數(shù)的微分和導(dǎo)數(shù)的步驟：1 1、不論自變量還是函數(shù)，對方程兩邊求微分。并將微分進行、不論自變量還是函數(shù)，對方程兩邊求微分。并將微分進行到到dy、dx 。dxyxgyxgdyyx

12、gyxgdxdy),(),(),(),(1212或或微微分分求求得得導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)：3 3、14在求復(fù)合函數(shù)的微分時，也可以不寫出中間變量。在求復(fù)合函數(shù)的微分時，也可以不寫出中間變量。)12()12cos( xdx )(sinuddy uducosdxx2)12cos( .)12cos(2dxx .dxexexx221221lnxeddy解解22111xxede22211xdeexxxdxeexx2122解解把把2x+1看成中間變量看成中間變量u ，則，則例例4 4),12sin(xy求求.dy例例5 5),1ln(2xey求求.dy15)cos(31xeddyx例例7 7 在下列等式左端的括號中填

13、入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。在下列等式左端的括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，使等式成立。.)sincos3(31dxxxex)(cos)(cos3131xdeexdxx tdtdxdxd cos(_)2( ;(_)1( 解解:,22xdxxd即即，解解 應(yīng)用積的微分法則得：應(yīng)用積的微分法則得：.2)(2xdxxd(1)因為因為dxexx3cos31xdxexsin31 221xdxdx可可見見，,xd22例例6 6 ,cos31xeyx求求.dy16,cos)(sin)2(tdttd 因因為為,cossin1tdttd 即即，)( ,cossin1為為任任意意常常數(shù)數(shù)一一般般地地，有有：CtdtCtd t

14、dtdt sin1cos可可見見，,sin1td 17dyxfxxfdyyx00, 即即很很小小時時在在dxxfxfdyxfxxfxxfxxxxdxdxxfdyyyx)( )()()()(2)()( 1000000000 的的函函數(shù)數(shù)值值點點附附近近的的點點、求求應(yīng)應(yīng)增增量量點點的的微微分分，求求函函數(shù)數(shù)的的相相、利利用用有有兩兩方方面面的的應(yīng)應(yīng)用用：微微分分在在近近似似計計算算中中主主要要23434RV,RV 體積體積.RRRVV 24 近近似似值值為為：鐵鐵球球的的體體積積的的改改變變量量的的 解：解： -502.401020143432毫米毫米.102024.RRRRV 多多少少？試試估

15、估計計鐵鐵球球體體積積減減少少了了毫毫米米以以后后其其直直徑徑縮縮小小了了使使用用一一段段時時間間毫毫米米鐵鐵球球直直徑徑為為用用于于研研磨磨水水泥泥原原料料用用的的,.,2040 例例1 1：18 式式得得：應(yīng)應(yīng)用用取取236060,x,x 3606sin0330sin 3602321 3606cos6sin 507600076050000.36060330 ;cos,sinxxfxxf則則設(shè)設(shè)解：解：例例2 2：近近似似值值。利利用用微微分分計計算算0330sin 19 ,1 4xex . xx 1ln5利用上式可導(dǎo)出工程上常用的幾個公式利用上式可導(dǎo)出工程上常用的幾個公式 （ ）：）：假定

16、假定x很小很小 ;xnxn111 1 為為弧弧度度制制xxx sin2 為為弧弧度度制制xxx tan3在在 式中，取式中，取00 x得得 xffxf00dxxfxfdyxfxxf)( )()()(0000 xx 20.的的近近似似值值求求3997 331000311000997利利用用近近似似公公式式得得：解解300301 10.3997 999003031110.的的近近似似值值求求051 得得：利利用用近近似似公公式式 1 ,05. 0105. 1 ,.0251050211051,.024701051如如直直接接開開方方得得：.00100511.025 的的近近似似值值其其誤誤差差不不超

17、超過過作作解解21用用微微分分在在誤誤差差估估計計中中的的應(yīng)應(yīng).,間間接接測測量量誤誤差差叫叫作作果果也也會會有有誤誤差差差差的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)計計算算所所得得的的結(jié)結(jié)帶帶有有誤誤差差而而根根據(jù)據(jù)帶帶有有誤誤測測得得的的結(jié)結(jié)果果必必然然響響圍圍環(huán)環(huán)境境等等各各種種因因素素的的影影測測量量方方法法以以及及測測量量時時周周由由于于測測量量儀儀器器的的精精度度、經(jīng)經(jīng)常常需需要要測測量量各各種種數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)在在實實際際工工作作中中 絕絕對對誤誤差差和和相相對對誤誤差差 1.絕對誤差：絕對誤差：,a,A 它的近似值為它的近似值為設(shè)某個量的精確值為設(shè)某個量的精確值為相對誤差：相對誤差：.a,aaAaaA的相對誤差的

18、相對誤差稱為稱為的比值的比值與與絕對誤差絕對誤差.aA稱稱為為的的絕絕對對誤誤差差則則在實際工作中，由于某個量的精確值往往是無法知道的，在實際工作中，由于某個量的精確值往往是無法知道的，所以絕對誤差和相對誤差無法求得。所以絕對誤差和相對誤差無法求得。22.A,aA,a,AAAA的絕對誤差限的絕對誤差限為測量為測量則稱則稱即即差不超過差不超過它門之間的誤它門之間的誤測得它的近似值為測得它的近似值為某個量的精確值為某個量的精確值為 絕對誤差絕對誤差 限：限：相對誤差限：相對誤差限：.AaA的相對誤差限的相對誤差限稱為測量稱為測量 利利用用微微分分估估計計誤誤差差 2. .,值值計計算算可可按按公公式式值值設(shè)設(shè)根根據(jù)據(jù)直直接接測測量量yxfyx,x,xxx 即即的的絕絕對對誤